埃及数学学会：逆指数型分布下的双样本贝叶斯预测区间

埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2011）19，102原创文章右删失样本下逆指数型分布顺序统计量的双样本贝叶斯预测区间M.M. Mohie El-Dina， Y.Abdel-Atya，*， A.R. 沙菲湾a埃及爱资哈尔大学理学院数学系b埃及法尤姆大学理学院数学系2012年1月5日在线发布摘要本文给出了顺序统计量的两个样本贝叶斯预测区间。这种预测是基于使用右删失样本的某类逆指数型分布。使用一般类的先验密度函数，并且预测在两个样本的情况下，得到了累积函数。逆指数型分布包括逆威布尔分布、逆伯尔分布、对数逻辑分布、逆帕累托分布和逆旁向分布等几个重要的分布。逆威布尔模型的特殊情况下，如逆指数模型和逆瑞利模型被认为是。2011年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍在许多实际问题中，人们希望使用以前数据的结果来预测同一总体的未来观测结果。一种方法是构造一个区间，该区间将包含具有指定概率这个区间称为预测区间。预测已在医学、工程、商业等领域得到应用。几位作者讨论了基于某些分布的未来观测的贝叶斯预测界。指数分布的未来观测值的贝叶斯预测界被认为是由[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，[7]，[8]，[9]，[10]，[11]，[12]，[13]，[14]，[15]，[16]，[17]，[18]，[19]。*通讯作者。电子邮件地址：yahia1970@yahoo.com（Y. Abdel-Aty）。1110- 256 X？ 2011埃及数学学会。制作和主办：ElsevierB.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。同行评审由埃及数学学会负责。doi：10.1016/j.joems.2011.10.002[14][15][16][ 17][18][19][1 Evans和Nigm[6]推导了Weibull模型下未来寿命的贝叶斯预测界。Nigm[7]、Al-Hussaini和Jaheen[8]以及Ali Mousa和Jaheen[9，10]获得了具有Burr类型XII分布的观测值的贝叶斯预测界。顺序统计量自然出现在许多涉及寿命测试研究数据许多作 者 研 究 了 顺 序 统 计 量 和 相 关 的 推 论 ， 例 如 ， 见David[11]，Arnold等人。[12]和Balakrishnan和科恩[13]。制作和主办：Elsevier关键词顺序统计量;贝叶斯预测区间;双样本方案;右截尾样本;逆威布尔模型;逆指数模型;逆瑞利模型.Jj¼J 1·· ·100万！1/1w1m-w-1j/1j我1/1我m！ Xm-s1m-wf Xx n！1/1ci n- r1j1-k0xj;hYs：mS100万！w1WSJJ1/1ci n- r11g/h;x！ Xm-s1103阶双样本贝叶斯预测区间本文研究了在右删失样本下，基于逆指数型分布的顺序统计量的双样本贝叶斯预测区间。一类一般的先验密度函数，”[14]这是胡适的座右铭。基于第一个样本的Ys：m的贝叶斯预测界通过求解以下两个关于t的方程m！I-1Xn-r1Xm-s1cin-r1cwm-s1在本文中，我们使用以下定义，符号×Z.Yr二氢gh;xexp½-fh;xm-w1kt;h]dh设X是一个具有绝对连续分布的随机变量函数F（x）f（xh），其中参数h2H可以是实向量。Corre-1-s112： 40响应于X，我们考虑n OS X1：n6X2：n6. 6Xn：n.右II型截尾样本X1：n6X2：n6的联合密度函数。6Xr：n由下式给出：其中16s6m，gh;x1-k0xj;h1/2Ch;d]1=r;2：5fx你好！1-FXR你-你！Xn-r1我1/1Yrfih;xn-r-i1kxr;h第1页kxj;hn！1/1cin-r1Fxrn-r-i1第1页fxj;1：1和D其中x=（x1，. . ，x r），16 r6 n，和c in-r n 1n 1 n1-1.I¼Xn-r1cn-r1你好！你好！设Y1：m6Y2：m6.. . 