区间目标约束优化问题的多目标规划方法

埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，292原创文章区间目标约束优化问题通过多目标规划Samiran Karmakara，*，Asoke Kumar Bhuniab商业数学和统计学系，圣。Xavierb印度布尔德旺大学数学系，布尔德旺713104接收日期：2013年2月15日;修订日期：2013年6月8日;接受日期：2013年7月1日2013年8月12日在线提供摘要针对区间值约束优化问题，提出了一种基于多目标规划的优化方法。区间目标函数的非区间（脆）之一的减少是所提出的技术的主要成分。首先，区间值目标函数的重要性以及所提出问题的区间值解的意义已经用图形解释了。一般来说，提出的问题有无限多的妥协解决方案。我们的目标是获得这样的解决方案具有更高的精度和更低的计算工作量之一。已解决了足够数量的数值例子，以支持这种技术。数学子分类：90C29; 90C30; 90C59; 90C90？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍在当今社会经济的背景下，不确定性处理优化技术是最有力的，以提高企业和公共组织的生产力。不严谨的存在是不可避免的，*通讯作者。联系电话：+91 9474189456。电子邮件地址：skmath. gmail.com ，samiran_sales@rediffmail。com（S. Karmakar）。同行评审由埃及数学学会负责真实世界的数据，其中大部分是从一些不充分的信息中收集的。在建立数学模型时，由于决策是在不确定的情况下进行的，也可能存在不精确性。如何对这种不精确性进行合理的建模，以处理现实中出现的复杂的不确定性问题，以及如何发展相应的求解方法，是当前研究者迫切需要解决的问题。随机[1这些方法都有一些优点和缺点。或者，为了处理可用数据的模糊性或任何参数的不精确性，可以用区间来代替它们。间隔可以限制不确定性/不精确性1110- 256 X？ 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.07.002制作和主办：Elsevier关键词多目标规划区间目标;优化中的不确定性;区间数;区间数学基于多目标规划的293在其上限和下限内。Sengupta和Zhao[9]已经解释了使用区间表示不确定或不精确参数的优点，而不是模糊集理论或概率方法来解决现实世界的决策问题。使用面向区间的技术的主要优点是，人们只需要计算区间的界限，这说明了不确定性的限制通过使用区间和区间定向技术，可以以确定性的方式处理不确定性/不精确性[10]。一些研究人员[11-根据Ishibuchi和Tanaka[18]，如果不精确的数据由区间表示，则数据的期望值可以由区间的中心指定，不然而，在大多数面向区间的技术，出现了一些重要的问题，在执行过程中的任意区间数的排名。有时，它成为衡量技术效率的关键因素。关于区间排序，Moore做了一项开创性的工作[19]。在摩尔[19]之后，许多区间排序定义[11，18，20[9，23]中给出了这些排序定义的详细调查及其优点和缺点。这些定义的主要目标是在区间排序的帮助下为区间优化问题开发Moore[19]给出了区间数概念的初步发展及其分析特征，以及不同数学分支的应用。最近，Moore等人[24]在区间分析中应用了INTLAB软件，对他们以前的工作进行了扩展。存在多种方法来解决面向区间的优化问题。其中一些方法确保guaran- tee包含覆盖所有可能性的所有最优解的集合[25在第二种方法中，目的是给出折衷解的一些近似[9，18，29，30]。许多优化技术都是在分支定界算法的基础上发展起来的. 另一方面，文献[19，31Jaulin等人。[12]和Kearfott[13]提供了严格区间分析及其在全局最优性优化问题中的应用的最新技术的说明性概述。然而，大多数面向 区 间 的 算 法 已 被 应 用 于 解 决 非 区 间 值 优 化 问 题 。Ratschek和Rokne[34，35]已经给出了一些关于全局最优性的区间工具的有价值的讨论，包括加速设备（即，通过修改算法）以快速收敛。以前，许多研究人员开发了不同类型的面向区间的算法/优化技术[16，18，20，36Ishibuchi和Tanaka[18]提出了一种将目标函数为区间数的线性优化问题转化为多目标优化问题的方法。