计算设计与工程中基于稳态偏微分方程的几何形状特征提取方法的有效性分析

可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报6（2019）647基于稳态偏微分方程的几何形状特征提取山田孝之京都大学机械科学系，京都大学工学部，京都大学工学部，京都市西京区，C3，京都615-8504阿提奇莱因福奥文章历史记录：2018年11月27日收到收到修订版2019年3月22日接受2019年3月23日在线提供2019年保留字：偏微分方程几何形状特征形状分析有限元法计算机辅助工程A B S T R A C T本文提出了一种将稳态偏微分方程（PDE）系统作为边值问题从二值图像数据中提取几何形状特征的统一方法。偏微分方程和函数的制定，以提取厚度，方向，和骨架同时进行。所提出的方法的主要优点是，方向的定义没有衍生物和厚度的计算是不强加的拓扑约束的目标形状。一个一维的解析解提供了验证所提出的方法。此外，二维数值算例证实了所提出的方法的有效性©2019计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个开放在CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）下访问文章1. 介绍近年来显着的图像分析技术的发展已经帮助解决了各个领域中的若干问题，例如材料科学（Yamashita，Yoshizawa，&Yokota，2014）、机械工程（Benko，Martin，&Varady，2001）、生物力学 （ Sera 等 人 ， 2003;Zhenjiang ， 2000 ） 、 医 学（ Hildebrand&Rüegsegger ， 1997;Hutton ， DeVita ，Ashburner，Deichmann，&Turner，2008）和形状分析（Costa&Cesar，2000; Kokaram等人， 2003年）。例如，可以从计算机断层扫描（CT）和磁共振成像（MRI）数据中提取骨架，有助于理解其结构。特别是局部厚度的估计是病害传播的重要度量。在机械产品的逆向工程中（Fujimori Suzuki，2005），几何特征的提取（例如，曲率和边缘信息）是在短时间内设计和开发新型高性能系统在设计机械产品时，在计算机辅助设计（CAD）模型中提取超过允许最小厚度的构件是一个重要的设计考虑因素。因此，特征提取被用于计算机视觉、图像处理和数字工程领域的各种任务中。本文提出了一种统一的几何抽取方法，使用偏微分方程（PDE）。在下面-由计算设计与工程学会负责进行同行评审。电子邮件地址：takayuki@me.kyoto-u.ac.jp第二部分简要介绍了特征提取和基于偏微分方程的图像处理的其次，通过与相关研究的比较，讨论了该方法的基本其次，提出了一种用于几何形状特征提取的偏微分方程。厚度，方向和骨架的形状特征函数制定建议PDE的基础上也就是说，这些几何特征被表示为PDE的解的函数此外，提出了一种基于有限元法的数值算法在第六节中，基于一维解析解讨论了所提出方法的有效性.最后，为了证实所提出的方法的有效性和实用性，提供了几个二维情况下的数值例子。2. 相关作品张量 尺度是对 形状特征 的度量， 代表厚 度、方向 和各向异 性（Andaló，Miranda，Torres，&Falcão，2010; Saha，2005）。该测量定义了目标域内每个像素点处的最大椭圆的参数。虽然在所提出的方法中的措施同时表示几个几何特征，它会招致高的计算成本，因为欧几里德距离计算每个点。Crane、Weischedel和Wardetzky（2013）提出了一种基于PDE的距离计算方法他们的方法的基本概念然后，使用基本解来近似距离，https://doi.org/10.1016/j.jcde.2019.03.0062288-4300/©2019计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。648T. Yamada/Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）647-656假想温度虽然线性扩散方程提供了一个光滑的解决方案和低计算成本，热效应达到无限远，即使在很短的时间。