NURBS曲面S形进给速度调度方法及其准确性验证

HOS T E D B Y可在www.sciencedirect.com网站上查阅计算设计与工程学报2（2015）206www.elsevier.com/locate/jcde一种完整的NURBS曲面S形进给速度调度方法杜旭，黄杰，朱利民上海交通大学机械工程学院机械系统与振动国家重点实验室，上海200240接收日期：2015年3月28日;接收日期：2015年5月7日;接受日期：2015年6月8日2015年6月20日在线发布摘要针对非均匀有理B样条（NURBS）刀具轨迹，提出了一种满足加加速度、加加速度和指令进给率约束的完整S形进给速度规划方法（CSFA），首先找到了曲率半径达到极值的刀具轨迹临界点。然后利用临界点将NURBS曲线分割成若干条NURBS子曲线或块。采用双向扫描策略，限制弦向误差、法向/切向加速度/加加速度和指令进给速度，使不同NURBS块连接处的进给速度连续。为了提高进给速度调度的效率，NURBS块分为三种类型：短块，中块和长块。每个NURBS块对应的进给速度轮廓是根据块的起始/终止进给速度和弧长以及切向加速度/加加速度的限制生成的此外，提出了两种补偿策略，使进给速度更连续，弧长增量更精确。一旦确定了进给速度曲线，就应用二阶泰勒展开插值法来生成位置命令。最后，通过两条自由NURBS曲线的实验验证了该方法的适用性和准确性&2015 年 CAD/CAM 工 程 师 协 会 。 由 Elsevier 制 作 和 主 持 。 这 是 一 个 在 CC BY-NC-ND 许 可 证 下 的 开 放 获 取 文 章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。关键词：进给速度调度;加减速;双向扫描; NURBS1. 介绍数控机床参数化进给速度的平滑调度对于复杂曲面的高速高精度加工具有重要意义。进给运动中的不连续性会引起机械结构和伺服控制系统的固有模式，这将降低轮廓精度[1]。为了实现高速高精度加工，许多学者致力于参数曲线插补、进给速度轮廓调度和伺服回路控制技术等领域。加速/减速进给速度曲线，例如梯形曲线和急动限制曲线，在进给速度调度中应用最广泛。梯形进给速度调度方法[2]实现简单，但当沿复杂刀具路径插补时，会导致进给和加速度的各种振荡n通讯作者。电子邮件地址：zhulm@sjtu.edu.cn（L.- M. Zhu）。与急动限制进给速率调度方法相比。因此，许多加加速度限制方法，如正弦形方法[3]，时间最优方法[4，5]和S形方法[6-11]，已经被开发用于调度进给速度，具有改善平滑性的优点。Lee等人[3]提出了一种离线进给速度调度方法，该方法考虑了弦误差、加速度和加加速度的约束时间最优和S形方法相比，该方法得到的加速度函数是不连续的。Dong等人[4]Beudaert et al.[5]分别提出了一种类似的时间最优方法，但该方法所采用的迭代算法计算量大，在某些情况下不可行，难以实现。Erkorkmaz等人[8]提出了S形进给速度调度方法，旨在避免由于驱动系统的高带宽而引起的结构动力学激励。S形法因其简单、光滑而被广泛应用于平滑进给速度调度[9-这里是http://dx.doi.org/10.1016/j.jcde.2015.06.0042288-4300/2015 CAD/CAM工程师协会。&由Elsevier制作和主持。这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。X. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）206207fgFGFGð Þ ð ÞZ半][半小时后]2i1PnN<$u<$ωi;pi提出了一种S形进给速度调度方法，该方法步骤完整，具体表现为：1. 根据临界点将NURBS曲线分割成若干条NURBS子曲线。2. 基于自适应求积方法计算每个NURBS子曲线的弧长。3. 在各次成功之间的连接处获得最终进给速率-其中Pi是形成控制多边形的控制点，ωi是权重，p是NURBS曲线的次数，Ni;pu是在非均匀节点向量上定义的p次B样条基函数，即U<$fu0;u1;NURBS曲线的曲率定义为[13]。JC0u~ C″uJ采用双向扫描的方法生成NURBS子曲线。κ¼4. 计算弧长判据，确定进给量JC0uJ33调度算法5. 采用变加加速度和弧长误差补偿策略进行补偿。6. 最后，通过二阶泰勒插值法得到参考位置。所提出的方法有三个主要优点：哪里了c0 u和 C“U是 的 第一， 二阶NURBS曲线的导数。2.2. NURBS曲线NURBS曲线C的弧函数s（u）在参数interval ½ u i ; u i∈ 1 ]上给出为[13]。1. 双向扫描方法保证了即使存在短块时进给速度sðuÞ¼ui1uiJC0uJdu20042. 弧长准则使得进给速度调度方法易于实现。3. 可变加加速度补偿策略消除了由持续时间量化的舍入误差引起的进给速度不连续性。本文的组织结构如下。在下一节中，弧长s（u）的一阶导数可以是表示为s0uJC0uJ405基于辛普森规则的自适应求积方法[14]用于在非常小的参数interval½ui;ui1]上计算期望的弧长，如下：su;u我是你的朋友。