软件X 19（2022）101111原始软件出版物ADITU：有界和无界区域上Helmholtz方程的无网格解法Gorka Garatea，Zhao，Julian Esteveza，Manuel Grañaba计算智能小组，工程学院，巴斯克地区大学UPV/EHU，西班牙圣巴斯蒂安b计算智能小组，信息学院，巴斯克地区大学UPV/EHU，西班牙圣巴斯蒂安ar t i cl e i nf o文章历史记录：接收日期：2022年收到修订版，2022年5月4日接受，2022年关键词：亥姆霍兹方程声辐射声散射无界域a b st ra ct本文提出了一种求解非均匀有界和无界流体区域间声-流耦合问题的无网格配点法。建议的配方使用系列函数的级数由球坐标系下亥姆霍兹方程的解析解生成，系数由边界条件计算得到。该方法能够计算任意有界或无界非球面域中的声压。以球体辐射和散射的经典解析解为基准，©2022作者（S）。由爱思唯尔公司出版这是CC BY-NC-ND下的开放获取文章许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。代码元数据当前代码版本v1.0用于此代码版本的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX-D-22-00022代码版本控制系统使用git法律代码许可证GPL v2C++中使用OOP的软件代码语言、工具和服务计算平台/操作系统Linux，Microsoft Windows编译要求，操作环境依赖性无支持电子邮件咨询gorka. ehu.eus1. 介绍传统上，求解散射问题的方法是FEM（有限元法）[1与有限元法相比，边界元法的最大优点是，它只需要边界处的二维网格，而不是整个域的三维网格，从而大大减小了问题的规模。它的主要缺点是计算量大，在某些特征频率下解不唯一，而且对本文提出的问题更重要的是，它们不能处理具有不同质量性质的物体的系统。另一种策略是使用IEM（无限单元法）[7*通讯作者。电子邮件地址：gorka. ehu.eus（Gorka Garate）。https://doi.org/10.1016/j.softx.2022.101111一个有界区域，使用经典的3D FEM进行网格化，以及外部区域，使用特定的3D网格进行网格化（映射IEM [10，11]，波包络IEM[12，13]等）。其优点是可以应用有限元技术（变分公式、基函数、数值积分等）。最近，等几何分析已经耦合到IEM [14]，IEM仍然存在一个研究领域IEM方法确实有能力处理具有不同质量属性的物体的系统;但是，每当添加新物体时，必须使用3D有限网格，显著增加了要求解的全局系统系统尺寸的另一个增加是由于在无限单元处包含径向方向上由于必须减小系统的全局大小，因此有几种方法遵循截断域的策略，包括人工吸收边界条件（ABC）[15-PML通常2352-7110/©2022作者。由爱思唯尔公司出版。这是一篇开放获取的文章，使用CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页：www.elsevier.com/locate/softxGorka Garate、Julian Estevez和Manuel Graña软件X 19（2022）1011112（×一cosn+b（）MNMN2MMN，bMN⎧⎪⎪⎨=g，j布吕普=pl=1MMm=0Mn=0例M我，jL，jatII，（e）M mMNM mMNM mMNM mMN以笛卡尔、圆柱、球形和最近的椭圆体几何形状制定，并耦合到FE [23，24]。虽然这三种方法都降低了计算成本和存储需求，但它们都缺乏计算人工边界或层外区域压力的能力。最近，比例边界有限元法（SBFEM）已应用于3D无界振动声学域[25为了处理无界域，整个域通常被分成有界域和无界域，但是这两个域都通过外部边界上的节点通量耦合域，外部边界必须是球形的。述的方法[28]能够处理复杂的几何形状，但是，即使对于外部无界域可以使用2D元素，内部有界域也必须使用3D元素进行网格化。