因此，该方法不能用于从理论角度推导精确的距离下面简要讨论特征提取的相关研究。厚度：厚度提取的一个重要应用是确定骨厚度（Liu等人，2014;Saha&Wehrli ， 2004 ） 。 在 这 些 方 法 中 ， 基 于 模 糊 距 离 变 换（ Saha ， Wehrli ， Gomberg ， 2002 ） 估 计 Hildebrand 和Rüegsegger（1997）中定义的局部厚度该过程需要在轴向体素处采样深度， 该 轴向体素通 过 卷 积 技 术 计 算 （ Arcelli ， di Baja ，&Serino，2011;Saha，Chaudhuri，&Majumder，1997）。厚度测量的另一个具有挑战性的应用是从MRI数据估计人脑的皮质厚度（Clarkson等人，2011; Hutton等人，2008年）。这些方法分为基于表面的，基于体素的，和混合的方法。在这些方法中，图像被分成三个域：灰质、白质和脑脊液。 如Clarkson et al. （2011），基于表面的方法（Davatzikos &Bryan，1996）在一侧表面上使用生成的网格。接下来，在拓扑约束下变形网格以适合成对曲面通常，平流的计算需要高计算成本以确保一致的拓扑结构（Han等人， 2004年）。相比之下，基于体素的方法可以被分类为形态学、线积分、几何形态配准和基于拉普拉斯的方法。形态学方法（Lohmann，Preul，Hund-Georgiadis，2003）将每个体素分成内部域和外部域。使用欧几里德距离变换计算厚度。在基于线积分的方法（Aganj，Sapiro，Parikshak ， Madsen ， Thompson ， 2009; Scott ， Bromiley ，Thacker，Hutchinson，Jackson，2009）中，计算以每个点为中心的每个线积分，并且最小值被定义为厚度。同构配准（Das，Avants，Grossman，Gee，2009）也需要计算表面变形。Jones、Buchbinder和Aharon（2000）提出了基于拉普拉斯的方法。在这种方法中，两个表面组成的目标形状被认为是。它被假定为曲面拓扑等价。拉普拉斯方程被认为是在两个表面包围的区域中，施加具有不同常值的Dirichlet边界条件。这些表面之间的厚度被定义为沿着势场等值面的法线方向的长度。在此基础上，Yezzi和Prince（2003，2001）提出了直接计算法向厚度的欧拉法。还提出了混合欧拉-拉格朗日方法（Acosta等人，2009;Rocha，Yezzi，&Prince，2005）。多重拉普拉斯方程已被用于时间相关估计问题（Cardoso、Clarkson、Modat、Ourselin，2011）。PDE方法的主要优点是在任何点处唯一地定义厚度。然而，这一基本思想受到拓扑约束的限制。此外，内部地下必须与外部地下区分开。虽然，所提出的方法类似于拉普拉斯算子-基于的方法，它可以应用于基于体素和基于表面的数据，因为所提出的PDE可以很容易地使用边界元方法求解。此外，所提出的方法基本上克服了拓扑约束，并且不需要将表面划分为内表面和外表面。此外，所提出的偏微分方程是适定性的，即解是唯一的且数值稳定的.骨架：骨架函数（Blum Nagel，1978;Montanari，1968）可以应用于广泛的领域，如医学，动画和逆向工程。就像-在Cornea，Silver和Min（2007）中讨论的，这些方法被归类为拓扑细化方法（Palágyi &Kuba，1998;Saha等人，1997），使用距离 场 的 方 法 （ Arcelli 等 人 ， 2011; Bitter ， Kaufman ， Sato ，2001）、几何方法（Amenta，Choi，Kolluri，2001）和使用广义势场模型的方法（Abdel-Hamid Yang，1994）。所提出的方法最接近广义势场模型（AhujaChuang，1997; Grigorishin，Abdel-Hamid，Yang，1998）。这个模型需要考虑一个虚构的静电势场与表面上的源这种方法的主要优点是它可以提供相对较好的结果。