逼近张量平均秩的低秩张量完备化

4612·逼近张量平均秩的低秩张量完备化王占良，董俊宇*，刘新国，徐娥英中国海洋大学wangzhanliang@hotmail.com，{dongjunyu; liuxingguo; zxying}@ ouc.edu.cn摘要本文主要研究低秩张量完备化问题，其目标是从不完全的观测值中恢复一个底层的低秩张量我们的方法是由最近提出的基于任何可逆线性变换的t-乘积[8]激发的。首先，我们定义了可逆实线性变换下的然后，我们提出了一个张量完成模型，使用非凸代理近似张量平均秩。该代理克服了十元平均秩的不连续性，并消除了凸松弛引起的偏差问题此外，我们开发了一个有效的算法来解决所提出的模型，并建立其收敛。最后，在模拟数据和真实数据上的实验结果表明了该方法的优越性。1. 介绍张量是多维数组，它是向量和矩阵到更高维度的一般化[12]。由于张量的高维性，在科学和工程应用中，张量被用来表示多路数据随着数据收集和存储能力的进步，张量受到越来越多的关注。它们在计算机视觉[24]，信号处理[22]，协同过滤[6]等方面有许多应用本文研究了张量应用中最受关注的问题之一--低秩张量完备化问题，目的是从不完全观测中恢复出一个低秩张量。这是因为张量数据的元素在实际应用中通常高度相关，这表明张量数据近似为低秩[12]。同时，由于各种不可避免的原因，现实世界的数据往往是不完整的。低秩张量完成非常重要，并且已经在各个领域中找到了许多应用，例如图像和视频修复[15，31]，多任务学习[21]，音频分类[19]等等。*董俊宇为通讯作者。低秩矩阵完备化可以被认为是张量完备化的一种其目的是估计部分观测矩阵的缺失元素[3]。在数学上，它可以公式化为min秩（X），s.t. PΩ（X）=PΩ（M），（1）X其中M表示观测矩阵，PΩ表示观测集Ω上的投影。运算rank（）是矩阵的秩函数。由于矩阵秩函数的不连续性，矩阵秩最小化问题（1）一般是NP-难的，很难直接求解[3]。常用的方法是通过矩阵核范数来近似矩阵秩函数，这是矩阵秩函数的最紧凸下界提出了许多有效的算法来求解所获得的凸模型[3，2，20]。矩阵完备化在近十年来得到了广泛的研究。将现有的矩阵完备化算法扩展到张量情形似乎是很自然的然而，张量的结构比矩阵更复杂，张量的秩不能像矩阵那样统一定义。对于特定的张量分解，张量秩有不同的定义.基于CP分解，CP秩被定义为秩一的十元的最小数目[9]。然而，这个张量秩通常是NP-难以计算的[4]。因此，这是非常具有挑战性的开发有效的CP秩的张量完成方法。传统的方法是将张量分解成矩阵，然后应用矩阵完成模型。因此，定义在展开矩阵上的Tucker秩[23]得到了更广泛的研究。提出了许多基于Tucker秩的张量完成模型，并成功地应用于图像处理[15，27，7，28]。然而，直接将高阶张量展开为矩阵将不可避免地破坏张量数据的内部结构，导致信息丢失和性能下降[11，17，32]。基于张量-张量积（t-积）和张量奇异值分解（t-SVD）[11]，张量管秩已用于映射张量数据的内在结构[10，31，32，13]。张量核范数4613Σ⟨AB⟩AB2A∈A×A|一|一A∈AΣL一L→一∈LLCLALB（一）(TNN)的发展，并已显示出良好的性能在张量应用[31，16]。最近，作者给出了基于任意可逆项的T-积的一个广义定义尺寸被定义为 、 =ijkijkijk。类似于矩阵代数，可以定义两个常用的张量范数我们表示由上面引入的Frobenius范数线性变换[8]。基于这种广义t-积，给出了张量管秩和ten-ten张量积AF=。Σijk 一个ijk和无穷大在[17]中提出了排序核范数。已经证明，在适当的假设下，可以通过求解TNN最小化模型有效地重建三阶张量[17]。虽然基于TNN的模型已经实现了规范依据∞=max ijkijk。 我们把一个三-通过算子bdiag将张量排序为块对角矩阵。让2）3）4）5）6） ）是一个n1n3n2n3矩阵定义为巨大的成功，他们造成的偏见问题，因为凸松弛过度惩罚较大的奇异值在变换域[18]。