文[25]给出了一种求具有不确定数据的线性规划问题的严格解的面向区间的方法。在这种情况下，解集定义了非常尖锐和有保证的误差范围，并且该方法允许严格的敏感性分析 Chanas和Kuchta [20]借助于区间的 t0， t1-截，推广了[18]的工作，发展了区间线性规划的多目标规划一般方法。Inuiguchi和Sakawa [36]通过引入极小极大后悔准则，提出了一种不同的区间线性优化问题的技术。重复使用众所周知的单纯形法是从起始参考解集开始的该方法的基础。[9]中给出了另一种使用有效区间排序（可接受性指标方法[11]）求解区间线性规划问题（ILPP）的方法。Fiedler等人已经给出了ILPP的求解方法的一些先前的发展。[40]第40段。最近，HladZi'k[27]和Gabrel et al. [41]已经介绍了两种不同的方法来解决区间线性规划问题。 Suprajitno和BinMohd [42]使用了改进的单纯形法求解区间线性规划问题。Allahdadi和Nehi[43]提出了一种优化技术，通过使用最佳和最差情况（BWC）方法来确定ILPP的最优解集Hladik[44]提出了一种新的算法来测试ILP的基础稳定性除此之外，HladZi'k[45]的调查工作还详细讨论了ILPP最近发展的最新技术水平。然而，大多数这些技术仅限于线性规划问题的不等式约束。对于大多数工程、财务或管理决策问题，在模型公式的结构中考虑非线性是不可避免的。 Liu和Wang [26]研究了具有区间系数的二次规划问题（QPP）的求解方法。在这种情况下，将问题转化为一对两层规划问题，并应用对偶定理和变量变换技巧，将两层数学规划问题转化为常规的一层QPP问题。最近，Jiang et al.[30]提出了一种利用遗传算法和多目标优化技术求解区间系数非线性规划问题的优化方法。HladHladK[28]提出了一种确定具有区间数据的非线性规划问题的最优边界的技术，该技术确保了包含所有最优解集的精确边界。Bhurjee和Panda[46]介绍了一种用于一般区间优化问题的技术为了求原问题的有效解，将区间值问题转化为区间自由问题研究了区间值函数的参数表示及其重要分析性质，并将其应用于新发展的优化技术。已经指出，大多数为解决经典/区间值约束/有界约束/无约束优化问题而开发的技术是基于分支定界（BB）算法，该算法包括以下四个步骤：（i）分支规定的搜索区域，(ii) 区间目标值的边界，（iii）区间值的连续体的比较，以及（iv）最佳值的选择。Karmakar等人[47]介绍了两种不同的多分割技术用于非线性有界约束优化问题的全局解，他们认为多分割技术更适合于非线性有界约束优化问题的全局解。294S. Karmakar，A.K. 布尼亚的1WWbWaWz两种分割技术之间的差异。后来，Karmakar和Bhunia[48在面向区间的BB算法中，区间的排序方法对于估计算法的效率与现有的其他方法相比，区间BB算法虽然取得了较好的效果，但也存在一些不足之处，(i) 对于高维问题，计算时间通常非常高计算时间和复杂性也取决于细分盒的数量(ii) 该算法的效率取决于所使用的区间排序定义，而我们知道不存在完全的区间排序。本文提出了一种求解区间值目标函数约束优化问题的新方法。一般来说，这种类型的问题有无限多的妥协解决方案。这种技术的目的是获得这样的解决方案具有较高的精度和较低的计算成本之一。在这种方法中，首先，区间值问题被减少到一个非区间多目标优化问题。简化的问题已经通过著名的全局准则方法（GCM）求解，以获得Pareto最优解（或有效解）。最后，为了证明所提出的技术的有效性，一些数值例子已经解决，并与文献中的一些现有技术的结果进行了比较在下一节中，我们简要介绍了一些区间序定义。第三节给出了问题的陈述、最优解的概念、区间目标函数的意义和决策者选择的最优解的几何解释。在第4节中，我们给出了所提出的解决方案技术的细节。我们已经解释了不同的功能形式与支持的数值例子的技术。第5节包括更多的数值实验，从现有的文献和详细的比较讨论。定义2.1.AB当且仅当aRbL;<bR或bL>aR时;类型II：部分重叠，即，当bL6aL6bRomaxB当且仅当APomaxB且A-B：这意味着A优于B，乐观决策且ApB当且仅当Ap=B且AnB.区间的中心和宽度分别被认为是参数的期望值和不确定性，正如我们之前在Ishibuchi和Tanaka[18]定义。