然而，由于牛顿势场是在每个点上叠加计算的，因此产生了很高的此外，这些算法没有从数学角度考虑数值稳定性。近年来，已经提出了几种方法来克服与连接性和鲁棒性相关的问题。例如，侵蚀厚度方法提供了一个强大的，连接的骨架（ Yan ，Sykes ，Chambers ，Letscher，Ju，2016）。Aslan，Erdem，Erdem，and Tari（2008）提出了一个基于距离函数的非零Dirichlet 边界条件下的热扩散方程的断开骨架。Aubert和Aujol（2014）使用具有恒定热源的热扩散方程来提取距离函数和骨架。Gao，Wei，Xin，Gao和Zhou（2018）提出了基于热扩散方程的连接骨架提取。这些基于热方程的方法需要精确提取脊曲线和计算从边界的热扩散的时间很短，因为狄利克雷边界条件施加在形状边界。此外，基于偏微分方程的方法被用于许多相关领域;这些在下面的部分中描述图像处理：椭圆偏微分方程广泛用于图像处理。泊松图像编辑（Pérez，Gangnet，Blake，2003）是一种需要求解泊松方程的图像编辑方法该过程需要保留源图像的梯度以进行无缝图像编辑。通过使用泊松方程提取具有高梯度的像素泊松匹配（Sun，Jia，Tang，Shum，2004）也使用泊松方程进行图像匹配。这些图像处理方法的基本概念都涉及到几何形状特征的提取。拓扑优化：已提出使用基于PDE的特征评估进行拓扑优化（Sato，Yamada，Izui，Nishiwaki，2017）。通过将解叠加到偏微分方程上，评价了模具的可制造性。这种优化方法的主要优点是形状和拓扑灵敏度，而不限制设计空间的伴随变量法。3. 概念和概述通过使用稳态PDE提取形状特征的基本概念涉及从目标图像中提取目标几何特征，例如厚度、骨架、方向和曲率，作为PDE系统的解的函数，如图1所示。本文提出了一种稳态偏微分方程系统的公式和基本几何特征的函数表示的偏微分方程系统的解决方案。所提出的方法具有以下优点：1. 通过求解稳态PDE系统同时计算多个几何特征。2. 表面上相对较小的形状分离在扩散效应中被自动忽略，也就是说，该方法自动继承了用于求解PDE的方法的数值优势。0一n[1/2]-diva~rsas0inXnXR02@xj@xiT. 山田/计算设计与工程杂志6（2019）647-656649Fig. 1.概述所提出的方法：所提出的方法提取几何形状特征，如厚度，方向和骨架使用的建议的线性偏微分方程，其系数由图像数据的解决方案。左侧的图像显示了用于确定系数的输入图像数据。中间的图像是线性偏微分方程的解右边的三个图像显示了各种解决方案。3. 厚度提取不需要任何拓扑约束和内外表面之间的区别。4. PDE和几何形状特征函数的公式形状边界上的条件不是从数值角度强加的。4. 制剂方法（Yamada，Izui，Nishiwaki，Takezawa，2010）。此外，所提出的偏微分方程不需要任何拓扑限制。接下来，引入参数a，以便使扩散系数满足a=1/4ah2，其中h0>0是目标形状尺寸的特征特征长度的概念与力学中所用的相同，即非线性长度下面定义的维数方程和特征函数通常是合理的。阻尼系数a定义如下：4.1. 基于偏微分方程的几何形状特征提取a：1/4ð3Þ首先定义了一个稳态线性偏微分方程系统，用于提取二值图像的几何形状特征参考域XR被认为是由黑色域X和白色域XRX组成，其数字信号在黑色域中分别为1，在白色域中分别为0假设参考域XR包含目标图像，如图2所示。这里，考虑从黑色域X提取形状特征。注意，白色域中的形状特征可以在具有相反信号的情况下考虑这项研究的重点是形状特征的相似性时，优化周期性均匀化（阿莱尔山田，出版中）。PDE系统是公式如下：然后，所提出的偏微分方程包含无量纲扩散参数a.由于阻尼系数a被定义为防止来自周围区域和参考区域的边界的影响，因此参数a@X，也就是说，阻尼系数必须设置为一个大的值，以便使状态变量si在白域中几乎处处为零。势场的数目定义了维数，即对于由独立势场组成的向量场需要进行特征提取。为了从物理上解释所提出的PDE，形式是通过引入一个向量场ss1;s2;. snT.弱形式推导如下：-di va~rsi-eiva1-vsi<$0inXR在@XR上的si¼0ð1Þ8><-di va~rs-I d0inX>：s¼0on@XRð4Þ其中si2H1<$XR<$是第i个状态变量，ei是Rd的正则基，a2R<$是扩散系数，a2R<$是阻尼系数，d是维数.