广义概率幂域单子代数的理论研究及其在拓扑空间和连续映射中的应用

VVVVVV可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记345（2019）37-61www.elsevier.com/locate/entcs广义概率幂域单子代数Jean Goubault-Larrecq1，2 Xiaodong Jia1，3LSV，ENSParis-Saclay，CNRS，Universit'eParis-Saclay，法国摘要研究了扩展概率幂域单子的Eilenberg-Moore代数w除以T0拓扑空间和连续映射的TOP0范畴我们证明了在我们的设定中每个w -代数是弱局部凸sober拓扑锥，映射是w -代数的结构映射。当且仅当它是连续的，并将每个连续的估值发送到其唯一的重心。 相反地，对于局部线性sober锥（局部凸性的一种强形式），只要重心存在，重心映射就是W -代数的结构映射，而且在这种情况下，代数态射就是线性连续映射.我们还研究了两个相关单子的代数，简单赋值单子f和点连续赋值单子p。在TOP 0中，它们的代数分别被完全刻画为弱局部凸拓扑锥和弱局部凸sole拓扑锥。在这两种情况下，是对应代数之间的连续线性映射保留字：赋值幂整环，单子，Eilenberg-Moore代数，拓扑锥1介绍有向完全偏序集上的概率幂域构造（简称dcpo）由Jones和Plotkin引入，并用于为具有概率特征的编程语言提供语义[14，13]。dcpo的概率论域由定义在dcpo的Scott-开上的连续赋值组成，其中赋值是将实数分配给dcpo的Scott-开子集的函数。Jones证明了这个构造是dcpos和Scott-连续函数范畴上的单子。此外，她证明了这个单子可以被限制到连续域的全子范畴1本研究得到了Labex DigiCosme（项目ANR-11-LABEX-0045-DIGICOSME）的部分支持，该项目由ANR运营，是Idex Paris-Saclay（ANR-11-IDEX-0003- 02）“未来投资”计划的一部分2电子邮件：goubault@ens-paris-saclay.fr3电子邮件：jia@lsv.frhttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2019.07.0151571-0661/© 2019作者。出版社：Elsevier B.V.这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。38J. Goubault-Larrecq，X.贾/理论计算机科学电子笔记345（2019）37在连续Domain范畴中，该单子的代数是连续抽象概率Domain，其代数同态是连续线性映射。Kirch[20]通过规定估值可能采用非有限的值来推广Jones和Plotkin他证明了这个构造也是一个单子，可以限制在连续域的范畴内，而这个单子在连续域范畴内的代数是连续d-锥，这是一个在[25]中得到很好研究的概念。Heckmann在[11]中考虑了概率幂域构造的拓扑对应物，然后Alvarez-Manilla，Jung和Keimel在[15，2]中考虑了概率幂域构造的拓扑对应物。他们考虑了连续赋值集上的弱拓扑，而不是斯科特拓扑。在[11，命题5.1]中，Heckmann证明了对任何拓扑空间，结果空间都是sober的;在[15，2]中，作者证明了如果基础空间是稳定紧的，则结果拓扑空间是稳定紧的。这种拓扑结构与早期的工作[20]是一致的，其中Kirch证明了，如果从连续整环开始，则弱拓扑和Scott拓扑在连续变量集上重合。Cohen，Escard′oanddKeimel在[4]中进一步发展了这个构造，他们使用拓扑锥理论来检索定义，并将该构造称为T0空间上的扩展概率幂域他们证明了推广的概率幂域构造是T0拓扑空间范畴上的单子，并在同一篇文章中考虑了它在相关范畴中的代数，留下了一个猜想：在稳定紧空间和连续函数范畴上的这个单子的代数是稳定紧局部凸拓扑锥.将这个单子限制在紧序空间（紧序空间）和连续单调映射的范畴内，Keimel将这个单子的代数确定为可嵌入局部凸序拓扑向量空间的紧凸序集[16]。纲要本文研究了T0拓扑空间和连续函数范畴中的广义概率幂域代数。我们回顾了一些已知的事实，扩展的概率幂域单子在第2节，并在第3节锥。 