LeXInt：基于Leja插值的指数积分器软件包及其应用

软件X 21（2023）101302原始软件出版物LeXInt：采用Leja插值的指数积分器包普拉纳布Dekaa，Lukas Einkemmera，Mayya Tokmanba数学系，因斯布鲁克大学，因斯布鲁克，6020，奥地利b美国加州大学默塞德分校自然科学学院，邮编95343ar t i cl e i nf o文章历史记录：接收27九月2022收到修订版2022年12月23日接受2022年保留字：时间积分数值方法指数积分Leja点多项式插值a b st ra ct我们提出了一个公开可用的指数积分器的软件，使用多项式插值来计算函数。Leja点上的插值方法最近已被证明与传统的Krylov子空间方法相竞争。开发的框架便于轻松适应任何Python软件包的时间集成。版权所有2023作者。由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）中找到。代码元数据代码版本1.0.0用于此代码版本的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX-D-22-00307法律代码许可证MIT使用Git的代码版本控制系统使用Python 3的软件代码语言、工具和服务编译要求，操作环境依赖python3.10+，numpy1.23.2+，scipy1.9.1+如果可用开发者文档/手册链接NA问题支持电子邮件pranab. uibk.ac.at1. 动机和意义含时偏微分方程（PDEs）在科学的各个领域都是普遍高度期望在时间上以高精度积分PDE，同时产生尽可能少的计算成本。大量的研究一直致力于开发数值算法和代码，以执行高保真度的高分辨率模拟。显式时间积分器由于其算法简单、实现方便而被广泛应用于许多然而，随着在某个偏微分方程中考虑的物理过程的数量增加，或者如果底层偏微分方程的刚性性质变得突出，显式积分器的性能将变得不稳定。*通讯作者。电子邮件地址：pranab. uibk.ac.at（Pranab J. Deka），lukas. uibk.ac.at（Lukas Einkemmer），mtokman@ucmerced.edu（Mayya Tokman）。https://doi.org/10.1016/j.softx.2022.101302由于稳定方面的限制，情况严重恶化。方程刚度的增加导致更严格的Courant-Friedrich-Levy（CFL）时间步长限制。隐式积分器由于其能够采用大步长而被广泛用作显式方法的替代方案。它们可以为模拟提供实质性的推动。然而，在许多实际情况下，人们不得不求助于迭代方案来求解大型线性方程组。此外，在许多情况下，使用预调节器来加速模拟是常见的做法。在某些情况下，如果不使用好的预处理器，模拟就不能收敛。这种算法的复杂性可能使它们对复杂的问题不利。指数积分器是一类时间积分器，其在每个时间步长处线性化潜在PDE-线性项被精确地（在时间上）求解，并且非线性项用一些显式方法近似。Hockbruck Ostermann [1]对指数积分器进行了广泛的综述2352-7110/©2023作者。 由Elsevier B.V.出版。这是一篇开放获取的文章，使用CC BY许可证（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页：www.elsevier.com/locate/softx普拉纳布Deka，Lukas Einkemmer和Mayya Tokman软件X 21（2023）1013022一一（）下一页=让我们考虑自治系统，该自治系统基于通过计算线性化底层PDE拉乌阿勒特 =f（u（t）），u（t=0）=u0，在每个时间步的雅可比矩阵：指数Rosenbrock（EXPRB）和指数传播迭代我们采用了纵向执行程序，其中f（u）是u的某个非线性函数。我们重写上面的方程为拉乌t=Au+g（u），其中是矩阵（通常是f（u）的刚性线性部分），g（u）是非线性部分。该方程的解的近似值为：un+1=un+1（At）f（un）t，其中un是第n个时间步长的解。这是一阶指数欧拉方法.如果用f（u）的雅可比矩阵代替，则得到二阶Rosenbrock-Euler方法。应当注意，用雅可比矩阵代替线性部分允许获得具有较少的fl（z）函数求值的高阶方案。由下式给出的函数为：1 1（z）=l≥0，L由Rainwater Tokman [4]提出，用于优化性能。虽然这最初仅针对Krylov子空间算法提出，但是垂直方法可以很好地导致Leja插值方法的大量计算节省。对于自适应步长实现，需要在每个时间步长处进行误差估计。计算误差估计的最便宜的方法之一是，如果它固有地嵌入在积分器中即嵌入式集成器。