系数a被设置为相对于大的值，以减少通过白色域的相互影响。特征函数v2L1XR定义为：如等式1所示。（4），黑域由扩散方程控制，与稳态线弹性方程一样。源显示在黑色区域中，其大小是单位矩阵的发散度。阻尼项通过白域减小了相互作用，因为亥姆霍兹方程支配了v x：¼.1用于X2 X0为x2XRnX：ð2Þ系统在这个领域的表现。因此，状态变量向量s在白域中指数收敛到零向量。强形式推导如下：特征函数等效于使用目标图像中的二进制数据。注意，内表面和外表面不必区分，因为域通过特征来区分。ZXRa~rs：rnZXRnX s·ndX¼Z@X n·ndC5特征函数的拓扑优化其中n2H1XRd是一个测试函数。左边和右边分别是双线性项和源项。虚拟牵引力沿法线方向施加在表面@X上，具有单位大小。因此，状态变量矢量s沿着形状的正常方向，因为在表面@X周围没有域的左手侧阻尼项相对较大。因此，虚拟牵引力不直接施加在表面@X上。4.2. 形状特征张量形状特征张量Sω定义如下：Si j。fsg图二.配方的定义1.@si@sj616i6d.SS~s2S2B C@AB@ CAð ÞX.X2SS2：SpSffg16i6d：¼0fh.fsg-c3xp4，如果p6x6pphh0c 3-h0asfg16i6d：¼：1650吨 Yamada/Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）647-656使用形状特征张量S来定义关键几何特征，因为张量包括相对于向量s的梯度的所有方向。注意，梯度向量的定义不是唯一的例如，线性弹性动力学中的应变张量包括转置分量。形状特征张量矩阵和归一化特征向量x，其中特征值的阶被定义为满足k应定义非零域中宽度的参数w>0以获得预期宽度，例如，像素大小。该函数以三维方式估计内侧表面。因此，可以基于每个应用的要求来定义另一功能。请注意，该函数描述了一个断开连接的子函数（Aslan etal.，2008），并且这种启发式公式化需要精确的讨论。是introduc ed. 此外，状态变量~si使用本征vec-tor定义如下：5. 数值实现0~s1 1B C..120s11dTBC.计算过程基本上与有限元法相同，如下所示：.：¼ xsxs···xs。~sdsd4.3. 厚度函数ð7Þ1. 参考域在目标形状内定义。在创-通常，参考域围绕输入图像数据。2. 参考域由离散的有限单元组成，部件;它们的材料属性基于在输入图像数据中定义的特征函数V来的厚度是成反比的状态变量的导数的总和也就是说，下面的逆厚度函数fh是逆的。与目标形状的局部厚度成比例.d ！03. PDE系统（1）使用有限元法求解。也就是说，给出了状态变量six的数值解。4. 目标几何形状特征是从状态变量s ix计算的。fh.fsg16i6d时间：1小时@sii¼1@xiv这个过程可以很容易地实现使用有限的电子-分析软件。 第二节中所示的数值示例D1小时01/1ki！v问题7使用COMSOL Multiphysics解决。如果输入数据格式是表面数据，如STL数据，边界元法也是有用的分析建议PDE。反厚度函数f h的详细性质 是不-在第7节被诅咒。使用关于厚度的性质，厚度函数hf定义如下：6. 一维分析验证H.S中国（1）16i6d（a）五所提出的偏微分方程的解析解是很容易得到的10厚度函数hf的值表示黑域X中的局部厚度。4.4. 方向向量函数如在PDE的弱公式中所讨论的，状态变量向量表示垂直于形状的方向因此，相对于法线方向的取向表示如下：0s1 1.中国BD在图3中，考虑。黑域存在于x¼p和x¼ph之间。边界条件施加在x<$K和x<$L处。这些位置离黑域X足够远。控制方程和边界条件为a~s0K6xp14a~s0-1p6x6ph15a~s0phx6L16打开s¼0x¼K17mm打开s¼0x¼L1800解析解推导如下：nffsg16i6d：vvuB. C我SDð11Þ8utXs2@。一1/1>c1ekxc2e-kxif K6xp切向方向矢量tf通过对法向方向矢量nf应用旋转变换来计算。4.5. 