P1ð Þ ¼-11ðþÞ埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2012）20，126原创文章广义Logistic分布的研究M.M. Nassar，A. Elmasry*Ain Shams大学数学系，科学系，Abbassia，开罗11566，埃及2011年6月9日收到; 2012年2012年11月28日在线发布摘要由于广义分布的可拓性，近年来对广义分布的研究引起了广泛的关注。Beta广义Logistic分布（IV型）的完全研究引入了中值的近似形式，推导出了平均偏差从平均值和中位数。利用极大似然法和矩量法给出了一种完整的参数估计。本文讨论了广义Logistic分布Ⅰ型的一些特征性质。本文还着重讨论了Zografos和Balakrishnan[1]讨论的广义Logistic分布IV型的一个类似分布的一些性质。2012年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍对应于r的变量第1页 j-1Xj，其中Xj是独立的，170多年前，Verhulst[2，3]将逻辑函数用于经济人口学目的。Gumbel [4]发现，逻辑分布以纯粹统计的方式出现，作为来自指数型对称分布的大小为n的随机样本的标准化中间范围（最大值和最小值的平均值）的极限分布（作为nfi）。Gumbel和Keeney[5]表明，逻辑分布是作为“极值概率”的适当倍数的极限分布获得的，即（最大值）/（最小值）。Talacko [6]证明了逻辑分布是标准化的极限分布（如rfi1）。*通讯作者。电子邮件地址：ahmed. med.asu.edu.eg（A. Elmasry）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier每个具有I型极值分布的dent随机变量。许多作者讨论了logistic分布在许多领域的重要应用，包括生存分析，增长模型和公共卫生。文献中提出了几种不同形式的Logistic分布的推广，并在Balakrishnan和Leung[7]，Balakrishnan[8]和Johnson等人[9]中进行了研究，即I，II，III和IV型。I型广义Logistic分布具有以下密度函数（pdf）ake-kxgx1e-kxa1;-10：101如果X具有（1）中的I型广义Logistic分布，则-X具有II型广义Logistic分布。III型广义Logistic分布具有pdf g x1ke-kax ;Ba1 e-kx2a0，最后但并非最不重要的一点是，由Prentice[10]和KalbB.E.和Prentice[11]引入的IV型β广义Logistic分布或BGL（a，b，k）由pdf给出。1110- 256 X？ 2012埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.08.011关键词广义Logistic分布;估算;矩和顺序统计量R0Ba;b11Z2ð Þ ¼..-km1e伊库y而pdf由Eq. （二）、1b-10联系我们yBa;b广义Logistic分布的研究1271ke-kbxgxBa;b1e-kxab;-1x1;a;b>0;2其中，Ba;bta-1 1-tdt是完整的β函数，k是尺度参数。在（2）中定义的BGL（a，b，k）也称为log-F分布。这只是由Jones[12]提出的beta分布生成的logistic分布族，其中“beta生成分布”类gx;a;b1fx½Fx]a-1½1-Fx]b-1;a;b>0;3和-1Zografos和Balakrishnan[1]。在第6节中，我们总结了关于区分两类广义Logistic分布的一些评论，以及对实际数据的应用。2. BGL分布2.1. 极限行为如果a和b都趋于无穷大，如Aroian[14]所讨论的，那么适当归一化的log F分布趋于正态分布。如果a固定b，则适当归一化的log F分布趋向于密度与e-bte-e-t;-10;4标准化logF分布趋向于（log gamma）分布，密度与eat e-et;-1t<<1成比例（参见其中，F（x）是累积分布函数（Cdf），标准物流配送一般来说，广义模型比一般模型更灵活，是许多数据分析人员在分析统计数据时的首选模型，本文主要讨论Beta广义Logistic分布IV型，即BGL（a，b，k）。让我们引入Jones[12]提出的BGL（a，b，k）分布的Cdf，由下式给出：Prentice[15]）。也就是说，只有afi1导致第b个最大顺序统计量的极限分布的情况;类似地，当b fi时，极限分布是第a个最小顺序统计量的极限分布。