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预序空间同伦理论的探索
→理论计算机科学电子笔记230(2009)141-148www.elsevier.com/locate/entcs同伦映射是沿单调同伦的SanjeeviKrishnan美国芝加哥大学数学系摘要机器的状态空间承认时间的结构。关于这个附加结构的同伦理论可以检测出经典同伦理论所看不到的机器行为。在试图引导经典的工具到世界上的抽象时空,我们确定标准的经典同伦,单调映射的posspaces未来同伦,或同伦沿同伦单调在两个坐标,一个共同的地图。结果表明,如果超连续格的基础空间具有连通CW型,则超连续格的Lawson拓扑是未来可收缩的,或沿未来同伦可收缩的保留字:连续格,偏序空间,双同伦理论1介绍机器的状态空间通常允许描述状态之间因果关系的偏序。 例如,机组间隔I配备有 它的标准全序表示一个有限的、顺序的过程的状态。 图1说明了访问二进制信号量的两个顺序进程的状态空间X将上角视为期望的结束状态,我们将到达条纹区的单音调路径IX视为我们的二进制系统的不安全执行,注定永远不会成功终止。因此,我们可以用偏序空间的语言来表达关键的机器行为一个关于这种额外的时间结构的同伦理论可能可以检测到经典同伦理论不可见的机器行为,如[2]所示。例如,一个合适的理论应该区分图2中给出为了利用经典的论点1电子邮件:sanjeevi. gmail.com1571-0661/© 2009 Elsevier B. V.根据CC BY-NC-ND许可证开放访问。doi:10.1016/j.entcs.2009.02.022142S. Krishnan/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230(2009)141→→×→图1.一、二进制信号量的状态空间,如[2,图7]所示摘要在预序空间的同伦理论中,我们寻求了一个判定条件,在该条件下,偏序空间的两个同伦单调映射XY文[1]中的某些三次逼近结果隐含地使用了这样一个准则:当Y是序拓扑向量空间的凸子空间引理3.2确定了不需要向量空间结构的替代准则:当X是一个紧的偏序空间,其由开子集生成的“下”集是开的,Y是一个配备了劳森拓扑的我们可以进一步完善经典同伦理论,遵循[4]。考虑预序空间的两个单调映射f,g:X → Y. 我们说f到g的未来同伦,如果从f到g的经典同伦定义单调映射XI Y。我们称一个预序空间未来是可收缩的,如果它的恒等式未来同伦于一个常数映射。引理3.5给出了两个单调映射XY同伦通过单调映射未来同伦到一个公共映射的判别准则:当X是紧Hausdor空间,Y是连续格L的序论对偶,L具有对偶Lawson拓扑。我们得到以下结果。命题3.7超连续格具有Lawson拓扑是未来可收缩的,如果它的底层空间是连通CW型。(a)(b)第(1)款图二、偏序状态空间,如[2,图14]因此,一个超连续格配备其劳森拓扑是S. Krishnan/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230(2009)141143→→XXX1X2“past”在§2中,我们回顾了预序空间的一些基本定义、例子和性质。在§3中,我们证明了引理3.2和3.5,接着是命题3.7。2预序空间一个预序空间是一个具有拓扑的预序集合。 例是一个拓扑超半格(inf-半格),一个超半格(inf-半格)配备了一个拓扑,使二元超(inf)算子联合连续。单调映射是在预序空间之间的连续(弱)单调函数。健忘的函子U:Q→T从预序集和单调函数范畴Q到范畴T空间和连续函数的左伴随。WewriteU?:QQ表示U与其左边t的复合,我们写为:U?id Q表示添加的计数。对于每个预序空间X,我们将其预序写为≤X,≤X[A] ={x|a ≤Xx},≤−1[A] ={x|x≤Xa}a∈A a ∈A对于例2.1在图3中,X1是拓扑超半格,≤−1[V1] =X1对于V1,是X1的开子集。例2.2在图3中,X2是拓扑下半格,≤−1[V2]在X2中不开,对于V2是X2的开子集。例2.3[反例]图3的偏序空间既不是下半格也不是上半格,即使它们的基础偏序集是完备格。某些前序在下面的意义上是定义2.4空间X(的点)上的预序≤X是下开的,如果≤−1[V]对于每个开子集V<$X,在X中是开的。下开预序的一个例子是空间上的平凡预序。 的 一类具有较低开前序的前序空间在乘积和上积下是闭的。