化学反应网络与定性动力学研究

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记350（2020）73-90www.elsevier.com/locate/entcs二分物种-反应图及其与相互作用图和化学反应网络定性动力学Hans-Michael Kaltenbach汉斯-迈克尔·卡尔滕巴赫1，2瑞士巴塞尔苏黎世联邦理工学院生物系统科学与工程系摘要动力系统的雅可比矩阵及其主子式在定性动力学研究和分岔分析中起着重要的作用。当把雅可比矩阵解释为一个相互作用图的邻接矩阵时，它的主子式与该图中不相交的圈的集合有关，定性动态行为的条件可以从其圈结构中推断出来。化学反应系统的雅可比矩阵分解为两个矩阵的乘积，这允许通过研究相应的二分物种反应图进行更细粒度的分析已经提出了几种不同的二部图，并推导出了关于内射性、多平稳性和分支的结果。在这里，我们提出了种反应图的一个新定义，它将循环结构与行列式展开项、主子式和特征多项式的系数直接它包括以前的图结构作为特殊情况。该图与交互图有直接关系，并且循环和子图的属性可以在两个方向上转换一个简单的等价关系可以简化行列式展开式的分解，并允许更简单和更直接地证明以前的结果。关键词：化学反应网络;行列式;二分图;相互作用图;线图;定性动力学1引言化学反应系统的分析受到这样一个事实的阻碍，即诸如动力学速率常数之类的参数固有地难以从实验数据中获得，并且体外参数可能无法转化为体内实验。然而，与一般的动力学系统相比，化学反应系统的动力学受到反应网络的化学计量和拓扑结构的约束。此外，虽然化学速率定律的精确代数形式通常是困难的，1电子邮件：michael. bsse.ethz.ch2.我们要感谢IreneObernMuras、MarkusBeatDur？r和J？orgStelling进行了富有成效的讨论。感谢欧盟FP7项目UNICELLLEND的财政支持。https://doi.org/10.1016/j.entcs.2020.06.0051571-0661/© 2020作者。出版社：Elsevier B.V.这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。74H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）73为了确定，它们在反应物的浓度中通常是单调的。已经提出了几种方法，利用这些约束，并允许在不知道参数值和速率定律的最小条件下确定反应网络是否能够实现特定的定性动力学，如振荡和多重平衡，并建立平衡的稳定性。虽然化学反应网络理论[14，10，9]，化学计量网络分析[4]和生物化学系统理论[17，18，19]等方法利用了反应系统的特定代数结构，但最近的方法专注于动态系统及其属性的雅可比矩阵的图形表示。已经提出了两类主要的图：符号相互作用图将雅可比矩阵解释为邻接矩阵，并将参与相同反应的化学物质相关联。然后，正循环对于多平稳性是必要的，而负循环对于振荡是必要的[11，23，22，15];还研究了其他标准[8]。没有负的无向循环意味着相对于正交锥的单调性，排除了混沌和振荡动力学[21，20，13]。另一方面，反应系统的雅可比矩阵可以写为化学计量矩阵和反应速率定律的雅可比矩阵的乘积，从而产生了具有不同顶点的物种和反应的二分物种-反应（SR）图的表示在定性动力学的背景下，已经提出了几种SR图，例如无向[6，3]和有向[16]物种反应图，以及具有多个边类型的图[3]。无向SR-图的有向版本也需要在[6]中考虑。已经导出了多重平衡和振荡存在的准则[3，16，5，6]以及建立单调性的准则[21，1]利用矩阵的主子式及其相关图中的循环与特征多项式中的系数之间的关系，可以推断系统中鞍点和Hopf分叉的可能性[16]。在这项工作中，我们阐明了各种基于相互作用和二分图的方法是如何相关的，并提出了一个新的定义的物种反应图，命名为有向物种反应图（DSR-graph），这提供了额外的洞察几个既定的结果。我们开发并强调行列式展开式，主子式，雅可比矩阵及其交互图，以及我们的DSR图之间的直接关系，利用长期已知的关系[12]。基于DSR-图的子图的简单等价关系，我们给出了Jacobian行列式及其主子式的符号定义的精化准则，并证明了在[16]和[6]中独立开发的两个准则的等价性。2化学反应网络化学反应网络由其化学物种S1，...，Sn和相关反应R1，...