当a或b固定时，极限极值型分布的特殊形式是logistic分布的指数尾的结果2.2. 单峰性11e-kx-1GxBa;bta-11tb-1dt I11e-kxa;bLogistic分布的形状与正态分布非常相似，因为它是对称的钟形pdf。此外，两个分布函数之间的最大差异可以是其中Ia;bBya;b是不完全β函数比率，不完全β函数是Ba;bRywa-11-wb-1dw，小于0.01，如Mudholkar和George所提出的[16]。因此，逻辑斯谛分布与正态分布非常接近这就是为什么它使它有利可图，在适当的时机，用Logistic模型代替正态模型，简化了分析我们可以在等式中表示Cdf。（5）根据Gradshteyn和Ryzhik[13]给出的超几何函数，没有太多的矛盾。BGL（a，b，k）分布，如Johnson etal.[9]，是单峰的，模式为1loga。K B如下因此，BGL分布的pdf是一个递增函数对于x1loga，它是x>1loga的递减函数。<11.1000克b bGxaBa;b1e-kx2F1a;1-b;a=1;1e-kx：2016年还可以观察到，对于a>b，它是正偏斜的，它是负偏斜的，并且对于a=b是对称的。BGL（a，b，k）分布是逻辑分布的一个推广当a=b=1时，我们得到标准Logistic分布.广义逻辑（即BGL（a，1，k））分布类型I是选择b=1的特殊情况对于b=a的情形，我们有广义Logistic分布III型 图 1给出了不同（a，b，k）值的pdf（2）图。BGL（a，b，k）分布的风险函数为：2.3. 中值任何分布的一个重要特征是中位数m，由于之前没有讨论过，我们在本小节的主要目标是推导出BGL（a，b，k）中位数为了推导出它，众所周知，G m1。考虑到b是整数和积分，我们得到1hxke-kbx1;-1xBa;bXb-1。b-1000-1000j. 1年aBa;b1e-kxab1-Gx<1;a;b>0：1072½jjo阿吉1e-km：180右边的求和绝对收敛第2节介绍了BGL（a，b，k）的一些性质，为11<.使用近似技术，医学-þ在文献中进行了研究，ian可以写成推导出中位数的显式形式，从而得出平均值1 1偏差，然后扣除Renyi和Shannon熵。第3节提供了（2）中参数的不同推断方法。的某些特性mlog1=a2aBa;b：1999年-1BGL（a，1，k）分布在第4节中介绍在现在，如果b不是整数，则求和是无限的，并且第5节，BGL分布的模拟族，定义为同样，绝对收敛于11e-km<1，因此一个好的..0¼ ð Þ.我...ð Þ ¼ ð ÞX-DXDX2ð Þ ¼ ð Þ ð Þ ¼ ð Þ128米 Nassar，A. 埃尔马斯里图1各种参数值的pdf（2）近似值是（9）中给出的。在广义Logistic分布类型I的特殊情况下，即当b=1时，我们得到1 1m/4klog21=a-1：2.4. 特征函数可以推导出BGL（a，b，k）分布的特征函数（cf）Bait;bitftKk：10Ba;b如果b=1，我们得到BGL（a，1，k）分布的cf为：sw000aw000b：12半w0aw0b]2为了讨论偏度的行为，我们给出以下结果。定理1.(i) 对于任何固定的a，偏度s1（a，b）是b的递减函数。(ii) 对于任何固定的b，偏度s1（a，b）是a的增函数。证据 求s1（a，b）相对于b的微分，@s1a;b-AB由Ahuja和Nash[17]和Johnson等人[9]提出。对于a=1和b=1，上述表达式简化为标准logistic分布的cf（参见Johnson et al. [9]）。@b哪里2½w0aw0b]5=2Davidson[18]引入的BGL（a，b，k）的均值和方差可以写为：1[lEXkwa-wb]和A¼2w000bw0aw3w00aw00b;B¼2w000bw0b- 3w00bw00b：根据上坂的命题9[19]，B>0。此外，digamma函数的n阶1r2¼VarX¼½w0aw0b];wnx1k¼0-1xð13Þ其中wx dlog Cx和w0x dw x分别称为双伽马函数和多伽马函数。事实上，c=w（1）= 0.577215称为欧拉常数。偏度和峰度是w00a-w00b使A> 0。因此偏度对b的导数“少”是“少”，“少”是“少”，“少”是“少”。同样，关于a的微分，@s1a;bCDs1½w0aw0b]3=211和5= 2@a2½w0aw0b]哪里K2广义Logistic分布129ðÞDll2lGl -kBa;blogv-ab-k-1D ml-kBa;blogu-ab-k-1C¼2w000aw0b 3w00aw00b;D¼2w000aw0a- 3w00aw00a同样，利用上坂的命题9[19]，D> 0。