快速准确的本征对称性检测RajendraNagar[0000−0001−8087−0468]和ShanmuganathanRaman[0000−0003−2718−7891]电气工程，印度理工学院甘地纳格尔，印度{rajendra.nagar，shanmuga}@ iitgn.ac.in抽象。在计算机视觉和图形学中，各种类型的对称性被广泛研究，因为对象中存在的对称性是用于理解对象的形状和结构的基本线索。在这项工作中，我们检测的内在反射对称三角形网格，我们必须找到的内在对称点的每一点的形状。我们通过扩展功能图框架建立形状上定义的功能之间的对应关系，然后重新覆盖点对点的对应关系。以前的方法使用的功能图为这项任务找到的功能对应矩阵，通过解决一个非线性优化问题，这使得他们慢。 在这项工作中，我们提出了一个封闭形式的解决方案，这个矩阵，使我们的方法更快。我们根据以下结果找到了封闭形式的解。如果给定的形状是内在对称的，那么两个内在对称点之间的最短长度测地线也是内在对称的。若Laplace-Beltrami算子的本征函数是一个偶（奇）函数，则它对两个本征对称点间最短测地线的约束也是一个偶（奇）函数.低频本征函数的符号在相邻点上相同。我们的方法是不变的本征函数的顺序，并具有最低的时间复杂度。我们在SCAPE数据集上实现了最佳性能，并在TOSCA数据集上实现了与最先进方法关键词：内禀对称·泛函映射·本征函数1介绍在解决诸如形状分割、网格修复、形状匹配、检索3D模型的标准形式[30，60，12]、逆过程建模[31]等问题时，各种类型的对称的重要性是显而易见的。形状识别[14]，形状理解[34]，形状完成[47，49]，和形状编辑[55，33，15，20，54，10]。检测固有对称性的问题被证明是一个NP难题，因为它相当于为每个点找到一个固有对称点[37]。然而，内在对称点之间的对应完全表征了形状，因为内在对称性是非刚性变换，其可以不被表示为矩阵，这与可以被表示为矩阵的外在对称性相反2R. Nagar和S. 拉曼由矩阵表示[16]。我们利用函数映射方法来找到函数之间的对应关系，而不是点[36]。然后，可以在O（n log（n））内恢复点到点对应，其中n是顶点的数量。我们扩展这个框架的内在对称性的检测。 在以前的工作中，功能图框架已经用于检测内在对称性（[24]，[52]）。在这些方法中的主要任务是确定将函数变换为其内在形象。对这一矩阵施加了各种限制。是目前还不知道有多少约束是足够的。此外，他们解决了一个非线性优化问题，以估计函数对应矩阵，这使得该方法变慢。对于本征对称性检测问题，我们证明了，如果对应的特征函数是偶（奇）函数，则函数对应矩阵是对角矩阵，并且对角元素是+1（-1）。这种封闭形式的解决方案使我们的方法更快。我们根据下面的结果确定一个特定的本征函数是偶数还是奇数。一个本征函数是偶（奇）函数，如果它对两个本质对称点之间的最短长度测地线的限制是偶（奇）函数。因此，我们需要找到一些精确的本质对称点对，我们使用以下结果找到这些点对。如果我们直接基于它们的热核签名之间的相似性对点进行配对[48]，我们可能会得到错误的配对。例如，食指尖上的一对点和人体模型的同一只手的无名指的指尖。原因在于，如果两个相邻点经受相同强度的热源，则它们的热扩散过程也将是相似的，因为手指相对于身体尺寸的尺寸非常小。然而，我们观察到，相邻点上的低频本征函数是相同的。因此，如果两个点的前几个低频本征函数的符号相同，则我们对配对的两个点施加高惩罚。基准数据集的模型是通过应用不完全等距来获得的，因此理论仅近似成立。此外，一些三角形可能不是德洛内三角形。因此，我们可能无法得到准确的对应关系，使用原来的特征函数。因此，我们变换原始的特征函数，使其接近完美的偶或奇函数。以下是我们的主要贡献。1. 我们提出了一种新的方法来找到几个准确的本征对称点对的基础上的本征函数的以下属性：相邻点的低频本征函数的符号是相同的。2. 我们提出了一种新的和有效的方法来寻找功能对应矩阵。我们证明了内在对称性检测问题的函数矩阵是对角矩阵，并且对角元素是+1（−1）如果对应的本征函数是偶（奇）函数。3. 我们提出了一种新的方法来确定本征函数的符号表明，如果一个流形包含内在对称性和本征函数是一个偶（奇）函数，那么它的限制任何两个内在对称点之间的最短长度测地线是一个偶（奇）函数。4. 