这里介绍的工作是以前工作的续集[29]。提出了一种利用函数级数的配点法该方法的主要优点是：该方法只需要物体边界处的二维网格，并且比其他方法使用更 它能在有界和无界区域上求解Helmholtz方程，这些区域中的对象不仅具有不同的性质，而且具有不同的公式（级数展开式）。本 文 件 的 结 构 如 下 。 第 二 节 给 出 了 有 界 和 无 界 区 域 上Helmholtz方程的拟解该方法将两种类型的数据作为输入一组n个对象，它们是空间中的域，有界（有限）或无界（无限），以及对象的特定物理属性。在这里介绍的均匀各向同性流体的情况下，具体的物理性质是波速c和密度ρ。对象边界处的显式BC和模型的对象集合第3节将模型的数值结果与两个基准分析结果进行了对比：脉动球的辐射和撞击刚性球的平面波的散射。最后，第4节列举了作者的主要结论和未来的工作路线。2. 流体域当声波在均匀各向同性流体中传播时，球坐标系中齐次亥姆霍兹方程的经典一般解析解[31]基于变量r、θ和θ的分离。一般的解决方案是该方法基于经典理论声学[30，31]。∞m在声辐射中，当理论物理学分析p（r，θ，θ）=∑H1（k，r）∑Pn（cosθ）m=0n=0例作为一系列汉克尔和勒让德函数;系数使用已知的辐射图案来确定1 1嗯嗯∞msin（n））（一）在球体上一些研究人员已经在开发+∑H2（k，r）∑Pn（cosθ）球[32]。ADITU实现了一种数值计算方法，×（a2cos（n）+b2sin（n）），有界和无界流体域中的声压级其中H1代表第一个的球面汉克尔函数，它是一个面向对象的C++软件，将对象存储为ASCII文本文件。每个ObjektuPuntu类对象都是从一个单独的文件中生成的，其中包含由前/后处理器GiD生成的点和属性列表1该软件分为两个顺序MHm表示第二类球面汉克尔函数（为简洁起见，省略了它们的自变量（k， r）），Pn表示m次勒让德多项式的n阶导数（省略了它们的自变量cos θ应用领域：为了简洁起见）。的12 1MNMN和b2是系数，第一个（aurre.cpp）将预处理器GiD生成的扩展名pun的几个文件作为输入，对应于模型的耦合流体对象，并且它为每个文件创建并存储ObjektuPuntu在计算之后，其输出由每个流体对象的ObjektuAdi类对象这些ObjektuAdi类对象包含每个对象的结果，作为解决方案的级数展开。下定决心。2.1. 有界流体对象对于有界流体对象i，必须解决的边界值问题是n2pi+k2pi=0（a）在Γ （b）处的pig第二个（ondoren.cpp）将生成的Objek-tuAdi它的输出包括一个文本文件扩展flavia.res，可以直接由GiD进行后处理。pi nj=hatΓh（c）在Γil（d）处，（二）所有带有类定义的头文件以及示例都在目录[33]的代码中提供。这里提出的方法的主要贡献是，它将整个域分成子域（称为对象），并提出了一种不同类型的声学级数展开。每个物体的压强然后，该方法将其中（2a）是do内的控制亥姆霍兹方程（2b）表示应用于边界部分Γg的本质BC的加强，（2c）表示应用于边界部分Γh的自然BC的加强，（2d）和（2e）表示应用于对象i和l的公共边界部分Γkl的CC条件的加强（C1连续性）。索引l将被扩展到d个对象，边界条件（BC）的边界条件奥伯特岛也就是说，r=r g<$rh<$r好吧数值解每个对象，并强制执行耦合条件（CC）物体之间界面处的声压。在这项工作中提出的结果代码可以在这个网站上找到提出了在有界流体对象中的声压，使用模式（1）为每个对象构建一系列函数，例如仓库2：∞Mpi=∑ ∑{[H1Pncosn<$]a1+[H2Pncosn<$]a2+1 https://www.gidhome.com网站。m=0n= 02https://github.com/GorkaGarate01/Helmholtz-Series-Formulation。