骨架函数其中一个骨架函数的公式如下：>c5ekxc6e-kxif<6升其中，k是k^a=a~。此外，厚度函数hffffsff表示如下：.1 1ΣF.S好吧ps~12！的v12K1其中P是脉冲函数，定义为Px8><>：0如果-w>x1如果-w6x6w0如果宽x<ð13Þ图三. 一维孤立域。：Þ在一个维度上。一维的情况下，被认为是验证所提出的方法。图中所示的黑色区域的分布sxð19Þ��1X20mmÞ¼þ<：K>：c1¼ -a~1 .一、-22 phe2kLph e2kL2 phe 2k phe2k-h e2k2 ph！22L p2千公升2p h2K2k 2phT. 山田/Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）647-656651基于边界条件确定常数ci(17) 和（18），以及关于状态变量s和x¼p和x¼ph处的法向通量的连续条件：表1一维计算中的参数。H.ek2Lp-ek3 p2h！ð他2kK。þkhÞekðþ Þþðkheþð2-khÞekðþ ÞÞekek2Lpek3p2h阿克巴克河！c2¼a~2c2.e2kkph-e2klp！3¼ -a~2c4¼a~2(a) e.对h的检查（b）对p的检查ch。ek2kphk2ph！5¼ -a~ch。2ek2L2Kphek2L3ph！6¼a~2如果黑域距离边界xk足够远，x¼L，系数简化如下：（c）对a进行检查见图4。 一维情形的解析解。LimC 1/4-he-kpLimc¼0 limc21K！-1a~kh22K！-13K！-1a~kh2然后，骨架清楚地指示了在中心的点，我！1我！1我！1黑域，因为状态变量sx的分布LimC 1/4 -2磅/小时Limc¼0 limc他克·普·哈·哈4K！-1我！1a~kh25K！-1我！16K！-1我！1a~kh2在Eq. （21）在x/p= 2处为零。现在可以给出一维情况的解析解案例（a）、（b）和（c）显示了对h、p和a的影响，因此，状态变量s简化如下：分别这些参数列于表1中。所示图 4，解s在白域中是指数阻尼的>8a~khHekx-pifXp<0ifXKLh0Hp一情况10比01：0的比例0： 2–0：20： 2壳体20比01：0的比例0： 20：2–0： 2¼¼652T. Yamada/Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）647-656图五.具有不同厚度的多个杆的图像的数值结果。厚度h为0： 2; 0： 25; 0： 3; 0： 35; 0： 4; 0： 45; 0： 55和0：6。图像大小为5× 8。PDE的参数设置为h0： 3和a0： 2。该区域采用最大长度为0： 05的P2三角形有限元进行离散.所获得的状态变量s1和s2如图5（d）和（e）所示。法向矢量nfs1;s2、切向矢量tfs1;s2、逆厚度函数f hs1;s2、厚度函数h fs1;s2和骨架函数f ss1;s2如图所示。五、首先讨论了反厚度函数fh的性质。如图5（g）所示，除了角部之外，这些值在黑色域中是恒定的。每一层之间的关系反厚度函数fh的值和棒材的厚度绘制在图5（h）中，其中纵轴和横坐标轴分别是1=fh的平均值和棒材的厚度。计算每个中心的平均值域的宽度为5，以避免角效应。用最小二乘法估计的线性函数如图所示。 5（h）。决定系数为R21/ 4： 0000。这个骗局确定了反厚度函数fH与每个厚度值成反比。图5（i）还示出了厚度函数hf的值与每个杆的厚度之间的关系。蓝线显示使用最小二乘法估计的线性函数。决定系数估计中的最小值也是R21/4： 0000。这些结果证实了厚度函数fh与每个厚度值成比例。线性函数不与原点相交。虽然在h0附近精确地估计了局部厚度，但是过度地估计了相对小的厚度这是由于偏微分方程中的因此，应将h0的值设置为最小厚度。¼¼T. 山田/Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）647-656653厚度函数hf的值等于每个厚度值，如图5（f）所示。 图5（c）所示的骨架也是适当估计的，因为曲线接近中轴的定义（Blum，1967）。方向矢量也提供了良好的估计，如图所示。 5（b）.7.2. 