另一方面，由于管秩使用变换域中非零管的数量来度量张量的复杂性，因此忽略了变换域中奇异值的稀疏性。为了克服上述缺点，我们引入了一种新的A（1）bdiag（A）=2.2.初步结果A（2）. ..A（n3）好吧由可逆实线性变换导出的张量秩定义，称为张量平均秩。它本质上衡量的是变换域中奇异值的稀疏性由于张量平均秩的不连续性，我们发展了一个新的张量完备化模型，该模型使用非凸代理来近似张量平均秩。该代理可以连续地逼近张量平均秩，同时减轻由凸松弛引起的偏差问题一个邻近块坐标下降算法来解决我们提出的模型，并建立了一些收敛性结果。对合成数据、图像和视频的恢复实验结果表明，该方法在恢复性能和效率上与现有的一些低秩张量补全方法本文的其余部分组织如下。第2节提供了基本的符号和预备知识。第3节给出了所提出的张量完备化模型和算法。在合成数据和真实世界数据集上进行的数值实验在第4节中示出。第五节作了总结。2. 注释和预备在这一节中，我们介绍了我们的符号，并给出了一些必要的2.1. 符号在这篇文章中，张量和矩阵用黑体字和黑体字表示，例如.A，分别。向量和标量由黑体小写字母和小写字母表示，例如a和a.对于三阶张量Rn1×n2×n3，我们用ijk来表示其第（i，j，k）个条目。A的第i个正面切片用A表示，A是一个 n1×n2矩阵。A的第（i，j）个管由A（i，j，：）表示，其是大小为n3的向量。A和B的内积定义2.1（模3积）[14]给出了A∈Rn1×n2×n3和U∈Rn3×n3n3（A ×3U）ijk = AijsUks。s=1定义2.2（面积）[8]A∈Rn1×l×n3和B∈Rn1×n2×n3的面积，记为C=A⊙B，由下式给出：C（i）= A（i）B（i），i = l，···，n= 3。工作[8]介绍了基于任何可逆线性变换的t-积的定义。在这项工作中，我们考虑的线性变换：Rn1×n2×n3Rn1×n2×n3 ， 定 义为A¯=L（A）=A×3L，（2）其中LRn3×n3可以是任何可逆矩阵。显然，是可逆的，逆变换定义为A= L−1（A´）= A´×3L−1。We 将 由 A' 表示'的 块 对 角 矩 阵 ， 即 ， A¯=bdiag（¯）。利用空间积和可逆线性变换，给出如下定义2.3（T-积）[8，17]设L是（2）中的可逆线性变换，A∈Rn1×l×n3，B∈Rl×n2 ×n3.然后定义A和B在L下的t-积，记为C=A* LB，使得L（C）= L（A）⊙L（B）。因为（）= （一））的方式（），我们可以得到C¯=AB 张量域中的张量积在线性变换下本质上是矩阵-矩阵积它可以通过算法1有效地计算。我们需要进一步的定义，包括张量转置，单位张量，正交张量，来定义t-SVD。它们是马氏理论中定义的高阶推广通过4614L∈ ∈∈L LI不L∈ ∈∈ALA∈L3U VLS不n3ni=1（A算法1一般T-积[8，17]输入：A∈Rn1×l×n3，B∈Rl×n2×n3，以及（2）中的线性变换L1. 计算A¯=L（A）和B¯=L（B）。2. 计算所有切片C¯（i）算法2一般T-SVD [8，17]输入：A∈Rn1×n2×n3和（2）中的线性变换L1. 计算A<$=L（A）。2. 计算所有切片U¯（i）、S¯（i）、V¯（i），公式为对于i=l，···，n=3对于i=l，···，n=3[U¯（i），S¯（i），V¯（i）]=SVD（i）C¯（i） ¯（i）¯;端（A）;=A B端3. 计算U=L−1（U¯）、S=L−1（S¯）和V=3. 计算C=L−1（C<$）。输出：C∈Rn1×n2×n3。定义2.4（张量转置）[8，17]假设是（2）中的可逆线性变换，张量A∈Rn1×n2×n3在 L下是一个n2 ×n1 ×n3张量AL−1（V¯）。输出：URn1×n1×n3、SRn1×n2×n3和VRn 2 ×n 2 ×n 3。定义2.8（Tensor tubal rank）[17]设L是（2）中的可逆线性变换，且A∈ Rn1×n2×n3。满足L（A）（i）=（L（A）（i）），i = 1，···，n3.