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KK软计算快报3(2021)100015Pareto最优解的排序和最优解的选择多目标优化问题的R-方法R.V. Raoa,*,R.J. LakshmibaSardar Vallabhbhai National Institute of Technology,Surat,Gujarat 395007,IndiaB 弗吉尼亚大学,Charlottesville,VA-22904,USAA R T I C L EI N FO保留字:Pareto最优解R方法备选解决方案的排序目标的排序综合得分A B标准本文提出了一种新的多属性决策方法--R-法,用于多目标优化问题的Pareto最优解排序和最优解选择。对于每个帕累托最优解,优化目标之间的折衷是不同的,因此,在目标之间具有最佳折衷的解可以被认为是最佳解。建议的R-方法是用来确定这样的最佳折衷解决方案。该方法基于目标对于给定优化问题的重要性对目标进行排名,并基于其对应于目标的数据对替代解决方案(即帕累托最优解决方案)进行排名。分配给目标的等级和分配给备选解决方案的关于每个目标的等级被转换为适当的权重,并且使用这些权重计算备选解决方案的最终综合得分。备选解决方案的最终排名是根据综合得分进行的。所提出的方法的步骤进行了描述,连同一个伪代码。三个例子被认为是证明和验证所提出的方法。第一个例子包含4个目标和50个备选方案,第二个例子包含6个目标和30个备选方案,第三个例子包含3个目标和25个备选方案。所提出的方法的结果进行了比较与其他广泛使用的MADM方法的三个例子考虑。此外,所提出的方法与四个著名的排名方法进行了比较,以证明其合理性,在分配权重的排名的目标和替代解决方案。该方法相对简单,逻辑性强,可用于多目标优化问题的最优折衷解的选择。1. 介绍多准则决策(MCDM),也称为多准则优化,是关于存在多个通常相互冲突的准则的决策。多属性决策问题又可分为多属性决策和多目标决策,多属性决策方法一般是离散的,其目标是从预定数量的方案中选出一个正确的方案。MODM方法,也称为多目标优化(MOO)方法,具有连续或整数决策变量值,具有大量备选方案,其中最佳方案应满足决策者的约束和偏好[1]。 近几年来,多目标决策问题被称为多目标决策问题,如果目标数大于等于4,则称为多目标决策问题。多目标或多目标优化问题的组成部分是:以设计或决策变量表示的目标数量,以设计或决策变量表示的不等式或等式约束的数量,以及变量的范围(即边界)。多目标或多目标优化问题的一般形式如下.Min/Maxfi(X),l=1,2,受以下约束:p i(X)≤0,i=1,2,.,(2)q i(X)=0,i=1,2,.....,(3)x(L)≤x k≤x(u),k=1,2,.....,d(4)* 通讯作者。电子邮件地址:ravipudirao@gmail.com(R.V. Rao)。https://doi.org/10.1016/j.socl.2021.100015接收日期:2021年5月14日;接收日期:2021年7月7日;接受日期:2021年7月15日2021年7月28日在线提供2666-2221/©2021的作者。发表通过ElsevierB.V.这是一个开放接入文章下的CCby-NC-ND许 可 证(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)中找到。可在ScienceDirect上获得目录列表软计算快报杂志首页:www.sciencedirect.com/journal/soft-computing-lettersR.V. Rao和R.J. Lakshmi软计算快报3(2021)1000152其中,X是一个d维向量,称为设计或决策变量向量,fl(X)是目标函数,pi(X)和qj(X)分别是不等式和等式约束.在目标的数量和变量的数量d以及约束的数量m和r。在单目标优化问题中,通过使用优化算法获得的替代解决方案相互比较,并且决策者可以选择给出最佳值(即,最小化情况下的最小值或最大化情况下的最大值)的替代解决方案。然而,在多目标或多目标优化问题的情况下,选择特定的替代解决方案作为更好的解决方案并不容易,因为该解决方案可能不是关于所有目标更好(即,替代解决方案可能在少数目标的情况下更好,但在其他目标的情况下可能不是更好)。一个不被该集合的任何成员解支配的备选解的集合称为非支配解集。完全可行解空间的非支配集称为Pareto最优解集。由Pareto最优解集映射的所有解所形成的边界称为Pareto最优前沿[2]。著名的多目标优化算法包括非支配排序遗传算法-II(NSGA-II)、NSGA-III、多目标遗传算法(MOGA)、小生境Pareto遗传算法(NPGA)、强度Pareto进化算法(SPEA)、各种高级优化算法多目标版本,诸如模拟退火(SA)、蚁群优化(ACO)、微粒群优化(PSO)、人工蜂群(ABC)差分进化算法(DE)、灰狼优化算法(GWO)、基于教学的优化算法(TLBO)、萤火虫优化算法、鲸鱼优化算法、蚁狮优化算法、Jaya优化算法等,这些算法已广泛应用于工程和科学领域的优化问题,其中需要在可能冲突的两个或多个目标之间进行权衡的情况下做出最优决策。