广义顺序统计量修正下的未来威布尔寿命预测

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，309埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate基于广义顺序统计量的未来和缺失不可观测修正威布尔寿命Amany E.Aly，沙特阿拉伯麦地那Taibah大学理学院数学系永久地址：埃及开罗艾因赫勒万赫勒万大学理学院数学系接收日期：2015年1月22日;修订日期：2015年4月10日;接受日期：2015年4月13日2015年6月8日在线发布当一个系统由同一类型的独立部件组成时，一旦其中一部分部件失效，就可以采取适当的措施。因此，能够从早期的故障时间预测后期的故障时间。常用的一种著名的失效分布是修正威布尔分布（MWD）。本文提出了两个关键量来构造预测区间的基础上广义顺序统计量（gos）的MWD的未来不可观测的寿命。此外，一个关键的数量是在实验开始时重建丢失的观察。此外，进行了Monte Carlo模拟研究，并进行了数值计算，以研究所提出的结果的有效性最后，两个说明性的例子，真实的数据集进行了分析。AMS 2010学科分类：62 E15; 62 F10; 62 G30; 62 M20; 65 C05; 65 C10版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍根据过去和过去的经验预测未来事件（或重建已经发生但不可观察的过去事件）*永久地址：埃及开罗艾因赫勒万赫勒万大学理学院数学系。同行评审由埃及数学学会负责现有的信息是统计中的主要问题之一。这个问题已经被许多 作 者 广 泛 研 究 ， 包 括 Lingappaiah[1] ， Aitchison 和Dunsmore[2] ， Lawless[3 ， 4] ， Kaminsky 和 Rhodin[5] ，Kaminsky和Nelson[6]，Patel[7]，Raqab et al.[8]，Barakat et al.[9]，El-Adll[10]，El-Adll et al.[11]，Barakat et al.[12]和Hussaini etal.[13]第10段。有序随机变量在这类预测问题中无疑起着重要的作用自从坎普斯[14]已经引入了GOS的概念，作为升序随机变量的几个模型的统一，这种概念的使用这是S1110-256X（15）00030-9 Copyright 2015，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.04.002制作和主办：Elsevier关键词修正威布尔分布;广义顺序统计量;总量;预测区间;概率覆盖;蒙特卡罗模拟310A.E. Aly.+≥;˜···˜˜···˜-是的-是的.⎝⎠∈N，≥>，=≤ ≤··· ≤ ≤−≥M= ≤ ≤ = − =−˜˜=111R.˜˜j= r-1}和γ=n−r+1+R、 如果rj=r（R1nr1 .M R， 如果rM1. .ij1在本节中，提出了三个关键量，其中两个是这是因为这样的概念包括在统计学文献中已经单独处理的有序随机变量的重要的公知[14]Kamp首先通过定义统一的Gos来定义Gos，然后使用分位数transfor。MWD的pdf由下式给出：α（β λx） xβ−1eλx e−αxβeλx， x0f（ x;α，λ，β）=0，x< 0，（一、一），X（n，n， m， k）， X（ n， n， m， k），累积分布函数（cdf）F.共同的可能性-其中α、β、λ是正实数。分布函数（cdf）为X（1，n， m， k）的密度函数（jpdf），X（n，n，m，k）是给出F（ x;α，λ，β）=.0、<0;（1.2）fX（1，n，m，k），.. . ，X（n，n，m∈，k）（x1，. . . ，xn）1−e−αxβeλx，x≥ 0。n−1=kj=1n−1γji=1（1−F（ xi））mif（ xi）（1−f（ xn））k−1f（ xn），本文的其余部分组织如下。第二节给出了预测关键量及其精确分布第3节，包括模拟研究。一些应用-对的锥F−1（0）x1x nF−1（1）of Rn.模型参数为nn2，k0m（m1，. . . ，mn−1）∈Rn−1，Mr=.n-1m j， 拉克什 塔塔γr=k+实际数据的选择见第4节。2. 