肿瘤干细胞模型的数学方法

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记277（2011）29-39www.elsevier.com/locate/entcs肿瘤干细胞模型药物效应预测的数学方法Chiara Fornari，Francesca Cordero弗朗西丝卡·科尔德罗Chiara Fornari，Francesca Cordero1，2都灵大学计算机科学系和临床与生物科学系，意大利Daniele Manini，Gianfranco Balbo3，4都灵大学计算机科学系，意大利都灵Ra Calogero5都灵大学临床和生物科学系，意大利都灵摘要使用几种数学方法深入研究了肿瘤生长和发展背后的机制，这些方法依赖于线性和非线性技术来模拟细胞群体动力学，以更好地理解癌症的发展和进展。在本文中，我们研究了一种恶性肿瘤的进展，其特点是干分化层次。两个主要问题进行了建模和研究：分化阶段和表型可塑性，这表明癌症干细胞和非癌症干细胞群体之间存在动态相互作用。 使用这些模块- 因此，我们研究了乳腺癌的几种治疗效果，以获得细胞群的时间行为，考虑到不同的药物浓度和癌抗原驱动的疫苗接种。关键词：癌症干细胞行为预测，数学方法，生物过程建模。1引言文献中发表了描述肿瘤恶性程度以及肿瘤生长、血管生成过程和药物反应的多个方面的数学模型[2，5，14]。1电子邮件：fornari@di.unito.it2电子邮件地址：fcordero@di.unito.it3电子邮件：manini@di.unito.it4电子邮件：balbo@unito.it5电子邮件：raffaele. unito.it1571-0661 © 2011 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2011.09.03330C. Fornari et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 277（2011）29最近的研究改变了肿瘤进展的传统观点，表明许多癌症的生长和进展是由小群体的癌症干细胞（CSC）驱动的[3]。鉴于这一证据，Turner等人[15]和Zhu等人[17]开发了两种模型，使用普通微分方程（ODE）系统来描述这种肿瘤发展的新理论。CSC肿瘤模型呈现出类似于正常组织中发现的分层结构化组织：CSC自我更新，能够组织再生并产生非CSC，后者更加分化并且在很大程度上缺乏组织再生能力。考虑到这种分层结构，对组成癌症的几个细胞群的药物治疗的反应将根据癌症亚群的特征产生不同的效果。因此，CSC被认为是传统疗法失败的原因，因为能够消除所有CSC从而避免复发的有效药物治疗并不容易找到[7]。基于[17，15]中提出的模型，我们研究了以干分化层次为特征的恶性肿瘤的进展。特别是，我们通过考虑这个分层模型描述的所有癌症类型来概括他们的ODE系统。研究了两个主要问题：（i）分化阶段（在[17]中，作者仅对所有亚群的增殖阶段进行在我们的ODE系统中，我们还考虑了药物对癌症的影响，以模拟细胞的行为，考虑不同的药物浓度。2模型结构在过去的15年中，在理解肿瘤维持和复发的开始方面取得了重大进展。这些研究使研究人员从传统的癌症组织观点转向新的异质性概念。传统的癌症概念解释说，恶性肿瘤由一种独特类型的细胞群组成，其特征是能够无限制地分裂。在鉴定出可以分化成异质性癌症亚群的CSCs后，这种观点已经被克服。在本节中，我们描述了基于CSC理论表征肿瘤分层组织的主要生物学特征（第2.1节）以及我们如何将这些考虑转化为ODE模型（第2.2节）。2.1词干分化层次模型已经发表了几篇论文，其中报道了CSC的鉴定和表征[12，4]。CSC驱动肿瘤生长和再生的能力可以通过考虑其主要特性来理解(i)致瘤能力和自我更新，（ii）组织再生和（iii）分化成非干细胞。