分析两种分析方法对任意（分数）阶微分方程初值问题的解的存在性和唯一性及收敛性，研究了一些例子

∈0∫−=Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，165埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章任意（分数）阶微分方程初值问题的Picard，Adomian和Adel S.Mohamed，R.A.MahmoudMahmoudZagazig大学理学院，埃及接收日期：2014年11月24日;修订日期：2014年12月27日;接受日期：2015年1月1日2015年2月10日在线发布本文研究了两种分析方法，经典的逐次逼近法（Picard法），Adomian分解法（ADM）（见Abbaoui和Cherruault，1994; Adomian等，1992; Adomian，1995）[1将证明解的存在性和唯一性，并讨论每种方法的收敛性将研究一些例子。2000年数学学科分类： 26 A33; 26 A18; 39 B12版权所有2015，埃及数学学会.制作和主办：Elsevier B.V.所有权利保留1. 介绍令α[0， 1）。本文研究了初值问题解的存在本文应用Adomian、Picard和预估-校正三种方法现在，分数阶积分和微分的定义微分算子由下式给出dxαdt+Dx（ t）=f（ t， x（ t）），0<α 1，（1）x（0）=x。（二）定义1. 设β是一个正实数，分数-函数f的β阶阶积分在区间[0，T]上定义为∗ 通讯作者。电子邮件地址：3adel@live.nl（A.S.Mohamed），Iβ f（ t）=t（t s）β−1f（ s） ds0μ m（β）rony_695@yahoo.com（R.A. Mahmoud）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier而阶为α∈（0，1]的函数f∈C1[0，TD αf（t） I1−αdf。DTS1110-256X（15）00008-5 Copyright 2015，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V.版权所有http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.01.001关键词分数阶微分方程;Picard方法;Adomian方法;预估校正法;收敛性分析;误差分析166A.S. Mohamed，= ×→+−α（2α）∫−22=0∫−1t∈J.−−。t−t∫∫+→0∫−∫Σ2 11+α（2−α）−x（ s）ds（1 −α）n（1−α）ds+k（2−α）21dt=0+x（2−α）−dtx（ s）ds（1 −α）（2−α）2121+=2 102. 唯一性定理现在，将在以下假设下研究初始值问题（1）和（2）(i) f：J[0，T]D R是连续的，其中D是R的闭子集;定理1.假设（i）-（ii）满足，如果LTT1−α<1，则初值问题（1）有唯一解x∈ C.证据首先证明了F：C→C是连续的。设x∈C（J），t1，t2∈J，使得|t2−t1|<δ(ii)f满足Lipschitz条件，Lipschitz常数为L即t1−αFx（t2）−Fx（t1）=x（2−α）−第二章0t2（t s）−αx（ s） ds0（1 −α）t1−α1+f（s，x（s））ds−x（2−α）|≤L|x-y|，n（t，x），（t，y）∈I×D.|,∀(t, x),(t, y) ∈ I× D.设C C（J）是在J上连续的所有实值函数的空间t1（t s）−α+<$（1−α）x（ s） ds−t1f（ s， x（ s）） ds0定义2. 通过问题（1）和（2）的解，我们意味着∈. . . t1−α −t1−α。第二章 （t2−s）−α函数x C[0，T].这个函数满足问题（1），（二）、|≤|≤x（2−α）−0第1章 （t1−s）−α（1 − α）|x（s）|DS第二章t1设x（ t）是初值问题（1）和（2）的解。积分（1）我们得到+α（1 − α）|x（s）|DS +0|DS|dsx（t）− x+ I1−α。