定义2.5（恒等张量）[8，17]设L是（2）中的可逆线性变换，张量I∈Rn×n×n3A在L下的张量管秩被定义为S的非零奇异管的数量，即，rank t（A）={i|S（i，i，：）0}，⑷是下的单位张量，如果（）的所有正面切片都是单位矩阵。其中S来自A = U * LS * LV的t-SVD。定义2.6（正交张量）[8，17]假设是（2）中的可逆线性变换，L下的正交张量O是满足O<$LO<$=的n×n×n3OLO =I.定义2.7（F-对角）[11]一个三阶张量是一个f-对角张量，如果它的所有正面切片都是对角矩阵。定理2.1（T-SVD）[8，17]设L是（2）中的可逆线性变换，A∈Rn1×n2×n3.存在张量URn1×n1 ×n3，SRn1×n2×n3和VRn2×n2×n3使得基于t-SVD，张量管秩给出了张量复杂性的标量度量。进一步地，可以通过计算t-SVD来获得变换域中的所有正面切片然后，我们定义了一个新的张量秩来表征变换域中奇异值的稀疏性。定义2.9（张量平均秩）设是（2）中的可逆线性变换，且Rn1×n2×n3. 下的张量平均秩被定义为平均值，在变换域中的所有正面切片的等级上的年龄，即，n3秩a（A）=1Σ秩（i）（五）其中和是下的正交张量，并且是张量平均秩测量正弦的稀疏性f-对角张量变换域中的gonal值。 设A = U * LS * LV是A在L下的t-SVD，秩a（A）等于注意，张量域中的A=U*L* S*LV是S ¯的非零元素的实际数量乘以因子1，即，在变换域中等于A¯=U¯S¯V¯。这意味着我们可以通过计算得到张量的t-SVD秩a（A）=1Σδ（S¯）、（6）矩阵SVD。从技术上讲，我们需要计算变换域中所有正面切片A¯（i）的矩阵SVDn3 i，kIIK也就是说， A¯（i）=U¯（i）S¯（i）（V¯（i） ），然后通过逆变换L −1将U¯，S¯，V¯变换到张量域。参见算法其中δ（x）是克罗内克δ函数，定义为.关于计算t-SVD的细节，参见图2。对于（2）中的任何可逆线性变换，成立L（0）=L−1（0）=0。而S和S′是f-对角的，十δ（x）=1、如果x >0，0，如果x= 0。（七）排序管秩被定义为非零奇异管的数目。在下一节中，我们研究了张量完成问题的近似张量A=U*LS*LV，（3））的情况。4615平均秩最小化模型。4616Σn3XXΣX如果|√x|>>XM∈X√XUS VX为此目的，我们对（2）中的线性变换设置假设，例如，LL=LL=I，（8）因此，它不是凹的。然而，λ（x）克服了δ（x）在零附近的不连续性，而当x大于阈值2λ时仍然保持无偏。此外，对于任何n3其中In是n3×n3大小的单位矩阵。如果反式-x≥ 0，λ（x）与δ（x）紧密匹配，因为λ减小到零，即， limλ→0+ λ（x）= δ（x）。替代克罗内克三角洲形式3（2）中的L满足（8），我们称之为实正交变换-带λ的（x）在（13）中，Xform.在这个变换下，我们可以得到A，B和可以近似为Φλ（X）= φλ（S<$ii k）。（十五）i，kA（十）3. 主要结果在本节中，我们将介绍一个新的张量完备化的非凸然后，我们开发了一个有效的算法来解决该模型，并建立其收敛性。（5）中张量平均秩的定义具有因子1.一、请注意，此因子对最小化张量平均秩没有影响。为了简洁起见，我们在本节中暂时省略此因子，并将张量平均秩修改为使用Φλ（）作为张量平均秩的替代，我们提出了以下低秩张量完备化模型minΦλ（X），s.t. P Ω（X）= P Ω（M）。（十六）3.2.张量硬阈值我们将把所提出的模型（16）重写成一个等价的形式，以便于我们开发有效的算法。为此，我们介绍了硬阈值规则的张量的情况下。设λ>0且X是标量变量，硬阈值算子Hλ被定义为秩a（A）=n3rank（A¯（i））=Σδ（S¯ii k）.（十一）Hλ（x）=.2λ，√i=1i，k0如果|X|≤2λ。3.1.该模型利用张量平均秩来度量奇异值的稀疏性，我们求解了下面的张量完备化模型min秩a（X），s.t. P Ω（X）= P Ω（M），（12）其中Rn1×n2×n3表示观测到的张量数据，PΩ表示观测集Ω上的投影。