勒让德基数函数解积分微分方程方法比较与应用的数值分析

联系我们X轴-X轴U轴r;h轴A轴B轴P轴C轴h轴;Journal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，511埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章勒让德伪谱的基数函数积分微分方程M.M. Khadera，b，*，N.H. Sweilamc，W.Y.哥打da伊玛目穆罕默德·伊本·沙特伊斯兰大学理学院数学和统计系，Riyadh 11566，沙特阿拉伯b埃及本哈本哈大学理学院数学系c埃及吉萨开罗大学理学院数学系。d埃及Damietta Damietta大学理学院数学系接收日期：2012年10月13日;修订日期：2013年5月29日;接受日期：2013年2014年1月2日在线提供摘要本文提出了一种求解积分微分方程的新的数值方法。所提出的方法使用勒让德基数函数来表示近似解作为一个有限级数。在我们的方法中，操作矩阵的衍生物是用来减少IDE的代数方程组。证明的有效性和适用性所提出的方法，我们提出了一些数值例子。我们比较了所提出的方法与其他一些方法的数值结果。结果表明，该算法具有精度高、简单有效的特点。2000年数学潜规则分类： 65G99; 65K10; 35E99; 68U20？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍积分微分方程是一个包含未知函数的积分和导数的方程。现实生活问题的数学建模通常会导致在函数方程中，比如常微分或偏微分*通讯作者：埃及本哈本哈大学理学院数学系。电子邮件地址：mohamedmbd@yahoo.com（M.M. Khader），n_yahoo.com（N.H. Sweilam），wafaa_kota@yahoo.com（W.Y.Kota）。同行评审由埃及数学学会负责方程，积分和积分微分方程和随机方程。物理现象的许多数学公式都包含积分微分方程，这些方程出现在许多领域，如流体动力学，生物模型和化学动力学[1]。勒让德多项式出现在位势的拉普拉斯方程的解中，2Ux0 ，在空间的无电荷区域中，利用分离变量法，其中边界条件具有轴对称性，对于电势的解将是1l l1l l ll¼0A1和B1是根据每个问题的边界条件来确定的。它们也出现在解决1110- 256 X？ 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.10.004制作和主办：Elsevier关键词勒让德基数函数;积分微分方程;运算矩阵法512M.M. Khader等人不不2N¼ðþÞþð Þ半]ðþ Þ× ðþÞK¼NN不12N12N1N12N1x···C0其中Cnx··· Cn xN= 1;xXZΣΣð [美国]þ þþk¼1有心力的三维薛定谔方程。近年来，人们对IDE的它是微分方程和Fredholm-Volterra方程的组合哪里F½fx;fx;。 . . ;fx[2019 - 03 - 21]; 及积分方程这是现代数学的一个重要分支，经常出现在许多应用领域，包括工程，力学，物理，化学，天文学，生物学，经济学，势能理论，静电学等[2上述IDE通常难以解析求解，因此需要近似和数值方法[7近年来，IDE的概念引起了大量的研究工作.采用了几种数值方法，如逐次逼近法[14]、同伦摄动法[15，16]、Chebyshev和Taylor配位法[17，18]、Haar函数法[19]、变分迭代法[20[25此外，还提出了用蒙特卡罗方法求解IDES由Farnoosh和Ebrahimi[31]和基于直接方法Ux½Cx;Cx;. . . ;Cx注意，我们可以在任何区间上使用形式（4）a;b如果我们使用的变化的可变不b-a凌晨1 有关这些函数及其属性的更多详细信息，请参见[27，34]。方程中向量UNx的一阶导数（5）可以表示成矩阵形式U0xD1UNx;6其中D1是N1N1勒让德基数函数导数的运算矩阵。矩阵D可以通过以下过程获得。设U0x1/2C0x;C0x;. . ; C0。 使用等式（4）、0傅立叶和块脉冲功能的Asady等人。[32]第32段。本文通过矩阵关系，勒让德基数函数及其导数，上述上述方法是修改和发展，以解决任何函数Cjx可以近似为XN1m阶变系数比较等式（6）和（7）我们得到2C01x1·· ·C01xN13...Mpxykk¼0XðxÞ¼fðxÞ þcyðxÞ þ½gðtÞyðtÞ4.第一次世界大战. .了c0.75：00 -8：00阿克斯ÞhN11N1N1在混合边界条件Xm-1ikikik我通过同样的过程，我们可以写出vec的n阶导数以下列矩阵形式表示2Cnx··· Cnx3ðnÞðnÞðnÞ...