CSC能力最好地表征了由干分化层次在这些肿瘤中，C. Fornari et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 277（2011）2931生长和进展由CSC亚群驱动。此外，肿瘤的层级组织由CSC分化能力保证。CSC产生定向祖细胞（PC），定向祖细胞又产生以快速增殖速率为特征的细胞，然后产生终末分化细胞（TC）。CSC被定义为可以对称分裂（起源于相同CSC类型的两个细胞）或不对称分裂（即，产生CSC细胞， 到PC单元）。 虽然 控制干细胞是对称分裂还是不对称分裂的机制仍然未知，但经验证据表明，某些环境条件可能会导致这种现象，因此，CSC所在的微环境（也称为小生境）变得至关重要环境压力导致细胞生理学和基因表达不断适应适当的干细胞状态[8]：事实上，当从CSC转移到TC时，可以观察到不同的生态位组成的存在，导致增殖能力、多能性和转移潜力的逐渐丧失[1]。此外，响应于环境信号，在其早期阶段，PC可能分化为CSC。双向可互换性的可能性是由于一些将非CSC重编程为CSC的背景信号[6]。由于这种癌症结构，干分化层次模型影响了癌症治疗的设计。例如，许多论文[16，9]报道了CSC对许多当前癌症治疗（包括化疗和放疗）的抗性，而这些治疗显示出对TC的积极效果。从对整个肿瘤具有临床影响的角度来看，旨在事实上，如果治疗未能杀死CSC，则很有可能再生新的肿瘤。新的癌症疗法必须考虑这些动力学，因此必须设计成考虑CSC的遗传改变和分化状态，以便根除它们。2.2癌症常微分方程组如前一节所述，分层模型由三个细胞亚群组成：CSC、PC和TC。前两个亚群具有相似的动态特征，其基于两个阶段的连续性：增殖和分化，如图1（A）所示增殖速率用参数ω描述，而分化速率用参数η描述。γ代表祖细胞获得CSC表型的能力的参数，也称为去分化。所有的子种群都将以参数d表示的特定速率死亡。在图1（B）中报告了每个亚群的增殖和分化机制的详细表示。CSC可以以对称或不对称的方式分裂以分别产生两个CSC或一个CSC和一个PC1。另一方面，PC亚群可以通过几个阶段进化。在每个阶段，PC细胞可以以对称的方式增殖32C. Fornari et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 277（2011）29死亡（d）其他事项增殖（U）微分（n，η）药物（®）ΣAB增殖CSC CSC + CSCCSC CSC + PC1PCiPCi + 1+PCi +1i = 1.6微分CSCPCIPC7PCjPC1PCi + 1TCCSCi = 1.6j = 1.3Fig. 1.癌症干细胞模型。(A)CSC和PC循环（B）增殖和分化规则的详细信息产生属于下一阶段的两个PC细胞。根据朱[17]的假设，我们将阶段数设为7。关于分化，CSC变为PC1，而阶段i（PCi）的亚群PC分化为下一阶段的PC（PCi+1）。 最后，PC的最后阶段， PC7在TC细胞中分化。如前一节所述，我们还对CSC和PCC之间的双向互操作性进行了建模。这种可塑性涉及前三代PC，它们仍然类似于CSC。因此，我们推测只有某些PC最后，我们还考虑了药物暴露对癌症的影响。我们考虑的药物要么是化学化合物，要么是目前的癌症治疗方法，包括化疗和放疗或疫苗接种。考虑到这些不同类型的治疗，我们有信心假设所有亚群都受到至少一种药物作用的影响。我们将药物效应建模为细胞分化率的增加，从而加速下一个亚群的产生。通过适当设置参数Θ，在模型中捕获药物暴露的强度。考虑到所有这些因素，通过指定以下线性和齐次ODE系统来构建这些癌细胞群体的动力学模型dNCSCDT=PsyωCSC NCSC +γPC3Nj=1PCj — η1NCSC — Θ1NCSC — d1NCSCdNPC1DT=Pasy ωCSC NCSC — ωPCNPC1— γPCNPC1+η1N CSC — η2NP C1++ Θ1NCSC−θ 2NP C1−d 2NP C1dNPCjDT=2ωPCN PCj−1 — ωPCNPCj — γPCNPCj +η2N PCj−1 — η2NP Cj++ Θ 2N PCj−1− θ 2N PCj−d2N PCjj = 2. 