ui1uis0u1i简要介绍了NURBS曲线的定义及其弧长的计算方法。第三节完整的饲料我i16i2我ð6Þ提出了一种NURBS曲线的速率调度方法。在第4节中进行了三轴实验系统布局如图1所示的实验，并在第5中给出了结论。NURBS曲线的定义和弧长可以通过将上述参数区间二等分为两个相等的子区间（即，½ui;uiui1=2] 和u iu i1= 2;u i1）。当量（6）在每个子区间上递归地应用如下：2. De2.1. NURBS曲线southi;ui2我是一名医生;ui2sNURBS曲线Cu可以表示为[12]。PnNi;p<$u<$ωiPi哪里s uuiui1uui1-uihs0u四是零。uiui1ð7Þs0。uiui1CðuÞ¼1/41/4ð1Þi;2;第一章1 ¼ 12ðiÞþ2þ2y轴控制电压实际位置x轴dSPACE DS1103 PPC控制器板参考位置Fig. 1. 三轴实验系统的布置。第一章1Σ208X. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）206曲率曲率阈值半]半].半]2;ui1s u du- s ui;10i2. oζð9Þ120100806040200−20−20 0 20 40 60 80 100 120X轴位置（mm）765432100 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1曲线参数8070605040302010002040 60X轴位置（mm）80100605040302010000.20.4 0.6曲线参数0.8 1图二、三叉曲线的临界点分布（a）三叉，（b）三叉曲率，（c）黄油曲率，（d）黄油曲率。suiui1; uui-ui1s0. uiu i 14s0. ui3ui1s0u阶段：预处理阶段，调度进给速度阶段211 2 22i1和内插级。在预处理阶段假设在参数区间内规定了公差，如果由阈值曲率求出然后利用临界点将NURBS曲线分割成若干条NURBS子曲线每个NURBS子曲线的弧长，定义为1su;uiui1;u第一章1-sÞΣoζð8Þ通过自适应求积法近似计算期望的弧长。双向扫描，具有弦误差、法向/切向加速度/加加速度和指令进给的限制那么就可以证明，速率被用来使在连接处的进给速率. Zui10ui你好我好我好。连续NURBS块连续。最后，进料速率为由定向扫描确定的临界点可用于实际的CNC加工。因此，NURBS的弧h等于s½ui;uiui1=2; u i= 1]。如果Eq.（8）保持，由等式（1）计算的弧长公式（7）被定义为用 于 进 给 速 率 调 度 的 u i; u i1中的期望弧长。如果Eq.（8）失败，两个子区间被标记为1/2ui;uiui 1=2]和1/2uiui1=2;ui 1]进行进一步的细分和测试，直到等式（8）对于ui中的每个子区间成立;ui≠ 1。最后，由方程计算的弧长的总和。在每个子区间中的（7）被定义为用于进给速率调度的ui;ui 13. 具有进给速度调度的NURBS曲面造型在这一部分中，提出了一种完整的NURBS曲线S形进给速度调度方法。它包括三在进给速度调度阶段，根据弧长准则将NURBS块分为短块、中块和长块三种类型。针对每种类型的NURBS块，分别提出了三种进给速度规划算法。对应于每个NURBS块的进给速率轮廓根据起始/结束进给速率、NURBS块的期望弧长提出了一种变加加速度补偿策略，使进给速度更加连续。提出了一种弧长误差补偿策略，以减小调度弧长与期望弧长之间的差异。最后，为插值算法输出修改后的弧长增量。三叉戟曲线控制多边形蝴蝶曲线控制多边形Y轴位置（mm）Y轴位置（mm）曲率（mm− 1）曲率（mm− 1）曲率曲率阈值X. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）206209我我我þðþ Þ我不;nnJb vT2 A2b vT- Jb vþþþ最大温度Ts最大温度4δð -Þ在插补阶段，利用补偿弧长对样条参数进行二阶泰勒展开，结束到NURBS块的开始。当考虑切向加加速度限制时，以下三次方程构造为：更精确的位置命令。bT3bbT2b2bTvib323.1. 临界点和曲线分裂曲率大于曲率阈值的点称为候选点。具有局部最大曲率的候选点称为临界点。为了找出临界点，首先根据弦误差、法向加速度和加加速度确定曲率阈值κcr[3]。--为了从等式中求解bvi，在公式（12）中，应用Newton-Raphson方法，并将初始值设置为bvi1。如果bvTrA2=Jtbvi1，意味着满足切向加速度限制（即图4（a）中所示的m o A t），并转到（2b）。否则，违反了切向加速度限制，因此等式（12）不成立，新关系.8δA222Maxv我的天啊！v3MaxBvT之间ð10Þ不我不2 Bbv我第一章1不根据以下公式第一章12ÞAt其中δ是弦误差，vmax是指令进给速率，An=Jn是法向加速度/加加速度。与候选点中曲率的局部最大值相对应的曲线参数u由下式计算：κ0ðuÞ¼0ð11Þ对应于方程解的插值点被定义为临界点，如图2所示。