可以注意到,一旦获得一组帕累托最优解,因此,所有的解可以被认为是等价的,因为这些解本质上是非支配的。然而,每个解决方案的目标之间的妥协是不同的。因此,在目标之间具有最佳折衷的解决方案可以被认为是最佳解决方案。因此,近年来研究者们开始使用不同的多属性决策方法来确定最佳折衷方案,研究者和决策者面临的共同问题是:如何给目标分配权重,如何利用与目标相对应的各种备选方案的性能数据,以及如何得出最终决策(即选择最佳折衷备选方案)。研究人员用于从可用的非支配解中选择最佳帕累托解的MADM方法包括TOPSIS法[3-7]、灰色关联分析(GRA)[8,9]、VIKOR法[10]、ELECTRE法 [11,12]、层次分析法(AHP)[13]、数据包络分析法(DEA)[6,14]、富集评估的偏好排序组织方法(PROMETHEE)[15,16]、余弦相似性度量[17,18]等。这些方法已被证明在不同的决策情况下是成功的。然而,这些方法都有其自身的优点和局限性。例如,许多研究人员使用的TOPSIS方法涉及冗长的计算,随着备选方案和属性数量的增加,计算变得更加复杂。在TOPSIS法中,对数据进行归一化处理的方法不同,对方案的排序也不同。GRA方法计算量大,采用不同的区分系数会导致备选解的排序不同。VIKOR方法涉及更多的计算。此外,还对“属性多数”策略的权重进行了研究VIKOR方法中使用的权重可以从0变为1,并且对于属性的相同权重可以产生不同的排名列表。ELECTRE方法使用了级别高于关系的概念,计算过程相当复杂。该方法涉及各种备选方案的净一致性和净不一致性值的冗长计算。AHP方法涉及在(1/9)到9的尺度上对属性和备选方案进行比较,从而产生许多比较矩阵。随着方案和属性数量的增加,判断矩阵的数量和规模也迅速增加。此外,使用算术平均值、几何平均值等找到的属性的权重将不同,并导致备选方案的不同排名。DEA方法需要更多的计算,如果属性的数量更多,而选择的数量较少,那么DEA无法区分好的和坏的选择。同样,DEA只有在决策者熟悉线性规划概念的情况下才有效。同样,PROMETHEE等方法也有其优点和局限性。用于决定最佳方案的目标权重可以通过主观方法或客观方法得出折衷的备选方案。在客观方法的情况下,可以使用熵方法,标准差方法等方法获得目标的权重,因此获得的权重被称为客观权重,决策者对他的偏好没有任何作用。在主观方法的情况下,决策者可以根据他的直觉或经验或偏好任意分配权重,或者权重可以通过使用AHP[13]等方法或排序方法(如等权重,秩指数,秩和,秩倒数和质心权重)来确定。权重获取技术的详细综述见[19]。除质心法外,其他排序方法都采用了一种更为启发式的方法来确定属性的权重。然而,由质心方法分配的权重要陡得多;最重要的属性被分配相对非常高的权重,而最不重要的属性被分配相对非常低的权重。有必要开发一种简单的MADM方法来推导出逻辑地确定目标的权重,并评估备选解相对于目标的性能度量,使得可以相对容易地从多目标或多目标优化问题中的可用帕累托最优解中选择最佳折衷备选解。最近,拉奥和拉克希米[20]提出了R-方法作为一种简单有效的多属性决策方法,可以为复杂的决策问题提供有效的解决方案。本文将R-方法推广到含有大量Pareto最优解和目标的多目标决策问题。MODM问题中的目标对应于MADM问题中的属性。建议的R-方法变得有用的情况下,有限的时间可用性和决策者的有限的注意力和处理信息的能力。所提出的方法的细节在下一节中给出。2. 多目标优化问题Pareto最优解排序和最优解选择的R-方法在使用任何优化算法(例如,NSGA-II或NSGA-III或SPEA或MOGA或任何其他高级优化算法的多目标版本,诸如SA、ACO、PSO、ABC、DE、TLBO、灰狼优化器、萤火虫优化器、鲸鱼优化器、蚁狮优化器、Jaya优化器等)在多目标或多目标优化问题中获得非支配帕累托最优解之后,决策表具有目标和对应于目标的非支配备选解(即,帕累托最优解)的性能度量。表1显示了决策表的一般形式。决策者的任务是从现有的备选方案中找到最佳备选方案。决策表显示了非支配的备选解决方案AjR.V. Rao和R.J. Lakshmi软计算快报3(2021)1000153=-表1决策表的一般形式。非支配替代解目标O1(w1)氧气(w2)O3(w3)–(女)一整套备选方案。在多目标或多目标优化中,为寻找最佳折衷解而对Pareto最优备选解进行排序的所提出的R-方法的步骤如下所示。步骤1:使用以下任一项获得给定多目标或多目标优化问题的非支配备选解:A1m 11m 12m 13A2m 21m 22m 23A3m 31m 32m 33––ANm N1m N2m N3(for j=1,2,.....,N);目标,O i(对于i=1,2,.....,M);对象的权重,w i(对于i=1,2,.....,M);以及替代解决方案的性能度量M ji(对于j1,2,.....,N; i1,2,.....,M)。