3（一）C. Fornari et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 277（2011）2933dNPCiDT=2ωPCN PCi−1 — ωPCNPCi+η2N PCi−1 — η2NPCi+Θ2NP Ci−1−-Θ 2N PCi − d2N PCii = 4. 6dNPC7DT=2ωPCN PC6+η2N PC6— η3NPC7+Θ2NPC6— Θ2N PC7— d2NP C7dNTCDT=η3NPC7+Θ2NPC7— Θ3NTC — d3NTC其中NCSC、NCi和NTc分别是癌症干细胞、祖细胞和终末细胞的数量注意，表征这些方程的项取决于5个参数：(i) ωCSC，ωPC：描述除TC外所有亚群的增殖率。请注意，所有PC亚群均由阳性和阴性项建模，以描述其在PC下一阶段的对称增殖。CSC和PC1的增殖速率还取决于分别为对称和不对称CSC分裂概率的Psy和Pasy[17]。(ii) γPC：代表涉及CSC、PC1、PC2和PC3亚群的双向相互转换性参数。(iii) di：表示每个个体亚群i的特定死亡率。(iv) ηi：描述每个个体亚群i的分化率。由于分化过程涉及到有序进化链CSC→PCi→TC中的所有亚群，因此在所有方程中，除了关于CSC和TC的方程外，都包括了正项和负(v) Θi：表示每个个体群体i的药物效应。如前所述，我们将药物治疗的效果建模为分化率的增量：实际上，θ项遵循与η项相同的趋势。此外，为TC亚群定义了一个特定参数Θ3，以描述专门针对TC的治疗效果3均衡分析本文中讨论的肿瘤进展的整体行为是通过在模型参数的不同组合的基础上开发上一节中描述的常微分方程系统的解析解来研究的。我们的第一个目标是确定哪些值导致均衡趋势。为此，可以利用模型的稳态分析来识别关键参数组，并确定哪些参数最能影响亚种群的动态3.1基本模型解决方案上一节中描述的ODE（1）的线性系统可以用以下矩阵形式表示：Z′=AZ（2）34C. Fornari et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 277（2011）29其中矩阵A包含生物系统的系数，而向量Z是指代表细胞亚群的变量。（2）的解由以下形式的项的线性组合Zi=Wi eλit（3）其中Wi是A的第i个特征向量，λi是其对应的特征值。因此，常微分方程系统的解被简化为计算矩阵A的特征向量和特征值，更多细节见[11]。遵循Zhu在他的论文[17]中提出的分析方法，我们首先集中研究该模型的稳态行为。我们对肿瘤进展动力学的描述建立在朱的模型上，该模型考虑了分化、反馈（双向相互转化）和药物治疗。忽略所有这些方面，Zhu进行的稳态分析表明，通过设置以下参数获得平衡PsyωCSC=d1（4）这一结果证实了CSC在肿瘤生长中的关键作用：当且仅当CSC的增殖保持在控制之下时，所有细胞群都达到稳定状态。在Zhu的模型中3.2我们的模型分析由于上述原因，我们提出了一个更详细的生物模型，结果在一个系统的线性常微分方程，其解析解是难以计算。这项任务的困难主要是由反馈效应的存在引起的，但是可以通过下面我们解释的一步一步的过程来克服。为了使分析更容易，我们首先研究了忽略反馈的模型的简化版本，然后我们将解决方案扩展到更一般的情况。详细地说，我们考虑模型的三个变体：（变量1）对应于具有9个亚群的常微分方程系统（在2.2节中描述），但没有反馈的表示;（变量2）是仅考虑CSC和PC1亚群的常微分方程系统，但有反馈的表示;（变量3）是对应于方程1的整个系统（一）.var1系统的平衡PsyωCSC=d1+η1+ Θ1（5）事实上，该系统只是朱的模型的边缘推广，并且CSCs增殖受死亡率、分化率和药物治疗率控制。考虑到系统变量2，即只考虑CSC和PC1子群体上的反馈作用，通过求解二次多项式来计算稳态条件。