当临界点确定后，通过合成计算两个连续点Simpson方法为了从等式中求解bvT，在等式（13）中，应用Newton-RaphsonbvT 通 过 方 程 求 解 （ 12 ） 或（13）在图 中 以五边形多边形绘 制 。3.第三章。（2b）考虑弦误差（即图3中的□）、法向加速度/加加速度（即图中所示 3）[3]。假设最大法向加速度/加加速度等于切向加速度/加加速度。进料速率bvi，反向扫描应通过以下方式确定：bvmin（bvT;2r2δ-δ2;rAn;s3J）的方式κ我3.2. 双向扫描我我Tsκiκi2Maxð14Þ双向扫描是生成平滑轨迹的一种重要方法，它包括前向扫描和后向扫描。如图3所示，反向扫描的目的是确定NURBS块的最大允许端部进给速率。在向后扫描之后，向前扫描用于确定临界点处的最终进给速率。3.2.1. 回程扫描从最后到第一个NURBS块执行向后扫描。在向后扫描开始时，最终NURBS块的末端进给速率设置为零，以使进给运动在NURBS曲线的末端停止。S形加速度曲线如图所示。图4（a）和（b）中所示的控制器用于限制不同块之间的接合处的进给速率。在后向扫描中，同时考虑了弦误差、该算法的细节是如下所述，其中N是NURBS的数量其中Ts是采样周期，κi是使用等式计算的曲率。(10)，δ是弦误差，并且 vmax是命令进给速率（即，图3中的ω），并且转到（2c）。(2c)设i 1/4i-1，则为（2）。(3)将bvi i¼1; 2;3.2.2. 往程扫描从第一个到最后一个NURBS块执行前向扫描。由于弦误差、法向加速度/加加速度和指令进给速率已经在后向扫描中考虑，因此在前向扫描中考虑切向加速度/加加速度。算法的细节如下所述，其中vi是通过对第i1个NURBS块第i个NURBS块的进给速率，其中第i布洛克湾 第一章1是第i个NURBS块的末端进给速率我1NURBS块源自切向加速度/加加速度由第i1个NURBS块的反向扫描确定，并且At=Jt是切向加速度/加加速度。B局限性。(1) 设i1，vi10。(1) 设i/N，1.(2) 如果i 1/4N，则转到（3）。否则，转到（2）。2(2) 如果i¼1，则转到（3）。否则，转到（2）。（2a）从方程求解fvT（十二）、如果fvTrA=Jtvi，(2a)应用冲击限制的S形加速度，i11t加速度曲线如图所示。 4（a）出发最小κcr;210X. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）206þB¼ðÞ21612256526v图三. 平滑进给速度调度过程。不不不不不见图4。 S形加速度的两种情况。至（2b）。否则，将显示图五. S形ACC/DEC轮廓，有七个阶段。在图4（b）中。从等式中求解fvT（13），然后转到（2b）。fvT第一章1i1通过等式求解。（12）或Eq. （13）以五边形多边形绘制（即，△）图中3.第三章。（2b）确定NURBS块末端的进给速率，表1进给速度曲线的表达式。vi1 ¼minfv第一章1;fvT第一章1g15τs_ktskts_ktsk（t）τ1Jt Jtτ1vs1Jtτ2vsτ11Jtτ3(2c) 让我我1并转到（2）。τ20At v1Atτ2sa1v1τ21Atτ2(3) 关于我们τ3-J tA t-J tτ3v2A tτ3-1J tτ2s a2v2τ31 Atτ2-1Jtτ3vi1i¼1; 2;232363τ40 0v3saτ5-Jt-Jtτ5v4-1Jtτ2sascv4τ5-1Jtτ3τ60-A tv5-A tτ6s ascs d1v5τ6- 1A tτ2最后，我们看到了一个很好的例子：1.2.τ7J t-A tτ7v6-Atτ71Jtτ2sascsd2v6τ7-1Atτ21Jtτ3前向扫描用于下面的进给速率调度。2727673.3. S形进给速度曲线生成当双向扫描过程结束时，生成NURBS块特征数据fsi;vs;veg（其中vs<$vi和ve vi<$1），以使进给速度轮廓在临界点处连续。在调度进给速度阶段主要关注的是通过NURBS块特征数据构建S形进给速率轮廓，其中Cuim和Cu im 1是起始/结束点，v s和v e是相应的起始/结束进给速率，s i是第i个NURBS块的弧长。S形ACC/DEC曲线由七个阶段组成，如图所示。 五、饲料的表达F不bvTF不vvNBVfv TvbvTbv TNfv TbvTbvNbv Tfv TNNB 不 Bbv vvBVfvvNvN vNNvNbvNvN五号SSSSNNSNSNvN时间不时间时间t的最大时间amam的最v3Vmaxv4v2v5vv1v6Sve时间T1T212的tT33T44T5T6T75 6 7时间的tJT时间JT加速度进料速率加速度进料速率混蛋进料速率加速度2X. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）206211ð¼Þð¼Þ>不Jð¼Þ>AtTv;v;A;J第五卷>Jð¼ÞCRICRIð¼Þð¼Þ ð¼ÞT1 vs; ve; At; JtJ>v的t>的tJTv>的t>：新闻中心J不2表1总结了7个阶段的速率分布。符号τii 1; 2;...; 7表示相对时间参数 如示于图 五、七个阶段的持续时间Tk k1; 2;NURBS块被称为中块，其进给速率分布落入图6（14）-（17）所示的那些。