144S. Krishnan/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230(2009)141L→⊂XXX→FX x ›→X{x}X1X2图3.第三章。具有和不具有下开偏序的紧偏序空间引理2.5所有拓扑超半格都有下开前序。证据 对于拓扑超半格L的每个开子集V,≤−1[V] =π2((V×L)sup−1(V)),其中π2:L×L→L表示投影到第二个因子上,在L因为π2是一个开映射,而sup是一个连续函数L×L→L。Q回想一下[3],一个偏序空间是一个预序空间X,它的偏序≤X是反对称的(x≤Xy≤Xx蕴涵x=y),并且在标准积拓扑X × X中有闭图。例2.6在所有图中的预序空间都是偏序空间。位空间自动 豪斯多尔 通过 [3, 命题 VI-1.4]。 [3,命题VI-1.14]给出的例子包括Hausdor拓扑超半格和Hausdor拓扑下半格。特别地,连续格装备有它们的Lawson拓扑,[3,定理VI-3.4]将其刻画为紧Hausdor拓扑,拓扑下半格具有极大值,并且其点允许子半格的邻域基,这些拓扑下半格是序空间。我们可以按照[ 3,Example VI-3.10(ii)]构造“由紧偏序空间生成的设P表示Q的由紧偏序空间组成的全子范畴.包含i:L<$P来自连续格范畴L,其具有Lawson拓扑和保持极大值的连续半格同态,具有左伴随F:P→L将每个具有拓扑TX的紧偏序空间X发送到满足C=≤X[C]的所有闭子集CX的偏序集,该偏序集按反包含排序并具有由子集生成的拓扑{A|AV},{B|B.W.{\displaystyle {\frac {W},V,W ∈ TX,W =≤−1[W].单位是自然映射:定义为≤[]。计数器是无穷远算子:FL→L。S. Krishnan/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230(2009)141145XX→∼→∼ ×→∼→引理2.7考虑紧偏序空间X。列入FX <$→FX是连续的,如果≤X是下开的。证据 考虑一个开子集W<$X。 集合{B∈FX|B <$W<$}={B∈FX|≤X[B]W/=}={B∈FX|B<$≤−1[W]<$}在FX中是开的,如果≤−1 [W]在X中是开的。然 后 提出索赔。Q因此,我们可以给出一个将连续函数转换为单色调映射的有用方法.引理2.8对于每个具有下开偏序的紧偏序空间X和每个配备有其Lawson拓扑的连续格Y,函数U:P(X,Y)→T(UX,UY)有收缩f <$→(x <$→ f(≤X[{x}]))。证据 对于连续函数f:UX → UY,复合函数X×IX×I F(X×I)JFU<$(X×I)F(f)FU¨YF(Y) FYVY,其中j表示包含函数,是由引理2.7得出的单调映射。这个复合函数将x发送到f(≤X[{x}]),如果f是单调的,则等于f(x)Q3同伦理论我们首先通过定义[ 2 ]中的“双同伦”关系来精化经典同伦关系设I为单位区间[0,1],并配以其标准全序.修复预序空间X,Y。对于每对单调映射f,g:X→Y,如果f通过单调映射到g是同伦的,或者等价地,如果一个同伦pyUfUg定义单调映射XUüIY. 根据经典符号,设[f]表示单调映射f:X的-类设[X,Y]表示所有子等式类[f]的集合. 健忘函子U:PT到空间范畴T诱导出一个自然函数(1)U轴:[X,Y]→[UX,UY]连续函数UX→UY的同伦类[UX→ UY ]的集合。例3.1考虑图4中给出的偏序空间。 单调映射X3 把下面的蓝色角满射地包裹在X4周围是同伦的,146S. Krishnan/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230(2009)141→→‘‘X3X4图四、 U=[X3,X4]→[UX3, UX4]既不是内射的也不是满射的.通过单调映射,到一个单调映射X3X4,满射地将上面的红色角包围在X4周围。因此,(1)不必是单射的。 没有单调映射X3→X4的Brouwer度大于1.因此,(1)不必是满射的。当(1)是内射时,有向同伦理论精确地还原为经典同伦理论和序理论下面的引理给了我们这样一个例子。引理3.2对于每个具有下开偏序的紧偏序空间X和每个配备有Lawson拓扑的连续格Y,函数U轴:[X,Y]→[UX,UY]有一个我们定义的作用[f]→[x] →f(≤X[{x}])]。证据对于一个紧的偏序空间A,使得≤A是下开的,并且一个连续格B具有Lawson拓扑,令RA,B:T(UA,UB)P(A,B)表示引理2.8定义的收缩。