þa y ;m-1;200μ m11161N17k¼0UN 2019年12月28日UNx其中D四分之六. ..75：00 -9：00本文件的结构如下。未来第一节，介绍了勒让德基数函数的定义。在第三节中，介绍了数值解的步骤，第四节给出了两个数值例子，第五节给出了结论和讨论2. 勒让德基数函数3. 数值解在本节中，我们将构造对应于Eq. （一）.我们使用方程式（4）将函数yx近似为yxYTUNx;10在这一节中，为了构造正交勒让德多项式集合fPi<$x<$g1i0的所谓勒让德基数函数，我们将使用PN<$1 <$x<$i在PN<$1<$x<$i的第j个根附近的泰勒展开，它给出其中Y是N1 未知向量为Yy1; y2;.. . ;yN1应该可以找到。（9）和（10）我们可以写y0xYTU0xYTD1UNx;11y00xYTD1U0xYTD2UNx;12PN1x'从这个关系式中，由于右手边的第一项为零，那么我们可以在[-1，1]中定义次数N的基数函数如下[33]：J和ynx YTDnUNx：13使用公式（10）（1）我们得到XmZx不K-1CxPN1x;3k¼0 pxYTDkUNxfxcYTUNx½gtYUNtPx x-xh哪里的 下标X表示 x-微分 而xjðj¼1；2；.. . ;N是P N的零点。现在，任何函数fxon [-1，1]都可以近似如下配置Eq.（14）在某些点sjj<$1; 2;.. . ; N-m在区间1/2 - 1;1]给出XmKXN1k¼0p sjZSJ-TTfx第1页 fxjCjxFUNx;41/2 ggtYUNthtHYUNt]dt<$0：115不N1C0jxC0j xk Ckx; 7-1;b;c和k是合适的常数;-16C61。Þikikik我N1N1N1JJN不-1求解IDEs的勒让德谱方法的基数函数513TTð Þ ¼ð Þ¼XKXþ¼þð ÞZZI43þNNy~nsds ddynksdyn-kdynk00SX¼Zð Þ ¼þþnns¼xn32我们近似方程中的积分项。（15）使用Newton-CotesMYTD4U6sj- f x- YTU6sj-r¼0wrXuzhoutr0;j 1; 2; 3;24SJ½gtYUNthtHYUNt]dt-1Mr¼0wrXuzhour;16其中，Xt YTU6t，混合边界条件的矩阵方程为与XuzhouXinjiangYTU6-11-e-1;YTU611e;25YTD 2U6-1e-1;YTD 2U613e：26其中w r和t r;r 0; 1;. M分别为Newton-Cotes积分法的权值和节点数。替换Eq.（16）在Eq.（15）我们有以下等式等式（24）通过求解，我们得到y11： 0209;y2 1： 4532;y3 1： 6350;y4 1： 5631;Mk¼0p sjMr¼0wrXtr=0;y5¼0： 6581; y6 1/4： 6236;年7七四九六：ð27Þj1; 2;.. . ;N-m≥1：1800我们可以得到条件（2）的相应矩阵形式，M-1aik ; m-1：119毫米k¼0等式（18）与Eqs。（19）给出一个N1线性或非线性代数方程组，可解为yk; k1; 2;. . ;N1，因此可以使用合适的数值方法来找到未知函数y x因此，可以使用（22）获得该示例的近似解，yx1： 021C1x 3： 453C2x 0： 635C3x 2： 563C4x 0： 658C5x1： 624C6x 0： 750C7 x：28现在，我们将使用所提出的方法的近似解与众所周知的近似变分迭代法（VIM）进行比较，如下所示。VIM给出了写出方程的解的可能性。（21）借助于修正泛函xZyn1xynxksyivs -fs-ynsy~nsdsds;nP0;ð29Þ4. 数值算例在这一部分中，为了达到有效性、准确性和可持续性，10n1其中k是一般拉格朗日乘数。使上述校正函数固定在本文中，我们对所提出的建议进行了理论探讨方法，给出了一些数值例子的计算结果。2019年10月1日xIV0nZs例1. 考虑Eq. （1）具有以下功能，þ-1Σ000000Zxhipx0;i 0; 1; 2; 3;px 1;fxx 3ex;c 1;gx-1;hx0;h yy2x;其中，dy~n被认为是受限制的变化，即，dy~n0，得到以下平稳条件（通过比较上述方程中的两侧）根据边界条件kðivÞðsÞ¼0;kðsÞjs¼x k0s¼x k00s¼x 1/4;y=11-e-1;y00 - 11e-1;y= 111e;y001 3e;y 20也就是说，当量（1）采取形式Xyivxfxyx-ytdt;-1x 1：21<<-11-k000秒，秒数1/2/3/1（31）中的方程分别称为1我们将建议的方法应用于N¼6，并且近似-你是谁？