此外，如上所述，C> 0，因此验证了（ii）。同样，与中位数的平均偏差可以简化为Zm直径（mm）l-2xg x dx：17-1偏度和峰度的渐近行为作为一个和b趋于零或无穷大是一个重要的问题，并进行了讨论然后，与平均值的平均偏差和与中位数的平均偏差分别由下式给出：2“X1. b-1轰炸机k¼0Kb1k1vab-k-1a/b-k-11. a-1型-100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000logg1-v-11-vab-k-1#j<$0jab-j-1ab-j- 1在下面的定理中。 H2“X1. b-1轰炸机k¼0Kb 1 k和1uab-k-1a/b-k-1X1.a-100%。þj¼0J11-uab-k-1#定理2. 当a和b趋于零或无穷大时，BGL分布的偏度极限值由下式给出：lims1a;b¼-2;lims1a;b¼ 2;lims1a;b¼ 0：14哪里1v<$1e-wa-wb;u<$. aBa;b1=a2一个！0b！1一个！1b！0一个！0b！02.6. Renyi熵和Shannon熵证明可以很容易地推导出使用Eq。（十三）、定理3. 当a和b趋于零或无穷大时，BGL分布的峰度极限值由下式给出：lims2a;b 6;lims2a;b 6：150熵的概念在物理学、概率论和统计学、通信理论和经济学等不同领域都具有根本的重要性。由于随机变量的熵是不确定性变化的度量，因此Renyi一个！0b！1一个！1b！0熵可以推导出证明，再次，可以使用Eq。（十三）、1IRn nn 1-nlogkn-1Bna;nbBna;b：182.5.平均偏差与平均值的偏差（在对称分布的情况下）或与中位数的偏差（在偏态分布的情况下）是总体中扩散的重要度量。设X是一个随机变量，其pdf在等式中给出。（2）平均值l=E（X）和中位数m。与平均值的平均偏差和与中位数的平均偏-1-1-1对数1-u-a/b-j-1a/b-j-1：130M.M. Nassar，A. 埃尔马斯里-1差分别定义为：DlEjX-lZ1jX-ljgxdxDmEjX-mZ1jX-mjgxdx：-1与平均值的平均偏差可以简化为ZLDl2lGl -2-1xg x dx：16一个特殊的情况，在香农[20]关于通信数学理论的开创性工作中定义< $hshgBlogBa;b-logk-a½wa-wab]-b½wb-wab]19”（注1），《易经》云：“君子之道，焉可诬也？有始有卒者，其惟圣人乎。3. 参数估计与推断在下面的小节中，我们讨论两种方法的参数估计，从而得出在每种情况下的估计。3.1. 最大似然估计在这里，我们考虑最大似然估计（MLE）BGL（a，b，k）分布的一个例子。设X=（X1，X2，.. . ，Xn）是来自BGL的广义Logistic分布131ðÞΣΣΣΣn1/1我i¼1xi-s1S3ni¼1xi-s1n10000（a，b，k）分布。对数似然函数可以写为，其中Kii表示的第i个对角元素，如下所示K-1^aML;b^ML;^kM LT，其中i=1，2， 3和zc标准正态分布。是1-c/2的logL¼-n logBa;bn logk-kbXxi-abXlogg1e-kxi1/11/13.2. 矩估计量令X=（X，X，... ，X）是来自以下的设置x¼1Pn x和关于a，b和1 2Nk，我们得到以下正规方程等值E（X），变量（X）和E（X-E（X））3，@logL@a与相应的样本估计值s1¼1Pn xi;s2¼-nw1Pn21Pn3ni¼1@logL@b¼ -nwbn w a b nkxD n kð20Þ得到方程1@logL nXnxie-kxis1¼k½wa-wb]2@k-ab1/1;1e-kxis2¼1½w0aw0b]ð21Þ其中DkPn对数1e-kxi。K对于模型的区间估计和假设检验我们需要信息矩阵。 费雪信息矩阵K=K（h），h=（a，b，k）T，0Ka;aKa; bKa;k1[3½k3½wa -wb]将（21）中的三个等式组合，得到w0aw0bs22S2K¼B@ Ka;bKb;bKb;kKa; kKb;kKk;kAC;½wa-wb]1和其元素w00a-w00bs33S3Ka; a¼E.-@2logL@a2nw0a-nw0ab;½wa-wb]1K a;b¼E.-K b;b¼E.-@2logL@a@b@2logL@b2¼-nw0ab;nw0b-nw0ab;这可以同时解决，以给出估计，a和b：^aMM和b^MM：k的估计值可以直接由下式获得：.@2logLnAB1SKk;k¼ E-2.2升，每升1磅;k^^½w^a-w[]：@k k.