俄罗斯区间分析方法及其在信息数字处理中的应用研究

第九届国际会计师联合会控制教育进展国际自动控制联合会，俄罗斯下诺夫哥罗德，2012年信息数字处理课程中的区间分析方法S.I. 库姆科夫斯基俄罗斯科学院和乌拉尔国立联邦大学数学和力学研究所乌拉尔分院，俄罗斯，叶卡捷琳堡，S.Kovalevskaya str. 16，620219（电子邮件：kumkov@imm.uran.ru）。翻译后摘要：除了标准的统计方法的研究，区间分析之一已被引入工程讲座课程加入数字处理信息，参数和状态估计损坏的数据。 本文介绍了材料的讲座课程致力于鲁棒参数和状态估计技术在有界误差的背景下，存在离群值。给出了几个例子来说明课程内容关键词：教育，讲座，区间分析，破坏信息，数字处理，估计，实际问题。1. 介绍当今工程教育需要高等数学理论的应用方法。 为了迎接这些挑战，在俄罗斯科学院乌拉尔分院数学与机械研究所和乌拉尔国立联邦大学（俄罗斯叶卡捷琳堡）无线电电子学与信息学研究所，区间分析方法被引入到自动控制和计算机器、系统和复合体工程专业的应用数值方法和信息数字处理等讲座课程中。本课程（由论文作者讲授）包括约16个讲座（32个学时）和6个实践课（12个学时）。此外，每个学生都要解决一个单独的学习科学的学生调查。这些任务的必要收集是根据作者和他的同事在与工业公司合作的基础上进行的实际调查的模型制定而组成的。教材内容包括：介绍部分和加深对区间分析方法的认识部分，区间分析方法的结构，以及区间分析方法在解决实际工程问题中的应用。特别地，存在处理从信息系统（例如，无线电信道、雷达或GPS系统），尤其是各种实验研究（在电子或有机化学、金属物理学、计量学等）。这类数据通常含有测量误差，其概率分布规律要么不是高斯分布，要么是绝对未知的，具有不确定性的概率特征。各种混乱的腐败规定了异常值。此外，通常待处理的样品是短的，即，包括非常少量的测量。因此，无法证实标准统计方法（见国家标准（2003））用于处理损坏的在这种情况下，区间分析的方法是合适的，因为它们基于仅使用输入信息中的不确定因素的界限，不需要关于损坏引入上述讲座课程的必要性也规定了这样一个事实，即在早期的学习年，学生建立在这样的信念，即概率论和数理统计的方法是绝对适合解决大多数实际问题与损坏的信息。在这个过程中，考虑了以下主题的区间分析：在此之后，学生学习：-下面，工程师课程的主要主题被认为是。此外，在不确定性条件下的问题的解决方法，并介绍了它的应用到几个这样的问题的例子。重点是在理论和应用方法的基础上提出的具 体 计 算 技 术 （ Hansen （ 2004 ） ， Jaulin 等 人（ 2001 ） ， Milanese 等 人 （ 1996 ） ， Shary（2011）），以及详细阐述的方法，© 2012 IFAC 60 10.3182/20120619-3-RU-2024.000382012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会61----.Σ≤ −- -解决各种实际问题（Gladkovskii（1997），Kumkov（ 2010 a ） ， Kumkov （ 2010 b ） ， Kumkov（2009））。2. 基本概念和定义请注意，特别是对于技术专业的学生，学习材料必须以明显的工程图像，概念和术语进行交付。以下输入信息将传递给学生。有关主题的完美、完整和详细介绍，请参见，例如，Hansen（2004）and Jaulin，et al.（2001年）的第10页。研究中的依赖性描述如下：– 通过某个函数y=f（x，p），其中x是有限区间的自变量;p是参数向量– 通过微分方程组（在动态过程的情况下）dy/dt=f（t，y，p），Fig. 1.腐败模型a和一般模型c定义2.1. 参数向量的值p，以及其中，y是具有初始Y0和终端Yf位置的集合的相位状态向量;t是来自具有初始t0和终端tf时刻的i_t_al[t0=0，tf]的时间独立参数;p是参数向量。选择了破坏测量的一些可能的模型。在实践中，以下是广泛使用的a) y=y+e，b）y=y+δy，给定类型的对应曲线y= f（x，p）被称为关于USM Hi，. . . ，H1，.. . ，H m的若干指数i，. . . ，l，.. . ，m，如果曲线通过所有这些USMy= f（x，p）：f（xk，p）∈ Hk，k ∈ {i，. . . ，l，.. . ，m}。（五）定义2.2. ThesetG i.我...