给定决策表信息和决策方法,决策者的任务是通过对高级优化算法,并准备包含对应于目标的备选解决方案的性能数据的决策表。第二步:根据决策者对目标的重要性(1、2、3等)进行排序。如果两个或更多目标被认为同等重要,则为这些目标分配平均等级。第三步:根据与目标相关的性能数据,将备选解决方案(即帕累托最优解决方案)按1、2、3等进行排名。如果两个或多个备选解决方案具有对应于目标的相同值,则将平均排名分配给这些备选解决方案。表2MO-Jaya算法在电火花加工过程的单次模拟运行中提供的Pareto最优解[21]。号溶液工艺参数目标Vg(V)Ip(A)Ton(µs)N(rpm)MRR(0.1 mg/s)TWR(0.1 mg/s)(度)DF125101913.7242001.2453(50)0.0965(01)3.3476(48)1.1574(29)225.0495101844.1162001.2865(49)0.0986(02)3.0562(47)1.1558(28)325101757.6232001.3199(48)0.0996(03)2.7192(46)1.1536(27)426.26831020002001.4191(47)0.1162(04)3.7259(49)1.1603(30)525103002001.4245(46)0.2215(05)0.0811(01)1.079(02)631.70031020002002.5179(45)0.2405(06)3.8046(50)1.1629(31)728.510932.73212.19073.0999(44)0.2672(07)0.6472(11)1.1259(18)833.883510980.8407214.69955.0426(43)0.4827(08)0.7417(14)1.13(19)939.4565101366.8352005.5058(42)0.5499(09)1.7016(26)1.1488(26)1039.512510893.0062006.1636(41)0.6041(10)0.6878(13)1.1325(21)1143.100610785.4233214.33959.0452(40)1.0027(11)0.5488(08)1.1238(17)1260.5423103002009.4074(39)1.871(18)0.159(02)1.0949(08)1350.25210951.289920010.0145(38)1.1314(12)0.943(18)1.1347(22)1450.4624101094.945209.839111.047(37)1.3154(13)1.1924(23)1.1359(24)159510300370.817611.201(36)1.547(15)0.5758(09)1.0749(01)1653.9205101193.568203.777411.3644(35)1.3979(14)1.5711(24)1.1404(25)1761.759110417.81720011.776(34)1.8677(十七)0.269(03)1.1054(11)1852.378610997.8612216.28612.7649(33)1.5735(16)0.9942(19)1.1302(20)1959.0602101199.503212.376914.2355(32)1.9259(十九)1.6368(25)1.1357(23)2062.064710782.3541212.812616.3417(31)2.1735(20)0.7642(15)1.1214(16)2157.646610899.7264241.109517.1198(30)2.3377(21)0.8244(17)1.1187(15)2278.169510300303.910718.6777(29)3.184(23)0.3371(06)1.0817(03)2363.966910721.4555233.243919.5525(28)2.7339(22)0.6496(12)1.1129(14)2481.445410.4816300263.119620.3185(27)4.6091(30)0.3181(04)1.0889(07)2582.04710.242300276.310520.4793(26)4.1102(27)0.3279(05)1.0849(05)2681.535410407.3847289.246922.0527(25)3.4706(24)0.4306(07)1.0863(06)2793.309510460.6347290.862423.1194(24)3.5922(25)0.5781(10)1.0837(04)2877.298710847.0946243.519723.7081(23)3.6683(26)1.0182(20)1.1097(12)2984.27111.0556628.0503247.973624.8563(22)5.7193(31)0.7768(16)1.1108(13)309510680.5518230.770525.9749