−湍流模型不确定性估计的数据驱动Jan Felix Heyse，Aashwin Ananda Mishra，Gianluca Iaccarino斯坦福大学机械工程系，斯坦福，CA-94305，美国摘要湍流模型代表了学术和工业研究的主力，然而，由于其配方中固有的简化，这样的湍流模型具有高度的认知不确定性与他们的预测。从不确定性的角度估计该模型是湍流模拟和工程设计中一个长期存在的关键问题为此，直接应用机器学习来估计湍流模型不确定性忽略了基于物理的领域知识，甚至可能导致非物理结果。在这种情况下，我们概述了一个框架，利用数据驱动的算法结合物理约束，以产生可靠的不确定性估计湍流模型，同时确保解决方案是物理上允许的。训练的机器学习模型，利用随机森林算法，被嵌入到计算流体动力学求解器中该库将作为计算软件工具发布，该工具能够将基于物理的约束纳入湍流建模中的机器学习应用介绍流体湍流是科学和工程中各种学科的中心问题，包括机械、航空航天和土木工程;生物医学、海洋学、气象学和天体物理学等。可靠预测进化的能力 湍流的研究将在这些领域带来开创性的进展。然而，尽管有一个多世纪的集中研究，没有分析理论来预测湍流的演变已经发展。根据目前的计算资源状况，工程问题中遇到的湍流时间和长度尺度因此，几乎所有的调查都必须诉诸某种程度的建模。湍流模型是构造关系，试图使用从物理直觉和观察得出的假设和简化将感兴趣的量与流动参数相关联。基于雷诺平均Navier-Stokes（RANS）的模型代表版权所有© 2021由其作者。知识共享许可署名4.0国际（CCBY 4.0）复杂工程流程的实用手段，学术界和工业界的绝大多数仿真都采用这种途径。尽管RANS模型得到了广泛的应用，但由于模型形式的原因，它们在模拟中引入了高度的认识不确定性，因此RANS模型在复制基本湍流过 程 和 特 定 流 动 现 象 方 面 存 在 固 有 的 结 构 缺 陷（Craft、Launder和Suga 1996; Schobeiri和Abdelfattah2013）。鉴于此，基于RANS的闭包的不确定性量化试图评估感兴趣量的模型预测的可信度，因此在建立RANS模型作为工程应用的可靠工具方面具有可考虑的为此，最近的研究人员已经利用数据驱动的机器学习方法来产生湍流模型预测的不确定性的区间估计。来自实验和高保真度模拟的可用数据的大型语料库提供了增强RANS模拟的预测能力的机会传统上，在湍流建模的背景下，数据仅用于模型校准和定义模型校正。几乎所有的湍流模型都涉及一些经验常数，这些常数被调整以 优 化 RANS 预 测 ， 并 与 特 定 的 校 准 情 况 相 关（Hanjalic´ and Launder 1972）。在过去的十年中，已经有越来越多的尝试利用数据驱动的方法来量化RANS模型中的认知不确定性。作为说明性实例，Wang和Dow（2010）通过对涡流粘度差异（即，参考高保真度数据和RANS预测之间的差异）作为随机场。他们的方法是基于蒙特卡罗抽样，但由于其收敛速度慢，需要相当数量的模拟，以获得有意义的不确定性估计。Wu、Xiao和Paterson（2018）使用数据驱动算法预测雷诺应力差异。机器学习模型的目标是RANS模型预测的事后局部校正项。Duraisamy，Iaccarino和Xiao（2019）对如何使用数据来增强湍流模拟进行了更全面的审查。然而，这种将机器学习模型直接应用于物理科学中的问题，例如流体流动。⟨⟩αβ−−和湍流建模可能不能完全说明领域知识，更重要的是，不能完全说明所需的所有基于基本物理的约束例如，在湍流模型中进行的雷诺平均在动量方程中引入了一项，需要进一步的模型假设或简化，即它是未关闭的。 该项被称为雷诺应力张量，R ij=u i u j，其中u i是滤波后的波动速度场的分量。 这是湍流建模中的关键感兴趣量。然而，有必要的物理基础上的限制，任何预测的雷诺应力必须遵循。这些被称为可实现性约束。Schumann（1977）是第一个在湍流闭合的背景下阐明可实现性约束的人，要求模型产生一个雷诺应力张量，图1：不对称平面扩散器设置。从左流入，从右流出。当R αα≥0，R2≥R αα R ββ且det（R）≥0。