数量及其分布参数γ1、···、γn的选择导致不同的模型，例如，在一个实施例中，m-gos（γn=k，γr=k+（n-r）（m+1），r= 1，···，n- 1），oos（γn= 1，γr= n-r +1，r = 1，. . . ，n-1，即， k= 1，m i= 0，i = 1，···，n − 1），sos（γn= αn，γr=（n-r+1）αr，αr> 0，r = 1，. . . ，n-1），具有删失方案的pos （R1，. . . ，R M）γn=M+，γr=−++j≤ −γrM）和上记录它们用于构造基于GOS的MWD未来观测的预测区间，而第三个用于重建缺失观测。导出了每个pivotal量的cdf，然后得到了预测置信区间的极限。此外，每个预测置信度的预期上限的间隔是派生的。（γr一，一Rn，也就是说，K1，m i1，i1，. . .，n①的人。因此，在GOS模型中得到的所有结果都可以应用于选择相应参数的特定模型。关于gos的理论和应用的更多细节，请参见Kamps[14] ，Ahsanullah[15] ，Kamps和Cramer[16] ，Cramer[17]，Barakat等人[9]，El-Adll[18]，Barakat[19]，Atya[20]和Ahmad等人。[21]第20段。2.1. 未来观测值设X（1，n，m，k），. . . ，X（n，n，m，k）是基于MWD的gos，其中cdf由（1.2）给出。定义以下两个关键量P： P（r，s，n，m，k）Y（s，n，m，k）−Y（r，n，m，k），（2.1）Y（r，n，m，k）Weibull 分布 是 原本 介绍 由P：=P RSNMk=Y（s，n，m，k）−Y（r，n，m，k）（二、二）Swedish Waloddi Weibull分布（参见Weibull[22]），目前可以认为是寿命试验和可靠性工程中最重要的分布之一。此外，对于超过2哪里2（，）、Tr， n60年来，威布尔分布在广泛的应用中受到越来越多的研究者的关注由于威布尔分布的概率密度函数形状多样，而且它能方便地表示分布/生存函数，因此它已被有效地用于分析寿命数据，特别是当数据被截尾时，这在大多数寿命试验中是很常见的。此外，威布尔分布及其扩展被认为是现代统计学中最重要的模型，因为它能够拟合来自各个领域的数据，从生命数据到天气数据或经济学和工商管理，水文学，生物学和工程科学中的观察结果。此外，它已被用于许多不同的领域，如材料科学，可靠性工程，物理学，医学，药学经济学、质量控制、生物学和其他领域Y（i，n，m，k ）=α （X（i，n，m，k ））βe λX （ i ， n ， m， k ） ，i=1，2，. . . ，n，（2.3）Tr，n=γi（Y（i，n，m，k）−Y（i−1，n，m，k）），其中i=1Y（0，n，m，k）=0.（2.4）本小节的主要目的是导出P1和P2的精确分布，并证明它们的分布不受原始分布参数α、β和λ的影响。结果用下列两个定理表示。定理2.1. 设X（1，n，m，k），. . . ，X（r，n，m，k）是基于MWD的第一个观测到的gos，pdf（1.1）。然后，P 1的精确cd，FP1（p1），由下式给出：s ra（r）（ s） a（ r）F P（p1）= 1 − C s−1（γj+γip1）−，p1≥0，(for威布尔分布的更多细节和应用见Rinne[23]）。自1958年以来，威布尔分布已被修改，许多研究人员允许非单调风险函数，1其中，Sγii=r+1j=1n− r+ M>0对于所有r∈{1=k。特别R，。.. ，nn我、、、=R（二、五）选项。Lai等人[24]提出了一个三参数分布，C s1=.γ j，ai（r）=.1，1≤i≤r≤n，通过乘以Weibull累积风险函数αxβ和eλx（后来通用），−j=1j=1j/=iγj， n−γi， nSCarrasco等人[25]将其转化为指数形式。修改后的Weibull最近的作品包括Sarhan和Zaindina（r）（s）=j=r。+1j/=i1γj n−γi n，r+1≤i≤s≤n。[26]，Sarhan和Apaloo，Atya[27，20]和Almalki，Nadarajah[28].因此，观察到的100（ 1−δ）%预测置信区间（PCI）对于X（s，n， m， k）， s> r是（4，u1），其中4xr，并且u1可以是com。根据关系式用数字表示312A.E. Aly.- 是的- 是的.βλE[U]=+R.（x）我SR.XRR我xxS0R1RSR2Rf P（p）= C s−1。.a（r）（s）aj（r）[γj，n+γi，np1] −2，p1> 0.RSR俄.