@2logLnnb嗯嗯嗯1Kb;k¼E-@b@kk4. GL分布wKa; k1/4E.-@2logL@a@knba设X是一个随机变量，具有CdfG（x）和特征函数cff（t），考虑b=1。让不BGL（a，b，k）分布在矩量法下，n分别为：1/1S/2132M.M. Nassar，A. 埃尔马斯里3-2nb^ML-b;n∈^kML-k∈]T是N（0，K-1（a，b，k）T）. 关于asymp-G-1（t）=inf{x：G（x）Pt}，t2（0，1）为分位数函数-wab-wb1：最大似然估计（MLE）^h^k^aML;b^ML;^kML H的数值是确定的。X1，X2，... . ，X n是来自BGL（a，1，k），并将相应的顺序统计量表示为X1，n6X2，n6·· ·6Xn，n.分布函数和特征广义Logistic分布133¼ ðÞ从非线性方程组的解中挖掘出来早些时候给的。在满足param的条件下，134M.M. Nassar，A. 埃尔马斯里Xk，n特征函数分别记为Gk，n和fk，n，活泼地 对于奇数样本量的特殊情况广义Logistic分布135在参数空间的内部但不在渐近边界半pn^a-a的分布;n=2m136M.M. Nassar，A. 埃尔马斯里- 1，表示样本中位数Xm，2m- 1广义Logistic分布137X（m）和138M.M. Nassar，A. 埃尔马斯里ppML的Cdf和cf分别由G（m）和f（m）表示。像往常一样，定义中毒的 正常 N30;K-1^aML;b^ML;^kMLT分布 的^H^aML;b^ML;^kMLT可用于构造某些参数以及风险和生存函数的置信区间。事实上，每个参数的100（1c）%渐近置信区间（ACI）由下式给出：AC Ia ¼.a^ML-zc=2pK11;^aMLzc=2pK11ofG.此外，设R是实数线，并表示等式，广义Logistic分布139分布D。我们现在给出一些基本性质。定理4. 设X具有BGL （a，1，k），即G（x）=（1+e-kx）-a，xR，且令U遵循一致分布在[0，1]上。则以下属性成立。(a) G的分位数函数为G-1t1loght1=ai;t20;1，140M.M. Nassar，A. 埃尔马斯里ACIb¼.b^ML-zc=2pK22;b^MLzc=2pK22因此Xd1loghU1=ai广义Logistic分布141k1-t1=ak1-U1=aAC Ik¼.k^ML-zc=2pK3;^kMLzc=2pK33(b) X的矩母函数为142M.M. Nassar，A. 埃尔马斯里X.Σ.Ca Ca1n-1-j.; t 2 R：C2X轴.×;t2R：.CaCa1KK22.第十章-1：300-300-300-1K2它M.S.C.aa ab bC。1-s=Ca;s2-1;1：5. 伽玛生成的逻辑斯谛分布K(c) 该cf fKBait;1-itt2R2.5.2B.a;1.;(d) 最小顺序统计量X1：n的cf为最近，一个连续分布族被引入-通过斯泰西的广义伽马分布的一个特殊情况引入f1：n不带键n不带键n-1 n-1j<$0j它-1Kbeta分布Ssfxð22ÞgxCdf-对数正1-F正x负sd-1e-半正1-F负x负];1 -Fβ-xβ-特别是“C.2aitCa1#KKx2R;s;d>0：128μ m对于s=1，上述pdf采用以下形式f1：2t1-C2a1C. 一个不起眼的人;t2R1g xCd½-log1- F x]d-1灌 f=x= 0;x =2R;d>0;和其中F（x）由（4）给出如下：“C. 2aitCa1C. 3aitCa1#-是的d-1-kx1g x;d;k1-日志记录 1-Ke;ftC2a1C.一个不起眼的人C103A101C.阿吉提Cd1e-kx12R：对于特殊情形a=1，k=1，我们得到了Lin和Hu[21]的结果- 1x1;d>0：1029mm让我们将伽马生成的Logistic分布表示为（29）由GGL（d，1，k）.在d=n的情况下，其中n是正整数，（29）中的密度函数是第n个上f1： 2tt由一系列独立且同分布的随机变量产生的记录值，这些随机变量来自一个总体，(e) 对于n= 2 m- 1P3，样本中位数X（m）的cf为CdfF（x）由（4）给出。首先，GGL的CDF（d，1，k）由下式2米-1！m-1！2Xm-1。m-1j¼0Jg x; k;k：30它KK特别是k¼d 1图2给出了不同d和k值的pdf（29）曲线。最重要的特征分布-第（29）节将在下面的小节中讨论。“C.2 a itCa1C.3 a itCa1#KKf2： 3米/小时6米/小时C102A101C.一个小的-一个不起眼的人;t2R5.1. 