Un-如果不明确遵守这些约束，模型预测就是非物理的。此外，使用不具有基于物理的约束的机器学习方法，导致当这样的数据驱动模型被集成在计算流体动力学（CFD）软件中时的问题。不可实现的模型会导致数值收敛问题，甚至数值不稳定. 将机器学习模型直接应用于湍流建模中的问题，导致无法实现预测，并且当将此类数据驱动模型集成到CFD软件中时会出现收敛问题。在这项研究中，我们概述了一种方法，引入物理约束扰动估计湍流模型中的结构不确定性。因此，我们利用机器学习算法来推断这些扰动标记的数据。这两个步骤一起确保该框架是物理约束和数据驱动的。最后，我们将该库集成到CFD软件套件中，并进行鲁棒性和可靠性测试。在第一节中概述了问题之后，我们在第二节中概述了测试问题。因此，我们概述了物理约束的扰动框架，这是适用于与-出，并从数据推断（数据自由和数据驱动）。在无数据的结果中，我们利用最大的物理允许的扰动。 在数据驱动的框架中，我们训练了一个随机森林回归器，使用来自其他流的数据来预测扰动，并将此训练模型集成到CFD软件套件中。最后，我们总结了这项工作和未来的研究方向。基线模拟：湍流扩散器在这项工作中的测试用例是在扩散器中的湍流分离流。扩散器用于使流动减速并增加流体的静压。操作原理仅仅是横截面积的改变，但是空间约束和损失的减少通常导致易于流动分离的配置。扩散器中的湍流的预测是这项工作中的挑战。本文研究了Obi、Aoki和Masuda（1993）首次提出的平面非对称扩压器内的湍流流动 图1示出了设置：通道从流入宽度H扩展到流出宽度4。7小时在扩展部分，图2：扩散器模拟。流入（绿色）和补片（蓝色）灵敏度，基线计算（黑色）。不同x位置的流向速度剖面图及实验数据（红色）。底壁以10°角打开该斜坡的起点和终点处的角以半径9倒圆。7小时根据中心线速度和流入通道高度H，流入为完全湍流，雷诺数为20，000。所得流动的有趣特征是流动分离 、 流 动 再 附 着 和 新 附 面 层 的 发 展 。 RANS 模 拟 在OpenFOAM 中 使 用 k ε 湍 流 模 型 进 行 。 在 x/H =0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000010. 出口在x/H = 60处。基线计算具有9，472个单元的结构化网格，其中x方向148个，y方向64个。进行了网格收敛研究和流入敏感性研究。 对于网格收敛，使用两个粗网格和两个细网格，网格单元的数量在水平之间变化2倍。 对于流入灵敏度，在恒定流速下使入口速度剖面变形，以使中心线速度在其标称值的90%和110%之间变化。结果如图2所示，图中绘制了通道高度上不同x位置处的流向速度分量。绘制了所有单个网格和流入解决方案，给出了相应灵敏度的印象，以及基础2−3联系我们−3艾湾−线解和Buice和Eaton（2000）的实验数据。 非常有限的边界条件和数值误差的敏感性，观察和扩大部分后，在计算中提供信心。然而，虽然在RANS模拟中流动始终保持附着，但实验数据显示存在模拟未捕获的大流动分离。模拟过度预测了下半部分通道的流向速度，而上半部分则预测不足。无数据的不确定性量化在这里，我们概述了物理约束扰动框架，确保雷诺应力的可实现性。给定初始可实现的雷诺应力张量，该框架确保扰动雷诺应力保持正半定。 雷诺应力张量可分解为各向异性分量和偏量分量：图3：重心域和特征值扰动。Rij =2k（bij+δij）。（一）3这里，k（=Rii）是湍流动力学能量，并且bij（= Rii）是湍流动力学能量。Rij2k级别δij）是雷诺应力各向异性张量。的雷诺应力各向异性张量可表示为b invnl=v inΛnl，其中vnl是正交特征向量矩阵，Λnl是特征值λ k的无迹对角矩阵。 乘以vjl得到bij=v inΛnlv j l。将其代入等式（1）以得到：图4：无数据、均匀特征值扰动。不同x位置的流向速度剖面图。Rij = 2k（vinΛnlvjl +δij）。（二）3张量v和Λ被排序使得λ1λ2λ3。