，河反应Rj描述了一组物种如何转化为另一组物种，并由下式正式给出：Rj：y1，jS1+· · ·+yn，jSn−→y1J，jS1+· · ·+ynJ，jSn，H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）7375.Σ.Σ··Σ其中yi，j∈ N是底物Si的分子量，yiJ，j ∈N是产物Si的分子量。可逆反应被建模为两个不可逆反应：前向反应和后向反应。我们要求没有物质既是反应的底物又是反应的产物，即，我们排除了诸如A+B→2A的反应;化学计量矩阵N∈Zn×r则是具有元素Ni，j=yiJ，j−yi，j的定义良好的矩阵，其中Ni，j>0（分别为：Ni，j0），如果物种Si是一个产品（相应地，<底物），如果不参与反应，则Ni，j=0我们用xi（t）∈R≥0表示物质Si在时间t的浓度，并定义状态向量x∈x（t）=（x1（t），.，xn（t））T.我们采用惯例放弃对t的显式依赖。反应系统的时间动力学由非线性常微分方程Dx（t）=f（x（t），k）=N v（x（t），k），（1）DT其中v（x（t），k）=（v1（x（t），k），.，vr（x（t），k）T是具有正速率参数k的反应速率向量。反应速率vj（x（t），k）描述了反应速率Rj作为系统当前状态x的函数我们将注意力限制在非自催化速率定律上，其中如果物质Si是反应Rj的底物并且所有浓度都是正的，则v j /xi> 0，如果Si不是反应Rj的底物，则v j/xi> 0。 因此，底物浓度的增加不会降低反应速率，并且不是底物的物质不会影响反应速率。在[3]中给出了非常相似的可逆反应条件。我们用内流反应Rj：Si → Si和外流反应Rj：Si → Si来模拟系统边界上的质量输运，内流反应的速率为vj（x，k）= kj·xi，外流反应的速率为vj（x，k）=kj·xi.3雅可比矩阵与定性动力学反应系统（1）的雅可比矩阵是函数J=0.01fixj1≤i，j≤n=Nvixj.1≤i≤r， 1≤j≤n在某个状态x0处进行评估，得到的矩阵J（x0）允许近似x 0附近的系统一个多指标的大小|α|： = l是元组α =（α1，...，αl）n {1，.，n}，其中α1<···<αl.我们用Jα表示J的子矩阵，它是通过选择在α中具有索引的行和列而得到的;它的行列式det（J α）称为阶的主子式|α|.J的特征多项式取决于系统状态x，形式上由下式给出：PJ（λ）= det（λI−J）=λn+cn−1λn−1+···+c1λ+c0其中ci=（−1）n−iα {1，.，n}|α|=n − idet（Jα）.76H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）73ni=1πi=1因此，主子式的符号在确定化学反应系统的定性动力学中起着重要的作用：（i）在非自催化反应速率的完全开放系统中，如果det（−Jα）的所有主子式对于所有x>0都是正的，则多稳态被排除在外[2];对于质量作用动力学，这个标准简化为det（−J）>0[7]。（ii）鞍结分岔的一个必要条件是一个零特征值，它只存在于当c0= 0时，因此det（J）= 0。(iii)一个Hopf-Andronov分支需要一对实部为零的共轭特征值在某些条件下，系数ci= 0对i/= 0的消失意味着（n−1）阶Hurwitz行列式消失，这反过来又是虚特征值共轭对的必要条件[16]。4行列式展开式与交互图回想一下，det（J）的行列式展开可以通过下式计算：det（J）=<$（−1）sign（π）Ji，π（i），（2）其中π在{1，.，（一）是它的标志。注意，Ji，π（i）取决于系统状态和参数值。 通过将J解释为相互作用图GI的邻接矩阵，其顶点集是物种S1，...，Sn，并且当Jji/Jj = 0时，存在具有（形式）标号γ（e）= Jji的边e =（Si，Sj）.一个循环是一个开始和结束于同一个顶点的边的序列;如果没有顶点出现超过一次，它是简单的定义4.1 [line-graph [12]]设C1，.，Cq是不相交的简单圈的集合Ci，覆盖图G的每个顶点恰好一次：如果i = j，则V（G）= V（C1）<$··<$V（Cq）和V（Ci）<$V（Cj）=<$。他们的工会QL：=CiGi=1是G的一个子图，称为线图。L的标号为γ（L）=e∈Lγ（e）。我们用L（G）表示G的所有线图的集合。线图也被称为哈密尔顿环[22]或核[8]，[16]中子图的特殊定义与同一概念有关线图对应于排列：对于任何排列π，项nJi，π（i）的行列式展开式非零当且仅当所有对应的边（Sπ（i），Si）存在于GI中.