所有容许值的mc）y=y+δ y+e，|≤ e m a x，|δ|≤ δ m ax，|≤δm ax,（一）参数向量的p称为参数的部分信息集（PINS），其中y是损坏的测量;y是测量中的未知真值; e是与测量值无关并以模数为界的绝对汇总损坏;δ是以模数为界并提供相应误差分量的相对汇总损坏。根据测量值。每次测量yn中的扰动e和δ既可以包含一般的测量误差，也可以包含混沌分量，后者通常是测量过程中规定的未知噪声。长度N的损坏测量的样本是对于所述集合中的所有k都是可容许的（即，它们通过给定集合所有UMS）我...我... m= p：f（xk，p）∈ Hk，k ∈ {i，. . . ，l，.. . ，m}。（六）定义2.3. 与样本的所有UMS的所有容许曲线的集合相对应的参数向量的所有容许值的集合I被称为参数的信息集（INS）（或隶属集或可行集）I={p：f（xk，p）∈ Hk，k = 1，. . . ，N}。 （七）2.4上的Definiti。admissible的卷积{Tb（x）}给定{yn}，n = 1，. . . 、N.（二更）曲线被称为依赖管在每次测量yn保证（USM），不确定性集的mea-Tb（x）={y（x k，p）：y（xk，p）∈Hk，p∈ I（p），xk，k =1，. . . ，N}。（八）Hn=[hn，hn]是用较低的hn建立的和上界（图1）– 对于模型ahn=yn−emax，hn=yn+emax;（3）– 对于一般型号c如果ynemaxx：hn=（ynemax）/（1δmax），hn=（yn+emax）/（1+δmax），如果−emaxynemax：2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会62对于由微分方程描述的动态系统的参数或状态的估计的情况，可以给出类似的定义定义2.5. 在空INS（7）的情况下，如果其消除使短路样本的INS非空，则相对于整个处理样本，测量值（或测量值集合）被称为离群值（离群值）请注意，离群值的集合可以组织一致的hn=（yn−emax）/（1−δmax），hn=（yn+emax）/（1−δmax），如果emax≤yn：hn=（yn−ema x）/（1+ δmax），hn=（yn+ ema x）/（1−δm ax）。（四）子样本在为学生提供材料的这个阶段，给出了以下非常重要的信息为了应用于参数估计，标准回归和统计方法要求：测量误差具有此外，还介绍了几个重要的定义。它们的公式最大限度地接近于工科学生的思维。高斯分布律;足够大的测量样本;没有任何混沌移位或扰动。这些方法通过这样的方式检测和删除异常值2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会63\\--{∈}{∈}--{∈ ∈}称为但在实践中，我们有以下原因不允许使用统计方法。首先，没有关于测量噪声的概率密度函数的信息，更不用说，离群值。此外，特殊的调查表明，作为一项规则，损坏的测量分布不是高斯（图2）。其次，测量样本非常短（见第3节）。第三，在缺乏关于密度函数的信息的情况下，不可能谈论任何置信概率和置信区间。第四，如果一个测量值看起来是一个明显的异常值，实验主义者不需要任何数学就可以删除它 严重的困难出现与“可疑”的测量，似乎作 为离群值，但偏离“不太远”从整个样本。图3. 一对超声波电机及其参数引脚进一步地，一致样本（9）的参数a、b的信息集I通过凸集的某些交集运算I=i，k =1，...，N，k>iGik=i = 1，k=2，...，NG1K。（十一）图二、电动势测量值与电压的直方图;核反应堆中的熔融电解质注意，该公式中的后一关系对于函数（9）对参数a、b的线性依赖性是有效的。此外，在这种情况下，信息集是一个凸多边形，其顶点之间具有线性边界最后，可以构造容许依赖的管Tb（x），即。例如，以计算在自变量x k的每个值处的其下Tb（x）和上Tb（x）边界点的 集 合 ， k = 1，. . . ，N，Tb（xk）= min{a +bxk}，在学习区间分析方法的第一阶段（a，b）∈I（十二）裂解，最好让学生熟悉这种方法的算法和程序的简化版本。下面，为了简化向学生提供的材料的描述，在具有参数的二维向量p=（a，b）的线性函数y（x，p）的示例上示出用于参数估计的区间过程，并且在自变量的区间上给出函数[x]=[x，x] ∈ R，具有值为{xn}的网格，n = 1，. . . ，N，y（xn，a，b）= a + bxn，x= x1，. . . ，xn，.. . ，x =xN。（九）在为给定样本（9）构建了USM的集合（3）或（4）之后，可以构建Tb（x k）= max a + bxk。