不确定LPV系统鲁棒增益调度控制器设计：仿射二次稳定方法

制作和主办：ElsevierElsevier可在www.sciencedirect.com上在线ScienceDirect电气系统与信息技术学报1（2014）45不确定LPV系统鲁棒增益调度控制器设计：仿射二次稳定方法阿德里安·伊尔卡（Adrian Ilka），V ojtechV esely'斯洛伐克布拉迪斯拉发理工大学电气工程和信息技术学院机器人和控制论研究所，Ilkovicova 3，812 43 Bratislava 1，斯洛伐克2014年4月3日在线发布摘要本文研究不确定LPV系统的鲁棒增益调度控制器设计问题，该控制器保证闭环系统的稳定性和对所有预定参数变化的保性能新的程序是基于LPV范式，李雅普诺夫理论的稳定性和保证成本的LQ理论。以BMI或LMI的形式给出了可行的设计方法这类控制结构包括集中式或分散式固定阶输出反馈，如PI控制器。数值例子说明了所提出的方法的有效性。© 2014制作和主办由Elsevier B.V.电子研究所（ERI）关键词：增益调度;连续时间;输出反馈;二次稳定; MIMO LPV系统1. 介绍线性系统的鲁棒控制理论已经很成熟，但几乎所有的实际过程都或多或少是非线性的。如果工作区域很小，我们可以使用鲁棒控制方法来设计一个线性鲁棒控制器，其中的非线性被视为模型的不确定性。然而，对于非线性较大的实际过程，上述控制器综合不适用。因此，非线性系统的控制器设计是当今具有决定性意义的重要研究领域增益调度是非线性系统最常用的控制器设计方法之一，在工业控制、过程控制和航空航天等领域有着针对实参数不确定性，提出了一种基于线性变参数（LPV）的增益调度控制器设计方法。考虑一个线性参数变化系统，其状态空间矩阵是已知向量参数变化α（t）的固定函数。该模型可以是线性化后的线性时不变对象模型*通讯作者。电子邮件地址：adrian. stuba.sk（A. Ilka）。电子研究所（ERI）负责同行评审http://dx.doi.org/10.1016/j.jesit.2014.03.0042314-7172/© 2014由Elsevier B. V.制作和托管电子研究所（ERI）46A. 伊尔卡河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）45∈（）∈（）∈∈∈ΣΣi=1i=1沿已知参数α（t）α，α.在本说明中，将使用哪里xstec（t）=A（α（t））x（t）+B（α（t））u（t）y（t）=Cx（t）（一）p pA（α（t））=A0+<$Aiαi（t），B（α（t））=B0+<$Biαi（t）和xR n是状态，u R m是控制输入，y = R l是测量输出矢量，A0，B0，A i，B i，i = 1，2。. . p，C是适当维数的常数矩阵，α（t）α，α▲是时变对象参数的考虑一个实际的LPV系统矩阵具有不确定性的形式哪里A（α（t），β（t））=A（α（t））+A（β（t））B<$（α（t），β（t））=B（α（t））+<$B（β（t））努努（二）<$A（β（t））=<$Aujβj，<$B（β（t））=<$Bujβjj=1βj∈（βj，βj）j=1其中，Nu是不确定性的数量，Auj，Buj是具有适当维数的常数矩阵代以（2）到（1）我们得到了以下不确定LPV系统哪里xstec（t）=A（θ（t））x（t）+B（θ（t））u（t）y（t）=Cx（t）（三）A（θ（t））=A0+B（θ（t））=B0+θi∈（θi，θi）让我们表示p+NuAi θi（t）i=1p+NuBi θi（t）i=1..一个100A101==.A0，A1，B0B组1==.B0，B1，一个=一个p，布雷普=Bp，A组+1=.一个u1，B组p+1=.Bu1，A. 伊尔卡河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）4547..48A. 伊尔卡河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）45∈Σ..我们工作的主要动机在于Sato（2011），Köro g lu（2010），Wang和Balakrishnan（2002），Leith和Leithead（2000），Rugh和Shamma（2000）以及V y和Ilka（2013）。 在论文Sato（2011）中，作者通过参数依赖的Lyapunov函数解决了LPV系统的增益调度控制器的设计问题。最近，Köro g lu（2010）提出了一种设计方法，使用类似于Sato（2011）的技术来解决gai n调度问题。Wang和Balakrishnan（2002）提出了参数依赖系统的改进稳定性分析和增益调度控制器综合。