让不它可以通过逐元素操作扩展到张量空间，即，（Hλ（A））ijk= Hλ（Aijk）。（十七）设X=U*LS*LVT是X的t-SVD。对于任何λ>0，我们定 义 张 量 硬 阈 值 （ THT ） 算 子 Dλ ：Rn1×n2×n3→Rn1×n2×n3为Dλ（X）=U*LSλ*LV，（18）我们可以在变换域中等效地将（12）重新公式化为minΣδ（S¯ii k），s.t. PΩ（X）=PΩ（M）。（十三）i，k由 于 克 罗 内 克 δ 函 数 的 不 连 续 性 质 ， 直 接 求 解（13）是困难的。作为低秩矩阵完备化的扩展，工作[17]提出了张量核范数最小化模型，该模型使用1范数作为（13）中δ（x）在本文中，我们使用一个非凸函数来近似Kronecker δ函数，并提出了一种新的代理张量平均秩。对于λ >0，我们令4617LSLX∈D X哪里Sλ=L−1（Hλ（L（S），（19）其中Hλ在（17）中定义THT运算符将硬阈值规则应用于（）的每个前切片的奇异值，这可以将小奇异值收缩为零。下面的定理证明了THT算子本质上是与张量平均秩相关的邻近算子。定理3.1设是实正交变换，（2）和Rn1 ×n2 ×n3。 对于任何λ> 0，THT算子服从12D（X）∈arg min1Y−X2+rank（Y）。（二十）λλ（x）：=min{1，2λx}，x ≥ 0。（十四）Y2λFa与文献[26]中常用的非凸正则化子相比，函数λ（x）利用l2-范数使δ（x）在零附近松弛.定理3.1指出THT算子λ（）有其封闭形式。张量算子实际上是一种扩张4618XYX{Y X}X Y D XY XYk+1∈arg minY−Xk对于i=l，···，n=31λX¯用于（22）的算法3张量硬阈值（THT）如下所输入：X∈Rn1×n2×n3，实正交变换L，和1˜2Y 2λF2. 对所有切片（i）由Xk+1=argmin∥X−Yk+1∥2，s.t. PΩ（X）=PΩ（M）。（二十三）[U，S，V]=SVD（X¯（i））;D¯（i）=UH（S）V;端接下来我们证明（23）中的两个子问题都有封闭形式的解。根据定理3.1，更新Yk+1的第一子问题3. 计算Dλ（X）=L−1（D¯）。可以直接通过执行THT运算符来求解输出：Dλ（X）∈ Rn1×n2 ×n3.X~k，例如，Yk+1=Dλ μ（X~k）。（二十四）矩阵硬阈值[5]。我们总结了算法3中计算Dλ（X）下一个命题给出了Φλ的可分结构。而且，当参数λ小到一定程度时，Φλ可以精确地逼近张量的平均秩命题3.1设L是（2）中的实正交变换，X∈Rn1 ×n2 ×n3.对于任何λ> 0，我们有12因此，k+1可以通过算法有效地计算3. 更新k+1的第二子问题可以通过下式精确求解：Xk+1=PΩ（M）+PΩc（Yk+1），（25）其中，Ωc是Ω的补码。3.4.收敛性分析令E（Y，X）表示（22）的目标函数，即，E（Y，X）=1Y − X2+秩a（Y）。（二十六）Φλ（）=minY2λ <$Y − X <$F+秩a（Y）。（二十一）2λF最小S¯2下面的定理证明了序列{E（Y，X）}和{（Y，X）}的一些重要性质。此外，Φλ（X）=秩a（X），当λ≤i，k2IIK由（23）。k k k k命题3.1确保了所提出的模型（16）可以转换为以下两个变量的问题min2定理3.2设（k，k）由（23）生成，则它满足下列性质：(1) {E（Yk，Xk）}是单调递减的，并且Y，X{2λ<$Y−X<$F+秩a（Y）}，s.t. P Ω（X）= PΩ（M）。前收敛。假设（二十二）（Y*，X*）是（22）的解，由命题(2)Limk→∞k+1 -YkF=0，limk→∞k+1 -XkF=0。3.1 （16）求出了（16）的解，则λ=（*）。因此，我们可以求解（22）而不是直接求解（16）（22）的明显优点是其目标函数具有一个很好的可分离结构，这有助于我们使用交替最小化类型的算法来解决它。3.3. 算法问题（22）是关于变量（，）的联合最小化问题，并且它可以通过块坐标下降（BCD）算法来求解。