西SR基于广义顺序统计量的未来和缺失不可观测修正威布尔寿命的预测和重建311uβeλu1=.1+p1，δεxβeλxr.（2.6）（E[Xs]）βeλE[Xs]≤E <$XβeλXs<$≤E<$（1+p1，δ）XβeλXr<$R此外，X（s，n，m，k）的100（ 1-δ）%PCI的上限的期望值可以通过求解非线性方程来应用R=E[（1+p1，δ）Yr]= 1+p1，δγi−1，i=1这就完成了定理的证明Q1（E[U1]）e11p1，δαγi−1，（2.7）i=1引理2.1.随机变量Tr， n定义为： （2.4）其中rexr是X（r， n，m，k）和p的一个观测值，1，δ，使非线性。n（r，1）具有形状参数r和尺度参数1的n Gamma（r，1）分布。此外，随机变量Tr，n和子区间耳方程F P1（p1，δ）= 1 − δ。Wr， s=Y（s，n，m，k）−Y（r，n，m，k）re独立。Proof. 在[16]中导出了X（r，n，m∈，k）和X（s，n，m∈，k）的连接tpd，fr，s（xr，xs）.也就是说，Proof. I不能被证明是可变的Y（i，n，m，k），i=一，二，. .，n是基于标准指数分布的GOSfr，s（xr，xs）=Cs−1，n..a（r）（s）a j（r）γi，nSF（ xr）Exp（1）通过获得它们的联合pdf。这个证明类似于[11]中引理2.1的证明，并作了适当的修改。因此，我们认为，i=r+1j= 1γj， nf（ xr） f（ xs）由[14]的定理3.5.5，Tr，n≠（r，1）.此外，Wr， s可以是写为×。F（xr）F（x）F（x），0，yr> 0，关键量P2的形式是s（r）哪里FP（ p2）=1−Cs−1 .ai（s）（1 + γip2）−r，p2≥ 0.（2.10）. 布雷尔S.xrx1−β2Cr−1γii=r+1|= .|=. 1. =α（β+λxr）（β+λxs）eλxs。通过记atfP1（p1）=<$0∞fP1，yr（p1，yr）dyr，我们得到11我i=r+1j= 1对于X（s，n，m，k），s>r，n=100（1−δ）%PCI的Re，n = 10 0（1 − δ）% PCI的Re为：（4，u2），其中4=xr，并且u2可以从关系αuβeλu2=tr，np2，δ+αxβeλxr.此外，X（s，n，m，k）的PCI上限的期望值可以近似地应用于非线性方程因此 （二、五） 如下 直接 通过 评价 整合1fP（u）du。Xs的100（ 1−δ）% PCI的极限可以在-α（E[U2]）βe λE [U2]=rp2，δ+.γi−1，（2.11）设FP1（p1，δ）= Pr（P 1 ≤ p 1，δ）=1−δ，则fP 1（p 1，δ）=Pr（P 1 ≤ p 1，δ）.我能重写为P r（Xβe λXr≤Xβe λXs≤（1+p1，δ）Xβe λXr）=1−δ。（2.9）i=1其中tr，n是Tr，n的观测值，p2，δ满足非线性方程FP2（p2，δ）=1−δ。显然，未来观测值xs的下限是先前观测值xr。另一方面，由公式2.9定义的PCI的实际下限是avalue4satidee等式xβe λxr=4βeλ4。由于方程f（x）=x βe λx是单调递增的（对所有x> 0），则f（xr）= f（4）有唯一解，即4 = xr。这表明由公式2.9定义的PCI的实SSR1际下限是x r。通过求解非线性方程，可以得到近似上限 u1（2.6）。上限的期望值可以通过下面的不等式序列使用（2.9）在得到Wr， s的分布之后，定理2.2的证明变得与定理2.1的证明类似，但作了适当的修改，因此我们省略了它。2.2. 重建缺失观测值在本小节中，引入了一个关键量来重建缺失的观测值。建议的关键量定义为312A.E. Aly=0 =33S˜−--1−i=r+1j= 1我γj[γj+（γi−γj）p3]P：P（r，s，n，m，k）Y（s，n，m，k）−Y（r，n，m，k），（2.12）Y（s，n，m，k）其中Y（i，n，m，k），i=1，2，. . . ，n由公式2.3定义。定 理 2.3. 基 于 MWD ， 假 设 第 一 个 gos， X （ 1 ， n ， m，k），. . . ，X（s-1，n，m∈，k）是缺失的，并且X（s，n，m∈，k），. . . ，X（n，n，m，k）是一个明显的正则表达式. n的cdf此外，X（r，n，m，k）的100（1 −δ）%观测重构置信度（RCI），

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