在第四节中，我们证明了在T0空间范畴中，该单子的每一个代数都是弱局部凸sober拓扑锥，并且代数态射必须是连续线性映射。然后，我们展示了扩展的概率幂域单子和重心的代数之间的紧密联系，这种联系是从Choquet[3]中得到的启发，并且已经被Cohen使用Escard和Keimel在[4]中：代数的结构映射每个连续反之，如果重心是唯一的，重心映射是连续的，则它是一个代数的结构映射。此外，在所谓的局部线性锥上，仅仅重心的存在就定义了一个代数，而在凸T0锥上，所有连续线性映射都是代数态射。与[4]相比，我们不需要任何稳定的紧性假设，这是由于Schroder-Simpson定理（见3.2节）。我们还分离了新J. Goubault-Larrecq，X.贾/理论计算机科学电子笔记345（2019）3739地方线性的概念，这似乎在同上中被忽视了。在第5节中，我们考虑两个相关的概率幂域构造，简单赋值单子Vf和点连续赋值单子Vp。这些最初是由Heckmann在[11]中考虑的。我们将这两个单子的代数分别完全刻画为弱局部凸拓扑锥和弱局部凸sober拓扑锥。在这两种情况下，代数态射被证明是相应的代数之间的连续线性映射这些是Heckmann结果的简单推论你是谁？我们使用域理论[7，1]和非Hausdor拓扑[8]中的标准概念和符号。拓扑空间和连续函数的范畴用TOP表示。为了讨论的方便，我们把讨论限制在T0拓扑空间的全子范畴TOP0上用DCPO表示dcpos和Scott-连续函数的范畴.我们用R+表示正实数的集合，R+表示用∞扩张的正实数。扩展的正实数R+在我们的讨论中起着至关重要的作用。当R+被视为拓扑空间时，我们的意思是它具有Scott拓扑，除非另有说明。2扩展的概率幂域单子2.1扩展的概率幂域函子定义2.1拓扑空间（X，OX）上的赋值是一个函数μ，OX到扩展正实数R+，对任意U，V∈ OX：• （严格性）μ（λ）=0;• （单调性）μ（U）≤μ（V），如果U<$V;• （模块性）μ（U）+μ（V）=μ（U<$V）+μ（U<$V）。连续赋值μon（X，OX）是从OX到R+是Scott连续的赋值，也就是说，对于每个开子集的有向族Ui，i∈I，它成立：• （Scott连续）μ（i∈IUi）= supi∈Iμ（Ui）.同一拓扑空间X上的赋值按μ≤ν序当且仅当若对任意U∈OX，μ（U）≤ν（U）.该顺序有时被称为随机顺序。记为X上具有随机序的连续赋值集在VX。例2.2设X是一个拓扑空间，在x∈X处的狄拉克质量δx 定 义为：如果x∈U，则δx（U）= 1，否则δ x（ U）= 0。狄拉克质量δx是X上的一个连续赋值，对每个x∈X。40J. Goubault-Larrecq，X.贾/理论计算机科学电子笔记345（2019）37i=1例2.3设X是拓扑空间，线性组合<$nriδx我也是连续赋值，其中ri∈R+，xi∈X.这些估值被称为简单估值。X上所有简单赋值的集合记为VfX。例2.4设X是拓扑空间，μ，ν是X上的连续赋值，r，s∈R+。线性组合rμ+sν，定义为（rμ+sν）（U）=r·μ（U）+s·ν（U），对于每个开子集U，也是连续赋值。命题2.5 VX是随机序中的dcpo。证据 对于连续赋值的有向族μi，i ∈ I，以及任意开子集U∈X，定义（sup i∈Iμi）（U）= sup i∈Iμi（U）.我们可以证明supi∈Iμi是另一个连续赋值。参见[7，引理IV-9.8]和[11，第3.2节。(5)]有关详细信息Q我们可以通过使用下面的命题将V命题2.6设f：X→Y是拓扑空间X和Y之间的连续函数，μ是X上的任意连续赋值。则 映射Vf：μ<$→（U∈ OY<$→μ（f−1（U）从VX到VY是Scott连续的。证据直 截 了 当 。Q推论2.7V是从范畴TOP到范畴DCPO的函子. 证据直截了当。Q有 一 个 从 DCPO 到 TOP 范 畴 的 正 则 函 子 ， 即 Scott- 空 间 构 造 。 对 任 何dcpoL，L是拓扑空间（L，σL），其中σL是L上的Scott拓扑;对任何Scott连续函数f：L→M，f=f是从L到M连续的。将函子与V后合成，得到范畴TOP上的闭函子V，我们记为Vs。然而，用V预组合函子V，得到范畴DCPO上的内函子V，我们用Vd表示。Jones在她的博士论文[13]中证明了Vd是范畴DCPO上的单子，而且Vd可以限制在连续Domain的全子范畴上。