6Ym：m是来自相同总体的大小为m的那么第s个OSYs：m的边际密度函数由下式给出：×证明Zh2H. Yrgh;x实验半-fih;x]dh：12：70我 的天！Fys-11-Fym-sfySSs将（2.1）和（2.2）代入（1.1），我们得到Ys：mS快-快！100万！Xn-r1. Yr四分之一秒！w1 cwm-s1FysfðysÞ;ð1:2Þ×ex ph-.n-r-i2018 - 02 -22 00：01：02式中，16s6m和cm-s1m-s-w1.R J第1页w-100！快-快-快！将（2.1）和（2.2）代入（1.2），我们得到2. 双样本贝叶斯预测区间如果分布函数F（x）以下列形式给出，则称随机变量XFxjhexp½-kx];x>0;h2：2：1其中k（x）1Mfyjhcm-s1-k0y;h×exp½-m-w1kys;h]：2：9由于后验密度函数由下式给出：pωhjxl-1ph;dfXx;2：10哪里Z¼且k（x）f0为xfi。那么概率密度函数由下式给出我二氢 ph;dfXxdh;fxjh-k0xexp½-kx]：2：2被认为是这种特殊情况的特殊分布将（2.3）和（2.8）代入（2.10），我们得到后验密度函数pωhjxl-1Xn-r1cn-r1。Yrgh;xex p½-fh;x];一类分布是逆指数、逆瑞利、逆威布尔、逆帕累托、负指数、负威布尔、负帕累托、负幂、Gumbel、指数化威布尔、对数逻辑、Burr X、逆Burr XII和逆哪里我1/1j/1j我2012年2月11日旁系逻辑分布为了获得贝叶斯预测区间，我们需要一个合适的gh;x1-k0x;h1/2Ch;d1=r;fh;xn-r-i1kx;hXrkx;hDh;d;先验参数分布先验密度函数类[14]《易经》中的《易经》，ph;d/Ch;dexp½-Dh;d];h 2H;h 2：3其中d是先验参数的向量。我和第一部分Xn-r1RZ.Yr二氢J第1页Σexp½-fih;x] dh：定理2.1. 设X1：n6X2：n66Xr：n是一个右II型截尾样本，服从分布（2.1）。让Y1：m6 Y2：m6·· ·6 Ym：m是同一总体中未来随机样本大小m的OS。那么100%由于贝叶斯预测密度函数由下式给出：ZP ysjxfYs：m ysjhpωhj x dh;2：12二氢¼JX一个2xaxj100万！1/1我j/1j我w1WS1/1ci n- r1Xj11中文（简体）m-w×exp½-m-w1kys;h]dh dys100万！1/1我100万！1/1w1m-wgjh;xexp½-fih;x]1n-r-i1m-w1dRm-w-1我100万！1/1w1m-w-11/1w1m-w-11x 1x2x3þ特鲁德¼100万！I-11/1w1m-w-1104米Mohie El-Din等人将公式2.9和公式2.11与公式2.12相结合，我们得到贝叶斯a-B0ba-b预测密度函数kxxb，kx-xb1：3：2波伊jxm！I-1Xn-r1cn-r1Z. Yrgh;x二氢假设a是未知数，b是已知数。那么我们将使用Calabriab已知为×exp½-fh;x]×Xm-s1cm-s1-`ky;h[17]第17话：pk;d/a-cb-1exp½-da-b];3：30×exp½-m-w1kys;h]dh：2：13由于Ys：m的预测累积分布函数由下式给出：其中a> 0，d =（c，d）且c，d> 0。因此不P= 06Ys：m6tjx0然后Pysjxdys;Ch;da-cb-1和 Dh;Dla-b：3：4使用式（2.14）、式（3.2）和式（3.4），则Ys：m的预测累积分布函数由下式给出：ZtXP 06 Y s：m6 t j x s-1！我0P06Ys：m6tjxm！1n-r1m！Xn-r1Xm-s1cin-r1cwm-s1×Z. Yrgh;xexp½-fh;x]Z1。Yr一个！Xm-s≤10J“的 。！#RBRtbXX四分之一米！I-1Xn-r1cn-r1四 分之一米！I-1Xn-r1Xm-s1cin-r1cwm-s1Z. Yr二氢第1页. X×！-;×Xm-s1cwm-s13：50×exp½-m-w1kt;h]dh：2：14则100s%贝叶斯预测界（哪里x0的. Xj¼1xbXBR！-rc1I¼@cn-r1 ×R1n-r-i1dJA：13：60m！I-1Xn-r1Xm-s1cin-r1cwm-s13.1. 