x（t）−x=I f（t，x），<$F x（t2）− F x（t1）<$= max |F x（t2）− F x（t1）|. t 1− α − t 1− α。第二章 （t2−s）−α然后我们有.x（t）=xt1−αt（t−s）−α0≤100x100（2 −α）−x第1章 （t1−s）−αDS0（1 −α）第二章不1不f（s，x（s））ds.（三）0≤100x1001α1α2 1（2 −α）现在设x∈C（ J）是积分方程的解。（3）然后dx（1 − α）t−αd<$t （t−s）−α0+你好t1−α−t1−α。+K|t2−t1|≤。你是我的朋友。t1−α−t1−α。 +K|t−t|≤∈D+DTtt−αf（s，x（s））ds=x（1−α）哪里和DXt−α−x（1−α）−I1−αdxf（ t， x）dt|≤k，|≤ k,这证明了F：C[0，T]C[0，T]。现在我们证明F是收缩的，因此我们有Dα x（ t）f（ t， x（ t））DTF x−F y= −t（t s）−αn（1−α）x（ s）ds+不f（ s， x（ s）） ds0也t（t-s）−α0.t 1−α.t（t-s）−α+（1−α）y（ s）ds−f（ s， y（ s）） ds0x=x1+α（2−α）. 阿勒特t=0−x（ s） ds0 （1 −α）t=0时t（t−s）−α0f（ s， x（ s）） ds0t=0|≤|≤（1 − α）|x（s）− y（s）|DS阿勒特然后问题（1）和（2）和积分方程。（3）等同于─alent。在许多论文中研究了分析方法之间的比∫+ x0DS+0+任意（分数）阶微分方程初值问题的Picard，Adomian和1670∫−.Σ1α1αt−∫较，例如[4将算子F定义为+|f（s，x（s））− f（s，y（s））|DSt（t s）−α≤α（1 − α）|x（s）−y（s）|ds + Lt（t−s）−α0不|DS |ds（Fx）（t）=xt−+（2−α）−（t s）−x（ s）ds（1 −α）≤x−y<$（1−α）ds+LT<$x−y<$不+00f（ s， x（ s）） ds，α>0，则αx∈C.≤LTT 1−α。（2 −α）∫+0.Σ168A.S. Mohamed，（2−α）∈+0∫−∫.0∫−.0+....−0∫−∫..Σ∞（xj−xj−1）收敛，则序列1+α（2−α）.（1−α）t1−α.Σ∫Σ−.∞−由于LTT1−α1，则F是一个压缩，且F有唯一的不动点，因此存在初值问题（1）和（2）的唯一解x C（ J）。 q，我们将证明了{Sp}是Banach空间E中的Caushy序列.-是的-是的Σ170A.S. Mohamed，Q∫−HQ.=p23Q- -Σ|（）下一页|<→ ∞−→{} pqp10 （1−α）Sp−1（ s）− Sq−1（ s） dspQ1 −ht∈ I1x（t）− S q |x1（t）|≤Sp−1（t） −Sq−1（t）超级Ft∈ IT1−αS，Sp−1S，Sq−1（tk+1− u）−α⎪⎨ （一）α）（2α）h1−α−+−.Σ..Qt（t−s）−α 不客气。p...HQSp− Sq= −（1−α）Sp−1（s）ds+Ai−1（s）ds辅助核算x（t）−xi（t）。 ≤ 1 − h上限|x1（t）|0 Г0i=0时t∈I。i=0。t∈It（t s）−α+（1−α）Sq−1（s） ds − 不客气。QAi−1（s）ds证据根据定理（2），我们有0t（t-s）−α。0i=0时ΣHQ公司简介 −S ≤sup|x（吨）|不好意思。Q+0A i−1（s）+.A i−1（s）−.Ai−1（s）但Spi=0时xi（t）asp→∞，则Sp→x（ t） so，t∈It（t-s）−α。.0因此，区间I中的最大绝对截断误差为Sp −Sq<$（1 − α）S p−1（s）− S q−1（s）ds.....−..HQ不客气。.p.辅助核算x（ t）−x i（t）. ≤ 1 − h上限|x1（t）|+辅助A i1（s）。DSt∈I。i=0。t∈It∈I0的情况。i=q+1- 是的t（t-s）−α这就完成了证明。Q5.+sup不客气。.p−1A i（s）.DS本文介绍了一种Adams型t∈I0i=q不≤Sp1（t） −Sq1（t） <$ （t s）−αDS−[12在本节中，我们使用亚当斯型预测校正方法的积分方程。