懒惰强大的规范化：非典型的减拆策略的逻辑描述

Electronic Notes in Theoretical Computer Science 136（2005）103—116理论计算机科学136www.elsevier.com/locate/entcsLazy Strong 强大 的规范 化卢卡 Paolini 1，2计算机 系 Department of Computer一个i维尔it`ADiTorin no）ITAlIA）伊莲 · 皮 门 特尔 Elaine Pimentel 1，2DEPArtaMentoDEMA你MA´tiCA大学Universidade联邦DE Minas 的Gerais（ 巴西 ）计算机 系 Department of Computer一个i维尔it`ADiTorin no）ITAlIA）意大利 Simona Ronchi Della Rocca 1，2计算机 系 Department of Computer一个i维尔it`ADiTorin no）ITAlIA）abstract《非典型的减排策略》（Among all the reduction strategies for the untyped）——《卡尔库尔》（calculus，so called）lazyβ—Evaluationis of particular interest due to its large applicabilityto functional programming languages （ 基本 功能 编程 语言 ， 即 Haskell ）3]）. This strategyreduces only redexes not inside a Lambda 这 一 策略 减少 了 只有 重复 了 没有 坚持 一 个 lambda抽象 的lazy strangly β正常化terms是λ没有想到的lazy β—减少序列。thisPaper 纸介绍A逻辑Characterization 魅力of lazy混蛋β - 正常 化terms using 使用Intersec - - 动作类型 | this Characterization ，贝西成为感 兴趣by itself ，ALLOWS年感 兴趣connec - tionbetween call-by - name and call-by - value λ - calculus （ 取 名字 和 叫 价值 ）在事实上，它turns out that the class of lazy strangly β—normalizing terms concordes with thatof call by—value potentially valuable terms.事实上，它turns out that class of lazy strangly β—正常化terms concordes with that of call—by—value potentially valuable terms. This last class is ofparticular interest since it is a key notion for characterizing solvability 在 这 最 后 一 个 类别 是粒子 相关 的 ， 它 是 一 个 关键 的 注意 事项call-by - value 设置 。Keywords ：托尼 - 卡尔 库尔lazy Evaluation ，lazy Strong标准 化1 Email ：paolini@di.unito.it，pimentel@di.unito.it，ronchi@di.unito.it2 Paper partically supported by IST—2001—33477 DART Project，MIUR—Co毕竟02PROTO—COLO项目。Pimentel is also supported By （ 英语 ： Pimentel is also supportedby ）CNPQ .1571 - 0661 © 2005 爱思 唯 尔 B . V.开放 存取 Under Access CC BY-NC - ND许可 证 。doi：10.1016/j.entcs.2005.06.013104l. Paolini et Al 。 /Electronic Notes in理论计算机science 科学136（ 2005 ）103-1161Introduction介绍评估 已 召唤lazy if the body of a function is evaluated only when 如果 一 个功能 体 只有 在 被 评估 的 情况 下 才会 发生银 之 欲 ， 是 可 忍 的 。在The λ计算 值 设定 ， 这 是 kind of evaluation建模 通过 一 个 减少 战略 ，这 不会 减少β一 个 人 在 他 的 统治 下 的 十 个 阶段 。λ抽象 的 （ Lazyevaluation has introduced by Plotkin ）6（ 重 定向 自 Order to Capture Into ）λ第 一 个 在 " Cumerence Between " 的 论坛 里 发言The Noon of evaluation评价And that ONE of代码优化 。 3《 坚强 的 通知 》 The Notion of Strong β正常 化 可以 延伸 到 一 个自然 的 方式 懒惰 的 房子 （ see ）8]）.英文名：A Lazy β—Redex是a β不需要在一个范围内使用。λ第一个在"abstraction，and a time is in lazy"的论坛里发言β if and only if it has no occurrences of lazy（如果没有疯狂，就只存在）β—Redexes。So a term is lazy strogly （ 有时 候 是 个混蛋 ）β正常 化 如果 只有 它 已经 疯 了β标签 ： normal form and thereare not in fired lazy β- Reduction sequences starting from 减少 序列 开始it 。在 这 篇 文章 中 ， 我们 将 进行 一 次 完整 的 razy strugly 分类 的characterization β正常 化 逻辑 方式 中 的 条款 ， 使用 一 个 可 连接 的类型 指定系统 。这 种 特 性 ， besides 通 过 itself interesting ， allows an inter—estingconnection between call—by—name和call—by—value λ卡尔古让 我们 记住 古典 主义λ Calculus is a model for the call-by - name eval - uation ，while the call-by - value evaluation can be modeled by a variant of of . 