s-x将解y=x =y，如下所示X7我现在，通过将（32）代入（29），可以获得以下变分迭代公式[20]：y6x1/1 y CixYTU6x：22yxyðxÞþ Zx1ðs-xÞ3Σ-fðsÞ-ðyðsÞ-yðsÞÞ使用等式（15）我们有ZsYTDU6sj-fx-YT U6sj-ð4Þn= 2n1Zsþ-103！Σn1n-1j1; 2; 3：123我们近似方程中的积分项。使用Newton-Cotes积分规则作为公式（16），我们从初始近似开始d，对于后面要确定的常数a，b，c，d，利用上述迭代公式（33），我们可以直接得到解的分量。 前两个XZXX系数þkðivÞðsÞdyds¼0;30000JynYTU6tdt0;514M.M. Khader等人0ð Þ45ð ÞX我¼ð ¼ ÞX6ð Þ ¼ ðð ÞÞYDU6的j-e-e 2016年6月27日，美国纽约I4方程的解y x的近似。（21）使用（33）yx3x2xd;yx1=66- 3x2- 2x3ex-6 6x1 08 7 6-0： 0009axx 0： 0072a- 0： 0024bx0： 01667b-0： 00833cx 0： 18400： 0625a- 0：08333b0：1250cx0： 050： 05c- 0： 05d：现在，为了找到常数a、b、c和d，我们对n项近似y3x施加边界条件（20），我们得到y6x71/1y Ci x YTU6x：36a¼0： 5001107;b¼ 0： 995759;c¼ 0： 999917;d¼ 1：0031507：这个问题的精确解是yx1xex。的数值解的行为，使用建议的使用等式（15）我们有不1000- 1ZSJ-tT2-1基数函数法，N¼6，与使用VIM的近似解，yVIM，具有三个分量n3，如图1所示。此外，在表1中，为了显示级数（22）的项数N的影响，我们引入了在x的某些值处具有不同N3; 5;7值的近似解的绝对误差。从该图中可以清楚地看出，所提出的方法可以被认为是有效的方法。实施例2.考虑Eq. （1）具有下列函数和系数p=0; 1; 2;30;p= 1;fxe-1;c=0;g= 0;h=0; h=0;h=2;我们近似方程中的积分项。使用牛顿-柯特斯积分规则作为公式（16），MYTD4 U6sj-e-1-wrXuzhoutr0;j 1; 2; 3;38r¼0对于Xt e-tYTUt2，混合边界条件的矩阵方程为YTU6-1 e-1;YTU61 e;39YTD 2U6-1e-1YTD 2U61e：40等式（38）-通过求解，我们得到根据边界条件y=0-1e-1;y=0-1e-1;y=1e;y =0- 01e;y =3-4也就是说， 当量（1）采取形式y11： 0044;y21：5837;y31：3875;y41：1007;y5¼0： 4785; y6¼ 1： 5039; y7¼ 0： 6703：ð41Þyivx e-1Xe-ty2tdt;-1x1：35<<-1因此，该示例的近似解可以使用（36）获得，我们将建议的方法应用于N1/46，并按如下方式近似解y=x=yyx 1：004C1x 2： 584C2x 0： 388C3x时间2： 102C4x 0： 479C5x 1： 504C6x 0： 670C7x：42现在，我们将使用所提出的方法的近似解与众所周知的VIM进行比较，如下所示。VIM给出了写出方程的解的可能性。（35）借助于修正泛函2012年2月联系我们n1XðxÞþ0Kösskörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörkörk表1数值解的绝对误差不同的N值3; 5; 7.x错误编号<$3错误编号<$5错误编号<$7-1.0-0.60.20.6-0.20.25781e-030.75850e-030.26897e-030.97542e-030.74215e-050.36987e-050.21587e-050.12354e-050.36341e-070.45447e-070.25874e-070.21578e-071 0.25988e-03 0.36981e-050.32548e-070.67894e-030.21589e-050.25478e-07ZZ求解IDEs的勒让德谱方法的基数函数515nn三个！ðnðx Þ ¼yn ðxÞþn-1-x-1-e-1-东-西二n1 伊希斯Σn10三个！-1Se-sy ~2sdsds;nP0;ð43Þ-1通过前面例子中的相同过程，拉格朗日乘子为千分之四1千分之一秒-x3：444千分之一秒现在，通过将（44）代入（43），可以获得以下变分迭代公式[20]：Zx13Zs图1近似解和精确解在N 1/46时的行为以及与使用VIM的解的比较。