我们变换的特征函数，使他们更不变的自我等距。快速准确的本征对称性检测32相关作品反射对称性检测方法根据输入数据的类型和输入数据中存在的反射对称性进行分类输入数据可以是数字图像、点云、三角形网格等。反射对称性的主要类型是外在的和内在的。用于检测非本征对称性的公知方法是[29，40，28，21，45，51，46，47，26]，并且用于检测非本征对称性的公知方法是[29，40，28，21，45，51，46，47，26]。本征对称性为[41，37，5，6，13，17，18，22，27，41，45，60，58，56，53，44，38，42]。此外，内禀对称性还可分为整体内禀对称性和局部内禀对称性。我们的方法发现在三角形网格的整体和部分内在对称性。我们只讨论相关的作品，并建议读者遵循[32]中优秀的最新报告和[25]中的调查。Ovsjanikov等人使用全局点签名（GPS）检测内在对称性[37]。主要主张是GPS嵌入将问题从内在对称性检测转换为外在对称性检测。结果表明，GPS嵌入对拓扑噪声具有较强的鲁棒性。他们通过比较一个点的GPS和另一个点的符号GPS来找到对称点对。确定本征函数的符号（偶或奇）的时间复杂度因为他们比较了所有可能对的GPS，所以时间复杂度为O（nlog（n））。此外，整个方法的时间复杂度为O（k3nlog（n）），不包括本征函数的计算，其中k是所使用的本征函数的数量。我们提出了一个更有效的方法，需要（O（knlog（n）检测内在对称性。此外，我们观察到[37]的方法是敏感的到符号翻转和本征函数排序。我们的方法是独立的-符号翻转和排序的凹痕，因为我们确定每个本征函数的符号独立于其他。Mitra等人使用基于投票的方法来检测内在对称性，然后在投票空间中应用变换使输入模型变形以具有完美的外部对称性[30]。Xu等人使用了一种广义的投票方案来找到部分固有对称曲线，而没有明确地找到每个点的固有对称点[57]。 Xu等人使用基于投票的方法[56]有效地找到了本质对称点对。他们根据对称性的尺度来分解对称性。然而，他们需要根据输入形状的失真程度来调整参数[56]。Zheng等人（[60]，[13]）的方法也采用了投票法。这些基于投票的方法不利用空间相干性。因此，它们可以产生可能在空间上不连续的成对的固有对称点。此外，它们可能具有高复杂性，这是由于大量可能的配对进行投票。在[41]中，作者提出了一种非凸优化框架，用于准确检测3D模型的完全和部分对称性。然而，初始化严重影响性能，并且复杂度也非常高。Lipman等人使用新颖的对称因子嵌入技术[23]有效地在点云和三角 形 网 格 时 间 复 杂 度 为 O （ n ） ， 时 间 复 杂 度 为 O （ n ） 。 5lo g（n））。 Kimetal. 使用ti-Müobistransflt i ti teti t e t it他们首先找到一组稀疏的配对4R. Nagar和S. 拉曼本质上对称的点。然后，利用M ¨ obiustrans形式，将内在对称性转化为外对称性.2）在n= 2的情况下，n = 2的时间复杂度为O（|S|4）求出对称不变点集S的非齐次-M？obi-S变换公式。此外，第一步骤中的错误对可能严重影响整体性能。3固有对称性检测3.1背景设M是表示输入形状的紧致连通2∫-流形LetL2（M）={f：M→R|在平方空间中，f∈M=Mf2（x）dx<∞}定义在M上的可积函数形状上的Laplace-Beltrami算子M被定义为ΔMf=−divM（Mf），并允许特征值分解<$Mφi（x）=λiφi（x），<$x∈M. 其中，0=λ1≤λ2≤。 . . 是否具有重要价值，并且φ1，φ2，. . . 是相应的特征函数。 本征函数φ1，φ2，. . .对于Σs空间L2（M），f ∈ b. 对于e，f∈L2（M）上的任何函数都可以p-表示为f（x）=∞i=1 f，φiφi（x），φx∈ M. 功能地图框架在[36]中首次提出，用于建立点对点密集对应在两个等距形状之间。其主要思想是建立函数之间的对应关系，定义在形状上，而不是点。时间复杂度为O（nlogn）。设M和N是两个形状。设Tf：L2（N）→L2（M）是定义在这些形状上的函数之间的线性映射.也就是说，如果g：N →R和f：M →R是两个对应的函数则Tf（g）=f。映射Tf由矩阵C∈Rk×k表示，使得b = Ca，其中a =ΣΣ⊤a 1a 2. . . 