[H1Pnsinnn]b1+[H2Pnsinn]b2}，····得双··它研究由球体的振动模式引起的声波。辐射压力表示为模型，以获得弹性散射的精确解（三Gorka Garate、Julian Estevez和Manuel Graña软件X 19（2022）1011113第1章⎪()≈=•×MN，bMN=MN，bMN=萨里普岛= −rexp（−ikr0）exp截断h的谐波增加1，并且迭代继续，直到残余误差（δ）更小M mM m它自动满足亥姆霍兹方程。（2a）。声压的偏导数可以通过微分级数（3）来计算：级数（3）和它们的偏导数用于在每个有界流体对象的边界上实施特定BC（2b）和（2c）以及CC（2d）和（2e）2.2. 无界流体对象与有界流体对象类似，对于无界流体对象i，必须求解的边界微分问题为：k2p+k2p=0（a）⎪⏐−ikp<$=O2（b）pigatΓg（c）（四在每次迭代h和s矩形子矩阵 计算了s表示整个模型的所有对象的所有BC和CC的搭配点的总数。每一行代表一个在一个边界上的配置点上的BC的在系统的对象中的两个对象之间的CC中的一个在两者共同的边界上的配置点处的实施。nq表示级数（3）和（5）向上的项（系数）的总数到截断h的球谐函数，对应于模型的所有对象。超定矩形复非对称系统Anqx c通过（离散）最小二乘法求解，使用具有部分piv的直接LU分解在平方复对称系统ATc.xnq阿纳克阿纳克⎪⎨⏐∂n⃗⏐r（T）在Γh（d）处，，j=nq·X计算了在Γil（e）处，溶液nq的残差（6）在无界对象的情况下，有界物体是索末菲辐射条件（4b），它去除了第二类汉克尔函数在那里-因此，提出的解决方案，在非声压力有界对象i类似于（3），仅在函数系列中使用比可接受的最小预设，直到速度收敛小于给定的最小值或直到nq达到整个系统的大小S，以先发生在求解了系数a1的全局系统之后， 、第一类汉克尔函数212分钟amn、bmn、bmn（对于有界流体对象）以及amn和bmn（对于∞在无界流体对象中），存 储每组系数pi= ∑ ∑ [H1Pncos n<$]a mn+[H1Pnsin n<$]b mn，（5） 分别对模型的每个对象进行进一步的后处理。它自动满足亥姆霍兹方程。（4a）和索末菲辐射条件（4b）。声压的偏导数可以通过微分级数（5）来计算：系列（5）及其衍生物用于在每个无界流体对象的边界上实施特定BC（4c）和（4d）以及CC（4e）和（4f）声压的后处理强度、方向性等）在对应对象内部的任何点处，可以计算系列（3）、（5）及其部分3. 数值实验两个理论基准模型已被用来测试该方法的准确性：一个辐射，简单的脉动球，和另一个散射，一个平面波的散射，在其途中遇到一个刚性球。使用计算的系数a1的2 1MNMN和b23.1. 简单脉动球有界对象的amn和无界对象的bmn2.3. 方程组这种方法的特殊性在于它是部分分析的。解析部分在于级数（3）或（5）的任何组合自动满足亥姆霍兹方程。（2a）或（4a）。因此，必须求解的唯一方程组是通过对模型的所有对象实施BC和CC而生成的方程组这种强制最终导致一个复杂的，非对称的和线性的全球系统的方程Ax c的大小为s，其中s是的总数量的配置点，在BC和CC的应用。配置点的数目远大于系数的数目（s）nc个未知数的向量x包含系数在简单脉动球体的情况下，密度为ρ的流体中粒子在源表面的速度等于球体在其边界处的速度。取一个半径为r0的球，边界速度为u0expiωt，边界条件为布吕普ωr=ρu0 exp（iωt）.（七）3.1.1. 解析解将球体的边界速度的时间依赖性建立为expiωt，并使用出射波的通解，流体中的声压模式为：ρiωA对于模型的整个对象集2 1嗯嗯和b2p= −rexp（i（ωt+kr）），（8）对于有界的有限对象，以及对于无界的流体对象，amn和bmn由于方程组的矩阵的每一列包含分配给特定协方差的特定函数的值有效，迭代技术的决议采取以下措施其中kω/ c是流体中的波数。应用边界条件（7），A=u0r2exp（−ikr0）步骤：以前，最小可接受残差01−ikr0.