特殊情况×Z.Yrgh;xexp½-fh;xm-w逆威布尔模型包含许多重要的特殊性，二氢1ji如逆指数模型和逆瑞利模型在下文中，逆指数模-11-s13. 例如在这一节中，我们研究了基于逆威布尔模型的顺序统计量（OS）的例如，逆威布尔（IW）分布已被用于模拟el和逆瑞利模型。(1) 逆指数模型。通过设置b = 1，我们可以得到作为逆威布尔模型的特殊情况的逆指数模型。因此，逆指数模型的分布函数由下式给出：其中a>0，机械部件的退化（Keller和Kanath[15]），例如动态部件（活塞，曲轴，1kðx Þ ¼ax和 k0x¼-1：3：7等等）。柴油发动机。IW分布的性质已经由例如Calabria和Pulcini[16; 17]以及Mahmoud等人获得。[18]第10段。在公式3.5中设b= 1，则Ys：m的预测累积分布函数由下式给出：逆威布尔模型的分布函数由下式给出：Fxjhexp½-ax-b];x>03：1其中h=（a，b），a>0且b>0。因此P0.6Y S：m6t xm！ I-1100万！Xn-r1Xm-s1cin-r1cwm-s1. XR1中文（简体）m-w-1XR-3：80n- r1.¼S二氢j/1j我×01 x10000000000000000000×br×a-rb -cb-1w1 cw m-s1-k ys;h×exp-a-bþþ布吕德DaBJ×j¼1xbBRtbw1基于第一个样本的Ys：m通过求解以下方程获得给出两个关于t的1/1×ZX（¼JX100万！1/1w1m-w-1R1n-r-i1m-w1dc n-r1 ×R¼1n-r-i1d）不105阶双样本贝叶斯预测区间哪里In-r11/1cin-r1x。X1J1 rXJ中文（简体）XR-布吕德：103：90引用[1] I.R.邓斯莫尔，寿命测试模型中的贝叶斯预测分布，技术计量学16（1974）455[2] G.S. Lingappaiah，贝叶斯预测方法和指数分布中的间距，统计数学31（1979）391(2) 逆瑞利模型。通过设置b=1，我们可以得到逆瑞利模型作为逆威布尔模型的特殊情况因此，逆瑞利模型的分布函数由下式给出：“-1号2[3] I.G.杨文，左截尾指数分布的贝叶斯预测，中国计量科学出版社，2000年，第2期，第201[4] E.K. Al-Hussaini，Z.F. Jaheen，指数分布未来中位数的参数预测界限，统计32（1999）267Fxjhexp其中a>0，1ax;x>0;-2a-2[5] Y.阿卜杜勒-阿蒂J.弗朗兹，M.A.W.Mahmoud，Bayesian基于广义顺序统计量的预测第二类删失，统计41（6）（2007）495[6] I.G. Evans，A.M. Nigm，双参数Weibull寿命模型的贝叶斯预测，统计理论kxax2和 k0x¼X3：103：10分和Methods 9（1980）649[7] A.M. Nigm，Burr模型的预测界限，统计理论与方法通信17（I）在公式3.5中设b= 2，则预测累积分布Ys：m的分配函数由下式给出：（1988）287[8] E.K. Al-Hussaini，Z.F. Jaheen，贝叶斯预测界P0.6 Y6tjx0.5m！I-1Xn-r1Xm-s1cin-r1cwm-s1Burr类型Xll故障模型，统计中的通信理论与方法24（7）（1995）1829. X！-[9] M.A.M. Ali Mousa，Z.F. Jaheen，贝叶斯预测基于双删失数据的Burr XII型模型，统计学哪里X第一部分1x28<我2 2R. X¼ XX！-rc9=：48（1997）337[10] M.A.M. Ali Monsa，Z.F. Jaheen，Bayesian prediction for thetwo-parameter Burr type XII model based on double-censoreddata ， Journal of Applied Statistical Science 7 （ 2/3 ）（1998）103111.1/1：J1 22JR[11] H.A. David，Order Statistics，第2版，威利，纽约，1981年。[12] B.C. Arnold，N. 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