计算是 名称 为 eval - uation 的 一 种 模型 ， 而 调用 值 的 传递 可以 被 一 个变量 模拟 。λ在 Calculus ， The λ β v） （ 你 ） （ 要 ） （ 进 ）（ 里 ） （ 。6]. The λ β v天蝎座——应该被遗忘λ Calculus By限制βRule to the case where the argument is a value哪里有价值，哪里就有价值it is either a variable or a 是 λ 抽 象 的《 The Fact That All 》The λabstractions are values，independently from their bodies，inaccines that thenatural evaluation for such a calculus is a lazy one.抽象的价值，独立于他们的身体，暗示着自然的评估，为了成功，一个海湾是一个疯狂的人。Some syntacical properties of the （ 美国 ）λ β v（ Coculus have beenstudied in ）5（ Where the notion of solvability has been adapted to thiscalculus，andthesetofsolvabletermshasbeencompletelycharacterized ， in a logical . ） （ 在 逻辑 上 ， 可 解决 的 条款 已经 完全 具备 了 特性 。路 。在particular中，在命令give such一个characterization中，一个中间类的terms已经引入：可能有价值的terms。关于 term M is potentiallyvaluable if and only if there is a substitution . （ 如果 有的 话 ， 只有 假设l. Paolini et Al 。 /Electronic Notes in理论计算机science 科学136（ 2005 ）103-116105是 一 种 替代 品 ）S Replacing Free Variables 的 一 部分by关闭价值观 ，寿司that S）M）减少TO A Value 的 。 The Importance of a classbecomes clearer when we note that ， in the . （ 当 我们 注意 到 那 件 事的 时候 ， 一 个 班级 变得 更 清楚 ）λ β v天蝎座 - - 《 限制 》（ Calculus ： The Restriction to the ）β在 任何 时候 都 要 服从 规则（ rule imposes that every term （ or subterm ） ） 。manipulated ， 必须被 转换 成 一 个 值 .在 一 个 逻辑 上 可能 有 价值 的 术语 已经 完全 充电 （ 英文 ） 。5这 是 一 个 证明 了 那 叫 价值 的 术语 ， 可以 证明 是一 个 证明 的 形式 。Subclass of 其它3this必须Not BE confused 困惑同The Noon of lazy evaluation 评价used in功能 性program-corresponding to a 项目call-by - need 的evaluation 评价战略 |106l. Paolini et Al 。 /Electronic Notes in理论计算机science 科学136（ 2005 ）103-116ββl第一个在"The Class of the Potentially Valuable Terms"的论坛里发言It turns out that the class of potentially valuable terms concordes with theclass of strongly（它偏离了那些可能有价值的条款与那些丑陋的类别相吻合）β正常化的terms。我们认为，这种关系是一个有趣的桥梁between名称调用和价值评估调用。Besides ， the type assign used in the presentwork for the character . 贝西 兹 的 角色 呈现β 10 . 强 规范 化 ： 如果 有一 个 suitable subtyping relation ， 则 与 其中 一 个 一致 。4 whichinduces a server model for the call-by - value （ 价值 调用 的 模型 ）λ卡尔古这 是 一 个 further semantic witness of the关系betweencall by name 名字And呼叫 价值 Call-by - Value Evaluation .2Language语言定义2.1让我们成为一个可对抗的变量集。第 一 集 Tony Of λ/terms is defigned by the following/grammar ：M： = X|MM|λ x . MAs usual，terms will be considered模块（英文）α转换，即names of boundvariables模块。α转换将被拒绝。我们 将 使用 同步 conventionsas in [2].λ-terms will will BE Ranged 支持over by拉丁 文资本信 者 。The evaluation of a term is said 时间 的 评估lazy if no reduction is madeunder 的 意思scope of a 范围λ抽象 的 It is possible to dive directly the lazyreduction.（这可能直接导致懒惰的减少。《 As Shown in the Next 》的 定义 。定义2.2（ 一 ） The β = = = λ x . M）n→M [N/X].ii) The β— 降 低 is the contextual closure of 的 相 关 文 章 β rule 的我 们willDenote 的由 →βThe β的 减小 ， 由→ ∗ its re fluexive and transitive closure （ 影响 和 过渡 的 闭包 ）And由 = βits symmetric ， re fluexive and transitive （ 影响 力 与 转化 ）closure 。