因此，当两个区间的中心相同时，他们强调区间的宽度，即，参数的不确定性，然后决策者必须选择间隔 与 少 不确定性 这里，Mahato和Bhunia[22]提出了另一类区间序关系的定义，这些定义更重视决策者有不同类型的决策条件。但是，他们强调乐观和悲观的决策。在最优决策中，决策者忽略不确定性，选择最优方案。另一方面，悲观决策者选择不确定性较小的最佳方案。当然，在不确定条件下，乐观的决策者更有信心得到最佳方案，而悲观的决策者在这种条件下得到最佳方案的信心较低。Mahato和Bhunia[22]首先指出了上述关于决策者观点的区间排序定义的不完整性。为了澄清，让我们考虑一个具有一对III型区间的例子ker接受利润区间A。在这里，顺序关系Pomax不是对称的。悲观决策在这种情况下，决策者根据“不确定性越小越好”的原则选择最佳区间。拟议定义如下：定义2.9.对于最小化问题，他们定义了悲观决策者的<区间A=[aL，aR]=aC，aW和B=[bL，bR]=bC，bW之间的顺序关系pmin，ApminB当且仅当aCbC，对于I型然而，对于具有C b C和W > b W的III型<在这种情况下，可以考虑乐观的决策。定义2.10. 对于最大化问题，他们定义了顺序关系>在区间A=[a，a]=Δa之间，pmax LR C实施例2.1. 设A=[10，50]=1030，200且B=[25，45]=在最大化问题的情况下，时间/成本区间是表示利润的两个区间，在最小化问题的情况下，时间/成本区间是表示时间/成本区间的两个区间。很明显，对于最大化和最小化问题，乐观的决策者总是倾向于区间A而不是B。然而，这项工作对于一个悲观的决策者来说并不容易。对于最大化问题，悲观主义者可能会选择区间B作为最有利的区间，而对于最小化问题，他们会选择成本/时间较低的区间A。aW和B=[bL，bR]=bC，bW，对于悲观的决策者，A>pmaxB当且仅当aC>bC，对于I型然而，对于具有a C > b C和a W > b W的III型在这种情况下，可以做出乐观的决定。296S. Karmakar，A.K. 布尼亚22222353. 问题陈述设F：Rn∈ I是区间值函数，其中Rn是实数的有序n元组的集合，I是区间值的集合，x =（x1，x2，. . ，xn）是n维决策向量，U =（U1，U2，.. . ，Uq）是其分量都是区间的q维区间向量因此，具有区间值目标函数的一般约束优化问题可以写为：最大Z¼ Fx;U20015010050-50以g k x 6 0; k <$1; 2;.为准。 ;khlx0;l1;2;. . . ;m和x2D Rn3：10-100图. 图1F1（x，U）对于{x：06x6 2. 5}的图。其中D是n维区间（或盒）并且由D= {x2Rn：16x6u}给出这里l，u2Rn是由l=（l1， l2，.. . ， ln）和u=（u1，u2，.. . ，u n），使得l j6 x j6 u j（j = 1，2，.. . ，n）。gk（x）60是第k个不等式constraint和hl（x）=0是第l个等式约束，其中k和m分别是不等式和等式约束的数量。3.1. 最优解区间目标函数定义为F：R nfil，表示为F（x，U）=<$FC（x），FW（x）<$其中FC（x）和FW（x）分别是区间函数的中心和宽度。定义3.1. 决策向量x*D是最小点，如果F C（x*）6 F C（x）（对于最大化问题，最大值如果F C（x*）P F C（x））和F W（x*）6 F W（x）对于任何x D。在这种情况下，最小值由F*表示，最小值点由x*表示，即，F*=min x2DF（x，U）= F（x*，U）。从上面的定义可以清楚地看出，问题是一个现在，我们将讨论优化点（或点）并借助图形求出了区间值函数在不同搜索区域的最优值。要绘制一个实变量的区间值函数F1（x，U），我们首先计算函数在变量的指定域中的边界。这里，图由两条曲线组成，因为对应的函数是单变量区间值函数。其中一条曲线表示F1（x，U）的上界图，另一条曲线表示下界图.显然，两条曲线之间的差异代表了区间值函数的不确定性。然后我们可以很容易地找到给定区间值函数的最优区间的上下限和优化点。该图是在MATHEMATICA7.0 软件两个不同的搜索区域已被认为是在此讨论。(i) 当搜索区域为{x：06x6 2.5}时要找到优化器点x*[0，2.5]，使得在x = x * 处的区间值目标函数将是最优区间，即，F*=F（x*，U）是一个最佳区间双目标优化问题和最小值点1 1xω应同时最小化两个准则，这在实际问题中几乎不发生。