然后，她用这个单子来模拟编程语言的概率副作用。很自然，人们想知道Vs是否是TOP上的单子。不幸的是，一般情况并非如此。问题是拓扑OX一般来说太稀疏而不能充分限制VX上的Scott拓扑。或者，考虑VX上的弱拓扑，我们将看到这是VX上的正确拓扑，它产生单子结构。定义2.8[20，Satz 8.5]对于拓扑空间X，VX上的弱拓扑由形式为[U > r]的集合的子基生成，U∈ OX，r∈R+，其中[U> r]表示连续赋值μ的集合使得μ（U）>r。我们使用J. Goubault-Larrecq，X.贾/理论计算机科学电子笔记345（2019）3741∫∫∈∫∫∫函数fha：X→R+，a∈A，我们有（sup a∈A ha）dμ=超a∈A连续函数f：X→R+，fd（rμ+sν）=rfdμ+sfd v.(vi)设f：X→Y是连续映射，μ是X上的连续值，i=1h（xi）。特别是对于狄拉克质量δx，h dδx= h（x）.(iii)对于每个下半连续的hadμ。VwX表示具有弱拓扑的空间VX，并称VwX为扩展的概率幂域或赋值幂域。类似地，我们可以通过定义其动作将Vw扩展为TOP上的函子连续映射f：X→Y上的Vwf，满足Vwf（μ）（V）=μ（f−1（V））。命题2.9 Vw是范畴TOP上的闭函子。证据主要的事情是检查Vwf对于每个连续映射f：X→Y都是连续的。 F或Y的任意子集 V ， 对 于 任 意 r∈R+\{0} ， （ Vwf ） −1 （ [V>r] ） ={μ∈VX|μ （ f−1（V））>r}=[f−1（V）>r]。Q2.2关于连续估值的连续估值是度量概念的变体。虽然措施允许一个集成可测量的功能，连续估值允许一个集成较低的半连续功能。一个从拓扑空间到R+的下半连续函数与一个从X到R +的连续函数是一样的，其中后者具有Scott拓扑。对于从X到R +的下半连续函数的集合，我们写L X。对于任何拓扑空间X，每个下半连续函数h：X→R+具有关于X上的连续赋值μ的Choquet型积分，定义为：x∈X h（x）dμ=<$∞μ（h−1（r，∞]）dr，0方程的右边是黎曼积分。如果没有混淆的风险发生，我们通常写x Xh（x）dμ为hdμ。 对于下面的讨论，我们收集了这个积分的一些性质，读者可以参考[20，24，21]了解更多细节。引理2.10（i）每 简单赋值μ=nriδx， hdμ=Σn∫i=1i（ii）对所有低k阶半连续函数h，k：X→R+，且r，s∈R+，有n（rh+(iv) 对于每个开集U，χUdμ = μ（U），这里χU是U的特征函数，当x ∈U时定义为χU（x）= 1，否则为0。(v) F或所有连续赋值sμ，νε∈VwX且r，s∈Rε+，对每个下半-g：Y→R+是下半连续函数。然后x∈X（g <$f）（x）dμ.y∈Yg（y）dVwf（μ）=sk）dμ=rh dμ+skdμ。42J. Goubault-Larrecq，X.贾/理论计算机科学电子笔记345（2019）37∫∫相反，对于LX上的每个下半连续线性泛函φ，这些性质意味着连续赋值的Riesz表示定理的一种形式[20]。它指出，关于连续赋值ν的积分定义了LX上的下半连续线性泛函f<$→fdν，并且，唯一连续赋值ν表示φ，在这个意义上，φ（f）=fdν，对于每个f∈LX，ν由ν（U）= φ（χU）给出。对于所有的h∈LX和r∈R+，我们定义[h > r] ={μ∈ VwX| hdμ > r}。在VwX的弱拓扑中，检查[h> r]是开的是一个例行的工作.它们也形成弱拓扑的子基，如[U> r] = [χU> r]。2.3单子结构使用积分，我们现在认为Vw定义了范畴TOP上的单子。回想一下，范畴C上的单子由一个内函子T：C→C和两个自然变换组成：η：1C→T（其中1C表示C上的恒等函子）和m：T2→T，满足等式m<$Tm=m<$mT，mTη=mηT= 1T。自然变换η和m分别称为单子的单位和乘法。或者，由于Manes，可以使用以下等效描述。定义2.11[22]范畴C上的单子是一个三元组（T，η，<$），它由一个从C的对象X到C的对象TX的映射T，一个态射η X：X→TX的集合η =（η X）X，一个对应于C的每个对象X，以及一个所谓的扩张运算<$，它将每个态射f：X→TY映射到f<$：TX→TY，使得：(i) ηX† x = idT;(ii) 对每个态射f：X→TY，f<$nX=f;(iii) 对所有态射f：X→TY和g：Y→TZ，g<$<$f<$=（g<$$>f）<$.