注意，直接BCD算法的收敛需要目标函数的各种条件[30，25]。它激励我们去支持-提出一个近似BCD算法来求解（22）。具体地，在每次迭代中，我们生成X~k：=（1-µ）Y k+µXk，其中µ∈（0，1）是平衡项Yk和Xk的权重，所提出的算法的迭代方案.∥YXλ >0。1. 计算X¯=L（X）。X4619XXXYK他(3) k的张量平均秩在有限迭代之后保持不变，即，存在两个正常数K和r，使得对于所有k >K，秩a（Yk）=r。定理3.2表明序列的平均秩这是因为变换域中非零奇异值的位置在有限的迭代之后保持不变。它意味输卵管的排列也会稳定和收敛。3.5.算法实现参数λ对于所提出的模型（16）和算法（23）至关重要。它反映了Φ λ（）的非凸性，并度量了它的逼近精度，使a（）的秩为0。根据命题3.1，当λ足够小时，函数Φλ（）等价于张量平均秩。不幸的是，4620XM∈YYXY−YP∈Q ∈XX∈XXX∈······模型（16）的非凸性随λ的减小而增强因此，在算法中直接选取一个小的λ(23)会使算法收敛缓慢并陷入浅的局部极小。为了避免上述问题，在我们的算法中使用了一个由粗到细的连续最小化策略。它通常被用来解决一些非凸问题，它可以经验地产生一个更好的局部极小解[1]。算法实现的细节总结在算法4中。0.80.60.40.20固定为min算法40 50 100 150200迭代次数算法4低秩张量完备化输入：观测张量Rn1×n2×n3，以及参数μ、λmin、λmax、ρ、δ、ε。初始化：0， 0，λ0=λmax。而不收敛1. 通过（24）更新k+1。2. 通过（25）更新k+1。3. 通过λk+1=max（ρλk，λmin）更新λk+1，如果min（ k+1k ∞，k+1k ∞）δ.4. 检查停止标准：min（Yk+1−Yk∞，Xk+1−Xk∞）≤ε，图1.自适应更新参数λ的效果。mance与一些流行的张量完成方法。关于变换的选择，我们在实验中使用离散4.1. 合成实验我们通过恢复合成数据来研究我们的模型的能力。这里，我们通过X = P * L Q生成平均秩r张量X∈Rn1×n2×n3，其中min（Yk+1− Yk∞，X k+1− X k∞）0.输出：Yk+1，Xk+1。如算法4所示，我们以相对较大的λmax开始我们的算法，然后当算法达到一定的收敛水平然后将当前迭代的解用作可行初始对，以在下一次迭代中用较小的λ最小化Φλ（）此外，停止准则的第二部分确保了参数λ可以有效地减小到较小的值λmin最后，由于λmin足够小，我们的算法将收敛到低秩解在这里，我们给出了一个简单的例子来验证效果的 粗 到 细 的 连 续 最 小 化 的 想 法 。 我 们 生 成 张 量10×10 × 10×10（）=1并且采样率p = 0。五、 图1显示了两个实验的相对平方误差：（1）固定参数λ=λmin= 1;(2)算法4.我们可以观察到，算法4实现了优异的恢复性能，而设置固定的小λ未能得到良好的解决方案。此外，算法4比具有固定小λ的算法收敛得快得多。因此，逐渐更新λ的想法可以加速算法（23）。4. 实验在本节中，我们进行了一些数值实验，以证明我们提出的模型的优点。我们首先探讨所提出的模型的恢复能力然后我们用它来恢复真实的数据和比较性能-Rn1×r×n3和Rr×n2×n3由正态分布得到。通过这种方式，平均排名等于输卵管排名，因此我们可以将我们的模型与TNN-DCT模型进行比较[17]。最后，我们通过从pn_1n_2n_3元中均匀取pn_1n_2n_3元得到观测张量其中p是采样率。相对平方误差(RSE)被定义为RSE=X−XF，X其中X表示通过算法获得的解。 如果RSE ≤ 10−3，则我们声称恢复成功。我们通过改变X的平均秩和采样率p来检查恢复现象。在这个实验中，我们考虑两种不同大小的张量Rn×n×n：（1）n=40和（2）n=50。我们选择r=[1，2，，32]且r=[1，2，[38]第二种情况。我们设置p=[0. 01：0。01：0。[99]在这两种情况下对于每个（r，p）对，我们重复实验10次。