(21)4.2886(28)1.0235(21)1.101(10)319510726.217247.042726.8204(20)4.4199(29)1.0638(22)1.0983(09)3263.175935.7338815.4502250.680326.8784(19)141.1848(32)1.9473(28)1.2461(34)3346.866545704.2118262.200126.8928(18)168.1049(36)2.1411(31)1.2377(32)R.V. Rao和R.J. Lakshmi软计算快报3(2021)10001543466.097236.3491644.0377251.92427.0320(17)153.657(33)1.8928(27)1.2522(36)3563.469437.0986865.4543259.858127.2314(16)155.9124(34)2.0329(29)1.2489(35)3665.779137.3432876.1797259.703427.5357(15)164.2039(35)2.1005(30)1.2531(37)3748.778645750.8355259.649827.6576(14)176.157(37)2.1703(32)1.2431(33)3853.815345571.8286249.424727.9858(13)200.6127(39)2.1753(33)1.2581(40)3955.327745591.4365277.374328.3591(12)208.3648(41)2.2865(34)1.2568(39)4052.183145875.1416246.980528.454(11)185.9188(38)2.3039(35)1.254(38)4155.671445867.8184251.216929.5533(10)205.7847(40)2.3407(37)1.2608(41)4256.97845895.9178245.208829.6352(09)208.5368(42)2.4141(40)1.265(42)4359.199245664.6343264.887629.8885(08)224.7545(44)2.3068(36)1.2662(44)4458.104945835.4176253.87830.121(07)218.1782(43)2.3559(39)1.2653(43)4560.387945738.0855255.034930.420(06)228.327(45)2.3521(38)1.27(45)4662.181545846.2731248.406430.6445(05)233.4057(46)2.473(41)1.2745(46)4764.93645937.1024251.810930.7501(04)246.4366(48)2.577(43)1.278(47)4864.786645770.7681249.690430.8257(03)243.3128(47)2.4831(42)1.2792(48)4969.81745810.0259259.090230.8293(02)260.9632(50)2.5826(44)1.2849(50)5068.095845836.1816252.723431.0207(01)256.4056(49)2.5864(45)1.2836(49)分配给目标→1.51.53.53.5括号中的数字表示与相应目标相对应的备选解决方案的等级R.V. Rao和R.J. Lakshmi软计算快报3(2021)1000155⎛⎜()⎞⎟R==-∑⎠MATLAB 2015a中的代码在补充材料中给出表3分配给电火花加工工艺的替代解决方案的权重以及替代解决方案的目标、综合得分和综合排名。号溶液MRRTWRƟDF综合分数复合秩10.0145390.0654150.0146710.0165120.030688220.0146040.043610.014740.0166570.024530.0146710.0356810.0148110.016810.0216091040.014740.0313990.0146040.0163740.0201821650.0148110.0286490.0654150.043610.034217160.0148840.02670.0145390.0162430.0187352370.014960.0252290.0216610.0187160.020131780.0150380.0240690.0201180.0184390.0194492090.0151390.0231230.0169710.0169710.01830828100.0152020.0223340.020570.0179450.01895422110.0152890.0216610.0240690.0190180.01964419120.0153790.0187160.043610.0240690.0234447130.0154720.021