因此，在我们的问题中，Pareto最优解或有效解被认为是最优解。3.2. 区间值目标函数问题解的解释所考虑的区间值目标函数定义为F：Rnfil。让我们将优化器点表示为x*Rn，将目标函数的优化值表示为F*I，即，我们想要找到搜索区域的点，对于该点，区间值目标函数将是最优的。对于这类问题，最优区间是指具有最优中心（区间的期望值）和最小宽度（不确定性）的区间。让我们考虑下面的例子来形象化这种情况：实施例3.1. （单变量）：F1x;U1xU2 xx cos xU3x3 sin3 xU4x搜索区域{x：06x6 2.5}。用图解法求解。 该图已在图中呈现。1.一、显然，F1（x，U）的最小值x * 是在x= 0处得到的，因为在该点处的不确定性是最小的。然而，在乐观决策的情况下，可以将F1（x，U）的最小值x*取为x*=2.5，忽略不确定性。在寻找目标函数的最大值时也会出现类似的模糊性在这里，我们只考虑了两个þxþxÞ其中U1=[2，4]，U2=[1.5，4.5]，U3=[1，2]，U4=[-1，3]。图. 2F1（x，U）对{x：-16x61}的图0.51.01.52.02.52010-1.0-0.50.51.0-10-20基于多目标规划的297.- 是 的- 是的ΣCC2221122nn12n12n1 2N2CW决策情境然而，在现实生活中，一个理性的决策者必须面对不同的复杂情况，他需要考虑一些妥协的解决方案。(ii) 当搜索区域为{x：-16x6 1}时在这种情况下，很明显，在x=0时，现在我们来讨论区间目标函数的不同形式.形式1：当给定的目标函数是线性的。在这种形式下，FU; xU1x1 U2x2············ Un xn¼UC;UWx1UC;UWx2···UC;UWxn1/4。UC x1UC x2···UC xn;UWjx1 jUW jx2 jUW jxnj区间函数最小，在x=1和-1时，不确定度为最高的对于F1（x，U）的最大值，x=1可以作为最大化点，忽略不确定性（乐观）1 21/4 hF;Fin1 2n哪里F C¼ U C x1 UC x2········ UC xn;W W W W在这种情况下，求出F1（x，U）在x =-1时的最小值。 的F1/4 U j x1 j U j x2 j···U j x n j：图表如图2所示。在这一点上，出现了一些问题：什么是F1（x，U）的最大值或最小值？最大化点或最小化点是否唯一？如果它不是唯一的，那么什么将是可以接受的1 2N因此，问题（3.1）可以重新表述为双目标优化问题，如下所示：最大或最小值的F1（x，U）的理性决策者？最大FC¼UC x1U x2···U ×N2014 -04- 19最小化FW¼UW jx1 jUW jx2 j···UWjxn j显然，图解法是高度复杂的两个变量问题。此外，如果我们考虑约束优化问题而不是简单的有界约束问题，任务将更加困难。另一方面，对于二元以上的函数，图解法不适用.在这项工作中，我们已经开发了一种替代技术，通过多目标规划来解决这类问题。4. 求解过程1 2N在给定的约束条件下。为了将上述非区间双目标优化问题转化为单目标约束优化问题，我们采用了GCM方法。用MATHEMATICA 7.0软件包对简化问题进行了求解。类似地，为了在相同约束条件下最小化F（U，x），给定问题可以重新表述为双目标优化问题，如下所示：最小化FC¼UC x1UC x2·············UC xn区间值目标函数F（x，U）表示具有不确定性的函数值。已经指出，1 2N最小化F W¼ U W j x1 jumper U W j x2 jumper.Wjx n j2014 -04- 24中心FC（x）和宽度FW（x）可以分别被认为是给定区间值函数F（x，U）的期望值和可能的不确定程度[18]。所提出的优化技术的一般结构由以下步骤组成：以中心和宽度形式表示区间函数：具有区间系数的目标函数用中心和宽度显式表示，然后我们直接应用我们的技术。但是，在实践中，可以看出，所有类型的区间值函数并不总是以上述形式表示。其中一些情况可以在某些限制下通过这种技术来解决● 多目标优化问题的构造：在此受到同样的约束。上述问题（4.2）可以用与最大化情况中提到的类似的方式来解决。为了说明，我们将解决以下示例，实施例4.1.