由于这些边形成线图L，所以乘积等于这个线图的标号：γ（L）=Ji，π（i）。置换的符号也容易从图中提取：H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）7377R我 Jj，lxi定义4.2[线图的正负号]设f（L）是线图L中偶数长圈的个数。然后，ω（L）：=（−1）<$（L）。被称为L的符号，对应于由下式给出的置换的符号：L[12]。注意，ω（L）与sign（γ（L））无关。它通过ω（L）=−γ（−L）与文献[22]中提出的正负号γ（L）直接相关，其中−L表示带有边标号−γ（·）的线图。现在我们可以用纯图形的形式来表示J引理4.3（Harary [12]）J的行列式展开式如下：det（J）=ω（L）γ（L）=ωω（C）γ（C）.（三）L∈L（GI）L∈L（GI）C<$L确定行列式的符号的问题则涉及到确定线图的符号，而线图的符号又取决于其组成边的符号。我们称一个边为符号定义的，如果它的标签的符号与系统状态x无关。下面的引理从反应网络的性质建立了符号-定义。引理4.4（符号定义边）设GI是一个交互图。 边（S，SJ）∈E（GI）是符号定义的，当且仅当不存在两个反应R，RJ使得S和SJ都是R中的底物，S分别是Rj中的底物和Sj的产物.证据W.l.o.g.，令S=Si且SJ=Sj。然后，边标签为γ（（S，S））=J=Nl=1波夫湖如果Si不是Rl中的底物，则n vl/n xi=0，因此假设Si是两个反应Rl和Rp的底物。如果Sj也是Rl的底物，则Nj、 0且Rp对和提供正贡献，使其符号依赖于x。因此，γ（（Si，Sj））的总符号是不定的，当且仅当Sj是一个反应中的底物和另一个反应中的产物，这可以单独从化学计量矩阵建立。Q我们注意到，这些考虑也适用于任何主子式，限制注意其诱导子图的GI。这允许通过研究所有子图G（Jα）的线图来计算特征多项式的每个系数ci，其中|α|= n− i。j，i78H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）735有向物种反应图通过交互图进行定性动力学分析受到大多数网络包含符号无限边这一事实的极大阻碍。此外，边缘标签通常是包含不同速率导数的项的总和，使得它们难以独立于物种浓度x进行比较。这些问题可以通过利用化学反应系统的特殊结构来解决，该结构自然地导致具有物种和反应的顶点的二分图。我们提出的有向物种反应（DSR）图直接涉及到以前的二分图的定义，但补救了几个缺点。它也直接关系到相互作用图，我们利用这种关系，制定了相应的行列式展开在适当定义的线图。一个关键的观察是，线图的DSR自然落入等价类和参数的主要未成年人的符号可以通过查看每个等价类来解决。定义5.1[有向物种反应图]化学反应网络的有向物种反应图（DSR图）G物种顶点VS={S1，.， Sn};反应顶点VR={R1，.， Rr}以及边集E=ESRERS，其由以下组成：速率边缘：E={（S，R）∈V×V| ∂v/∂xJ.J./0}带有标签λ（（S，R））=SR ijS Rjii j化学计量边缘：ERS={（Rj，Si）∈VR× VS|Ni，j= 0}，标签为λ（（Rj，Si））= Ni，jλ对ESR和ERS的限制分别用λSR（a速率标号）和λRS（a速率标号）表示化学计量标记），使得对于G的子图H，我们有λRS（H）：=（Si，Rj）∈ERS（H）Nij∈R且λSR（H）：=e∈ESR（H）λ（e），λ（H）=λRS（H）·λSR（H）。重要的是，对于所有x> 0，λSR（H）（x）>0。如果相应的边集为空，则任一标签保持未定义。我们的DSR-图在小但重要的方面偏离了以前对二分物种-反应图的定义：[7]的SR-图使用无向边并通过物种出现的复合体反应同侧的物种形成C对。证明中考虑了图的所有可能的方向。在我们的DSR图中，这些信息被明确地编码在边的存在和方向中，并且两个产品不形成c对。 相反对于c-对，[2]中类似的无向图将边标记为+1或-1，H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）7379`Σ是的。在[16]中提出的图使用有向边，但不包含来自对其底物的反应的边。相反，从底物到其反应的定向边可以在相反方向上遍历，而从反应到产物的定向边不能，这也需要允许线图中的半循环和路径。在该图中，质量作用动力学也通过将来自于Rj/Rj xi的相应因子（其是Rj中Si的底物分子量）与化学计量标记合并并使用相对浓度来利用。