（九）norm[c−Ax]/norm[c]（6）并且迭代变量h被设置为0。h代表对于本分析模型的结果，我们将设置iρωu0=1。当r ≥ r 0时，这就产生了以下径向压力：所有级数将被截断的谐波（方程中的m）。（3）和（5））。p（r，t）20r（1−ikr0）（i（ωt+kr ））。（十）··=p得双得双L，j在伊尔。（f）第（1）款m=0n= 0Gorka Garate、Julian Estevez和Manuel Graña软件X 19（2022）1011114=∑incm=====-在r=1时（12）⏐∑ ∑（）M=M3.1.2. 使用的数值模型为了解决简单的脉动球问题，两个不同的实验模型已被使用。第一个包含一个无限流体类型的空气对象（在2.2节中），其域是半径为1 m的球体的外部为了将NeumannBC（7）应用于球面r1m，在球面上选择了4050个点.将球坐标系的中心平移到点（0.3，0，0），我们可以通过将数值结果与第3.1节的分析结果进行比较来测试该方法解决非球对称区域上的问题的能力。第二个实验模型包括一个耦合模型，其中有两个不同类型的空气对象：一个是有限流体，第二个物体是无限流体型（见2.1节），其区域是半径为1 m的内球和半径为1.1 m的外球之间的空间;第二个物体是无限流体型（见2.2节），其区域是半径为1.1 m的球的外部。总共选择了8100个点来应用BC，其中4050个点在内表面上，另外4050个点在外表面上。除了Neumann BC（7）在球面r上1 m，在耦合球处R 1. 在两个对象中的声压和声压梯度的1 m相等已经被强制执行。再次，为了检查该方法解决在没有球面对称的域上提出的问题的能力，将球面坐标系的中心平移到点（0.3，0，0）（对于第一对象）和点（0，0.3，0）。因此，我们可以将数值结果与3.1节的分析结果进行比较。3.1.3. 获得的结果对于具有单个对象的第一模型，频率范围从16 Hz（k 0. 29）至2 kHz（k 36. （62）已经过测试。与解析解相比，该模型在频率为1 kHz时的最大相对误差为0.04%。图1分别显示在1 kHz和2kHz对于具有彼此耦合的两个对象的第二模型，从16Hz（k0. 29）至1 kHz（k 18. （31）已经过测试。与解析解相比，该模型在频率为1 kHz时的最大相对误差为1.87%。图2分别显示在500Hz和1 kHz频率下SPL（dB）的相对误差（以百分比表示）。3.2. 刚性球的散射3.2.1. 解析解在本节中，用于验证给定方法的结果的分析模型是入射平面波的散射，该入射平面波在其途中遇到半径为1的刚性球体。假设平面波在z方向上传播，目标是找到散射波的声压ps。对于振幅为1的平面波，声压为[31]∞p（r，θ）=（2m+ 1）iPm（ cosθ）jm（k，r），（11）m=0其中Pm（cosθ）是m次勒让德多项式，jm（k， r）是第m个第一类球面贝塞尔函数入射波和散射波之间的关系为：Fig. 1. 声压级（SPL）在频率为1 kHz和1 kHz时以分贝标度（dB）表示的相对误差百分比的图示2 kHz，分别。斯洛普斯-你好=哪里惠普公司、布雷尔公司简介2m+1imPcosm（k，r）图二、f压力值的相对误差（%）500 Hz和f1 kHz。r（m=0∞M）m（θ）r=-（十三）=Pn（cos θ）a mncos（nθ）+b mnsin（nθ）。m=0n= 0考虑到Neumann边界条件和Legendre函数Pn（cosθ），cos∞Gorka Garate、Julian Estevez和Manuel Graña软件X 19（2022）1011115=-200万美元∑s1p r，θ= Hk，rPcosθa，（14）（）m mmj（k，r）m=-=0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000布勒姆1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1r=1αH1（ k， r）⏐图3.