这个定义的优点是，在检验T是单子之前，甚至不需要验证它是函子。事实上，每个在这个意义上定义的单子都产生一个内函子，通过将它对态射f：X →Y的作用定义为Tf=（ηY<$f）<$。单子η的单位为y（ηX）X，乘法m为ymX=id<$TX。以下是民间传说，并隐含在[4]中，例如。命题2.12函子Vw是范畴TOP上的单子。单位η对于每个X，由ηX：x<$→δx给出，对于连续函数f：X→ VwY，扩张运算由下式给出：ff（μ）（U）=<$x∈X f（x）（U）dμ.对于每个下半连续函数h：Y→R+，J. Goubault-Larrecq，X.贾/理论计算机科学电子笔记345（2019）3743∫∈∫Σχk=1Σ∫- 是 的∫ΣVw∈V英国是开放的，以避免不相关的细节。然后，k=1f（x）（Uk）> r，所以有公式如下：y∈Yh（y）df†（μ）=x∈Xy∈Yh（y）df（x）<$dμ.（一）特别是，函数x→y∈Yh（y）df（x）是下半连续的。证据映射x∈X<$→f（x）（U）对于每个开集U都是连续的，通过弱拓扑的定义，因此这个公式是有意义的。我们直接证明了最后一个主张。假设x∈X满足y Yh（y）df（x）> r，其中r∈R+\{0}。函数h是映射列表c的超元hN，定义为12N氮2氮k=1h−1（k/2N，∞]，所以， y∈Y hN（y）df（x）> r，其中N∈ N。让我们把hN为χUk （所谓的阶跃函数），其中，nnumbersrk∈R+\{0}使得f（x）（Uk）>rk，对eachk和n∈n然后k=1f（[Uk> rk]）是x的开邻域，并且rk≥ r.n−1k=1k=1Jy∈YhN（y）df（xJ）=nf（xJ）（Uk）> r，对于该邻域中的每个xJ。让我们定义Λ（h）为x∈X y∈Yh（y）df（x）dμ，对于每个h∈LX，现在就说得通了很容易看出，Λ是线性的和下半连续的，因此存在唯一的连续赋值ν，使得对于每个h∈ LY，Λ（h）=h dν。我们有ν（U）= Λ（χU），这就给出了f<$（μ）（U）的定义。剩下的就是检查单子方程。这可以像[20]中那样做，但Manes的公式使其更容易。等式（i）和（ii）是直接的。对于（iii），我们有：（g<$f<$）（μ）（U）=y∈Y g（y）（U）df†（μ）同时：=x∈Xy∈Yg（y）（U）df（x）dμby（1），（g<$f）<$（μ）（U）=x∈X g<$（f（x））（U）dμ=x∈Xy∈Yg（y）（U）df（x）dμ通过定义。Q注2.13对于拓扑空间X，单子的乘法mX在VwX处，发送每个连续赋值α∈ Vw（VwX）到id<$X（α）=（U<$→μw X μ（U）dα）。特别地，对于任何连续赋值μ ∈ VwX，mX（δμ）=μ。本文主要研究范畴TOP0上赋值幂域单子的Eilenberg-Moore代数。 回想一下，∫y∈Yh（y）df（x）≥.∫.∫∫.∫44J. Goubault-Larrecq，X.贾/理论计算机科学电子笔记345（2019）37范畴C上的单子T是一对（A，α），其中A是C中的对象，J. Goubault-Larrecq，X.贾/理论计算机科学电子笔记345（2019）3745αA：TA→A是C的态射，称为结构映射，使得αA<$ηA= idA和αA<$mA=αA <$TαA。C中的态射f：A→B称为T-代数态射，如果f<$αA=Tf<$αB.从单子代数的基本理论，我们知道，特别是对（TA，MA）是一个代数的T，其中m是乘法的T。在我们的例子中，（VwX，mX）是每个拓扑空间X的Vw-代数. 为了确定所有代数的位置，我们首先考察任意拓扑空间X的V w X的结构。我们将看到VwX是一个拓扑锥，定义如下。3锥3.1拓扑、局部凸和局部线性锥下面的例子来自[17]。定义3.1锥是一个交换幺半群C和一个满足向量空间相同公理的非负实数的标量乘法;也就是说，C被赋予一个加法（x，y）<$→x+y：C×C→C，它是结合的、交换的并允许一个中性元素0，和一个标量乘法（r，x）<$→r·x：R+×C→C，对所有x，y∈C和所有r，s∈R+满足以下公理：r·（x+y）=r·x+r·y（rs）·x=r·（s·x）0·x= 0（r+s）·x=r·x+s·x1·x =x r· 0 = 0对于r∈R+和x∈C，我们经常用代替r·x。一个拓扑锥是一个具有T0拓扑的锥，它使+和·分别连续。