平衡条件由下式给出C. Fornari et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 277（2011）2935⎧⎪⎨.Σ⎪⎪⎨.ΣCBA=γ ，其中CA=Psy ωCSC−d1−η1− θ1B=PasyωCSC+η1+ Θ1C=−ωP C−η2−γP C−Θ2−d2从生物学的角度来看，该表达意味着如果死亡、分化和药物治疗率的组合值超过增殖率（用A表示的术语），则CSC群体的衰变保持在控制只要来自PC1的双向可相互转换性（表示为B/C和γ）的反馈补偿该差异。在变量2的情况下，CSC变化由一组参数（PsyωCSC，d1，η1和Θ1）表示，并且它必须由与PC1浓度成比例的反馈作用给出的CSC替代生产来平衡。从生物学的角度来看，该表达意味着如果CSC“循环”-定义为增殖、死亡、分化、药物排出，并用A表示-相对于PC 1循环和反馈（分别用B/C和γ表示）平衡，则达到系统的平衡在变量2的情况下，CSC变化由一组参数（PsyωCSC，d1，η1和Θ1）表示，并且它必须由与PC1浓度成比例的反馈效应给出的CSC替代生产平衡。最后，对于对应于var3的系统，矩阵A的特征向量和特征值的计算更加复杂，因为我们必须求解三次多项式。这个多项式的解析解很难处理[10]，因此我们采用图解法来确定它的根。我们估计var3的均衡条件如下：⎧⎪A=PsyωCSC−d1−η1−Θ1BAβC γD2D1+−C哪里B=PasyωCSC+η1+ Θ1C=−ωPC−η2−γPC− θ2−d2θD= 2ωPC +η2+ Θ2在完整的ODE系统中，前三代祖细胞是能够分化为CSC细胞。因此，如var2情况所述，考虑到PC1、PC2和PC3循环，CSC变化必须平衡4结果在本节中，我们首先报告了朱的论文[ 17 ]中给出的结果与我们的系统提供的结果之间的比较（1））为了验证我们的模型能够通过利用相同的参数集来复制系统的定性行为。该模型随后被应用于研究干分化层次癌症（即乳腺癌）的动力学。通过使用实验数据来调整模型参数;所得到的模型设置用于研究几种药物效应及其组合。在所有的五种情况下，我们显示时间36C. Fornari et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 277（2011）29三个亚群的行为：CSC、TC和由PC指示的所有七个阶段的祖细胞的总和。此外，所有的数值解（称为模拟）的ODE已经进行了假设存在一个单一的CSC在时间为零。4.1型号比较我们使用朱和同事采用的相同参数集运行我们的模型，该参数集基于实验数据或从科学文献中提取6图二. 比较朱氏模型与本模型的平衡条件和展开式。 （A，B）肿瘤的稳态条件，其中CSC、PC和TC的数量达到恒定值。（C，D）三个亚群随时间的扩增由于我们感兴趣的是评估朱发表的结果与我们的模型得出的结果之间存在的相似性水平，因此在此阶段我们忽略了药物效应。图2（A，C）显示了使用Zhu模型的三个亚群的动态通过设定平衡条件获得图A和图B。请注意，定性行为是相似的，而子种群在平衡中达到的绝对值是不同的。这种差异很容易解释，因为它主要是由于引入了朱的模型中没有表示的反馈效应6这些参数中的一些在报告时有明显的印刷错误，因为它们在某些情况下有错误的 测量单位。在http://compsysbio.di.unito.it/supplementary_material/ODEModel.php的表格中，我们报告了它们的正确版本C. Fornari et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 277（2011）2937另一方面，在图C和D中描绘了通过放松平衡条件获得的三个亚群的扩展。前面关于两个模型的定性和定量行为的事实上，降低Zhu模型中在我们的模型中，为了观察所有三个亚群的缓慢增长，自我更新和反馈速率必须快于死亡和去分化。4.2阿托伐他汀对乳腺癌在这一节中，我们提出的模拟结果时，我们考虑到明确的考虑药物效应。