第三章。 f = 250 Hz和f = 1 kHz时压力值的相对误差（%）。并且sin函数满足，则获得以下系数值：bmn=0m，namn=0n≥1图四、 f = 250 Hz和f = 1 kHz时压力值的相对误差（%）。在频率为250 Hz时，模型的最大相对误差为9.73%。对于具有彼此耦合的两个对象的第二模型，频率范围从16Hz（k0. 29）至1kHz（k18.（第三十一条）a=amjm（k，r）=+最大值≥1频率为250 Hz和1 kHz时 SPL的百分比（dB）最后，回顾Eq。（1），我们可以把散射波的声压表达式写为：∞Mm=0哪里-（2m+1）iM4. 结论本文讨论了一种用于求解有界和无界区域内声-流耦合问题的无网格全局配点本研究的主要结果是，提出的解决方案的模式自动满足亥姆霍兹布雷尔3.2.2. 使用的模型r=1方程和所有有界和无界域的BC，包括-在Sommerfeld BC。这意味着所有的任务都简化为求解线性方程组。入射平面波散射的第二个检验问题使用了3.1.2节中使用的相同的两个模型。不同之处在于，对于仅具有对象的模型，所使用的球面坐标系的原点是（0.2，0，0），而对于具有两个对象的第二模型，所使用的球面坐标系的原点分别是（0.2，0，0）和（0，0.2，0）在这两种情况下，Eqs。（11）和（14）在m=15处被截断3.2.3. 获得的结果对于具有单个对象的第一模型，频率范围从16 Hz（k0的情况。29）至1 kHz（k十八岁（31）已经过测试。图3显示在250 Hz和1 kHz频率下SPL（dB）的误差百分比。与分析此外，还提出以下意见：所需的唯一预处理是位于模型的对象的边界上的表面上的点的分类列表;因此，不需要3D网格化，并且自由度的数量大大减少，这导致比基于单元的方法更低的计算成本。所提出的两个公式工作在高频复杂的声散射模型，使用几个自由度。在给出的示例中，对于分析的最高频率，k 18。31，对应于0.343 m的波长，该方法已经能够使用每个波长最少4个自由度˜··布与解析解相比，在频率为250 Hz时，模型的最大误差为9.55%am =∀m≥1。Gorka Garate、Julian Estevez和Manuel Graña软件X 19（2022）1011116图五. f=1 kHz时的精确计算模量最大的相对误差发生在声压值很小的点上，并且模量和相位的模式非常相似，即使对于刚性球体的散射的例子也是如此（见图2）。 5）。该方法的主要公开问题是，第一，在外部域的复杂模式的声压的误差传播的分析;第二，更快的分辨率的矩形复杂的，密集的和非对称的方程组。作者已经在研究前者，后者应该在未来的研究中探索。作者的另一项工作是将本文提出的方法推广到弹性波在其他介质（如结构）中的传播。5. 影响概述该方法是有限元法的一种替代方法，其优点是它使用较少的自由度，因此对硬件的要求较低。工作的前提是，第一，使用尽可能少的自由度，以尽量减少系统的大小;第二，能够解决亥姆霍兹方程在有界和无界域包含不同的质量属性的对象（不同的流体，如空气，水等）。该软件是以前发表的工作的进一步发展[29]。竞合利益作者声明以下经济利益/个人关系可能被视为潜在的竞争利益：Gorka Garate报告的文章出版费用由科学和创新部项目PID 2020 -116346 GB-I 00提供。确认该项目部分由西班牙巴斯克政府Elka-rtek计划的KK-2021/00070赠款资助。引用[1]放大图片作者：Gómez-Revuelto I，García-Castillo LE，Salazar-Palma M，Sarkar Tapan K.全耦合混合方法FEM/高频技术用于分析辐射和散射问题。MicrowOptTechnolLett2005;47：104-7.http://dx.doi.org/10.1002/mop.21094网站。[2] 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