调度控制器分析和综合的综述在Leith和Leithead（2000）以及Rugh和Shamma（2000）的论文中给出。 在论文中，V y和Ilka（2013）提出了一种非增益调度控制器设计方法，该方法确保了所有预定参数变化的闭环稳定性和保证成本。在本说明中，我们的方法基于考虑不确定LPV系统（3），调度参数θ i，i = 1，2，. . . ，p+Nu及其对时间的导数位于先验给定的超矩形θ▲中。Gahinet等人提出的二次稳定性（QS）。（1996），因为二次稳定允许任意快速的参数变化。• 我们使用保证成本的概念来保证闭环系统的性能（Vy和Ilka，2013）。• 这类控制结构包括集中式或分散式固定阶输出反馈，如PI控制器。本文的结构如下。第二节提出了问题的概念和问题的表述。主要结果见第3节。 在第四节中，数值例子说明了所提出的方法的有效性。2. 材料和问题表述考虑形式（3）的不确定LPV系统。 输出反馈控制律被认为是PI控制器的形式u（t）=F（θ（t））y=F（θ（t））Cx（4）哪里pF（θ（t））=F0+Fiθii=1是PI控制器的静态输出反馈增益调度矩阵。注意，控制器矩阵的数量仅为p，其余的Nu等于零。将（4）代入（3），经过一些处理，我们可以得到以下形式xstec=Ac（θ（t））x（5）哪里Ac（θ（t））=A<$（θ（t））+B<$（θ（t））F（θ（t））C··θ1θ2==.α1α2θp=αpθp+1=β1.θp+ Nu=βNuA. 伊尔卡河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）45490θQ（θ（t）） =Q+Qθ，Q=Q≥00iii≤∈∈我我B（θ（t））= min. dV（θ（t））+J（θ（t））≤ 0（8）∈∈为了访问性能质量，通常使用从LQ理论已知的二次成本函数（Engwerda和Weeren，2008） 在本说明中，使用了原始的二次成本函数，其中加权矩阵取决于调度参数（Ilka和Vy'，2013）。 使用这种方法，我们可以在每个工作点分别对性能质量的影响。二次成本函数的形式为J（θ（t））=π∞（xT Q（θ（t））x+uT Ru）dt（6）哪里p不我i=1R> 0。保证成本以标准方式定义定义1. 考虑具有控制算法（4）的系统（3）。如果存在控制律u* 和正标量J* 使得闭环系统（5）是稳定的并且闭环成本函数（6）的值满足J J*，则J* 被称为系统（3）的保成本并且u* 被称为系统（3）的保成本控制律。定义2. 线性闭环系统（5）对于θ ▲是二次稳定的当且仅当存在对称正定矩阵P> 0，并且对于李雅普诺夫函数V（θ（t））= x T Px沿闭环系统（5）的轨迹的一阶导数成立（Apkarian等人，一九九五年）dV（x，θ）Tdt=Ac（θ）P+PAc（θ）0（7）<从LQ理论出发，我们介绍了一些著名的结果。引理1. 考虑闭环系统（5）。闭环系统（5）是二次稳定的，当且仅当下面的不等式成立埃乌达对于所有θ∈ ▲。3. 主要结果在这一节中，鲁棒增益调度控制器的设计过程，保证二次稳定性和保成本θ ▲。增益调度闭环稳定性分析的主要结果归结为LMI条件，增益调度控制器综合的主要结果归结为BMI条件，BMI条件可以线性化。本节的主要结果鲁棒增益调度设计过程依赖于多凸性的概念，即沿参数空间的每个方向θi的凸性标量二次函数的多凸性的含义在下一个引理中给出（Gahinet等人， 1996年）。引理2. 考 虑 一个θ ∈ Rp的纯量二次函数.ppppf（θ1，. . 、.、θp）=a0+aiθi+bijθiθj+ciθ2（九）i=1i=1j>ii=1并假设f（θ1，. . . ，θp）是多凸的，即f（θ）∂θ2=2ci≥0（10）对于i = 1，2，. . . ，p。 则f（θ）对所有θ ▲和θstec▲ t为负当且仅当它在角点取负值50A. 伊尔卡河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）45θ。A. 伊尔卡河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）4551我J00M11（θ（t））M21（θ（t））Ti=1i=1j=1使用引理2，得到定理1. 如 果 存在正定P > 0，则闭环系统（5）是二次稳定的保性能系统对所有θ（t）∈ ▲，矩阵Qi，R，i = 1，2，. . . p和增益调度控制器矩阵F（θ（t））满足M（θ（t））0;θ（t）∈▲（11） 0，则闭环系统（5）是二次稳定的保性能系统。. . p和增益调度控制器矩阵F（θ（t））满足（11）和（12），其中54A. 伊尔卡河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）45L11pppM（θ（t））=M0+<$Miθi（t）+<$Mijθi（t）θj（t）（23）Mddii=i=1不21L21L 22i=1j=1（二十四）ΣA. 