模式对于a=1，k=1的特殊情况，这归结为Lin和Hu的结果[21]f2： 312：(f)给出了16j6n的顺序统计量的矩通过对pdfg（x）求导，导出了GGL（d，1，k这导致近似的模式1logn 2d。因此，GGL（d，1，k）的pdf是x<1logn2dn的增函数和它是一降低功能为x>1logs2d：可以观察到，对于d>1，和kP 1，由以下公式表示“n-j#j;nKK偏斜，对于0d1，它是负偏斜和对称的<<对于D1/4。k1X kk-1EX Þ ¼wðk-1Þððn-rÞaÞþð-1Þwð1Þð24ÞE Xk- E Xk2019年12月1日-12月25日j; nj;n-1kkE Xk-Ej-1; nj;nkk（g）Xk，n的矩母函数为nn-k个n kM我不知道B-11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111阿恩-勒芒特KKKKKþK;tfm：2m-1关于我们ft1e-kx1G xkKKr¼0广义Logistic分布143;1-t：k; nkl¼0lK Kð27Þ结果4.1（a） 应用图2各种参数值的pdf（29）144M.M. Nassar，A. 埃尔马斯里日志“X联系我们BGXX轴Þk¼1Cd15.2. 中值第二个重要特征是中位数m0，对k和d进行微分，我们得到以下方程：nkxn n@log LnX1x i e iXXX i使用（30）和近似技术推导出中值的近似形式，@k¼k-10d-10d1/1 logn1ekxi：1ekxi-1/1xi21/1 1（。 （1）0@logL@dn-nwloglogn1kxi：mklog25.3. 是说-1：131参数的MLE可以从上面给出的非线性方程组的解数值地确定。Zografos和Balakrishnan[1]提出的GGL（d，1，k）的r阶矩由下式给出：6. 总结发言测试某些给定的观测是否可以电子邮件Z1.1年生存率½logg1-y]d-1dy：被认为是来自两个概率分布之一kCd0y对于d>1的自然数，Zografos和Balakrishnan [1]预计它不能被进一步简化。对于r > 1，这是正确的，但是对于r=1的情况，GGL（d，1，k）的平均值由下式给出：问题是统计学中的一个老问题，正如Kundu等人所给出的[24]和Zografos和Balakrishnan [1]。我们的兴趣是确定最适合描述所考虑数据的特定模型。根据最大熵原理的精神，我们必须使用以下差异来E XD1100万美元一点三十二分kk1d1DB;G ¼¯hshðgÞ -h¯shðgÞk¼1¼logBa;b- a½wa-wab] -b½wb-wab]5.4. 香农熵-logCdd-1wdd-1k¼11kk1d：最后但并非最不重要的是GGL（d，1，k）的香农熵，如Zografos和Balakrishnan[1]所介绍的，<$hshgGlogCd -d-1wd -logkd十一点三十三分kk1d5.5. 最大似然估计分布（29）的对数似然函数可以写为：XnlogL¼n logk-n logCdd-11/1注意DB，G不依赖于父分布F.这是很清楚的，因为gB和gG基于相同的父代F。本文研究了广义Logistic分布，并给出了详细的数学处理.作为应用，考虑Dahl等人[25]在随机对照可行性试验中研究的卒中后强制性运动疗法的短期和长期结局。在基线、治疗后和6个月随访时，使用Wolf运动功能测试作为主要结局指标对30例患者进行评估。该测试包括17项任务，其中包括两项力量任务和15项定时任务，这些任务从粗略的肩部运动到复杂的手指抓握不等。测量是通过分析录像带进行的。30个观察值分别为0.5、1.0、1.0、1.5、1.0、1.5、2.0、1.0，n n0.5，1.0，0.5，1.0，1.0，1.5，1.0，0.5，1.0，1.0，0.5，1.0，-kXxi-2Xlog1e-kxi：1.0、1.5、1.5、1.0、1.0、0.5、1.0和1.0，以秒为单位测量1/11/1BGL分布的最大似然估计为^a1/47：8374;图3Dahl等人给出的数据集的拟合密度[25]第10段。X1d-1灌1/1[log½log1ekxi]广义Logistic分布145¼¼B^3：2904 8;^k1：7627 9：此外，通过拟合BGL、GGL、伽马和Weibull分布确定的最大对数似然分别为，logLBGL 181： 8719208; logLGGL1/4 -32： 39702109; logL-谷氨酰胺¼28： 84992755; logLW¼ 119： 958053：拟合的BGL、GGL、gamma和Weibull密度如图3所示。