拓扑锥是具有T0拓扑的锥，使得+和·联合连续。注3.2如果·是分离连续的，则它自动是联合连续的[17，推论6.9（a）]。这是Ershov[6， Proposition 2]的一个定理的结果，该定理指出，每个从X×Y到Z的独立连续映射，其中X是c-空间（特别是其Scott拓扑中的连续偏序集），Y和Z是任意空间，都是联合连续的。定义3.3从锥C到D的函数f：C→D是线性的当且仅当对所有r，s∈R+和x，y∈C，f（x+sy）=rf（x）+sf（y）。例 3.4 扩 展 实 R+ 是 Scott 拓 扑 中 的 拓 扑 锥 ， 通 常 的 加 法 和 乘 法 扩 展 为 ：r+∞=∞+r=∞，对所有r∈R+，0·∞ =∞· 0 = 0，r·∞=∞·r=∞，对r= 0。例3.5对任何拓扑空间X，LX是具有点态加法和乘法的锥。它是一个拓扑锥，具有由逐点序诱导的Scott拓扑它是一个拓扑锥，如果X是核紧的（即，如果OX是46J. Goubault-Larrecq，X.贾/理论计算机科学电子笔记345（2019）37∈2连续晶格）。事实上，在这种情况下，LX也是一个连续格;这可以从[7，命题II-4.6]和R+是一个连续格的事实得到。每个连续dcpo在其Scott拓扑中是c-空间，那么我们使用[17，Corolary 6.9（c）]，它说每个具有c-空间拓扑的拓扑锥是拓扑的。例3.6对于每个有界超半格（L，≤，T，n），我们可以定义x+y为x≠y，如果r>0，则r·x为x，否则为n。这是一个圆锥体。对于Scott拓扑，它是拓扑锥，如果L是连续的，则它是拓扑锥[11，6.1节这说明了锥可以离向量空间有多远例3.7（i）对于任何锥C，从C到R+的所有线性映射的集合是一个具有逐点加法和标量乘法的锥。（ii）对任意拓扑锥C，从C到R+的所有下半连续线性映射的集合是一个点态加法和点态乘法的锥。我们把它记为C的对偶锥。 我们赋予C_（？）上弱拓扑，即构成函数的粗拓扑ηC（x）=（φ<$→φ（x））：C→R+对所有x C连续具有上弱拓扑的锥C是我一个拓扑锥，如任何幂R+的每个子锥，其子空间关于乘积拓扑的拓扑，例如参见[17]中定义5.1之后的讨论，或[4，第3节]。命题3.8对任何拓扑空间X，VwX是T0拓扑锥。VwX可以通过Riesz表示定理的一种形式与对偶锥（LX）φ等同;另见第3.2节。这是一条[4]的道路。我们给出了一个明确的证明。证明了对于一般的拓扑锥C，C是一个T0拓扑锥.证据 对于所有连续赋值μ，ν ∈ VwX和r ∈ R+，我们定义（r·μ）（U）=r（μ（U））和（μ+ν）（U）=μ（U）+ν（U）。很容易看出，VwX与+和·形成锥形结构。 我们继续检查+和·是联合连续的。为此，我们假设对于X中的某 个 开 U ，μ+ν∈[U > r]， 且 r∈R+\{0}.根据 定义， 这 意 味 着μ （ U） +v（U）>r。如果rμ（U）或rν（U）等于∞，假设μ（U）= ∞，则我们知道μ∈[U > r]，并且我们选取整个VwX作为ν的开邻域。显然，对任意μJ∈[U > r]和νJ∈ VwX，μJ+ νJ∈[U > r]。如果μ（U）+ ν（U）是有限的，我们选择一些s∈R+su c h，使得μ（U）+ν （U）>s >r，weetε=s−r，rμ=max{μ（U）−ε，0}，rν=max{ν（U）−ε，0}. 对所有μj∈[U>rμ]和ν j∈[U>rν]，有（μJ+νJ）（U）=μJ（U）+ νJ（U）> rμ+rν> r.所以我们证明了+是联合连续的。标量乘法的联合连续性可以类似地验证。对于T0-性，设μ1和μ2是两个不同的连续赋值。则存在一个开集U使得μ1（U）/=μ2（U）。不失一般性，我们假设J. Goubault-Larrecq，X.贾/理论计算机科学电子笔记345（2019）3747∗ⓈS即μ1（U）<μ2（U）。选择s使得μ1（U） s]是VwX的开子集，包含μ2但不包含μ1。QVwX上的锥结构也有其他性质。定义3.9锥C的子集A称为凸的，当且仅当对于任意两点a，b∈A，线性组合ra+（1−r）b在A中，对于任意r∈[0， 1]。• 锥C的子集A称为半空间，当且仅当A及其补集都是凸的。• 一个具有T0拓扑的锥C称为弱局部凸的当且仅当对于每个点x∈C，x的每个开邻域U包含x的凸（不一定是开）邻域。