这就是为什么我们只关注嵌入式指数积分器，其中误差估计不需要额外的内部阶段。LeXInt中实现的嵌入式指数积分器列表包括EXPRB 32 [1，5，6]、EXPRB 43 [1，5，6]、EXPRB 53s3 [7] 、 EXPRB 54s4 [7] 、 EPIRK4s3 [8 ， 9] 、EPIRK4s3A [4]和EPIRK5P1 [10]。这些积分器中的每一个都在LeXInt中以积分器函数返回低阶和高阶解的方式实现。这两个解决方案之间的差异产生的误差估计。因为有许多步长控制器L+1zl！在文献中，我们给用户充分的灵活性，选择他们的所需的逐步调整战略。该函数还返回数字其中，Σ0（z）ez对应于矩阵指数。我们使用在Leja点上的多项式插值方法计算这些指数积分器第2节中提供了有关此迭代方案的详细信息。指数积分器不受任何CFL限制（与显式积分器不同），是无条件稳定的，并且可以采取比隐式方法大得多的步长。 这使得他们非常有吸引力的解决时间相关的问题。此外，人们可以获得精确的解决方案的线性自治偏微分方程（受空间离散化）为任何给定的步长。这是一个额外的奖金超过隐式积分器，因为他们总是会招致一些错误，无论其收敛顺序。通 过 发 布 用 于 eXponentialIntegrators 的 Leja 插 值（LeXInt;https://github.com/Pranab-JD/LeXInt）包，我们向科学界提供了我们的工具和贡献。这是一个累积的算法实现和测试了在我们以前的工作，我们研究-利用自动步长控制器的性能提高计算效率[2]，并分析了Leja方法的性能，该方法具有显式、隐式和基于Krylov的指数积分器，用于磁流体动力学（MHD）方程组[3]。我们提供一个用户友好的框架（即：PY thon）的一系列指数积分器以及Leja插值方法。这是介绍科学界的积分器，非常适合于时间积分的刚性以及通用的问题和高效的迭代技术，在这样的积分器。据我们所知，这是第一个开放获取的基于Leja方法的指数积分器编译包。2. 软件描述LeXInt由几个指数积分器组成，适用于恒定和可变步长的实现。积分器是以模块化的形式实现的，本质上，任何积分器都可以很容易地集成到包中，任何积分器都可以用于任何给定的问题。然而，应当注意，积分器的性能可以随着所考虑的问题而变化。我们主要关注集成商在给定的时间步长计算的显然，矩阵-向量乘积的成本网格点的数量然而，我们只对确定算法的成本感兴趣，而不是成本对网格大小的依赖性。因此，我们假设计算成本被归一化为矩阵（和向量）的大小。对于恒定步长，除了上述步骤外，我们还实现了Rosenbrock-Euler在在 积 分 器 不 具 有 嵌 入 式 误 差 估 计 器 的 情 况 下 ， 可 以 使 用Richardson外推法生成误差估计。积分器的输入包括状态变量、右侧（RHS）函数、步长、缩放和移位因子（见以下小节）、预定Leja点集以及在实数上插值的选项。或假想的Leja点，这取决于所考虑的问题。插值方法包括计算要插值的多项式的除差或系数。这取决于步长大小、移位和缩放因子、积分器系数以及函数的阶数。一旦系数确定，第一项通过将待内插的函数与第一系数相乘来计算多项式的系数。随后的各项被一个接一个地添加到该多项式中，直到达到所需的精度（见以下小节）。Leja点指数积分器的有效实现的一个关键方面是一个熟练的迭代计划。虽然Krylov子空间算法长期以来一直被提出作为指数积分器的有效迭代方案[1，10，13最近引入的基于Krylov的自适应KIOPS[16]利用不完全正交化过程，该过程可以将每次Krylov迭代所需的内积数量减少到2。因此，使用不完全正交化显著地简化了与内积计算的并行化相然而，对于问题普拉纳布Deka，Lukas Einkemmer和Mayya Tokman软件X 21（2023）1013023= −|| ∥ ∥++++M+1≥=MγM在需要计算更多的Krylov向量并且因此需要计算更多的内积的情况下，这个问题仍然存在。此外，即使在不完全正交化的情况下，也需要存储一个Krylov空间，对于非常大的问题可能是有问题的。我们选择在Leja点[17-这可以主要归因于算法的简单性Leja插值法的一个小缺点需要注意的是，只需要粗略估计矩阵（对于线性方程）或雅可比矩阵（对于非线性方程）的最大和最小特征值。在每个时间步显式地形成雅可比矩阵在计算上是不吸引人的，这就是为什么我们只考虑雅可比矩阵对相关向量的作用。在无雅可比（或甚至无矩阵）实现的情况在Deka Einkemmer [3]中，我们已经证明这是求解高度非线性MHD方程的一种有效方法。我们注意到幂迭代法只给出最大特征值的大小。问题的本质，如它是扩散主导还是平流主导，可以通过比较扩散和平流CFL时间来理解。对于扩散主导的问题，我们假设最大的特征值（在幅度上）位于实轴上，我们将最小的特征值设置为0，而对于对流主导的问题，我们假设特征值主要位于虚轴上，我们在虚Leja点上插值多项式。