例5.2考虑一个简单的反应网络，包含两个物质A、B和反应R1：aA→bB;R2：cB→dA;R3：A→B;R4：α →A; R5：B→B;R6：B →B该网络的DSR图如图1所示，具有直观的解释：反应顶点表示反应速率，仅受其底物的影响。 利率的变化意味着积极的变化 在产品的速率，和负的变化率的基板;这是反映了相应的边缘。速率边标签λSR是正函数，化学计量边的状态无关标签λRS对产物为正，对底物为负与交互图相反，DSR图的任何子图都是符号定义的：命题5.3（符号限定子图）设H∈G是A的任意子图，DSR-图G使得E_RS（H）≠. 然后，sign（λ（H））= sign（λRS（H））·sign（λSR（H）） 符号（λRS（H））与系统状态x> 0无关。≥1000x所提出的DSR图直接涉及到同一网络的交互图。大多数结果依赖于简单的道路和简单的循环在GI转化为简单的道路和简单的循环在G，因此，我们强调这种关系。命题5.4（DSR-与交互作用图的设G=（VS，VR，E，λ）是化学反应网络的DSR图。该网络的相互作用图GI=（V（GI），E（GI），γ）被发现为：V（GI）=VSE（GI）={（S，SJ）∈ VS× VS|<$R ∈ VR：（S，R），（R，SJ）∈ E}γ（（S，SJ））=R∈VRλSR（（S，R））·λRS（（R，SJ））。因此，GI中的边可以对应于从VS到VS的若干2-路径（S，R，SJ）。80H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）73R5：B→ CB+1个−阿克斯A阿克斯湾⎛⎝⎞⎠×R6：B →BR4：A →A+1个B3A.A.B1A.A.一−1DR2： cB→dAR1：aA→bBR3：A→ B−aBB2CIBBBZV5CI−c−1图1.一、示例5.2的网络的有向物种反应图。物种的顶点是圆形的，反应的顶点是矩形的。 生成反应R4，R6已明确显示，但在分析时可以忽略.为了可读性，我们使用A，B而不是xA，xB通过不同的反应R∈VR， GI中边标号的每个被加数恰好对应于G中2-路的标号之一。例5.5在例5.2的网络中，考虑左上角的条目J1， 1 =a=1阿克斯AB3--在雅可比矩阵中。GI中的对应边（A，A）对应于2-路（A，R1，A），标号为−av1 和（A，R3，A），标号为− v3 在DSR中-graph.当J=N·（λv/λx）时，化学计量矩阵是描述G中化学计量边及其标号的关联矩阵，而（λv/λx）是描述速率边及其标号的关联矩阵.G的邻接矩阵为B=0N。（200v/200x） 0从VS到VS的所有2-路都由B2的左上nn子矩阵来描述，它正好是J广义地说，GI中的一条边、一个简单圈或一个线图通常分别对应于G中的若干条2-路、圈或子图这个一对多映射在G上导出了一个等价关系。定义5.6[2-路的等价性]考虑一个具有DSR-图G=（VS，VR，E，λ）和相互作用图GI=（V（GI），E（GI），γ）的反应网络设e=（S，SJ）∈E（GI）是一条边，记为e|R ∈ VR}H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）73811B1E−1B1公SE−11B2∂ESES1R2：ES→E+S−1B3∂ES1−1R1：E+S→ESG中所有对应的2-路的集合G的两条2-路p，PJ等价，如果p，pJ∈ ∈E，e∈E（GI）.定义5.7 [种圈;种线图]等价关系扩展到圈C =（e1，...， eq）和线图L = C1+···+Cq，Cpq）|pi∈ ei}和L：={D1+···+Dq|Di∈ <$Ci <$}。G中的类圈或类线图分别称为G中的类圈或类线图。每个类圈在类圈C中以相同的顺序使用相同的类顶点集，但不同的反应顶点。每个类线图是一组简单的不相交的类圈，它们只覆盖每个类顶点一次。我们再次用下式表示G中所有种线图的集合：L（G）：=L∈L（GI）我的天例5.8考虑一个米氏-曼腾型机理，由以下反应给出：R1：E+S→ES;R2：ES→E+S;R3：ES→E+P该机制的DSR图如图2所示。边e=（ES，E）∈E（GI）对应于G中的等价类εeε={（ES，R2，E），（ES，R3，E）}.因此，GI的圈C=（ES，S，ES）对应于G中的两个种圈，使用来自EE的2-路和2-路（E，R1，ES）：C图二、实施例 5.8 的 Michaelis-Menten型机理的DSR图。