一个k和b =ΣΣ⊤b1b2. . . BK是代表-将函数的集合和函数在运行库中的集合设置为{φN}k和{φM}k、i i=1i i =1分别因此，主要目标是找到完全表示两个形状之间的密集对应关系。3.2函数映射的内禀对称性检测我们扩展的功能地图框架，用于检测的内在对称性，可以被认为是一个形状对应的问题，我们必须找到相同形状的点之间的对应关系，而不是两个不同的形状上的功能图框架也适用于因此，我们可以使用它来检测内在对称性，因为对称形状是自等距形状[37]。M的内禀对称性Tp：M→M定义如下。如果点x∈M和y∈M都是在空间中的y_mm_r_c，则Tp（x）=y和Tp（y）=x. 我们首先找到函数之间的映射，然后使用它来找到内在对称点之间的对应关系。我们考虑空间L2（M），设T：L2（M）→L2（M）是一个映射定义在同一形状上的函数的函数映射。然后，如果T（g）=f和T（f）=g，则这个函数映射T完全刻画了内禀对称性Tp，其中f，g∈L2（M）是内禀的快速准确的本征对称性检测5对称函数，即f◦Tp（x）=g（x），g◦Tp（x）=f（x），x∈ M。因此，我们的目标是找到表征函数映射的矩阵CT表示内在对称性检测问题。对于找到两个形状之间的对应关系的问题，已经对矩阵C施加了各种约束然后，矩阵C是优化问题的最优解。然而，我们表明，一个封闭的形式的解决方案存在的矩阵C的问题，检测的内在对称性，我们的状态如下。定理1. 设T：L2（M）→L2（M）是定义在形状M上的函数之间的映射，T刻画了M的内禀对称性Tp，即T（g）= f，T（f）= g，<$f，g∈L2（M）使得f <$Tp（x）= g（x），g <$Tp（x）= f（x），<$x∈M. 然后，表示T的矩阵C是对角矩阵。Ci，i =+ 1，如果T（φi），φi>M=+1，且ndCi，i= −1，如果T（φi），φi>M= −1。Prof. 在空间L2（M）上，Σe函数f，g∈L. 我们可以为客户提供当f（x）=∞biφi（x）且g（x）= ∞aiφi（x）时，如果T是直线映射，则i=1Σ∞Σ∞i =1haveT（f）=T（i=1biφi（x））= i=1biT（φi（x））. 如果T（φi（x））也是一个函数，在空间L2（M）中，它可以在基{φi}∞中表示为T（φi（x））=i=1Σj=1cijφj（x），其中recij=M=0ifi/=j。 对于e，Ci，j=∠T（φi），φj∠M=∠±φi，φj∠M。对于e，Ci，j=0，ifi=/J. 因此，矩阵C1是矩阵C2的二次边形。因为-more，Ci，i=+1，if0，则ψ（t）= 0，如果t= 0，则ψ（t）=1，并且q是任何大的正常数。现在我们将这些点配对，使得如果xj′是点xj的固有对称点，则xj应该是点xj′的固有对称点。我们通过用矩阵Π∈ {0，1}d×d表示匹配来实现这一点，其中Πj，j′ = 1且Πj′，j = 1，如果点xj和xj′形成一对，则为0，否则为0。现在，我们强制约束Π1= 1和Π1 = 1以实现一对一匹配，其中1是大小为d的向量，所有元素都等于1。我们得到了许多不能配对的点因此，我们将对的数量限制为快速准确的本征对称性检测93j=1IJc，我们用约束1Π 1 = 2c表示。此外，为了使其可行，我们将一对一匹配约束修改为Π1≤ 1和Π1≤ 1。现在，我们在下面的优化问题中构建点配对的问题。ΣdminΠ∈{0，1}d×dΣdΠ j，j′ W j，j′，满足Π1 ≤ 1，Π 1 ≤ 1，1 Π1 = 2 c。（一）′j=1j =1我们注意到，问题（1）等价于下面的线性分配问题。minπ∈{0，1}d2×1vec（W）π，满足C1π≤ 1，C2π≤ 1，c π = 2c.（二）其中π=vec（Π），C2=1I，c3是大 小 为 d2×1且所有元素都等于1的向量，I是大小为d × d的单位矩阵.矩阵C1是d×d2矩阵，并且在j-t中被定义为大小为1 × d2的另一个向量的循环向量，其中第一个元素等于1并且d2-d元素等于0。这个问题的复杂度在变量的数量上是指数的。然而，我们的问题的规模非常小。 在所有实验中，d ≤ 25。 我们使用MATLAB函数intlinprog来解决这个问题，需要≈ 0。03秒。