在这种表示中，雷诺应力椭球的形状、方向和幅度分别直接用湍流各向异性特征值λl、特征向量vij和湍流动能k表示为了解释闭合假设引起的误差张量扰动方法在CFD解迭代中。该扰动形式表示为：重心映射，x*表示受扰位置，xt表示受扰的状态，∆B是扰动的大小。在本文中，λ*l=B−1x*可 简化为λ*l=（1∆B）λl+∆BB−1xt。在此，B定义了在重心三角形和特征值扰动。 以三个顶点x1C、x2C和x3C作为目标状态，我们有B−1x1C=（2/3，−1/3，−1/3）T， B−1x2C=（1/6，1/6，−1/3）T，且B−1x3C=（0，0，0）T。图3R*= 2 k*（δij+ v*Λ* v*）（3）显示了重心图中的三角形以及一个重新-ij3在民族解放阵线来自RANS湍流模型的可验证位置x特征值扰动增加了三个扰动模拟其中 *表示受扰量。因此，k*=k+ ∆k是扰动湍流动能，v i*n是扰动特征向量矩阵，Λ*nl是扰动特征值λ*l的对角矩阵。在此上下文中，特征值扰动可以是例如：作为扰动的总和压向重心图的3个角。该三角形的角分别对应于具有1、2和3个分量的湍流的极限状态雷诺应力的表达式2019 - 05 - 22 01： 02 01： 03 02： 03 02 ： 0403 02 ：0302：040302：0302：040302：0++每个极限状态一个，导致总共四个计算。通过计算四次计算中的值范围来构建不确定度估计值范围的最小值和最大值形成任何感兴趣数量的包络。本征值扰动的框架被应用到本测试用例。 图4显示了所得的不确定性包络，其涵盖了大多数位置的实验结果。与补片研究和流入感知不同-其中Λ*nl表示扰动特征值的对角矩阵。扰动特征值可以用映射λ*l表示 =B−1x*。这里，x*=x+△B（xtx）是微扰在重心三角形，其中x是根据上一节的流动性研究，该分析正确地表明在底壁处可能存在流动再循环区域然而，不确定性估计在某些区域大大超出了实验数据，换句话说，似乎高估了模型误差||||||||−−电子xi2吨在一些地方。 这是预期的，因为扰动针对湍流各向异性的所有可能的极端状态，而不考虑其合理性。无数据框架在域中的每一个地方扰动雷诺应力，一直到各自的极限tr（S）tr（S）+τ−1tr（S2）ttr（S2）+τ−2tr（S3）ttr（S3）+τ−3tr（R2）t普|+|+єk/|+ S −1|+S−1u/c0√国家然而，湍流的雷诺应力预测模型在整个过程中不具有相同水平的不准确#4|tr（R2）|+τ −2#10k/u√域。（俄、西）tr（R2S2）+τ−4#6W2−S2t#11#121000000（kdw/50ν，4）√数据驱动的不确定性量化W2+S2|/g*|/g∗k/u研究了一种基于平均流特征的局部特征值扰动强度预测方法。表1：用于随机回归森林的无量纲特征。使用以下变量：平均在这里，我们将局部扰动强度为应变率和旋转率Sij=1（uij+uji），Wij=p12k在质心坐标系中未扰动以及雷诺应力的扰动投影 通过机器学习模型使用物理上相关的流特征fi作为输入来预测p。图3示出了重心图中p的含义。原始位置→xLF被扰动到与无数据方法中相同的极端状态，但现在由灰色点标记的扰动位置距离原始位置不超过p在来自图示的示例中，这意味着达到3分量极限状态，而朝向1分量极限和2分量极限的扰动较小。扰动强度P与扰动幅度直接相关，如下：∆B= min（p/d t，1），其中d t是未扰动状态与其被扰动的相应角之间的质心映射中的距离。扰动的位置仍然总是在三角形内，因此在可实现性的约束扰动强度的这种定义意味着有效扰动不能大于无数据情况，但它们可以更小。选择随机回归森林作为机器学习回归模型。随机森林是一种监督学习算法。它们是集成学习器，这意味着它们利用许多去相关的更简单的模型来进行预测。 在随机森林的这种情况下，更简单的模型是回归树（Breiman et al.1984）。回归树能够学习非线性函数。它们对于外推也是鲁棒的，因为它们不能产生训练数据标签范围之外的预测，并且对于无信息特征也是鲁棒的（Ling和Templeton2015; Milani et al. 2017）。