请注意，Zhu及其同事进行了一些实验以了解肿瘤对不同治疗的反应，但他们的初步方法包括通过PC和TC亚群的死亡率的相当简单的增量来模拟药物效应相反，我们插入三个特定参数，每个亚群一个，描述癌症治疗。我们使用我们的模型来研究辅助治疗和癌抗原驱动的疫苗接种对乳腺癌的影响。在我们的模型中使用的参数集，不考虑药物效应，通过调整系统以在1000小时达到35个TC细胞来检索。 此值 通过皮下注射100.000个癌细胞后在小鼠中观察到的肿瘤质量生长趋势得出[个人交流]。所得模型校准揭示TC和PC细胞的快速增加，如图3（A）中所报告。我们使用该模型规格来模拟疫苗接种对肿瘤生长的影响;请注意，疫苗接种在2000小时进行。特别地，设定Θ 3值以便相对于正常肿瘤生长在约500小时内获得50%的TC减少（参见图3，图A）。相对于在具有4 mm直径肿瘤的小鼠上进行的疫苗接种实验中观察到的减量趋势，50%的质量减少是合理的。实际上，在图3（B）中，可以观察到TC数量在2000小时时大幅减少。然而，由于疫苗接种仅作用于TC，CSC遵循正常的癌症生长，因此在500小时后TC的增量再次增加当我们模拟阿托伐他汀仅作用于参数Θ1对CSC的效应时，可观察到不同的行为阿托伐他汀是一种具有抗白血病作用的降胆固醇药物[13]。阿托伐他汀的体外实验表明其对CSC功能的抑制作用。 我们设定了Θ1的值，以获得50%的CSC减少，这对应于5μ M药物的施用。图3（C）报告了在2000小时给予的阿托伐他汀效应：注意到CSC的数量减少，因此，在5000小时，TC的数量相对于癌症生长的正常条件小于50%最后，图3（D）报告了同时（2000小时）进行的疫苗和阿托伐他汀治疗的模拟。注意，在这种情况下，38C. Fornari et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 277（2011）29图三.无药物情况下模拟乳腺癌生长（A），考虑ErbB 2疫苗接种效应（B）、5μ M阿托伐他汀效应（C）以及疫苗接种和阿托伐他汀联合效应（D）;阿托伐他汀对CSC和前三代祖细胞亚群与疫苗接种联合效应（E）亚群减少：在5000小时，TC的数量分别比仅接种疫苗和仅阿托伐他汀治疗图3（E）报告了考虑疫苗接种治疗和阿托伐他汀对CSC和PC的影响的三个亚群的时间行为。事实上，我们在前三代PC上添加了阿托伐他汀的额外效应，这些PC能够通过反馈作用产生CSC。我们通过适当设置Θ2来模拟这种情况，即前三个PC使用Θ2 = 0，其他PC使用 Θ2 = 0。 值得注意的是，如果阿托伐他汀效应也涉及PC的第一阶段，则相对于图D中观察到的趋势，给药后亚群的增量要慢得多。这些结果目前正在验证与CSC攻击和疫苗接种和阿托伐他汀治疗5讨论和展望我们提出了一个常微分方程系统来描述癌症类型中涉及的癌细胞亚群的动力学，属于干分化层次模型。我们首先确定导致系统达到平衡行为的参数值。随后，我们模拟了疫苗接种和药物治疗对肿瘤生长的影响。我们计划深入研究涉及系统平衡的各个参数的影响。考虑到论文中定义的关键参数组，我们想确定哪些参数主要影响子种群的动态。我们还计划在2010年制定疫苗接种方案。阿托伐他汀浓度增加C. Fornari et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 277（2011）2939引用[1] Bomken，S.，K.费瑟岛Heidenreich和J. Vormoor，了解癌症干细胞，英国癌症杂志103（2010），第103页。439-445[2] 牧师，M.，S. McDougall和A.Anderson，肿瘤诱导血管生成的数学建模，Annu.Rev.Biomed.Eng.8（2008），pp.233-257[3] Clarke，M.，J. Dick，P. Dirks，C.埃夫斯角Jamieson，D. Jones，J. Visvader，I. Weissman和G. 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