这里，最小特征值被选择为使用幂迭代获得的最大特征值的负值。现在我们有了最大的（α）和最小的估计值est（β）本征值（以量值表示），标度因子和移位因子可以分别定义为c=（α+β）/2和γ=（β−α）/4 [22，23]。对于实本征值，β=0，而对于Fig. 1. EXPRB 32、EXPRB 43和EPIRK 4s3A的收敛曲线。迭代取决于ym（z）的值。收敛性由产生的误差（即dm ym）小于用户定义的公差（取决于安全系数）确定。LeXInt有两个函数用于在实Leja点（“real_Leja_phi”）和虚Leja点（“imag_Leja_phi”）上内插xl（z为了加速收敛，建议如果所考虑的雅可比矩阵的最大特征值是实数，在实Leja点上插值类指数函数如果最大的实和虚特征值的幅度相对相似，则可以在实或虚Leja点上插值。形式的自治齐次线性微分方程的精确解（在时间上）虚特征值β α。4的因子来自于事实上，我们已经选择了Leja点（）在任意谱拉乌t=一个u，domain[-2，2].我们计算多项式的系数（d）由un+1给出 =实验的）n. LeXInt提供 功能-mial，要插值，使用除差算法。然后，我们通过在每次迭代中添加附加项来形成多项式，直到达到所需的精度。这可以用数学公式表示为：pm+1（z）=pm（z）+dm+1ym+1（z），tions'real_Leja_exp'和A d 'imag_Leja_exp'分别通过实Leja点和虚Leja点上的Leja插值来计算矩阵指数。在自治非齐次线性微分方程的情况下，拉乌y（z）=y（z）×（z-c-z），阿勒特 =Au+S，哪里是某个强迫项，给出了随时间的精确解其中d m 是mth 多项式的系数，n+S1 =un+1（At）（Aun+S）t。我们提供了m次Leja点，pm（z）是多项式的第m项，m0. 多项式初始化为p0d0y0。让我们清楚地说明，如果已经为exp（t（cγ））计算了被除数差，则pm对应于exp（t（c γ））v的多项式插值，而如果已经为 l（t（cγ））计算了系数，则pm将是l（t（cγ））v的多项式插值（对于某个向量v）。如果用户定义的容差的值太大，或者如果在某个时间步长引起的误差如此大的步长可能会导致算法发散，这就是为什么我们采用一种安全措施，检查所产生的错误不超过某个阈值。该误差的非常大的值指示算法即将出现发散。在这种情况下，我们拒绝步长，并以较小的步长重新开始时间步长。我们注意到，z是在un处评估的基础PDE的雅可比向量积，并且它在每个函数计算这些方程的（精确）解。人们可以计算自治线性方程的精确解（在时间上）没有任何误差估计。用户可以通过调整公差来选择所需的精度。需要注意的是，LeXInt可以在完全无矩阵的结构中工作，也可以在任何给定的矩阵公式中工作，只要有一个定义良好的RHS函数（这类似于如何实现显式方法）。显然，无矩阵公式是优选的，观点3. 说明性实例我们展示了几个问题的选定数量的积分器的性能。这些问题已经得出普拉纳布Deka，Lukas Einkemmer和Mayya Tokman软件X 21（2023）1013024[客户端]=-1−2（2x− 1）=-==-==-2U--=22σ2阿X2u图二. 几个嵌入式EXPRB和EPIRK积分器的计算性能与用户定义容差的函数关系图（左图），对于Burgers方程，所引起的全局误差的l2范数（右图）（一）. 顶行和底行分别对应于情况（a）和（b）从Refs [2，24]。在这两个问题中，我们考虑0， 1上的周期边界条 件 。 我 们 用 二 阶 中 心 差 分 格 式 离 散 一 维 拉 普 拉 斯 算 子（λ2/λx2），用三阶迎风格式离散平流项（λ/λx）。第一个例子是伯格斯我们在图1中显示了Burger方程的选定数量的积分器的收敛阶。（1）N64和η200. 图2和3，我们展示了广泛的EXPRB和EPIRK积分器的性能为一对夫妇的代表性问题（方程。（1）和（2））具有可变步长实现。u站。让我们明确指出，在这里，我们不调查t= +2x，（1）其中η是Péclet数，初始条件由下式给出：u（x，t=0）=1+exp（1−1）+1exp（−（x−x0）2）不同集成商的性能。我们只是演示LeXInt中不同集成器的性能，而不是比较它们。4. 影响未来方面随着对高分辨率大规模图像的需求不断增加，在计算物理学的模拟中，x00。9和σ0的情况。02.我们考虑两种不同的情况的分辨率，以网格点的数量（N）、η和模拟时间t f表示：（a）N64，η200，t f10−3和（b）N 256，η10，t f10−2。第二个例子是艾伦-卡恩方程：更有效和增强的数值算法。有效在这方面，及时整合偏微分方程大有帮助。