3.5本征函数符号的确定命题1指出本征函数φi是偶（奇）函数，如果它在任意两个内在对称点xj和xj′之间的最短测地线γj（t）上的限制φi◦γj（t）：[0， 1]→R是偶（奇）函数。设{（xj，xj′）}c是检测到的固有对称点对的集合。我们使用[ 50]找到两个本质对称点之间的最短长度测地线，其中具有happroximatesettingig（Dijkstra' s algor i t h m），因为该exac测地线可能不通过网格的顶点，这可能需要在φ i ◦ γ j（t）f或γ j（t）∈ / V的值处使用针对计算的插值。设pij是特征函数φi在最短长度测地线上的约束（向量大小等于测地线上的顶点数）t in t rinsicalymΣe t ricpoin t sxjanddxj′。特征函数的sigΣnsiφ等于+1，如果cppij>0，且等于−1，如果cppij0。<我们ij=1ijΣcj=1ij不考虑本征函数φi，如果j=1 ppij = 0。等价，我们定义函数对应矩阵C的对角项为Ci，i=si。图在图2（a）和（c）中，我们分别给出了特征函数φ2和φ3，其中具有来自如et [ 9]的K i d s d上的两对检测到的本征对称点的测地线曲线。 IinFig. 2（b）和d（d），我们给出了sφi◦γj（t）上的函数i，其中i= 2， 3且j= 1， 2。我们观察到C2， 2=−1和C3， 3=+1。人们可以直接使用固有对称点上的本征函数的值来找到符号，而不是在这些点之间的测地线上检查它然而，这种方法可能对噪声敏感如果特征点处的本征函数的值由于噪声而改变，则基于点的方法将失败。然而，由于噪声，特征函数的值在测地线上的所有点处将改变的可能性较小。我们的测地线为基础的方法将正确检测的迹象，由于平均的迹象。10R. Nagar和S. 拉曼0.20.40.60.81C（一）0.020.010-0.010(b)（c）第（1）款0.030.020.010-0.01-0.02-0.0300.20.40.60.81（d）其他事项图二.（a）-（b）：Kids模型上的本征函数φ2，它是一个偶函数，它的限制φ2<$γj（t），j=1， 2，用红色和蓝色（手和脚）表示，它们也是偶函数。（c）-（d）：Kids模型上的本征函数φ3是一个奇函数，它的限制φ3◦γj（t），j=1， 2，用紫色和橙色表示（在手和脚上），它们也是奇函数。3.6修正特征函数基准数据集的模型是通过应用不完全等距来获得的，因此理论仅近似成立。此外，一些三角形可能不是Delaunay三角形，并且本征函数对网格的三角剖分中的变化因此，所有的本征函数可能不是完全的偶数或奇数，这可能会导致3.7节中检测到的错误对称性。考虑图3（a），其中本征函数φ10不是完全均匀的腿。我们变换本征函数，使得它们保持intrinsicallyΣsymmetricfunctions的对Σ。我们在[19]中找到了框架结构。LetΦ = Φ1Φ2。. . φk ∈Rn×k，D = diag（λ1，λ2，. . .，λk）∈Rk×k.设ΦR为通过在基Φ上应用线性算子R获得的变换基然后，我们施加约束RDR = D和off（R DR）= 0，使得新的特征函数可以添加到该特征函数或igΣiinaΣleigenfunciondecomposionproblem如在[19]中提出的，其中off（M）=′ ′M2对任意矩阵M.j j：j/=jj，j现在，letfj ，gj：M→Rbbtwoff fionssuchhatfjandgjareintrinsicimagesofeacher。 此时，fj◦Tp （x）=gj （x）和gj◦Tp（x）=fj （x）是等价的。 设fj∈Rn和gj∈Rn是由fj和gj的两个不同的定义来表示的。 令RΦfj和RΦgj 是 函 数 fj 和 gj 在 形 成 为 ΦR 的 数 据 库 中 的 预 处 理 。WeΣwantthetransformΣedbasisΦRsuchthΣatRΦfj=CRΦgj. LetF=f1。 . . FC|g1。 . . GC∈ΣRn×2c和G = g1. . . G C|f 1. . . f∈Rn×2c是表示2c的矩阵（双向）固有对称函数对我们制定以下优化框架以找到变换矩阵R。min off（RDR）+RDR−D2RF满足R <$Φ <$F = CR <$Φ <$G，R <$R = I，det（R）=+1，R ∈ Rk×k.