080.0187160.0177240.01825530140.0155690.020570.0175170.0173240.01782237150.015670.0197140.0231230.0654150.0278154160.0157750.0201180.0173240.0171420.01767538170.0158840.0190180.0356810.0216610.0217259180.0159990.0193490.0184390.0181820.01791635190.0161180.0184390.0171420.0175170.01729842200.0162430.0181820.0197140.0193490.01809633210.0163740.0179450.0190180.0197140.01834220.0165120.0175170.02670.0356810.0224148230.0166570.0177240.021080.0201180.01848926240.016810.0163740.0313990.0252290.02105713250.0169710.016810.0286490.0286490.02136911260.0171420.0173240.0252290.02670.02055915270.0173240.0171420.0223340.0313990.02090214280.0175170.0169710.0181820.021080.01815331290.0177240.0162430.0193490.020570.01811732300.0179450.0166570.0179450.0223340.01838227310.0181820.0165120.0177240.0231230.01851925320.0184390.0161180.0166570.0158840.01689549330.0187160.015670.0162430.0161180.01680750340.0190180.0159990.016810.015670.01702548350.0193490.0158840.0165120.0157750.01705547360.0197140.0157750.0163740.0155690.01706946370.0201180.0155690.0161180.0159990.01716444380.020570.0153790.0159990.0152890.01708745390.021080.0152020.0158440.0153790.01717743400.0216610.0154720.0157750.0154720.01744541410.0223340.0152890.0155690.0152020.01750640420.0231230.0151390.0152890.0151390.01763939430.0240690.014960.015670.014960.01791536440.0252290.0150380.0153790.0150380.01825729450.02670.0148840.0154720.0148840.01865424460.0286490.0148110.0152020.0148110.01916921470.0313990.0146710.0150380.014740.01993218480.0356810.014740.0151190.0146710.02128112490.043610.0145390.014960.0145390.0236186500.0654150.0146040.0148840.0146040.0303853分配给目标的权重0.3095450.3095450.1904540.190454步骤4:将分配给目标和备选解决方案的等级转换为相应的权重。表A1(见附录A)可用于此目的。表A1显示了分配给35个等级的权重(对应于35个备选解决方案或目标)。然而,权重可以通过使用等式(1)被分配给任何数量的等级。(5)建议如下。1⎝ ⎠w j=目标/备选方案j的权重(j=1,2,3,...,n)目标/备选方案k的k秩(k1,2,3,.....,j)n个目标/备选方案步骤5:通过将目标权重与备选解决方案的相应权重的乘积求和,第6步:确定备选解决方案的综合排名,对复合成绩. 的替代解决方案具有最高的综合得分被认为是最佳的帕累托妥协J1k=1RK最优 溶液 的 决策者 可以 去 前面 与 最好的wj=01(五)妥协的帕累托最优解决方案的实施。∑n()1RK该方法的伪代码在本节的末尾给出的⎝∑j= 1jk= 1R.V. Rao和R.J. Lakshmi软计算快报3(2021)1000156≤≤≤ ≤ ≤ ≤ ≤≤=-=-=-=-=-+=+=+=++===+=3. 应用R方法对Pareto最优解进行排序并选择最优解本文通过三个算例对所提出的R方法进行了验证,并将其性能与四种广泛使用的多属性决策方法进行了比较。