在过去的几十年里，博览会集成商已经取得了显着的进步和各种类型的指数积分器已被证明具有优于∂=+100（u-u 3）。（二）传统的隐式和显式方法适用范围广， 数学文献中通常考虑的问题此外，它们的优越性也得到了证明，初始条件选择为u（x，t=0）=A（1+ cos（2πX）），在A 0。1.与前面的例子类似，我们考虑两种情况：（c）N64，tf0的情况。1和（d）N256，t f0的情况。1，其中符号具有通、普拉纳布Deka，Lukas Einkemmer和Mayya Tokman软件X 21（2023）1013025常的含义。MHD问题[3，15，25]，动力学等离子体模拟[26大气和气象研究[31计算矩阵的指数是指数积分器的重要组成部分。Moler和VanLoan [14，45]的综述中概述了几种相同的方法普拉纳布Deka，Lukas Einkemmer和Mayya Tokman软件X 21（2023）1013026图三. 几个嵌入式EXPRB和EPIRK积分器的计算性能与用户定义容差的函数关系图（左图），Allen-Cahn方程的全局误差的l2范数（右图）（二）、顶行和底行分别对应于情况（c）和（d）EXPINT 1[46]是用于指数积分器的MATLAB软件包，其使用缩放和平方的修改形式（[ 14 ]中的方法3）计算Rel（z）函数。Krylov子空间算法在过去的几年中，由于它们能够有效地处理大的矩阵系统而变得越来越流行。EXPOKIT[13]、phipm[47]和phipm_simul_iom2[34]是一些公开可用的基于Krylov的MATLAB软件，用于有效地计算矩阵指数以及计算指数积分器的函数。在这一领域的进一步研究表明，多项式的方法插值[21，22]即使不比基于Krylov的方法更好，也具有很强的竞争力。expleja3是第一个基于Leja插值的MATLAB软件之一，它计算矩阵乘以向量或矩阵的指数。随着指数积分器在计算科学各个领域的日益普及，我们提供了一个可访问的框架，这些方法的有效实施。虽然像Padé近似，平方和缩放，或对角化相应的矩阵和计算所得特征值的指数的方法对于小矩阵工作良好基于这些方法（部分）的库已经在Python中可用我们提供了一个基于Leja多项式插值的1 http://www.math.ntnu.no/num/expint/matlab2 https://github.com/drreynolds/Phipm_simul_iom3 https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/44039-matrix-exponential-times-a-vector的方法，是非常有利于计算的指数函数的大型系统的矩阵。作为软件包的一部分，我们提出了大量的（Leja为基础的）指数积分器（从文献）的时间积分的非线性偏微分方程的恒定和可变步长。用于指数积分器的Leja插值方法的Matlab版本已被添加到基于Krylov的EPIC库中。使用EPIC，它最近已被Gaudreault等人证明[16]，基于基向量的不完全正交化（KIOPS）的算法可以帮助实现相对于最先进的phpm算法的合理这个公开可用的软件包可以从https://faculty.ucmerced.edu/mtokman/#software获得。我们已经在Leja方法与KIOPS算法[48]的性能比较研究中使用了该软件包，并开发了各向异性扩散的有效积分器[49]。本软件包的发布为人们提供了一个基于Leja的方法的有效将来，我们将开发LeXInt的并行实现，并包括专门为并行计算和高性能计算（如GPU）设计的其他指数积分器。LeXInt将作为大型软件包的一部分实现。作为一个例子，在不久的将来，这个软件包将被附加到PICARD代码[50]中，以求解与时间相关的宇宙射线输运方程[51]。普拉纳布Deka，Lukas Einkemmer和Mayya Tokman软件X 21（2023）1013027竞合利益作者声明以下经济利益/个人关系可能被视为潜在的竞争利益：Lukas Einkemmer报告奥地利科学基金提供了经济支持数据可用性数据将根据要求提供。确认这项工作得到了奥地利科学基金（FWF）项目ID：P32143-N32的部分支持。我们要感谢Marco Caliari为我们提供了计算Leja点的代码。引用[1] 放大图片作者：Hochbruck M.指数积分器。Acta Numer 2010;19：209-86.http://dx.doi.org/10.1017/S0962492910000048网站。[2] Deka PJ，Einkemmer L.指数积分器的有效自适应步长控制计算数学应用2022;123：59-74. 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