（三）、- -. .Σ0℃（1α）.- 是的阿勒特乘积梯形求积公式与tj（j = 0，1，. . . ，k +1），相对于权重函数取≤ +LT−tk+1tu−αg u dutk+1tu−αg乌杜α（2α）.T1−α（k1）的t0（）下一页的t0（k+1−）k+1≤Lt+Sp−1−Sq−1<$K+1（2−α）≤h设p=q+1，则≤h≤h≤h <$Sq−2−Sq−3 <$$> ≤···≤h<$S1−S0 <$哪里⎧⎪aj，k+1=h1−α=j=0Σaj， k+1g tj，Σ如果 j=0，根据三角不等式，我们有<$Sp−Sq<$$>≤<$Sq+1−Sq<$+<$Sq+2−Sq+1<$⎩⎪（1−α）（2−α）i fj=k+1h是步长，对于1≤j≤k≤···≤≤。hq+hq+1+· · ·+hp−1S1−S0h1−α.a j，k+1=（k−j+2）2−α− 2（k−j+ 1）2−α≤hq1+h+···+hp−q−1<$S1Q. 1−hp−q-S0（1−α）（ 2−α）+（k−j）2−α≤h1−h100万美元对于α=0，我们有其中0h< 1和p> q意味着（1−hp−q）≤ 1。<因此，委员会认为，如果j=0，j=k+1，则为2阿Q阿 Qarj，k+1=h222ΣSp−Sq1−h 1000-1000 1− h上|x1（t）|2（k-j+2）− 2（k-j+ 1）+（k-j）如果1≤j≤k但x t k和q，则S S0，因此，是Banach空间E中的一个因果序列，∞i0xi（t）这产生校正公式，即分数变量一步.Σp⎝Q+.t∈I=−i=0时i=q+1i=0时0DS（1−α）-f0DS. 换句话说，应用近似k2−α−（k+α−1）（k+ 1）1−α∫≈任意（分数）阶微分方程初值问题的Picard，Adomian和171⎣K+1+收敛。Q4.2. 误差分析=xk+1=x0. tk+1t1−α1k+1（2−α）1美元。K. 布吕普⎤定理3. 级数的最大绝对截断误差解（9）的积分方程。（3）预计-α（1−α）Kj=0 aj， k+1xtj+ak+1，k+ 1xk+1+。arj，k+1f（tj，x. tj）+ark+1，k+1f（tk+1，xp）的方式j=0172A.S. Mohamed，.K3+t42K1=t−乌斯季-1=−7=∫n−1bj， k+1gtj，21（k-j+1）-α-（k-j）-α+D2x（ t）=1+ Nt2 −t2+x2，x（0）= 0（10）0（）=+3π.不2−3不考虑以下FDE剩下的问题是需要计算值xp的预测公式的确定。K+1其中Ai是非线性项x2的Adomian多项式，并且解将是用于推广一步Adam-Bashforth方法的思想（3）用乘积矩形规则代替，即，Qx（ t）=xi（ t）i=0时将PECE应用于Eq.（10）我们有K+1不0..Σj=0x0=0，f（ t， x）= 1+ππt2−t2+x2哪里h1−α1−α11Σ表1示出了Picard（当n=3时）、ADM溶液（当q=3时）和PECE的绝对误差之间的比较。对于α=0，我们有br j，k+1=h。DXDT+ D2x（ t）=2t−t4+2-是的7Σ3 +x，x（0）= 0（11）因此，预测器xpAdams–Bashforth是由分数它有精确解x（ t）t2。将Picard方法应用于Eq. （11）我们得到好吧1−αK273t5mmt（t−s）−2p k+1K1美元。. Σ⎦xn（ t）=t2+ - 是的10Σ5−0-是的1x（ s） dsxk+1= x0（ tk+1）1+α（2−α）-α（1−α）j=0bj， k+1x tj3 3第二..Σxn 1（s）ds，n1，2，. . .0+j=0brj， k+1f（ tj， xtj）x0（t）=.t2+2- 是的10Σt5t 3 −56. 数值算例在这一节中，我们将研究应用Picard，ADM和预估-校正方法的一些数值例子解决办法就是x（ t）=xn（t）。将ADM应用于Eq. （11）我们得到例1. 考虑以下FDE.2 2733t5mmDx121x0（t）=t+m。 10Σ − 5它有精确解x（ t）t。将Picard方法应用于Eq. （10）我们得到.43t3t（t− s）−1202xn（ t）=t+3 <$π t2− 3−。