最小化FU;xU1x7U2x8U3x9U4x10U1x11受x5-x9 -x10-x11¼ 0x4-x7 -x8¼ 0-0： 007629 sinus-x31： 4847699sinusx1x20：00689543x1200 ¼ 00：007629 sina100001：48476990000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000第二步，将给定问题转化为相应的非区间值多目标优化问题。对于区间目标函数可以用中心和宽度显式表示的问题，可以直接构造双目标优化问题。对于其他人，我们必须在某些条件下构建相同的。本文讨论了多目标优化问题构造的数学处理，详情如下。3 1 2 6电话：00689543x2 ¼ 00： 007629宇宙-x3 1： 4847699宇宙x1x2宇宙x4-0： 0006565x1 - 300 ¼ 00： 007629 cosmosx 3 1： 4847699x1x2x5- 0： 0006565x2 ¼ 0其中U1=[29.5，31]，U2=[30，32.1]，U3=[27，29.5]，U4=多目标问题的求解：利用GCM方法得到了所构造的多目标优化问题的Pareto最优解。然而，任何其他合适的方法都可以适用于相同的情况，这取决于决策者的问题考虑和要求。[28，28.5]和x1，x22 [340，420]，x32 [0，0.52359999999999995]、x42 [0，400]、x5、x82 [0，1000]、x62 [-1000，1000]、x72 [-300， 300]， x92 [-100， 100]， x102 [0， 100]，x112[-100，1000]。这是一个最小化问题。上述问题的目标函数可以重写如下：●●决策）。类似的情况也会出现，298S. Karmakar，A.K. 布尼亚CW2222公司简介2CW124521212n12n12n2019 -05 - 2200： 00实施例4.2.尽量减少F U;x Ulogx1Ulogx x124小时30： 25x7小时 31： 05x8小时28： 25x9小时 28： 25x10小时ð Þ ¼1 ð2þÞþ 2011年-2þÞ2019 -01- 2500： 00USB3x4USB4x5USB5x6USB6x10： 75jx11 ji ¼ hF;FiC- 7x3U7受-0： 8对数周期x2对数周期1 - 0： 96对数周期x1-x2对数周期1影响其中F=30.25x7+31.05x8+28.25x9+28.25x10+电话：021- 88888888传真：021-8888888830.25x11和FW= 0.75mmx7mm+ 1.05mmx8mm+ 1.25mmx9mm+0.25x10+ 0.75 x11。因此，相应的双目标优化问题如下：最大化FC¼ 30： 25x7mm 31： 05x8mm 28： 25x9mm 28：25x10mm 30： 25x11最小化FW¼ 0： 75 jx7 mm 1： 05 jx8 mm 1：25 jx9 mm 1： 25 jx10 mm 0： 75 jx11 j，受限于x5-x9-x10-x11¼ 0哪里100×100-x2x1 -2x5 ≤ 0x2-2x4 ≤ 0x4x5-1≤ 0和x4-x7 -x8¼ 0-0： 007629 sinus-x31： 4847699sinusx1x20：00689543x1200 ¼ 00： 007629 sinx3 1： 4847699x1x2x6电话：00689543x2 ¼ 00： 007629宇宙-x3 1： 4847699宇宙x1x2宇宙x4-0： 0006565x1 - 300 ¼ 00： 007629 cosmosx 3 1：4847699x1x2x5- 0： 0006565x2 ¼ 0U11/4/2-18：5;-17：5];U21/4/2-19：5;-19];U31/4/24：5;5：7];U41/2/5：7;6：3]; U51/2/5：7;8：3];U61/2/59：9;10：5];U71/4/29：9;10：9]和x1，x22[0，2]，x3，x4，x5，x62[0，1]。