• 具有T0拓扑的锥C称为局部凸的当且仅当每个点具有开凸邻域的邻域基• 具有T0拓扑的锥C称为局部线性的当且仅当C具有开半空间的子基。文[11]中引入了弱局部凸性，简称为局部凸性。我们的局部凸性概念是[17，4]中的概念。局部线性的概念是新的。注意，所有这些概念在拓扑向量空间的上下文中都是等价的。命题3.10每个局部线性拓扑锥是局部凸的，而每个局部凸拓扑锥是弱局部凸的。Q例3.11任何拓扑锥C（在例3.7中定义）的对偶锥C是局部线性的。证明了集合（ηC（x））−1（（r，∞]）对于所有x∈X和r∈R+都是半空间，并且它们形成C上的上弱拓扑的子基。例3.12将前面的构造具体化为VwX<$=（LX）<$，VwX的子基开子集[U > r]都是半空间，所以VwX是局部线性的。VwX上的拓扑大于T0，它实际上是由[11，命题5.1]证明的.因此：命题3.13 VwX是任意空间X的局部线性sober拓扑锥。Q例3.14对每个核紧空间X，LX是连续格。使用Keimel [ 17，Lemma 6.12]归因于Lawson的一个论证，可以得出LX（及其Scott拓扑）是一个局部凸拓扑锥。我们认为LX实际上是局部线性的。更一般地说，对于任何空间X，LX是局部线性拓扑锥，其sobrificationX是-consonant [5，定义13.1]。(If X是core-紧的，则Xs是局部紧sober的[8，定理8.3.10]，每个局部紧sober空间是LCS-完备的，并且每个LCS-完备空间是n- consonant的[5，引理13.2]。首先，LX同胚于LXs，其中Xs是X的sobrification[10，引理2.1]。这是因为R+是清醒的，因此从X到R+的每个连续映射都有唯一的Xs的连续扩张。这48J. Goubault-Larrecq，X.贾/理论计算机科学电子笔记345（2019）37同胚也是锥的同构如果Xs是X-辅音的，则LXs上的Scott拓扑与紧开拓扑[5，推论13.5]一致次基算子是一个子集{f∈LX s|f（Q）<$（r，∞]}（Q紧饱和于Xs，r ∈R+）是开半空间.例3.15这里是一个局部凸的非局部线性拓扑锥的例子。考虑任何完备格L，并赋予它Scott拓扑和例3.6的锥结构。它的非空凸子集是它的有向子集。特别地，每个开子集都是凸的，这意味着L是平凡局部凸的。对于每个非空凸闭子集C，C是有向的且闭的，所以x= supC在C中，因此C是下闭包↓xX.因此真开半空间恰好是点的下闭包的补空间。 由此可见，由开半空间生成的拓扑是上拓扑。特别地，L是局部线性的当且仅当上拓扑和Scott拓扑重合。 特别地，对于连续（完全）格L，L是局部线性的当且仅当L是超连续的[7，命题VII-3.4]。分配超连续格是拟连续dcpos的Stone图[7，命题VII-3.7，VII-3.8]。因此，任何形式为OX的格，其中X是核紧的但不是拟连续的dcpo（或不具有Scott拓扑），是局部凸拓扑锥，不是局部线性的。 例如OR，其中R带有它的度量拓扑，fits。注3.16我们已经提到在[4]中没有使用局部线性，人们可能认为这是由于作者依赖稳定紧性。然而，存在稳定紧的、局部凸的但非局部线性的拓扑锥：任何连续的、非超连续的格L都可以作为例子（例3.15），因为每个连续格在其Scott拓扑中都是稳定紧的[8，事实9.1.6]。回想一下，收缩r：X→Y是拓扑空间之间的连续映射，使得存在连续映射s：Y→X，其中rs= idY。Y是X的收缩。线性收缩是在拓扑锥之间的任何收缩r：C→D，也是线性的。则D是C的线性收缩核。 请注意，我们不要求相关的部分以任何方式是线性Heckmann证明了弱局部凸锥的每个线性收缩核都是弱局部凸的[11，命题6.6]。它如下：命题3.17设C是局部线性拓扑锥，D是拓扑锥，r：C→D是线性收缩。则D是弱局部凸锥。Q我们将在第5节中看到，相反，每个弱局部凸锥是某个局部线性拓扑锥的线性收缩凯梅尔J. Goubault-Larrecq，X.贾/理论计算机科学电子笔记345（2019）3749∫∗∫则φ（ν）=hdν，对于allν∈VwX. 这个定理最初是由Schroder提出的。定理3.18 [17，定理9.1]在拓扑锥C中考虑一个非空凸子集A和一个开凸子集U。若A和U不相交，则存在下半连续线性泛函Λ：C→R+使得对所有x ∈ A和y ∈ U，Λ（x）≤ 1 <Λ（y）.Q根据Keimel，我们称一个拓扑锥C为凸的-T0当且仅当对于C的每一对不同的点a，b，存在下半连续线性函数Λ：C→R+使得Λ（a）= Λ（b）[17，定义4.7]。