6行列式展开与DSR图现在我们将注意力转向det（J）（以及det（Jα））在DSR图中的展开我们特别感兴趣的条件，保证行列式不为零的任何积极的系统状态x>0。P1R3：ES→E+P82H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）73Σ−引理6.1（子图的设L∈G是G的线图，并将L的正负号定义为σ（L）：=（−1）<$（L）其中n（L）是L中具有偶数个物种顶点的圈的数目。然后，ω（C）=σ（D）对任意循环C <$GI和D ∈ <$C <$.证据G中具有k个顶点的类圈D对应于G中的圈C，GI的长度为k。 因此，ω（C）=（−1）k=σ（D）。Q现在很容易找到纯粹根据DSR-图的行列式展开引理6.2（利用DSR图的行列式展开）考虑具有雅可比矩阵J和DSR图G的化学反应网络。然后，det（J）=L∈L（G）σ（L）λ（L）。证据 我们将表达式简化为引理4.3中GI的表达式：σ（L）λ（L）=L∈L（G）<$ω（LJ）γ（LJ）=<$ω（LJ）γ（LJ），其中ω和γ也是GI中的正负号和标号函数。Q例6.3考虑例5.2的DSR图，如图1所示。它的物种线图是L1：（A，R1，B，R2，A）;L2：（A，R1，A）（B，R2，B）;L3：（A，R1，A）（B，R5，B）L4：（A，R3，A）（B，R2，B）;L5：（A，R3，A）（B，R5，B）直接对应于五个扩展项det（J）=bdv1v2B.A.B.A. +交流电压1/2B.A.B.A.+a/1/5B.A.B.A.+c v3v2B.A.B.A.+100%3 第五章.B.A.B.A.`L1x`L2x`L3x`L4x`L5x与GI的行列式展开不同，G的标号的乘积和表示产生了种线图与展开项的直接对应.如果项的物种线图具有相同的底物反应边，则项具有相同的偏导数这一观察激励识别G中的相容线图，并从其化学计量标记确定它们对扩展的总体贡献。命题6.4（相容性）设H，HJ是G的两个子图. 的关系L∈L（GI）L′∈<$L<$L′∈L（GI）H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）7383H，HJ兼容 ：刘伟 ESR（H）=ESR（HJ）84H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）73Σ.Σ定义了一个等价关系，我们用H <$HJ表示。我们进一步写道[H]：={HG| {\fn黑体\fs22\bord1\shad0\3aHBE\4aH00\fscx67\fscy66\2cHFFFFFF\3cH808080}对于子图H的等价类，特别地，在商集L（G）/L（G）中，G将L（G）划分为等价类证据 重显性、对称性和传递性是显而易见的。Q作为一个例子，例6.3中的L1和L2是唯一的非平凡相容的物种线图。相容性的概念提出了一种通过对L（G）的每个相容性类求和来确定det（J）是否为零的策略。如果所有类都是非负或非正的，则行列式的符号与状态x无关。定义6.5 [等价类的化学计量项]设G是一个DSR-图，并考虑一个相容类[L] ∈ L（G）/G。术语Λ（[L]）：=L′∈[L]σ（LJ）λRS（LJ）故称为“无”。它是一个与x无关的常数，并且仅从化学计量矩阵引理6.6（计算化学计量项）固定一个物种线图L ∈ L（G）。 设rj是L中与底物Sj的唯一反应的指数。 定义n×n矩阵WL，Wi，j =1， 如果（Sj，Rrj）∈ESR（L）0，否则，设NL是n × n化学计量矩阵，列不在{r1，...， rn}删除. 然后，Λ（[L]）= det（NL·WL）=± det（NL）（4）其中符号由WL唯一确定。证据矩阵NL·WL对应于一个只包含对应于[L]的底物反应对的速率边的图;它的行列式是该图中所有剩余物种线图的贡献之和。此外，WL只是一个置换矩阵，其行列式为±1。Q定理6.7（相容类的行列式展开）考虑一个反应网络，设J是它的雅可比矩阵，G是它的DSR-图。然后，det（J）=[L]∈L（G）/GΛ（[L]）·λSR（L）。（五）对于所有x>0，行列式是非负的，如果对所有[L]∈L（G）/G， Λ（[L]）≥0H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）7385并且如果对于至少一个相容性类另外Λ（[L]）> 0，则为正。类似的条件适用于行列式的非正性（负性）。