图T(UXUX,UY)R(X ' X),Y P(XX,Y)(x<$→(x,0))(x<$→(x,1))J(x<$→(x,0))(x<$→(x,1))JT(UX×UI,UY)R X×U?I,YP(X×U′I, Y),是可交换的,因此RX,Y传递到X-类来定义我们想要的收缩。Q例3.3考虑图5。在引理2.8给出的收缩下,(b)中通过单调路的同伦是(a)中路的经典同伦的像。我们在[4]之后,对[2]的双同伦关系进行定义3.4给定预序空间X,Y和单调映射f,g:X→Y,我们称f是g的未来同伦,如果存在单调映射h:X×I→Y使得h(−,0)=f且h(−,1)=g。一个预序空间X是未来可压缩的,如果idX:X→X未来同伦到一个常数映射。S. Krishnan/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230(2009)141147U×Ij,k∼(a)(b)第(1)款图五、通过单调路的经典同伦(a)和同伦(b)引理3.5考虑一对单调映射g1,g2:X→Y从紧Hausdor预序空间X到Lawson半格Y,通过单调映射同伦.存在一个单调映射,它的未来同伦同时落在g1和g2上.证据 设h:g1<$g2是通过单调映射的同伦. 规则j(x,t)=h(x,[0,1-t]),k(x,t)=h(x,[t,1])定义函数j,k:X×I→Y。 函数j,k是连续的引理2.8,因为≤及其序论对偶是下开的。的功能是单调的,因为是单调算子。因此j(−,0)=k(−,0)未来同伦到j(−,1)=h(−,0)=g1和k(−,1)=h(−,1)=g2。Q例3.6在满集P(X,Y)上,Y是一个具有Lawson拓扑的连续格,作为引理3.5的结果,双同伦关系与[4]的d-同伦关系一致。回想一下,如果一个空间同伦等价于一个连通CW复形,则它具有连通CW型。回想一下[3],超连续格是Lawson拓扑和对偶Lawson拓扑一致的连续格。因此,一个具有Lawson拓扑的超连续格就是一个紧Hausdor拓扑格,它的点对于每个半格运算都有子半格的邻域基命题3.7超连续格具有Lawson拓扑是未来可收缩的,如果它的底层空间是连通CW型。证据考虑超连续格L具有Lawson拓扑,且UL具有连通CW型.因此,空间UL是路径连接的。此外,UL具有平凡同伦群,因为二元inf算子赋予UL结合幂等H-空间的结构。映射idL是同伦的148S. Krishnan/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230(2009)141通过单调映射到常数映射c,通过引理3.2取值maxL- 通过Whitehead定理,idUL是U(c)的同伦,L是紧的偏序空间,并且通过引理2.5,≤L是下开的。根据引理3.5,映射idL和c未来同胚到c,因为L是具有L的对偶Lawson拓扑的连续格的对偶。Q4结论自然界中机器的状态空间是作为立方复形的“局部偏序”几何实现而出现的这样的因此,命题3.7和例3.1表明,[2,4]的有向同伦理论至少测量了状态空间的一些故障,这些故障是经典同伦理论无法检测到的,以表示确定性的可计算过程。确认作者感谢Eric Goubault和Emmanuel Haucourt的有益评论和建议。作者还感谢ZackApoian、Steven Paulikas和John Posch。引用[1] L. Fajstrup,三次复形中的分歧和双同伦,应用数学进展,2005年,第35卷,第35页。188-206.[2] L. Fajstrup,E. Goubault,M.刘文,代数拓扑与并发性,计算机理论。Sci,2006,第357(1-3)卷,第358 - 359页。241-278。[3] G. Gierz,K.H. Hofmann,K. Keimel,J.D.劳森,M。Mislove和D.S.斯科特,连续格和域,第63卷的数学和应用百科全书。剑桥大学出版社,剑桥,2003年。[4] M. 葛兰迪斯 直接同伦理论I, 卡。 去吧。 你好 迪塞尔。 Ca t'eg,2003,vol. 44(4),pp. 281-316.[5] D. Scott,计算的数学理论大纲,Proc.4th Annual Princeton Conf.Information Sc.和系统,普林斯顿大学。Press,1970,pp.169-176。
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