（ 三）这里，R<$ R = I是由变换基ΦR是正交基这一事实得出的。这里，集合{R∈Rk×k：R<$ R = I， det（R）=+1}是特殊正交群SO（k）。因此，我们解决下面的优化问题。minoff（RDR）+RDR−D2+µRΦF−CRΦG2。（四）R∈SO（k）F F快速准确的本征对称性检测110.010-0.010 0.5 1(a) 校正前φ10（b）校正后φ10（c）限制本征函数(d)校正前（左）和校正后（右）腿上测地线的对称性图3.第三章。本征函数校正的可视化我们使用[1，2]中提出的黎曼信赖域方法来解决这个优化问题。为此，我们使用manopt工具箱[7]我们在补充资料中提供了该代价函数的黎曼梯度和Hessian。在我们的实验中，我们凭经验发现最佳μ等于1。我们选择函数fj和gj，使得fj在点xj处= 1，其他地方为0，gj在点xj′处=1，其他地方为0。这里，xj和xj′是固有对称点。在图3（a）和（b）中，我们显示了校正对（φ10）的影响。我们观察到，φ10，这是不完全对称的腿和腹部，变得更加对称。腹部的大蓝色斑块这里，本征函数的值是颜色编码的，更多的蓝色意味着更多的负，更多的黄色意味着更多的正。图3（c），我们表明φ10对两个对称点之间的测地线的限制，在校正后变得更加对称。3.7稠密内对称对应设f j是函数，使得f j在xj处= 1，在其他地方为0。类似地，设g j′是在x j ′处g j ′ = 1时的函数uchth，并且0el是新的here。 设tRΦfj和RΦgj′为它 们 的 基 表 示 。 然 后 ， 如 果 点 xj 和 xj′ 本 质 上 是 symmeric ， 则RΦfj=CRΦgj′。若考虑所有点，则RΦF=CR Φ G成立。现在，如果F等于大小为n×n的单位矩阵，则如果点xj和xj′形成一对本质对称点，则Gj，j′=1，否则为0。 现在根据[36]，xj的本质对称点是矩阵CR Φ的列中矩阵R Φ的第j列的最近邻居。如[36]所示，所获得的对应是 由于φi和Ci，i的符号仅取决于本征函数φi，因此我们的方法对本征函数的顺序是不变的。图3（d），我们显示了在校正之前和之后在腿上的测地线上检测到的对称性12R. Nagar和S. 拉曼我表1.表2中计算的总时间。方法MT [16]的对应率和trinsic对称性，方法MT[16]，BIMBIM[17]，OFM [24]，GRS [52]和pro-[17]，OFM [24]，GRS [52]的网格率，以及建议的在SCAPE数据集上提出的方法[3]。 在SCAPE数据集上的方法[3]。MT BIM OFM GRS我们的时间（分钟）-360 60 24 8MT BIM OFM GRS我们的相关率（%）82.0 84.8 91.7 94.5 97.5补片率（%）71.8 76.1 97.2 98.6 100表3.方法MT [16]、BIM [17]、OFM [24]、GRP [52]的对应率和网格率，以及TOSCA数据集上的拟议方法[8]。校正率（%）补片率（%）MT BIM OFM GRS我们MT BIM OFM GRS我们的猫66.0九十三点七90.996.5 95.654.6 90.9 90.9100 100半人马 92.0一百96.092.0100100 100100100 100大卫82.0 97.494.892.596.257.1 100100100 100狗91.0 10093.297.498.888.9 10088.9100 100马92.097.195.299.497.3100 10087.5100 100迈克尔87.0 98.994.6 91.4 96.575100100100 100维多利亚83.098.398.795.5 96.263.6 100100100 100狼100 100100 100 100100 100100100 100大猩猩-98.998.9 100 100-100100100 100平均值85.0 98.095.1 94.5 97.876 98.7 92.6 100 1004结果和评价4.1时间复杂度设n为顶点数，k为所用特征函数的Σ数特征点是Ki=1 e−λithφ2（xj）。Itrequiresus找到每个顶点的2-环邻域我们使用半边数据结构这需要O（1）时间。