这里，目标函数可以形成为：FU;x± 1/4 h-18; 0： 5i loghx± 2/ 1 logh-19： 25; 0： 25i对数x1-x2对数h 5： 1; 0： 6 ix4对数 h 6; 0： 3 ix5对数 h 7： 9;0： 4 ix610： 2; 0： 3ix1-h7;0ix 3 10： 4; 0： 5i1/4小时-18对数小时x2对数小时- 19： 25对数小时x1-x2对数小时5： 1x4对数小时 6x5x1;x22½340;420];x32½0;0：5235999999999995];2019 - 07 - 1900：00：00- 7x3 10： 4;0： 5 j对数x21jx42½0;400];x5;x82½0;1000]0： 25jlogx62½-1000;1000];x72½-300;300];x92½-100;100];x102½0;100];x112½-100;1000]：1 210：3jx1 j0： 5i4 5 6CWGCM可以解决这个问题。理想目标向量为（9526.92，289.79）t，Pareto最优解为x*=（340，340，0，314.497，0，-1000，162.092，152.405，1/4 hF;Fi其中，FC=-18log（x2+1）-19.25log（x1-x2+1）+5.1t minx4+6x5+7.9x6+10.2x1-7x3+ 10.4和FW=0.5μlog-32.0719，16.3378，15.7341），其中F=[9329.3573，10004.4956]。（x+1）+0.25log（x-x+1）+0.6x+0.3x形式2：当给定的目标函数在x中是非线性的。在这种形式下，FU;xU1f1xU2f 2xUn f nx1/4 h U;Ui fx h U;Uifx· ··+0.4x6+0.3x1+0.5因此，相应的双目标优化问题如下：最小化FC¼-18 logsx2logs-19： 25 logsx1-x2logs1 11C W2 22hUn;Unifnx电话：+86-21 -6555555传真：+86-21-65555555C C W^hU1f1xU2f2x···················Unfnx;U1jf1x jWW最小化FW 1/4 0： 5j lognx101 lognj 0： 25j lognx-x101logn jU2jf21/4 hF;Fi其中，F C<$U C f1 <$x <$U C f2 <$x <$··U C f n<$x <$;F W<$U W j f1<$x <$j <$U W j f2 <$x <$j <$··<$U Wj f n <$x <$j和 f1 （ x ）， f2（x），. . ，fn（x）都是区间自由的任意函数.因此，问题（3.1）可以被重新表述为双目标优化问题，如下所示：最大FC¼UC f1x UCf2 xUC fn x尽量减少FW<$UWjf1xjUW jf2xjUW jfnx jn2019 - 06 -2500： 30： 00受原问题中给出的约束这里，理想目标向量是（1.39204，0.0），帕累托最优解是x*=（1.13795，0.435103，1.0，0.217551，0.351424，0.0）t，Fmin= [0.085043，2.686498]。形式3：当F（U，x）是具有区间值自变量的函数时。在这种形式下，F（U，x）=F（U1f1（x）±U2f2（x）±···±Un受到同样的约束。fn（x））=F（<$fC（x），fW（x）<$） =F（[fL（x），fR（x）]）（利用形式2）其中fL（x）=fC（x）-fW（x）=下限或左极限可以相应地处理最小化问题。现在，我们将说明技术的帮助下，举个例子。fR（x）= fC（x）+fW（x）=区间值函数的上极限或右极限。基于多目标规划的299LR121.- 是的Σ- 是的k1- 是的捷克共和国ΣΣΣ1Kk11MKk1M211211 12 21211区间值变元1J111222MFm.hfCx;fWxi使用表格2M11221. fLxL;F1. fRx···Fk. fLx;Fk. fRx1/4。..公司简介公司简介你好。-你好公司简介F. fLx;fRxþ2： 7x20： 75x2-e9： 65cosmoppx1 0：15jcosmoppx1 jK11如果F（u）是一个单实数的增函数或减函数，则上述目标函数可以容易地被优化。变量u哪里FLxFL xF Lx FLx···Fx第一种情况：F是一个递增函数。F R xF R x············ F R x FRx···Fx：FU;xFfLx;fRx] FfLx;FfRx]1/2Fx;Fx]1/2hFx;Fxi：第二种情况：当F是递减函数时。