伊尔卡河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）45550我∈（）我我我我我0000我0我0π20=2+πΣΣ20此外M0=宽110宽21 0吨210220W11iW 21iTMi=W21iW22i11ijW 21ijTMij=W21ijW22ijL11=PX+XP−XX+CT ZT BT Bi Fi C+CTFTBTBiZiC−CTZTBTBiZiC+CT ZT RFi C+CT FT RZi C −CT ZT RZi C我我我L21=P-BiFi C L22=IW110=AT P+PA0+Q0−XB0R−1BT P−PB<$0R−1B<$TX+XB<$0R−1B<$TXW11 i=AT P+PAi+Qi−XBi R−1BT P−XB<$0R−1B<$TP−PB<$iR−1B<$TX−PB<$0R−1B<$TX +XB<$0R−1B<$TX我我+XBiR−1BTXJ4. 示例第一个例子取自Stewart（2012）的论文。考虑一个简单的变系数非线性对象xstec（t）=a（α）x（t）+b（α）u（t）y（t）=x（t）其中，α（t）∈R是改变植物参数的外源信号，如下所示（二十五）a（α）= − 6 −2arctan。中文（简体）b（α） 15arctan. 中文（简体）设问题为设计增益调度PID控制器，该控制器将保证闭环稳定性和α10，100的保证成本。我们将证明，增益调度控制器，我们将获得闭环系统几乎相同的行为。为了能够证明这一特点，让我们将工作区域分为3个部分，以便在每个区域中，工厂参数的变化几乎是线性的（图1）。①的人。 在这些地区计算W11ij=−PBiR−1BTPW210W21i==F0 C+ R−1 B0 PFi C+ R−1 Bi PW21ij=0西220=−R−1W22i=0W22ij=056A. 伊尔卡河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）450000000000001× ××SFig. 1. 模拟结果我们将传递函数变换到时域以获得形式（3）的调度模型。将得到的模型推广到增益调度PI控制器的设计中。增加了不确定性的扩展模型如下所示A0=-6。58480 Ω，A1=Ω −0。1652年0月，1 0A2=− 0。1243 0米，A0 0=100。0500 0米，阿u2=− 0。0900 0米，B0=0.01。9619年，B1=100。4131，B2=100。3108年，Bu1=− 0。0600Bu2=100。八点整，C=0.100000，D=0.00000使用定理1，加权矩阵Qi=qiI，q1= 1 10−10，q2=q3= 1 10−11，R=rI，r= 1，ρ= 1 102，这是李雅普诺夫矩阵Pρ的上约束，我们得到增益调度控制器，其形式为：GrGS=Gr0+Gr1θ1+Gr2θ2（28）哪里Gr0二、9423 s+21。1575SGr1Gr2=-0。0606 s +0。43301 .一、1283秒+8。0673S（二十九）模拟结果（Fig. 2）确认定理1成立，但我们也可以看到，使用加权矩阵，我们在每个工作点都没有获得相同的闭环行为。为了演示可变加权的主要特征，让我们改变加权矩阵以获得所需的性能质量。另一个增益==u1A. 伊尔卡河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）4557调度控制器，58A. 伊尔卡河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）45SS图二. GS控制器的仿真结果（29）。使用定理1获得形式（28），其中加权矩阵Qi=qiI，q1= 1 ×10- 10，q2=q3= 1 ×10- 9，R=rI，r= 1，ρ= 1×102。得到的控制器矩阵如下Gr01 .一、2576秒+12。7373SGr1Gr2=-0。3472秒+2。4912=-0。3345秒+2。4003（三十）仿真结果表明，通过改变加权矩阵，我们可以分别影响每个工作点的性能质量，我们可以调整系统到期望的条件。 图 3黑线表示设定点w（t），彩色线表示不同α（t）值时的系统输出。图三. GS控制器的仿真结果（31）。=A. 伊尔卡河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）4559u× ××SS模拟结果，w（t），y（t）0.80.60.40.20 20 40 60 80 100 120t[s]1050−50 20 40 6080t[s]100120见图4。模拟结果w（t），y（t），α∈（10，100）线性变化。