由基本形状所提出的方法在复杂形状的有效性进行检查。图像大小设置为1×1。PDE的参数设置为h00： 3和a0： 2。该域采用P2三角形有限元离散.最初考虑具有特征形状的图像，如图6所示。考虑位于图像底部的具有恒定厚度的环形。因此，厚度倒数和厚度函数值对于每个环形状必须是恒定的。它被证实，这一要求和厚度函数的预期大小hf得到满足。此外，方向向量和骨架函数也指示适当的特征。见图6。 二维复杂形状的数值示例。见图7。 案例1为二维的一般形状。¼¼654T. Yamada/Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）647-656位于左上角的立方体形状也在这里考虑。虽然每个位置和角度不同，但厚度函数值是等效的。因此，可以确认，在所提出的方法中，这些位置和角度的依赖性非常低。此外，方向向量和骨架函数指示适当的特征。注意，立方体的中轴是它的对角线。接下来，研究集中在位于图像中心的十字形上。相交处在对角线方向上提供恒定的厚度。经确认，交叉处的厚度函数值是适当的。也就是说，厚度等同于直杆。最后，考虑完整的图像。图像的形状和拓扑结构非常复杂。然而，所有形状特征被适当地同时提取。也就是说，所提出的方法没有任何拓扑约束。7.3. 一般形状一般形状的所提出的方法的有效性进行了检查。对于所有示例，图像大小设置为1× 1，PDE的参数设置为h0：3和a 0比 2。参考域采用P2三角形有限元离散.这里考虑三种一般的二维形状见图8。 案例2为二维的一般形状。见图9。 情况3的一般形状在两个维度。¼×¼T. 山田/Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）647-656655见图10。 结果与Taris如图七比九如图所示，输入图像具有复杂的几何特征。如这些图所示，逆厚度和厚度函数值是全局适当的。从局部的角度来看，明显凹陷的形状被估计为厚的形状。此外，相对小的波动形状被忽略，因为小的特征被PDE中的扩散效应平均。方向向量和骨架也是全局适用的。然而，由于所提出的函数是基于中轴的概念定义的，并且没有考虑连接性，因此获得了断开的骨架。因此，必须考虑不同的功能。7.4. TariTari数据集（Asian Tari，2005）中的所有形状&该数据集包括在骨架提取中用作基准形状的噪声图像（Aslan等人，2008; Gao等人，2018; Shen ， Bai ， Hu ，Wang ， &Latecki， 2011; Shen ， Bai ，Yang，&Latecki，2013）。图像大小设置为2图中1：5。 10个。PDE的参数设置为h0零点零五分一个0： 2。参考域采用P2三角形有限元离散.所获得的结果与来自文献（Aslan等人，2008; Gao等人，2018年; Shen等人，2011年、2013年）。然而，所获得的骨架是断开的。因此，所提出的骨架提取结果类似于Aslan的结果（Aslan等人， 2008年）。8. 结论和今后的工作本文提出了一种利用稳态偏微分方程提取几何形状特征获得了以下结果并得出结论：1. 稳态偏微分方程的几何特征提取制定。2. 给出了方向矢量、厚度反函数、厚度函数和骨架函数的表达式。3. 推导了一维情况下的解析解。所得到的解证明了所提出函数的有效性4. 几个数值例子，以确认所提出的方法的各种几何形状特征检查的有效性此外，还证实了这些几何形状特征的提取不需要任何拓扑约束。其他几何特征的函数，如弯曲的骨架，将在未来的数学上考虑。特别地，为了更精确的提取，需要关于厚度和硬度的启发式公式。该公式还将扩展到灰度图像，扩大了应用范围。利益冲突我没有利益冲突。确认作者感谢Grégoire Allaire教授（巴黎综合理工学院）关于验证拟议模 型 的 评 论 。 这 项 工 作 部 分 得 到 了 京 都 技 术 科 学 中 心 和 JSPSKAKENHI Grant No. 16K05039的研究资助。引用Abdel-Hamid，G. H、&杨玉H.（1994年）。基于静电场的多分辨电离方法。第一届国际会议论文集656T. 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