证据 因为G是L（G）上的等价关系，所以我们可以划分和第6.2章每一个人请注意，对于类的所有成员如果所有的化学计量项都是非负的，那么其和也是非负的。Q注意，（5）和（4）是柯西-比奈公式det（N·v/x）的图形版本现在我们可以将注意力限制在确定每个相容性类的化学计量项的非负性（或非正性）上。为了方便起见，我们集中讨论det（J）=（−1）ndet（−J），它是通过反转G中化学计量边的符号得到的。行列式展开式显然是非零的，当且仅当det（J）的展开式是。首先，我们给出了一个充分的条件，找到一个积极的扩张项在开放的网络。引理6.8（开放网络中正项的存在性）考虑一个反应网络，假设对于每个物种Si，1≤i≤n，存在一个流入反应Si → Si和一个流出反应Ri：Si→ Si。 考虑DSR-图G（−J），让L是物种线图nL输出：=（Si，Ri，Si），i=1从每个物种到它自己的2-路径通过它的外对流反应。然后，(i) [Lout] ={Lout}(ii) Λ（[Lout]）>0(iii) 对于所有x> 0，Λ（[Lout]）·λSR（Lout）>0证据首先注意Si是Ri的底物，所以对于每个物种Si，（（Si，Ri），（Ri，Si））∈E×E。因此，Lout确实是一个物种线图。由于没有其他的边从外切流反应中出来，没有其他的物种线图可以使用相同的底物反应对，因此相容性类只有一个元素。L out中的每个圈都有一个物种顶点，因此σ（Lout）=+1。此外，它的化学计量边在G（−J）中是正的，因此[Lout]的化学计量项也是。对于正浓度，流出速率变化为正，证明了最后一个声明。Q接下来，我们证明了包含可逆反应的前向反应和后向反应的物种线图这一结果也为分裂可逆反应提供了一个回顾性的解释。引理6.9（可逆反应的零贡献）设L∈ L（G）是类线图。设Rf，Rb为可逆反应的正向和反向反应86H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）73B−aSFSB −b一RbRfBSFB一SB一RbRf反应，并假设Rf，Rb∈ VR（L）。然后，Λ（[L]）<$0.证据图3中示出了该证明中的构造。用Sf，Sr∈VS（L）表示具有（Rf，Sf），（Rb，Sb）∈ERS（L）的物种.由于Rf，Rb构成一个可逆反应，因此图G中存在边（Rf，Sb），（Rb，Sf）.用（Rf，Sb），（Rb，Sf）代替（Rf，Sf），（Rb，Sb）构造一个子图Lj.如果Rf，Rb包含在一个类圈C3∈ L中，则它们现在包含在两个不同的圈C1，C2∈LJ中（反之亦然）.因此，LJ是一个种线图，并且Lj<$L.此外，λ（（Rf，Sf））=−λ（（Rb，Sf））和λ（（Rb，Sb））=−λ（（Rf，Sb）），并且λ（L）=λ（LJ）。然而，令ni：= |E（Ci）|得双曲余切值.σ（C1）σ（C2）=（−1）n1−1（−1）n2−1=（−1）n3−2=−σ（C3）因此σ（LJ）λ（LJ）=−σ（L）λ（L）。这种构造给出了类线图L和LJ之间的双射，从而Λ（[L]）<$0。Q图三.引理6.9的构造说明。一个包含正向和反向反应的循环被分成两个循环，导致一个具有相同绝对标号但符号相反的相容线图。虚线：图中的任意路径;粗线：定义相容性类别的底物反应边见图4。补偿循环的图示。对于循环Cycle 1（C），总是存在相容的补偿循环（中心，LC），其化学计量可能占主导地位。然而，第二兼容循环循环2可以产生相同的补偿循环。圆形（矩形）节点表示物种（反应）顶点。引理6.10（正相容种线图的设G（−J）是一个DSR-图，并考虑一个包含圈C的种线图L。 构造一个子图LC<$G，将C中的每条H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）73872-路（（S，R），（R，SJ））替换为（（S，R），（R，S））.然后，88H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）73(i) σ（LC）λ（LC）>0，对于所有x>0(ii) LC(iii) （L\C）LC L.证据 该结构如图所示。 四、 当（S，R）∈ E（C）时，物种S是R的底物. 则（R，S）也∈E（G），从而LC是G的一个真子图，它的每一个类点Si∈VS（C）到它自身都有一个奇长圈Di因此，对于所有x>0且i = 1，.，n.这些循环使用与C相同的底物-反应对，因此C LC。 它们也恰好覆盖C中的每个类顶点一次，所以L <$（L\C）<$LC。