在机器学习模型中，均方误差可以分解为估计的平方偏差、估计的方差和不可约误差：MSE（x）=（E[f（x）]−f（x）） 2+E[（f（x）−E[f（x）]）2]+σ2，2（uijuji）;湍流时间尺度τt=;单位沿流线的矢量si=ui/u;流线对齐速度的梯度gi=sjuj。在许多机器学习模型中，可以改变模型的灵活性。更灵活的模型能够学习更复杂的关系，因此将减少预测的偏差。同时，更灵活的模型增加了对训练数据过拟合的可能性，从而增加了方差。搜索最佳模型复杂性以实现低偏差和低方差两者通常被称为偏差-方差权衡。二叉决策树是非常灵活的，往往过拟合强烈的训练数据。因此，它们具有低偏差和高方差。随机森林的预测基于许多去相关的决策树。去相关是通过装袋来实现的，装袋是在训练数据的随机子集上进行训练，以及在每次拆分时对活动变量进行随机采样。由于树是去相关的，因此减少了随机森林预测的方差并且提高了泛化。同时，随机森林能够保持决策树的低偏差。这使得随机森林 ， 尽 管 他 们 的 简 单 ， 强 大 的预 测 器的 一 系 列 应 用（Breiman 2001）。 随机森林是使用OpenCV库实现的。在本场景中，即不可压缩的湍流，选择一组十二个特征。 为了能够推广到训练数据集以外的情况，所有特征都是无量纲的。 前八个特征是无量纲的，使得它们位于区间[1，1]内。其他的是流体力学中常见的无量纲量vsquaredbias}vvariance}irrved。 e}rrr.不准确（Gorle 'et al. 2014）。计算其中f（x）是模型预测，f（x）是真实的la。贝尔顾名思义，不可减少的误差源于数据中的噪声，并且不能通过模型来减少偏差是通过在训练之前在模型中做出的假设引入的。模型越灵活，其偏差就越小 方差与泛化有关：它衡量了如果在不同的数据上训练，模型预测会发生多大的变化。高方差指示强过拟合和差泛化。这些特征需要了解以下变量，其在RANS计算期间为常数或求解：平均速度及其梯度、湍流动能及其产生和耗散率、最小壁距、分子粘度和声速。表1中给出了特征列表采用周期性波形壁的情况下，得到了列车-为随机回归森林模型处理数据它被定义为一个湍流通道，具有一个平顶壁和一个正弦曲线。蒸腾速率2#1#2#7#3#8#9#5−图5：训练错误（实线）和验证错误（虚线）与不同最大树深度值的树的数量图6：训练错误（实线）和验证错误（虚线）与不同最小样本数的树的数量固体底通道高度与波长的比率为H/λ= 1。0，并且波高与波长的比率为2A/λ= 0。1.波浪周期性地重复，并且在其向下的斜坡上发生流动分离。使用k湍流模型和周期性流入和流出边界条件进行未扰动基线计算。一个网格收敛的研究，为扩压器，建议只有有限的数值误差。随机测试训练的特征从基线情况计算，并且标签从基线情况和更高保真度数据两者计算。标签被定义为由基线计算预测的位置与更高保真度的位置之间的重心域中的实际距离高保真度数据是来自Rossi（2006）的DNS数据超参数是机器学习模型中的参数，这些参数不是在模型训练期间学习的，而是在训练之前设置的，并且用于定义模型的函数形式并控制学习过程。研究了四个不同的超参数对随机回归森林模型学习的影响：最大树深度、最小样本计数、有效变量计数和树的数量。最小样本计数是在特定树节点处所需的样本的最小数目，以便进行进一步分裂。活动变量计数是在每个节点处随机选择以找到最佳分割的特征的数量。对于前三个超参数中的每一个，在1到200个回归树的范围内测试了几个不同的值 为了提高可读性，图5至图7仅示出了每三分之一数量的树的结果。将数据集分为80%的训练集和20%的验证集图7：训练错误（实线）和验证错误（虚线）与不同活动变量计数的树数图8：预测与波形墙训练数据上的标签。部分只有在对超参数做出选择之后，才能在完整数据集上训练最终的随机森林，以在测试用例中使用时实现最佳性能。最大树深度研究的结果如图5所示。 训练和测试误差分别以实线和虚线相对于树的数量绘制。测试值为5、10、15和20，并且对于15和20实现了最佳性能。选择15，因为较小的值意味着较小的计算成本。图6显示了最小样本计数研究的结果测试值为10、20和30。虽然较大的值在泛化方面稍好，但总体上10显示出最小的误差，并被选为最小样本数。