因此，找到特征点的总时间是O（n）。方程（1）中的优化问题(4)时间复杂度为O（nk2）。我们使用ANN库[4]在矩阵CR Φ∈Rk×n的列中找到矩阵RΦ∈ R k × n的每列的最近邻，这需要时间O （knlog（n ））。时间复杂度为O （log （n））+O （log（n））+O（log （n））。在我们的实验中，k= 13（经验），n≈15000。计算对称矩阵的k个最小特征值和相应的特征向量的时间复杂度为O（n2k），这是所有基于谱分解的方法所共有的4.2比较评估指标。我们使用以下评估指标将我们的方法的结果与[16]中定义的最先进方法的结果进行比较。对应率：令（x，x，g）是地面实况对应，并且jj′快速准确的本征对称性检测13√图4.第一章我们的方法在TOSCA [8]（第一行）和SCAPE [3]（第二行）数据集上的结果检测到的对应性（稀疏）以蓝色示出。红色的对应关系是第3.4节中检测到的对应关系（xj，xe′）是估计的对应关系，则对应关系（xj，xe′）为J JGe如果点xj′和xj′之间的测地距离为小于[16]中使用的面积（T）/20π对应率是分数在总的估计对应中的真正对应。网格率：网格率是在[16]中使用的总形状中对应率超过75%的形状的分数。时间复杂度：计算给定数据集中每个形状的对称性所需的总时间。数据集。我们在SCAPE [3]和TOSCA [8]数据集上评估了我们的方法SCAPE数据集包含71个模型。SCAPE数据集中的每个模型包含12500个顶点和24998个面。TOSCA数据集包含80个模型。平均而言，在图4中，我们展示了所提出的方法在两个数据集上的一些结果。为了更好的可视化，我们只显示了稀疏检测到的对应关系。比较方法。我们将我们的方法在数据集SCAPE和TOSCA上的结果与四种方法进行了比较，即混合内禀映射（BIM）[16]，混合内禀映射（BIM）[17]，适当约束正交函数映射（OFM）[24]和对称群表示（GRS）[52]。讨论比较。在表1中，我们给出了所有方法在TOSCA数据集的所有模型中检测固有对称性所需的总时间。我们观察到，我们的方法是TOSCA数据集上最快的我们的方法对于每个模型大约需要6秒，而BIM方法大约需要270秒，OFM方法大约需要45秒，GRS方法大约需要18秒。我们的方法需要4.2分钟来计算SCAPE数据集的所有模型的内在对称性计算速度快的可能原因包括使用封闭形式的解找到对应矩阵和通过计算近似最短长度的测地线确定特征函数的符号。14R. Nagar和S. 拉曼图五.数据集SHREC 16上的部分固有对称检测结果[9]。在两个本质对称的点之间。在表2和表3中，我们分别给出了SCAPE和TOSCA数据集的所有模型的所有方法的对应率（Corr率）和网格率。我们的方法的网格率等于100%，对应率等于97.8%，这非常接近该方法的最新对应率98%然而，对于方法[17]，每个网格的平均计算时间约为270秒，而对于我们的方法，平均计算时间约为6秒我们在SCAPE数据集上实现了最先进的性能。孔的影响。在图5中，我们显示了SHREC 16 [9]数据集的部分模型这里，通过在原始形状中制造孔以使其包含主形状的90%面积来获得部分形状我们观察到，我们的方法是不变的显着孔。5结论提出了一种快速、准确的三角网格内对称性检测算法我们证明了函数对应矩阵是对角的，如果对应的本征函数是偶数（奇数），则对角元素是+1（-1）证明了偶（奇）本征函数对任意两个本征对称点之间的最短测地线的限制也是偶（奇）本征函数。这一结果有助于我们推导出一个封闭的形式的解决方案，以找到这个矩阵的对角元素我们在SCAPE数据集上实现了最先进的我们实现了最佳的时间复杂度。此外，我们的方法是不变的本征函数的顺序和鲁棒性的输入网格中的孔的存在我们的方法是有限的内在反射对称性。它不能找到其他类型的对称性，如旋转对称。我们想把我们的方法扩展到更一般的对称性。我们的方法可能无法检测非连通流形的内在对称性作为未来的工作，我们想扩展的功能图，以检测内在的对称性，在非连通流形。致谢：R。Nagar得到了TCS研究奖学金的支持快速准确的本征对称性检测15引用1. Absil，P.A.，Baker，C.G.
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