FU;xFfLx;fRx]FfRx;FfLx]1/2Fx;Fx]1/2hFx;Fxi：因此，在上述两种情况下，问题（3.1）可以很容易地归结为为了说明形式3的优化问题的规定技术，我们将解决以下示例。实施例4.3.尽量减少 FU;xeUx-Ux假设在函数求和中，前k个函数F1（u），F2（u），. . ，Fk（u）是递增的，且Fk +1（u），. . ，Fm（u）是一个减函数，当函数的自变量为单实变量u时.如果所有项函数都增加或减少，则公式将相应地改变。因此，问题（3.1）可以容易地以上述形式表示为非区间双目标优化问题。为了说明形式4的优化问题的规定技术，我们将解决以下示例。示例4.4.最大F U;xXU x2U x3q受罪孽的影响-x1x2-1 ¼ 0哪里 U1：1/20：98;1：03]; U2：1/2 1：93;2：09]和 x12½-2;2];x22½-1：5;1：5]：由于指数函数eu是单实变量u的增函数，所以在这里情况I也适用。因此，给定的问题可以简化如下：尽量减少FU;xeU1x1-U2x2e½0：98;1：03]x1-½1：93;2：09]x21/4eh 1： 005x1 - 2： 01x2; 0： 025 jx1 j 0： 08 jx2 j1： 005x1-2： 01x2- 0： 025jx1j-0： 08jx2j;e1： 005x1 - 2： 01x2 0： 025 jx1 j 0： 08 jx2 j]受px1x2P 0-p2x24x26 0U1¼½1：2;1：35];U2¼½4：5;5：3];U3¼½2：7;3];U4¼½0：75;1：1];U5¼½9：5;9：8]和 x12½-1：5;3：5];x22½0;15]：这里，目标函数有三个项函数，分别是立方、平方根和指数。所有这些函数都是单实变量x的增函数。重写问题，我们有最大化FU; x¼。x-h1：275; 0： 075ix2h4： 9; 0： 4ix3受罪孽的影响-x1x2-1 ¼ 0和x12½-2;2];x22½-1：5;1：5]：它可以很容易地解决我们提出的方法。对于该问题，理想目标向量为（0.163556，0.018304），Pareto最优解为x*=（0.5，1.5）t，Fq-俄9： 65; 0： 15 icosmoppx1¼½Fx;Fx]¼hFx;Fxi其中，F L = 1 × 1/4。x- 1：35 x 14：9 x- 0：4j x13min=[0.071005，0.092551]。p211 1形式4：当F（U，x）是几个函数的和，F Rx。X- 1： 2x 104：9x100：4jx103q3x21：1xþ12以这种形式FU;x1U11f 11x···U1nf1nF2U21f21x···U2 nf2 n x ··· FmUm1fm1x Umnf mnx¼ F hf C x;f Wx iF hf C x;f Wx i···-e9： 65cosmoppx1-0： 15jcosmoppx1j解决方案如下：理想目标向量为（7346.51，28.933），帕 累 托 最 优 解 为x*= （ 0.318517 ， 18.1628 ） t ，Fmin=[7142.780957，7515.295956]。1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.fLMMM形式5：当F（U，x）是两个区间值函数之比时。在这种形式下，K1F fRk11x; F fLk1我的天啊FU;xU11f11xU12f12x···U1nf1n x- 是的 R.L11KKU21f21xU22f22x···U2mf2mx12211300S. Karmakar，A.K. 布尼亚LRLRLR212122222m2mð Þð Þ小时ð Þ拉吉吉hfCx;fWxi半fx;fx]222Σ2Σ1111Fmfmx. UC;UWfx。UC;UWfx··。UC;UWxFL··························11111212121 N1 N1 NΣ Σ Σ ΣUC;UW f21xUC;UW f22x···UC;UWf2mmx mFk1x;Fk1x·· ·Fmx;Fmx. fCx;fWxfLx;fRxFLx;FRxFC x;FW x¼ ¼¼基于多目标规划的301CWLRCWLR2 [2018 - 08-22]2CW2¼¼121[2018 - 08-22]111N111FU;x