作为特殊情况，LC=C，如果|=1。|= 1.Q种线图贡献的符号取决于它的组成种圈。由于DSR-图的每个子图都是符号定义的，我们可以通过确定循环中衬底到衬底2-路的数量来给出物种循环为正或负的引理6.11（类圈符号的条件）考虑一个DSR-图G（−J）中的类圈C。 设s为C中的2-路（S，R，SJ）的基底对的数目，使得S，SJ都是R的基底。如果σ（C）λ（C）> 0，则称C为p-圈（n-圈）。< 0）。然后，C是p-循环，S是偶数C是n圈的，S是奇数。证据 我们考虑VS（C）偶/奇和s偶/奇的四种可能的组合。当VS（C）为偶数，s为奇数时，负2-路的个数也为奇数，因此σ（C）= +1，λ（C）为0，因为E（C）包含奇数条负化学度量边.<因此，C的总贡献为负。其他三个案件遵循同样的推理。Q在[7，2]中，p-圈（n-圈）被称为e-圈（o-圈）。作为引理6.10的结果，我们可以给出一个简单的条件，当对行列式展开的负贡献被抵消时（也见[7，2]）。命题6.12（支配项）设G（−J）是一个DSR-图，并考虑一个包含n-圈C的类线图L。令LJ=（L\C）<$LC。然后，σ（L）λ（L）+ σ（LJ）λ（LJ）≥0λRS（LC）≥|λRS（C）|.然后我们说LC优于C。我们称C为化学计量或s-循环，如果λRS（LC）= |λRS（C）|.前面的引理6.10和命题6.12是决定对于所有x>0，行列式是否为零的关键。显然，对于一个物种线图L，若其相容类的化学计量项Λ（[L]）的贡献为负，则它包含奇数个n-圈。替换其中一个n圈CH.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）7389通过L.C.得到了一个新的相容种线图，它具有正贡献，补偿了负贡献。然而，在同一类中可能存在第二个物种线图，也具有负贡献，包含另一个负循环，导致相同的补偿物种线图。因此，补偿物种线图需要支配所有这些贡献的总和。其次，我们给出了这种情况出现的条件，并提供了一个简单的充分条件，排除它。定理6.13（类圈的类反应交）考虑G（−J）中的类线图L，并假设在每个相容的类线图中，每个n圈C都被LC支配。进一步假设Λ（[L]）<0.然后，存在L1，L2∈ [L]和两个不相交的n-圈C1<$L1，C2<$L2使得C1<$C2中的所有路开始于VS，结束于VR.证据图5给出了这个证明的一个例子。首先注意两个循环的非空交集总是路径的集合。设P是C1，C2的交集中的一条路.如果P以VS结尾，则存在涉及相同底物种类的两个底物反应对。 因此，L1，L2不能兼容。 如果P从VR开始，有两个不同的物种反应顶点通向它，一个来自C1，一个来自C2。这些边包含在导致非简单圈的所有相容子图中。因此，子图不是种线图。唯一剩下的情况是从VS到VR的路径，其产生独特的底物-反应对和（潜在地）相同数量的反应和物种。Q图五.相容线图中圈的不可行交的图解。左：以VS结尾的两个可能的交叉点都需要两个具有相同物种的底物反应对，并且不能发生在相容的子图中。 右：从VR到VS的交点使用两次反应顶点，导致总贡献为零。圆形（矩形）节点表示物种（反应）顶点。虚线边表示通过图的任意路径，粗体边表示底物-反应对。作为定理的一个推论，我们得到了一个简单的条件，圈结构的DSR-图，允许测试，如果网络的行列式不为零的任何地方。在[7]中首次提出了一个等价条件。推论6.14（正行列式的必要条件）考虑一个DSR-图G（−J）。行列式det（−J）是正的，如果(i) 存在至少一个正化学计量项90H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）73⊆⎝(ii) G中的每个圈C要么是p-圈要么被LC支配(iii) 没有两个n-圈有从VS到VR的交集引理6.8保证了开放网络中正项的存在。7扩展如果建立了关于速率导数的偏序，则可以推广利用等价类分解行列式展开式的思想.由于λSR（L）是速率导数的乘积，这个序在某些相容类L，LJ上导出一个偏序，使得对所有x > 0，λSR（L）≥λSR（LJ）.因此，这种类的顺序意味着，Λ（[L]）>Λ（[LJ]）=λΛ（[L]）·λSR（L）>Λ（[LJ]）·λSR（LJ），允许仅通过它们的化学计量项来比较两个等价类，使得[LJ]的负贡献可以由[L]的较大正贡献补偿，与x无关。对于质量作用动力学，这样的偏序是给所有物种线图，使用相同的反应顶点集。