3.1. 实施例1:电火花加工工艺Rao等人[21]对电火花加工过程进行了实验研究,建立了以金属去除率(MRR)最大、刀具磨损率(TWR)最小、锥度角(θ)最小和分层因子(DF)最小为目标函数的数学模型。优化的工艺参数为间隙电压(Vg)、脉冲电流(Ip)、脉冲开启时间(Ton)和刀具转速(N)。工艺参数范围为:25 VVG95 V; 10 AIp45 A; 300 µs不在2000 µs;以及200 rpm N400转实验是用这些4个工艺参数,考虑5个水平的每个参数。共进行了30次实验,并测量了4个目标值,即MRR,TWR,ESTA和DF。实验设计和细节可参见Rao等人[21]。用回归分析法建立了以Vg、Ip、Ton和N 随后,多目标Jaya(MO-Jaya)算法被用来同时优化的4个目标函数,使用非支配排序方法。表2中给出了50种非支配替代解决方案以及工艺参数的最佳值。每个非支配替代解是对应于Vg、Ip、Ton和N的过程参数的特定组合的MRR、TWR、Ton和DF的值的集合。 现在,为了从50个备选方案中找到最佳折衷方案,解决方案, 的 步骤 的 的 提出 R方法 是 携带 作为下面解释步骤1:表2示出了使用MO-Jaya算法获得的给定多目标优化问题的50个非支配替代解。对应于4个目标的50种替代解决方案的性能数据也显示在表2中。这些解在性质上是非支配的,并且所有解可以被认为是等价的。然而,每个解决方案的目标之间的妥协是不同的。在目标之间具有最佳折衷的解决方案可以被认为是最佳解决方案。因此,为了确定具有最佳折衷的解决方案,使用了所提出的R-方法。第2步:4个目标根据其对所考虑的电火花加工过程的重要性进行排名。让决策者(即工艺规划者)认为MRR和TWR在电火花加工过程中同等重要。然后,将1.5的平均秩(即秩1和秩2的平均)分配给MRR和TWR两者。同样地,让决策者认为重复和重复同样重要。在这种情况下,平均秩3.5(即秩3和秩4的平均值)被分配给SNR和DF两者。第3步:根据与目标有关的绩效数据,对替代解决方案进行了排名,并在表2中相应绩效措施旁边的括号中显示。客观MRR是有益的目标,更高的值是可取的。然而,在其他三个目标TWR、TWR和DF的情况下,较低的值是可取的。因此,从MRR的角度来看,备选解决方案50被分配等级1。从TWR的角度来看,替代解决方案没有。1被分配秩1。类似地,在双极型和双极型的情况下,替代解决方案没有。5被分配等级1。其他替代解决方案排名基于它们相对于目标的相应值步骤4:将分配给4个目标和50个备选解决方案的排名转换为相应的权重。下式(5)在第2节中给出,权重被开发并显示在表3中。可以注意到,在目标MRR和TWR的情况下,由于平均等级是1.5,所以0.309545的平均权重(即,0.3714543和0.2476362的平均值)被分配给MRR和TWR两者。类似地,在目标DF和DF的情况下,由于平均等级为3.5,因此将0.190454的平均权重(即,0.202611436和0.178298064的平均值)分配给DF和DF。50个备选解决方案的排名权重计算如下。1/秩的倒数1:1/(1/1)1.000000 1/秩的倒数直到2:1/(1/1 1/2)0.6666661/3以下的倒数:1/(1/1 1/2 1/3)0.545454 1/4以下的倒数:1/(1/1 1/2 1/3 1/4)0.481/5以下的倒数:1/(1/1 1/2 1/3 1/41/5)0.4379561/6以下的倒数:1/(1/1+ 1/2+ 1/3+ 1/4+ 1/5+ 1/ 6)=0.4081631/50以内的倒数:1/(1/1 1/2..总计= 1.000000 + 0.666666 + 0.545454 +..... +..... +0.222261415.287014美元因此,分配给排名1的权重=1.000000/15.287014=0.065415;分配给秩2的权重=0.666666/15.287014= 0.04361;..... , 并 且 分 配 给 等 级 50 的 权 重 为 0.2222614/15.2870140.014539。同样,4个目标的等级权重计算如下。1/秩的倒数1:1/(1/1)=1.000000 1/秩的倒数直到2:1/(1/1+ 1/2)=0.6666661/3以下的倒数:1/(1/1+ 1/2+ 1/3)=0.545454 1/4以下的倒数:1/(1/1+ 1/2+ 1/3+ 1/4)=0.48合计=1.000000+0.66666+ 0.545454+ 0.48= 2.69212因此,我们认为, 重量 分配 000000/2.69212 0.37145;分配给等级2的权重0.666666/2.69212 0.24763;分配给等级3的权重0.545454/2.692120.20261;以及分配给等级4的权重0.48/2.69212这些值与表A1中给出的值相同。第五步:通过将目标权重与备选解决方案的相应权重的乘积相加来计算备选解决方案的综合得分。综合评分见表3。步骤6:基于综合得分确定备选方案的综合排名。