下面是[17，推论9.3]的直接结果。我们给出了明确的、简短的证明。推论3.19每个局部凸拓扑锥都是凸的-T0.证据由于C是T0，我们可以假设存在一个包含a但不包含b的开子集U。由于C是局部凸的，我们可以找到一个开凸子集V，使得a∈V<$U。利用定理3.18，我们找到了一个下半连续的线性泛函Λ，使得对于所有的y∈V，Λ（b）≤1 Λ（y）.<因此，Λ（b）Λ（a），因为a∈V。0，等式Λ（x）= Λ（x）=rΛ（x）意味着Λ（x）只能等于0或∞（回想一下，当r >0时，r =x）。由此得出L上的半连续线性映射恰为映射∞·χL\↓ x0，其中x0∈ X. 因此，对偶锥L可以等同于相反的格Lop上面的拓扑结构。锥结构是Lop的锥结构：加法在L，如果r/= 0，r·x等于x，否则到L的顶部元素。3.2一个Riez-type表示与Schr？oder-Simpson定理我们已经提到了连续赋值的Riesz型表示定理[20]。这说明ν<$→（f<$→fdν）和φ<$→（U<$→φ（χU））定义了X上的连续赋值与LX上的下半连续线性函数之间的互逆映射。此外，它们还定义了VwX与对偶锥（LX）n之间的同胚，即前者上的弱拓扑是在一对一对应的上弱拓扑后者在这个双射。还有另一个表示定理，即所谓的S chroder-Simpson定理，它指出，任何来自V w X的线性下半连续泛函φ 到R+是由半连续函数h∈LX唯一确定的，和辛普森[23]，凯梅尔在[18]中给出了概念上的证明，第一作者在[9]中给出了一个初等证明。50J. Goubault-Larrecq，X.贾/理论计算机科学电子笔记345（2019）37∫半连续映射h∈LX使得Λ（ν）=h（x）= Λ（δx）。h dν对于每个ν ∈ V wX，和半连续映射Λ：C→R+，Λ（bν）=dν.i=1riδxi. 特别是∫nriδx）。i=1i=1定理3.21（Scr？oder-Simpson定理）LetXeatopo logicalspace，且Λ是从VwX到R+的下半连续线性映射. re是一个独特的低4扩张幂域单子代数4.1Vw的代数为了描述Vw-代数的结构映射，让我们首先通过模仿[3，第6章，26.2]中的定义来定义连续赋值的重心，并遵循[4]。定义4.1设C是拓扑锥，ν是C上的连续赋值。v的重心是一个ny点bv∈C，使得对于每个线性下注4.2给定一个概率测度ν，Choquet把它的重心称为它的结式。我们还可以遇到v的重心或质心这个名称。Choquet例4.3设C是拓扑锥，对C. 然后i=1rixi是riδx是一个简单的价值观，乌恩i=1i任意x∈C，x是狄拉克质量δx的重心。 每一个低的，连续线性函数f：C→R+，我们有f（<$nrixi）=<$nrif（xi）=D=（i=1i例4.4设L是一个完备格，具有Scott拓扑和例3.6的锥结构。对于任何ν∈ VwL，支撑suppν是最大开集U的补集，使得ν（U）= 0。(The开集族是有方向的，由模性定律，它的上确界必须在其中，由斯科特连续性。我们称ν的重心是suppν。实际上，利用重心的定义和下半连续线性映射Λ是形式为∞·χL\↓x0，x0∈X的映射这一事实，我们得到x是重心当且仅当下列成立：（1）对于每个x0∈X，x≤x0当且仅当∞·v（L\↓x0）= 0. 由于∞·ν（L\↓x0）= 0等价于suppν↓x0，因此x0是suppν的上界，（L\↓ x 0）等价于说明x是suppν的最小上界。引理4.5凸T0拓扑锥C上的重心存在时是唯一的.证据 若x0和x1是具有相同连续赋值ν的两个重心，则对每个下半连续线性映射Λ：C → R +，有Λ（x0）= Λ dν = Λ（x1）.因为C是凸的-T0，所以x0=x1。QJ. Goubault-Larrecq，X.贾/理论计算机科学电子笔记345（2019）3751我们现在表明，结构地图的Vw-代数只不过是地图，发送估值到他们的重心。引理4.6设（X，α）是范畴TOP 0上单子V w的代数.则X是一个拓扑锥，+定义为x + y = α（δx+ δy），标量乘定义为r·x = α（rδx），其中r∈R+，x，y∈X。此外，结构映射α是线性的，并且将每个μ ∈ VwX发送到μ的重心。我们说这样得到的锥结构是由代数（X，α）。