使用作为LMI设计过程的定理2，以形式（28）获得具有加权矩阵Qi=qiI，q1= 1 10- 10，q2=q3= 1 10- 9，R=rI，r= 1，ρ= 1 102的另一增益调度控制器，其中增益调度控制器如下Gr09 .第九条。9123s+5。0218SGr1Gr2=-3。7197s +1。1768=-2。2514秒+0。8172（三十一）仿真结果将说明二次稳定的主要好处，这是允许任意快速的模型参数的变化。图图4和图5显示了当α从10线性变化到100时的结果。图图6和图7示出了当α随频率f = 0.1 Hz正弦变化时的结果。 图图8和图9示出了当α随频率f = 1 Hz正弦变化时的结果。图图10和图11示出了当α随频率f = 10 Hz正弦变化时的结果。图4、6、8、10绿线表示系统输出y（t），蓝线表示设定点w（t），红线表示控制器输出u（t）。图在图5、图7、图9和图11中，绿线和蓝线分别指示所计算的调度参数θ1（t）和θ2（t），并且品红色线指示外源信号α（t）。调度参数（t）10−10 20 40 60 80 100 120t[s]（t）1005000 20 40 60 80 100 120t[s]图五、仿真结果θ（t），α（t），α∈（10，100）线性变化。振幅振幅振幅振幅=60A. 伊尔卡河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）45uu0.80.60.40.21050模拟结果，w（t），y（t）0 20 40 60 80 100120t[s]−50 20 40 60 80 100 120t[s]见图6。仿真结果表明，w（t），y（t），α∈（10，100）随f= 0.1Hz正弦变化调度参数（t）10−1100500（t）图7.第一次会议。仿真结果表明，θ（t），α（t），α∈（10，100）随f= 0.1Hz呈正弦变化模拟结果，w（t），y（t）0.80.60.40.20 20 40 60 80 100 120t[s]1050−50 20 40 6080t[s]100120见图8。仿真结果表明，w（t），y（t），α∈（10，100）随f= 1Hz正弦变化振幅振幅振幅振幅振幅0204060 80 100t[s]1200204060t80100120振幅A. 伊尔卡河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）4561u调度参数（t）10−10 20 40 60 80 100 120t[s]（t）1005000 20 40 60 80 100 120t[s]图9.第九条。仿真结果θ（t），α（t），α∈（10，100）随f= 1Hz正弦变化模拟结果，w（t），y（t）0.80.60.40.210500 20 40 60 80 100120t[s]−50 20 40 60 80 100 120t[s]见图10。仿真结果表明，w（t），y（t），α∈（10，100）随f= 10 Hz的频率呈正弦调度参数（t）10−1010050002040204060t[s]（t）60t[s]80100801001201205. 结论图十一岁仿真结果表明，θ（t），α（t），α∈（10，100）随f= 10 Hz的频率变化呈正弦曲线变化研究了不确定LPV系统的鲁棒增益调度控制器设计问题，该控制器保证了系统在所有预定参数变化时闭环稳定和保性能。建议的原始程序是基于稳定性的李雅普诺夫理论，保证成本的概念，LPV范式和BMI/LMI。使用原始的可变加权矩阵，我们可以分别影响每个工作点的性能质量，我们可以通过所有参数的变化来调整系统到所需的条件。所得结果，说明振幅振幅振幅振幅振幅振幅62A. 伊尔卡河谷Vesely '/电气系统和信息技术杂志1（2014）45的例子表明，新的鲁棒增益调度设计程序的适用性所得到的结果是BMI和LMI的形式，控制结构的类包括集中或分散固定阶输出反馈，如PI控制器。仿真结果表明，鲁棒增益调度控制器比经典增益调度控制器具有更好的控制性能。确认这项工作得到了斯洛伐克科学资助机构的支持，1/1241/12。引用Apkarian，P.，Gahinet，P.，Becker，G.，一九九五年线性变参数系统的自调度H∞控制：一个设计实例 Automatica 31（9），1251-1261.Engwerda，J.，Weeren，A.，2008年 输出反馈线性二次型控制的一个结果。 Automatica 44（1），265-271.Gahinet，P.，Apkarian，P.，Chilali，M.，一九九六年。 关于细参数依赖的Lyapunov函数和实参数不确定性. 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