具有最高综合得分的替代解决方案5被认为是最佳选择。第二个选择是解决方案1,最后一个选择是解决方案1。三十三为了比较所提出的R-方法的性能,考虑了四种不同的MADM方法,并将其应用于具有相同权重的目标和表2中给出的数据的相同示例。MADM方法是:(i)。简单的加法加权(SAW)方法,(ii)。加权乘积法(WPM),(iii)。TOPSIS法,和(iv)。PROMETHEE方法。关于这四种多属性决策方法的工作步骤,读者可以参考[1]。基于这四个因素R.V. Rao和R.J. Lakshmi表7软计算快报3(2021)1000157++==≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤≤≤通过SAP-Rao算法获得的具有废气再循环系统的压燃式生物柴油发动机案例研究的Pareto最优解解决方案编号设计变量ER(%)阿布勒EL(%)ES(rpm)血压(%)目标功率(kW)BSFC(g/kWh)一氧化碳(%)NOx(ppm)HC(ppm)Sm(1/m)10.00041.6081800.00015.0001.874(22)319.726(09)0.072(02)288.515(23)16.017(01)2.706(04)22.57362.4661800.0009.0002.598(15)218.952(01)0.418(14)368.509(29)51.897(12)6.838(15)330.00025.0002164.14615.0001.087(28)564.355(29)0.092(03)86.943(01)46.614(10)3.750(08)40.00030.0811800.00010.7651.320(25)420.639(23)0.125(04)210.699(10)22.879(02)2.304(01)50.03971.2611800.0007.1992.887(11)235.347(04)0.745(19)386.066(30)80.418(16)9.799(19)630.00025.0001895.40215.0001.207(26)535.929(27)0.00044(1)114.501(03)32.575(06)3.033(06)70.00025.0002156.08215.0000.896(29)576.845(30)0.195(10)110.599(02)45.015(09)2.894(05)80.00025.0002006.5525.3390.866(30)540.802(28)0.144(07)128.730(04)41.406(08)2.600(03)930.00075.0002400.0000.0003.523(01)424.208(24)2.160(30)256.076(19)249.948(30)17.390(30)1021.01974.2202400.0008.6143.298(07)380.535(15)1.746(25)250.382(16)197.299(25)14.726(25)1130.00074.5742400.00015.0003.324(06)390.991(17)1.582(24)202.916(08)178.579(24)13.891(24)1216.91575.0002400.0005.0403.336(05)395.523(18)1.903(26)268.393(21)214.100(26)15.729(26)1330.00075.0002400.0001.6073.505(02)412.975(22)2.087(290251.746(17)240.594(29)16.922(29)1429.82575.0002400.0004.3813.472(03)398.013(20)1.969(28)243.709(14)225.472(28)16.174(28)1519.35065.0532229.66810.2442.735(14)332.716(11)0.936(20)252.536(18)125.951(20)9.861(20)1630.00067.2512349.97312.6773.008(10)349.942(13)1.183(22)225.179(12)145.346(22)11.154(21)1729.07751.5122136.7477.6452.215(19)332.489(10)0.414(13)236.483(13)82.577(17)6.201(14)1810.24868.5751800.0009.3272.865(12)227.390(03)0.570(16)351.145(27)73.983(15)8.769(17)1930.00075.0002255.07715.0003.216(08)389.408(16)1.290(23)194.374(07)158.665(23)12.925(23)200.00057.
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