-y2sdsds;nP0：45Zy516M.M. Khader等人0ð Þ0ð Þ ¼þ þþ¼2 124213112422910108 113ð Þ1091010211 49我们从初始近似y开始x轴3bx2CXd，对于后面将确定的常数a，b，c，d，利用上述迭代公式（45），我们可以直接得到解的近似值。现 在 ， 第 一 个 两 个 近 似 的 解 决 方 案 y x 的 方 程 。（35）使用（45）yx3x2xd;yx1=6 0：091x40： 081a2x40： 0001a2x11-0：00006 a x 0：00002 a x -0： 186abx0： 0004abx- 0：0003abx0： 00005bx-0： 0004acx 0： 0002acx 0： 0018bcx-0： 0008bcx 0：0002bcx0： 17083c x（n3）的值如图2所示。从该图中可以清楚地看出，所提出的方法可以被认为是有效的方法。5. 结论与讨论本文提出了一种求解积分微分方程的高精度近似方法。在所提出的方法中，我们使用的基数函数与Legendre伪谱方法。将本文方法与其它方法的计算结果进行了比较，结果表明本文方法是十分有效和方便的。数值结果表明，精度随着级数（36）的项数N的增加而提高。表格和图表表明，随着N的增加，误差下降得更快;因此，为了获得更好的结果，建议使用N。同时，通过比较可以看出，近似解与精确解非常吻合。所有的计算都是由Matlab 7.1完成的。43 7 3 8-0： 2667bcx 0：0024c x9-0： 0009c x10 4-0： 00079adx9沪ICP备16000019号-110电话：+86-0517-88888884致谢-0： 0008adx200：0002adx9电话：+86-0517-88888884 8作者非常感谢编辑和裁判，时间0：0002c x7-0： 26667adx800：0018adx9仔细阅读文件，并为他们的意见和建议-这些改进了论文。时间0：0048bdx4-0： 0018bdx 0004bdx6 7-0： 4793cdx 粤ICP备16016667号-1引用8 4 252 60： 0009cdx47[1] I.M. Sokolov，J. Klafter，A. Blumen，分数动力学，物理。0： 0013dx现在，为了找到常数a、b、c和d，我们对n项近似y3x施加边界条件（34），我们得到a/0： 166461; b/ 0： 50217; c/ 1： 00021; d/ 0：998347：X这个问题的精确解是yx 1/4e.的数值解的行为，使用建议的基数函数 方法，与 N¼6，比较 与使用VIM，yVIM的近似解，具有三个分量图2近似解和精确解在N1/46时的行为以及与使用VIM的解的比较。Today 55（2002）48-54.[2] P.K.李文，线性积分方程的计算方法，北京大学出版社，1992。[3] M. Lakestani，M.张文，用切比雪夫基数函数法求解四阶积分微分方程，北京：计算机科学出版社。87（2010）1389-1394。[4] 新罕布什尔李文，四阶积分微分方程的变分迭代法，计算机。54（2007）1086-1091。[5] T. 唐，X.徐，J.程，Volterra型积分方程的谱方法及其收敛性分析，J。26（2008）825-837。[6] S. Youse fil ， M. 非 线 性 Volterra-Fredholm 积 分 方 程 的Legendre小波方法，Math. Comp. 你好70（2005）1-8。[7] E. Babolian，F.张文，张文，等.微分方程数值解的切比雪夫小波积分运算矩阵.应用数学与计算.北京：清华大学出版社。188（2007）417-426。[8] J.P. Boyd，Chebyshev和Fourier谱方法，第二版，多佛，2001年。[9] M.M. Khader，A.S.张文，用拟谱方法求解分数阶时滞微分方程的近似解和精确解，应用数学与工程学报，2001。74（3）（2012）287-297。[10] M.M. Khader，Talaat S. El Danaf，A.S.陈晓，一种求解高阶分数阶微分方程组的计算矩阵方法，应用数学模型。37（2013）4035-4050。[11] M.M.新罕布什尔州卡德尔Sweilam，A.M.S. Mahdy，具有两个不同时滞的分数阶Logistic微分方程的数值研究，J.Appl. Math. 2012（2012）14.文章ID764894。[12] M.M. 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