TNN-DCT和我们的方法之间的详尽比较如图2所示每个单元格的颜色反映了从0到1（蓝色=0）;黄色=1）。可以看出，我们的黄色区域方法是更广泛的比TNN-DCT在这两种情况下。例如，当采样率为0时。5的最大秩，可以恢复由我们的方法是四个以上的TNN-DCT在这两种情况下。这些结果验证了我们提出的模型的有效性。RSEendwhile4621××× × ××X∈×302520151050.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9p302520151050.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9p10.80.60.40.2010.80.60.40.2035302520151050.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9p35302520151050.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9p10.80.60.40.2010.80.60.40.20图3.测试彩色图像：飞机，狒狒，芭芭拉，船，但-，房子，莉娜，辣椒（从左到右）。我们使用几个标准的图像来评估我们的方法。图3所示的所有图像都具有相同的大小2562563 .第三章。 表1给出了不同采样率下该数据集的平均PSNR值和所有方法的平均运行时间我们的方法在不同的采样率下取得了良好 SPC运行良好当采样率非常低时。在算法运行时间方面，我们的方法是最快的。它比TNN快两倍，TNN是第二快的方法。图4示出了在不同去除掩模下的两个图像上的修复结果。很明显，我们的方法也可以处理图像的细节。总之，我们的方法取得了良好的修复效果，运行速度快。图2.比较我们的模型与TNN-DCT。左上角：The在n = 40的情况下的TNN-DCT模型;右上：在n = 50的情况下的TNN-DCT模型;左下：在n = 40的情况下的我们的模型;右下：在n = 50的情况下的我们的模型。4.2. 实际数据该方法可应用于彩色图像、高光谱图像和视频图像的修复以及视频背景的初始化。在本小节中，我们使用我们的张量完成方法来恢复不完整的彩色图像和视频。我们测试了五种低秩张量补全方法，并比较了它们的性能：（1）HaLRTC [15]：高精度Tucker秩法;（2）SPC [29]：光滑PARAFAC张量完备化方法;（3）T-SVD [31]：（4）TNN [16]：基于TNN的方法（通过离散傅立叶变换）;（5）TNN-DCT [17]：基于TNN的方法（通过离散余弦变换）;（6）我们的：我们提出的张量完成方法。我们应用常用的PSNR度量，定义为表1.标准图像的PSNR和运行时间比较。方法0.20.40.60.8运行时间[第15话]20.7425.1729.5235.204.46SPC [29]24.5127.5830.4534.1539.83T-SVD [31]20.6825.6230.4836.8214.10TNN [16]22.0226.6531.2236.922.19TNN-DCT [17]22.1726.8331.4737.244.59我们23.0128.2033.1339.090.91我们还使用常用的伯克利分割数据库1（CBSD68）来评估方法的性能该数据库包含68幅彩色图像，每幅大小为321 481 3或481 321 3。表2显示了CBSD68上不同采样率的平均PSNR值和所有方法的平均运行时间可以得出结论，我们的方法表现良好，运行速度相当快。这些结果证实了我们的方法的优点和鲁棒性表2.CBSD68上的PSNR和运行时间比较.XPSNR= 10log10∞，1XX2n1n 2n 3−F以评估恢复性能。4.2.1图像修复我们将我们的张量完成模型的图像inpainting任务。对于一幅尺寸为m n的彩色图像，可以看作是一个三阶张量Rm×3×n，其中横向切片对应于图像的每个颜色通道同时，大多数自然图像具有低秩结构。