（a，b）∈I对于线性函数（9），在区间值[xk，xk+1]上的管上（下）边界是在截面[Tb（xk），Tb（xk）]和[Tb（ xk+1），Tb（xk+1）]的上（下）边上连续的管边界.结果，以下输出数据被提供给用户：管（12）、信息集（11）、其外部最小边界区间[a]=[a，a]和[b]=[b，b]以及中心点（acntr，bcntr）：a=arg{mina∈I（a，b）}，a=arg{maxa∈I（a，b）}，“pairwise” 由于函数（9）的线性，存在简单的反函数。因此，精确的螺旋桨Gik（图3.II，浅灰色）b=arg minb I（a，b），b=arg maxb I（a，b），（13）a cntr=（a+ a）/2，b cntr=（b+ b）/2。可以使用边缘和中间依赖性以及对应的点（a1，b1）-（a4，b4）为USM的每对H1-Hk构建（图10）。3.I）：在此之后，以下两个重要的特点，间隔法强调为学生。首先，所描述的程序通过特殊的al-G ik=a，b：a + bxiHi 和a + bxkHk，其中i，k = 1，. . . ，N，k> i。（十）出租，它允许一个调查的情况下，当信息集损坏的样本(11)整个样本的不存在，即，为空.在这里，重要的注意事项通常是为学生。也就是说，这种技术是相当灵活的，并允许考虑任何先验信息的参数的可能值。设给定某个先验矩形Gapr（a，b）（图3.II）。因此，可以通过将PINSGij与Gapr相交来增强估计结果（以深灰色）。2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会64假设输入样本对于给定的边界最 大 值 与 计算值不一致。基于图论（Kumkov（2009）），已经详细阐述了相关算法和软件，该图论将这种整体上不一致的样本划分为各种长度的一致（本身）子样本。通常，研究者感兴趣的是最大长度的子样本。2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会65--MaxMax第二，有可能采用特别程序来估计给定输入样本中的实际腐败程度。 假设（尽管没有“明显的”离群值）输入样本在（1）中的给定界限e max下与相应值不一致。在这种情况下，如果提高子库存最大值，则我们将承担当某些关键级别的企业x信息集变成非空的，并且仅由I（a，b）=（a，b）中的一个p组成。 S uchavaluex是从输入样本的测量中的实际损坏水平的下方估计的。 在初始一致的情况下，通过从其明显增大的初始值中减去所述最大值，类似地找到实际损坏水平的外部估计（从下）最大值。注意，这种变化的技术所提到的界限被广泛用于求解区间方程组的方法中，例如，Shary（2011）.所考虑的程序利用文献Jaulin等人中描述的包含函数的思想（ 2001 ） ， Milanese ， et al. （ 1996 ） ， Hansen（2004），Shary（2011），并且允许在各种实际问题中 构 建 构 造 性 算 法 （ Gladkovskii （ 1997 ） ， Kumkov（ 2010a ） ， Kumkov （ 2010b ） ， Kumkov（2009）），其中线性描述函数和非线性函数都可以被简化为线性函数（参见，例如，国家标准（2003））。特别地，所述方法有效地应用于复杂非线性函数的多项式或多项式逼近的系数估计。3. 教学材料举例上述材料是通过一个图四、权重估计;一致（a）和不一致（b）样本与所有其他USM的空交叉点。因此，第三个测量值将被归类为单个离群值。Example. 3.2. 一个化学过程的估计。真正的过程（Mikushina，et. al（2010））通过具有一个参数B的最简单的线性函数来描述（图5）。无论是质量测量，m（结合是em= 2 mg）和转化率C（结合是e m =2 mg）。解决了几个有趣的实际问题初始边界为eMax. 00%）。实际上只有3基于所描述的间隔方法。Example. 3.1.物理常数的估计。这个问题在计量学中是典型的描述函数是一个未知常数G。模型数据和估算结果见图4。 真实重量为0.25 g，根据校正的最大值确定的值为emax=0。1 g时，样本包含损坏的测量值G n，n= 1，12。在版本a中，可以看出，汇总损坏（测量误差加上混沌分量）不超过boun dema x。 由于所有测量的不确定区间Hn都有非空交，所以信息集I（G）不是空的.因此，样本是一致的，最大长度为12次测量。在版本b中，第三次测量已经用2emax

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