提出了如下三种进给速率调度算法，以生成三种块的进给速率曲线。算法3.1. 短块的进给速度调度。输入：开始/结束进给速率vs=ve。>8At不v一输出：S形进给的持续时间Tkk1; 2;...; 7速率调度（1）如果vsove和ve-vsrA2=Jt，则进料速率分布为：> T2=vs;ve;At;Jt=max-s-t如图6（10）所示，持续时间Tkk1; 3是使用Eq. （十六）、> T3 vs; ve; At; JtS不 e不(2) 如果vsove和ve-vs4A2=Jt，则进料速率分布为<>T 4v;v;A;Jsi-sa-sdð16Þ示于图 6（11）和持续时间T kk1; 2; 3是使用Eq. （十六）、Set不Max(3) 如果vs4ve且vs-verAt=Jt，则进给速率为如图6（12）所示，持续时间Tk=k/45;不vmax-veAt使用Eq. （十六）、(4) 如果vs4ve和vs-ve4A2=Jt，则进给速率曲线为T6vs;ve;At;Jt A-Jt>t tT7vs;ve;At;Jt不然而，对于某个阶段，持续时间可能为零，几个阶段。因此，进给速度曲线分为17个类型如图6所示。对于S形进给速度调度，第一步是确定进给速率曲线的类型。一NURBS块的标准弧长ss ，给出为如下：如果vsove，ss等于加速弧长savs;ve，计算公式如下：示于图 6（13）和持续时间T kk5; 6; 7是使用Eq. （十六）、算法3.2. 一个长块的进给速度调度。输入：开始/结束进给速度vs=ve，指令进给速度vmax和所需弧长si。输出：S形进给的持续时间Tk k1; 2;速率调度（1）计算持续时间Tk k1; 2; 3 和Tk k5; 6;7使用算法3.1。>8rve-vsA2（2）计算加速和减速弧长不不212X. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）206ð Þ ðÞ1ðÞ1ðÞð¼ÞCRI8CRIðÞS v v.1.1>vsveJve-vsrJ17Þ最大值 和s d v max;v e 使用公式（17）和（18）。（3）使用等式计算恒定进给速率持续时间T4（十六）、a）a）a）a）e）>>：2vsve不ΣΣCRI不X. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）206213JTJ- rts eΣΣðÞCRI对应的NURBS块称为长块，其进给速率曲线属于图1所示的曲线。 6（1）-（9）。否则，VVJ的tJtve-vs的tA2英寸ve-vs4t算法3.3.中等块的进给速度调度214X. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）206JT如果vs4ve，ss等于加速弧长sd vs;ve其计算如下：X. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）206215最大进给速度v用二分法搜索，216X. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）206速率V增加到：v¼v12ð21Þ其中，Arr½v0：v1]表示要保存临时提要的数组X. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）2062178>>vsvervs-veA2速率和v0=v1的初始值被设置为maxvs;ve=vmax。218X. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）206输入：开始/结束进给速度vs=ve，指令进给速度X. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）206219不S vv.1.1220X. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）206不18ÞX. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）206221v max、所需弧长si和搜索精度ε。222X. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）206d; e>>：2vsve的tJtvs-ve的tA2英寸vs- ve4tX. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）206223输出：S形进给的持续时间Tk k1; 2;...; 7速率调度(1)设v1/4v0/1v1/2。224X. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）206如果所需弧长si等于标准弧长ss，进给速率曲线属于图6（10）X. Du等/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）2062252