然后利用低秩张量完备化方法对部分观测图像中的缺失元素进行4.2.2视频修复在这个实验中，我们在两个YUV视频上测试了我们的方法和其他方法。“Akiyo”和“Container”分别是相对静态和动态的视频。每个视频包含300帧，一帧的大小为144 × 1761https://www.eecs.berkeley.edu/Research/Projects/CS/vision/bsds/2http://trace.eas.asu.edu/yuv/RRRR方法0.20.40.60.8运行时间[第15话]22.3027.4031.7737.7213.17SPC [29]26.3729.4632.3836.16115.38T-SVD [31]23.6729.0835.3744.3739.37TNN [16]25.1430.3336.0744.205.95TNN-DCT [17]25.3230.5736.4344.5110.82我们26.0431.8037.8244.742.054622(a) 原始（b）观察（c）HaLRTC（d）SPC（e）T-SVD（f）TNN（g）TNN-DCT（h）我们的图4.图像修复的结果。(a)原始图像。(b)图像不完整。（c）-（h）分别为HaLRTC、SPC、T-SVD、TNN、TNN-DCT、Ours的修复结果。(a)原始（b）观察（c）HaLRTC（d）SPC（e）T-SVD（f）TNN（g）TNN-DCT（h）我们的图5.视频修复的结果。(a)原始的一帧视频。(b)不完整的视频帧。（c）-（h）分别为HaLRTC、SPC、T-SVD、TNN、TNN-DCT、Ours的修复结果。像素为了节省计算成本，我们使用两个视频的前30帧进行数值实验，并显示视频的第15帧。表3. 在“Akiyo”上比较PSNR和运行时间当采样率为0时。二、从修复结果和PSNR值来看，与其他方法相比，我们的方法取得了更好的恢复性能。至于算法运行时间，我们的方法仍然是最快的。实验结果表明，该方法是有效的，且运行速度快。TNN [16] 35.26 40.22 44.56 49.82 20.72TNN-DCT [17] 36.40 42.43 47.58 53.80 26.44我们的37.39 43.71 48.75 54.83 4.49表4.比较PSNR和运行时间上的方法0.20.40.60.8运行时间[第15话]23.9528.2632.5738.087.88SPC [29]29.1731.1233.0736.1383.86T-SVD [31]33.5238.5042.4847.7142.98TNN [16]33.4238.4642.7347.7820.74TNN-DCT [17]36.1044.3549.6954.5727.02我们37.3645.6651.1755.643.86表3和表4分别报告了两个视频在不同采样率下的评价指标。图5显示了测试视频的修复结果通常是基于线性变换的t-积[8]，我们定义了一个基于可逆实线性变换的张量平均秩。然后，我们提出了一个新的张量完成模型，使用一个非凸函数近似的平均排名。该代理可以连续地近似张量平均秩。我们开发了一个有效的算法来解决我们的张量完成模型，并建立其收敛性。实验结果清楚地表明，我们的方法是具有竞争力的恢复性能和效率方面与其他方法。确认这项工作部分得到了中国国家重点研究发展计划2018AAA0100602的支持，部分得到了中国国家自然科学基金11771408和11871444的支持。方法0.20.40.60.8运行时间[第15话]26.0930.8835.4641.248.205. 结论SPC [29]31.5233.2135.1338.2877.32T-SVD [31]35.2540.4644.8349.8843.80得益于张量理论的发展，尤其是-4623引用[1] A. 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