α是线性的，α（μ）是μ的重心，这一事实必须根据诱导锥结构来理解。证据 我们首先注意到，命题2.12中给出的每个扩张映射f <$，是线性的，所以mX=id†VwX和Vwα=（ηY<$α）<$是线性的。让我们证明X与上面定义的加法和标量乘法是一个圆锥体。我们只验证加法和标量乘法的结合性对于任意x，y，z∈X和r，s∈R+，我们做以下计算：（x+y）+z=α（δα（δx+δy）+δz）X上加法的定义=α（δα（δx+δy）+δα（δz））构造图的定义=α（Vwα（δδx+δy）+Vwα（δδz））单位的自然性=α（Vwα（δδx+δu+δδz））Vwα的线性=αmX（δ（δx+δy）+δδz）构造图的定义= α（（δx+ δy）+ δz）mX的定义。类似地，x+（y+z）=α（δx+（δy+δz）），所以（x+y）+z=x+（y+z）。此外，委员会认为，X上标量乘的r·（s·x）=r·（α（sδx））定义=α（rδα（sδx））X上标量乘的定义=α（rVwα（δsδx））单位的自然性=α（Vwα（rδsδx））Vwα的线性=αmX（rδsδx）结构图的=α（rsδx）mX的线性=（rs）·xX上标量乘法的定义。为了证明X是拓扑锥，我们假设U是X中的开集，且x+y∈U。这意味着α（δx+δy）∈U，因此δx+δy∈α−1（U）。由于VwX是一个拓扑锥，单位映射ηX：x<$→δx：X→ VwX是连续的，我们可以找到开集Ux，Uy使得x∈Ux，y∈Uy，并且对于任意xJ∈Ux，yJ∈Uy，δx′+δy′∈α−1（U），这意味着对于任意xJ∈Ux和yJ∈Uy，xJ+yJ∈U。 这证明了+是联合连续的。标量乘法的联合连续性也可以用类似的方法证明。我们继续证明α是线性的。设r∈R+，μ，ν∈ VwX.我们有52J. Goubault-Larrecq，X.贾/理论计算机科学电子笔记345（2019）37存在唯一的低半连续映射h：X→R+，使得对所有的x∈X。 这意味着h= Λ，因此Λ（α（μ））=Λdμ for all重心（U→v∈Vw X v（U）dα）的空间。以下内容：α（μ+ν）=α（mX（δμ）+mX（δν））单子律=α（mX（δμ+δν））mX的线性=α（Vwα（δμ+δν））结构图的=α（Vwα（δμ）+Vwα（δν））Vwα的线性=α（δα（μ）+δα（ν））单位的自然性=α（μ）+ α（ν）X上加法的 定义。同样，我们可以证明α（rμ）=r·α（μ）。最后，我们证明了对任意的μ∈VwX，α（μ）是μ的重心. 假设Λ：X→R+是下半连续线性映射。 请注意，则Λ∈α是从VwX到R+的线性映射。因此，由施罗德-辛普森对于所有的ν ∈ V w X，Λ∈ α（ν）=h dν。 特别地，Λ（x）=Λα（δx）=hdδx= h（x）μ∈ VwX. 所以α（μ）是μ的重心。Q推论4.7 L设X是拓扑空间。 对于每个α ∈ VwVwX，mX（α）是证据根据一般范畴理论，（VwX，mX）是Vw的一个代数.Q推论4.8对于每个凸-T0拓扑锥C，至多有一个映射α：VwC→C使（C，α）成为Vw-代数并导出C上的原锥结构.证据 根据引理4.6，由于诱导锥结构是原始锥结构，α必须将每个ν映射到它的一个重心上，而根据引理4.5，重心是唯一的。Q命题4.9设（X，α）是范畴TOP 0上单子V w的代数.则X是一个弱局部凸的sober拓扑锥，具有诱导锥结构。证据根据引理4.6，X是拓扑锥，α是线性的。它也是代数定义的连续收缩，因为αηX= idX。因此X是VwX的线性收缩核，它是局部线性的和清醒的。由于清醒性是通过连续收缩来保持的（参见[8，Exercise 8.2.43]或[7，Exercise O-5.16（vi）]），根据命题3.17，X是弱局部凸清醒拓扑锥。Q我们可以猜想Vw-代数是清醒的、弱局部凸的拓扑锥，或者是在其上每个连续赋值都有重心的拓扑锥。这是不够的。将ν映射到其重心的函数α也必须是连续的，并且重心应该是唯一的。后者发生在所有凸T0锥中，但我们不知道由Vw-代数（引理4.6）诱导的锥结构是否是凸T0的。J. Goubault-Larrecq，X.贾/理论计算机科学电子笔记345（2019）3753命题4.10设C是拓扑锥，α是从VwC到C的连续映射。若α（ν）是ν的唯一重心，则（C，α）是范畴TOP 0上单子Vw的代数.在这种情况下，由代数（C，α）诱