1ΣГxn−1（s） ds不+x2（s）ds， n= 1，2，. . .x t.不4t3t3解决办法就是x（ t）=xn（t）。将ADM应用于Eq. （10）我们得到.43吨3吨x0（t）=t+3<$πt2−3表1绝对错误。不|xExact− xADM ||x精确||xExact −xPECE|0.1 0.000145565 0.000154652 0.005947080.000866898 0.00107201 0.005750162019 - 05 - 29 00：00：00Σ333Σ（tk+1− u）−α g（ u）dubj，k+1=解决方案实施例2.DTπ+00.40.001604740.005446990.005459290.50.001146240.007690840.005483650.60.007244760.00876120.005611320.70.01594630.007941910.005843490.80.02463020.005034030.00618820.90.02907860.0005364990.006660451.00.02443110.004343150.007283111.10.006668010.007888710.008088661.20.02568680.008321750.009121961.30.0700650.004540060.01044441.40.1190070.002789590.01213961.50.1603550.00973160.01432251.60.1786950.007207610.1715091.70.1580330.021010.0208441.80.0853460.09987390.02570821.90.04558440.2633160.03217512.00.2309320.5521590.0408581任意（分数）阶微分方程初值问题的Picard，Adomian和1732t（t-s）−1020xi（t）= −-是的1Σxi−1（s）ds+A i−1（s）ds， i≥ 1。174A.S. Mohamed，−t（t−s）. 2007年，7t42Г=-.Σ0确认感谢裁判的努力。引用23x tx03的ds阿罗克特A0的dsi1.[1] K. Abbaoui，Y. Cherruault，Adomian方法应用于微分方程的收敛性，Comput. Math.Appl.28（1994）103-109。[2] G.阿多米安河拉赫河Mayer，Modified decomposition，J. Math.Comput. 23（1992）17-23。[3] G.陈文，解物理学前沿问题的分解方法，清华大学出版社，1995.[4] A.M.A. El-Sayed，H.H.G. Hashem，E.A.A.二次积分方程的Ziada，Picard和Adomian方法，计算机。29（3）（2010）2576-2580。[5] A.M.A. El-Sayed，H.H.G. Hashem，E.A.A.二次积分方程的Ziada ， Picard 和 Adomian 分 解 方 法 ， Comput. 应 用 数 学 33（2014）95-109，doi：10.1007/ s40314-013-0045-3。[6] N. Bellomo，D. Sarafyan，关于Adomians分解方法和与Picards迭代格式的一些比较，J. Math. Anal. 123（1987）389-400。[7] R. Rach，论Adomian（分解）方法及其与Picards方法的比较，J. Math. Anal. 128（2）（1987）480-483。[8] K. Diethelm，一种用于微分方程数值解的算法，分数阶微分方程，电交易数字。Anal. 5i（）= − <$1i−1（） +i−1（），≥其中Ai是非线性项x2的Adomian多项式，并且解将是将PECE应用于Eq.（11）我们有2x=0f（t，x）=2t-t4+3+x。（1997）1-6.[9] K. 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