活动变量的数量在2到10之间变化，增量为2，如图所示7.更大数量的活动变量导致更低的训练和测试错误，8和10产生最小的错误。只有在对超参数做出选择之后，才在全波形壁数据集上训练随机森林，以在扩散器情况下使用时实现最佳性能图8示出了预测值与预测值的散点图 训练数据的标签。 有一个很好的协议之间的预测和真实的扰动强度。用于训练随机回归森林的OpenCV库允许计算特征重要性，即每个特征对最终预测的影响的定量评估。最大信息系数（MIC）是变量之间依赖性它能够检测两个线-图9：特征的归一化随机森林特征重要性分数（正方形）和MIC分数（菱形）。耳 朵 和 更 复 杂 的 关 系 ， 并 已 显 示 出 良 好 的 公 平 性（Reshef等人。2016）。 我们可以估计特征和标签之间的MIC，并将分数与来自随机森林的特征重要性分数进行比较。使用Albanese et al. （2018）。图9将来自随机森林的归一化特征重要性分数呈现为正方形，并且将估计的MIC分数呈现为菱形。随机流的两个最重要的特征是#11无量纲壁距离和#12指示偏离平行剪切流的标记（Gorle 'et al. 2012）。 具有挑战性的流动特征，如流动分离发生在壁处或附近，支持壁距离的重要性。标记函数专门用于识别线性涡动粘度假设无效的区域。该特征的重要性表明该模型能够识别这种关系。 基于平均旋转速率的组合的特征显然比基于平均应变速率的组合的特征更重要，其中#4的平方平均旋转速率张量的迹线被列为第二重要的特征。另一个重要的特征是#6 Q准则，用于识别涡流区域。如预期#1，速度发散不是不可压缩流情况的重要特征。重要的是要指出，特征重要性与基线湍流模型密切相关。特征重要性分数示出了也由MIC捕获的一些趋势，例如前五个特征之间的排名。这增加了我们对机器学习模型学习的信心 同时，我们注意到，没有完美的协议。例如，#10的湍流强度被MIC排在第一位，而对于随机森林预测来说并不像其他特征那样重要。这为更详细的调查留下了空间最后，这种新的，数据驱动的框架被应用到平面非对称扩散器。随机森林模型被用来预测在RANS计算过程中的每个单元的局部扰动强度。 数据驱动的特征值扰动导致RANS模拟的成本增加。 与使用基线k − ε湍流模型的计算相比，观察到的运行时间增加了2 − 3倍。这种增长有两个原因首先图10：数据驱动的局部特征值扰动。不同x位置的流向速度剖面图。与雷诺应力扰动有关的计算需要一些时间;第二，扰动对求解器的收敛有影响，导致必须根据特定的极限状态完成更多的迭代。计算雷诺应力扰动的时间主要由随机森林的评估时间决定，随机森林的评估时间与树木的数量呈线性关系，树木的数量可能会减少。对于无数据的不确定包线，对湍流的三种极限状态进行了三次摄动计算图10显示了结果。不确定性包络仍然显示相同的总体趋势，表明对通道下半部分流向速度的预测过高。正如预期的那样，允许更小的扰动强度，包络比使用前一节的无数据框架时更不存在不确定性被显著高估的区域：在大多数区域，包络线刚好达到或至少非常接近实验数据。因此，对于测试用例，数据驱动的不确定性估计给出了建模误差的合理估计，从而给出了流量预测中的真实不确定性。结论和未来工作在这项调查中，我们概述了一个物理约束的数据驱动的框架不确定性量化的湍流模型。我们概述了一种方法，引入物理约束的扰动估计结构的不确定性，在湍流模型，同时保留realizability约束的雷诺应力。因此，我们利用机器学习算法来从标记的数据推断这些这两个步骤一起确保该框架是物理约束和数据驱动的。最后，我们将该库集成到CFD软件中，并进行了鲁棒性和可靠性测试。目前，我们正在使用不同的基线流程和不同的机器学习算法来测试这个框架。湍流模型不确定性量化的物理约束机器学习库的软件实现即将发布。引用Albanese ， D.;Riccadonna ， S.;Donati ， C.; 和Franceschi，P. 2018。一个求最大信息系数的实用工具分 析 . 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