结果表明，BGL分布比GGL、Gamma和Weibull分布更适合这些数据。引用[1] K. Zografos ， N. Balakrishnan ， 关 于 beta 和 广 义 gamma-generated分布的家族和相关的推断，统计方法6（2009）344[2] P.J. Verhulst ， Notice sur la loi que la population suit danssons accroissement，Corr. Math. Et Physique 10（1838）113[3] P.J. Verhulst，Recherches mathematiquessur la loi[4] E.J.Gumbel ， Rangesandmidranges ， AnnalsofMathematical Statistics 15（1944）414[5] E.J. Gumbel ， R. D. Keeney ， 极 值 商 ， Annals ofMathematical Statistics 21（1950）523[6] J. Talacko，Perks' distributions and their role in the theory ofWiener's stochastic variables ， Trabajos de Estadistica 7（1956）159-174.[7] N. Balakrishnan，M.Y.梁，第一类广义逻辑分布的顺序统计量，统计通讯-模拟与计算17（1）（1988）25[8] N.刘晓波，物流配送理论与方法，北京，1992。[9] N.L. 约 翰 逊 ， S 。 Kotz ， N. Balakrishnan ， 第 二 版 ，Continuous Univariate Distributions ，vol. 2 ，Wiley ，NewYork，1995.[10] R.L. Prentice，剂量反应曲线的概率单位和对数单位方法的推广，生物统计学32（1976）761[11] J.D.卡尔布·德迈施Prentice，故障时间数据的统计分析，Wiley，纽约，1980年。[12] M.C.Jones ， Familiesofdistributionsarisingfromdistributions of order statistics，Test 13（2004）1[13] 埃. Gradshteyn，I.M.吕志亮，积分表，级数与乘积，北京：科学出版社，2000年。[14] 洛杉矶Aroian，A study of R.A. Fisher[15] R.L.Prentice ， Discriminationamongsomeparametricmodels，Biometrika 62（1975）607[16] G.S. Mudholkar，E.O. George，A remark on the shape of thelogistic distribution，Biometrika 65（1978）667[17] J.C. Ahuja，S.W. Nash，广义[18] R.R.张文，一个广义Logistic分布族的一些性质，大气科学中的统计气候学发展，第13卷，爱思唯尔，阿姆斯特丹，1980年。[19] H. 李文，李文，李文生，李文生，等.广义对数-伽玛分布的若干性质[20] C.E.杨文，通信理论与应用，北京大学出版社，1998[21] G.D. Lin ， C.Y. Hu ， On Characterizations of the LogisticDistribution，Journal of Statistical Planning and Inference 138（2008）1147[22] S.S.古普塔，加-地Balakrishnan，Logistic顺序统计量及其性质，Balakrishnan，N.（1992年）。[23] G.D.林，序贯统计量中两个矩之间关系的分布特征，统计规划与推理杂志19（1988）73[24] D.昆杜河古普塔A。Manglick，判别对数正态分布和广义指数分布，统计规划与推理杂志127（2005）213- 227。[25] A.E. Dahl，T.阿斯金河Stock，E. Langergen，S. Lydersen湾Indredavik，中风后限制性运动治疗的短期和长期结果：一项随机对照可行性试验，临床康复22（2008）436-447。
我的内容管理
收起
我的收益 登录查看自己的收益
我的积分
登录查看自己的积分
我的C币
登录后查看C币余额
我的收藏 
我的下载 
下载帮助 