质量作用速率定律的速率导数具有简单形式vi（xxjj，i ixj现在考虑G（−J）中的两个物种线图L，LJ，其中VR（L）=VR（LJ）。然后，λ（L）=−N·v（x）·1而λ（LJ）=−N·v（x）·1，Sr并且因此（Sj，Ri）∈E（L）j，i ixjSr（Sj，Ri）∈E（L′）j，i ixjλSR（L）=λSR（LJ）（Sj，Ri）∈E（L）−Nj，i（Sj，Ri）∈E（L′）−Nj，i独立于x> 0。这允许将所有相容性类的结果与相同的反应顶点组合，这是[7，16]中采用的策略：让VR表示n个反应的s个集合，并且让GR表示n个反应的s个集合。G（−J）是满足VR（G） =VR的DSR-图。那么，G中的所有点线图对行列式有一个组合的非负贡献，如果[L]∈L<$（G<$）/<$Λ（[L]）·（Si，Rj）∈E（L）−Ni，j≠0。（六）这一项可以类似于引理6.6通过用合适的n×n矩阵。如果项（6）为负，则称为临界碎片（大小为n）[16]，并且临界碎片之间的关系问题H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）7391并提出了推论6.14由于乘积（−Ni，j）都是正的，推论6.14给出了排除临界片段的充分条件，因为它建立了（6）中每个被加数的非负性8讨论动态化学反应网络模型的特殊结构允许导出建立或排除特定定性动力学的条件。这些条件使第一次分析和模型选择独立的数值速率常数和一个大类的速率定律的所有成员在这里，我们提出了一个新的定义的二部物种反应图，称为DSR-图。与以前的定义不同，循环的所有相关特征，例如遍历边的可行方向以及物种和反应的底物/产物关系，都直接编码在图中。我们的DSR-图包含作为特殊情况的模糊定义。我们阐明了DSR图与系统交互图的直接联系，并演示了如何通过简单的边和2-路等价为了计算雅可比矩阵的行列式展开式的项，两个图产生结构相似的公式，但是DSR图允许对项进行更细粒度的分析。作为化学反应系统的二分图的一个新结果，我们提出了一个简单的等价关系的物种线图的DSR-图，允许收集可比项的扩展，随后使更简单，更直接的证明条件的雅可比矩阵的主子式的非零。我们最终解决了[16]中提出的一个问题，即它们的条件与Craciun等人在[7]中提出的条件之间的关系。引用[1] D.安吉里，德·林希尔。P.，和E.桑塔格反应坐标系下化学网络单调性的图论刻画 J. 数学Biol. ，61（4）：581[2] M.巴纳吉SR和DSR图中的循环结构：化学反应网络中多重平衡和稳定振荡arXiv：1005.5472v2，2010.[3] M. Banaji和G.克拉西恩一般化学反应系统的可注入性和唯一平衡的图论判据。高级应用数学，44：168[4] B. L. 克拉克复杂反应网络的稳定性 Adv. Chem. Phys. ，43：1[5] G. Craciun 和 M. 范伯格复杂化学反应网络中的多重平衡：I。注入性。《应用数学杂志》，65（5）：1526[6] G. Craciun和M.范伯格复杂化学反应网络中的多重平衡：II。物种反应图。《应用数学杂志》，66（4）：1321[7] G. Craciun，Y. Tang和M.范伯格理解复杂酶驱动反应网络中的双稳态。 Proc. Natl. Acad. Sci. USA，103（23）：8697 -8702，Jun 2006.[8] M. Domijan和E. P'ecou。质量作用反应网络的相互作用图结构。 J. 数学生物学，Aug2011.[9] M. 范伯格一类化学反应网络平衡态的存在唯一性Arch. Rational Mech. Anal. ，132：31192H.- M. Kaltenbach/电子笔记在理论计算机科学350（2020）73[10] M.范伯格亏度为1的化学反应网络的多定态。Arch. Rational Mech. Anal. ，132：371[11] J. - L. 古兹动力系统中的正回路和负回路 J. Biol. S y s t ，，6：11 - 1 5 ， 1 9 9 8 .[12] F.哈拉里 图的邻接矩阵的行列式。 SIAM Review，4（3）：202-210，July 1962.[13] M. W. Hirsch和H.史密斯Monotone maps：a review. Journal of Difference Equations and Applications，11（4[14] F. Horn和R. Jackson.一般质量作用动力学。Arch. Ration