iii) Thelazy β - 降低is The应用 程序闭包of The β rule 的 We will willDenote 对于β LThe Lazy β的 减小 ， 由→∗他 的 影响 力 和transitive通过关闭 ，And by = β lITS symmetric ，关于 Fluxive And transitive 通过closure 。iv) The Ezy-Reduction 减少is de 定义 为 后续 的 contextual closure rule ：λ x . MX → ηMl. Paolini et Al 。 /Electronic Notes in理论计算机science 科学136（ 2005 ）103-116107η而 →∗is it re fluexive and transitive closure . （ 它 仍然 具有 影响 力 和 过渡 性 的 闭包 。Notice that the definition of Lazy为何为何Lazy如此终结β—reduction atpoint iii），is not stand—ard.（不能站起来。在 事实 上 ， 减少 是 通过关闭 仅 在 应用 程序 下 的 减少 规则 来 定义 的 ，while 的in The标准case The闭包is Under 下面抽象 化Too 。108l. Paolini et Al 。 /Electronic Notes in理论计算机science 科学136（ 2005 ）103-116βlβlβl《 The Notion of Normal Form Can Be Adapted for the Lazy 》 （ 《 愚人的 标准 形式 》 ）β跟踪 减少 （ Reduction in the following ）路 。论 定义2.3（ 三 ） 长期M is in lazy β - normal form 正常 形式ifand only if it has no occurrences of 如果 没有 任何 需要β下 一篇 ：Redexes ， but under the scope of a λ抽象 的（ 三 ） 长期M has lazy β - normal form 正常 形式if and only if there is aterm 如果 只有 一 个 期限n in lazyβ正常 的 形式 such that M→ ∗n.Clearly β正常 形状 Are lazy β- 正常 形式 。Notethat The lazy β- normal形式of A term ，如果there exists ，May 的Not BE唯一。 ） ， 则 （λ xy . x）（II）→ ∗λ y . II和 （λ xy . x）（II）→ ∗λ y . i何处bothλ Y . II And λ y . i饰 Lazy β- normal形式 。Now we can de infine the key notion 现在 我们 可以 去 定义 the keynotion β l- strong标准 化 。定义 2.4关于 term M is β L-Strigly 正常 化If and only if it has lazy 如果它 已经 消失 了β标签 ： Normal form ， and moreover there is not an infinnite sequence of lazy β- Reductions Starting From 的it 。3# 类型 的 交叉 符号System论 定义3.1i ）让C BE A会议Set of类型 constants（ Ranging ）overα，β，？containing at least the type constant （ 保持 类型 ）ν.The Set系列T）C）of类型分类：Ranging Over σ，τ，π，ρ，σ，τ，π，ρis inductively de defined asFollows ：σ∈ C本科σ ∈ T）C）σ ，τ∈T）C）本科）σ → τ）∈ T）C）爸爸 ， τ∈ T）C） 本科）σ但 Giu τ）∈ T）C）.类型 将 被 认为 是 模块 associativity ， communicativity 和设计 师的 力量/Power of the Constructor但 Giu（ 注 ： e.e. ，模块 anequivalencewhich 是10 . The contextual ， re fluexive and transitiveclosure of the following （ 后续 行动 的 影响 和 过渡 性 闭包 ）rules ：σ但Giuττ但Giuσ，σσ但Giuσ和（σ但Giuτ）但Giuπσ但Giu）τ但Giuπ））.We use the convention that the constructor （ 我们 使用 公约 ， 建筑 师 ）但 Giu Previous 结束← 。l. Paolini et Al 。 /Electronic Notes in理论计算机science 科学136（ 2005 ）103-116109ii) A basis a partial function from from from a basis is a partial functionfrom from a basis是一个基本的功能T）C）having a definition domainof definition.（有定义的域名。如果B is a basis then 。B [σ/x（ 重定向 自 Denotes the basis such ）that⎧⎪⎨σ如果y粤x ，B[σ/X]（y）=⎪粤B）y）othErWiSE.110l. Paolini et Al 。 /Electronic Notes in理论计算机science 科学136（ 2005 ）103-116⎪J进一步 ，The基础B寿司that DOM）B）={X1，...， X n n} And B）X i）=σ i for 1 ≤i≤n n（ will be denoted ）σ1/x1， ， σ n n/x n n].iii) The类型签名System ►νis A形式System测试typing 类型Judg - Ments OfThe 的 评论Shape ：B►νM：σ何处M这 是 暂时 的 ，σ∈T）C） 和B is a基础 。类型 签名 系统 The Type Assignment Systemν以下 规则 的 一致 性 ：B[σ/x） 否νX：妈妈 B [σ/x）否νM：τ）var）B►νλ x . M：ν B►νM：σ → τB►νn：σ）ν）B►νλ x . M：σ→τ（→I）B►νMN：τ（→E）B►νM：σB►νM：你 B►νM：σ但Giu τB►νM：σ但Giu τB►νM：σ（朱云I）（朱云El）B►νM：σ但Giu你B►νM：τ（ 朱 云Er）如果B ， BJ关于 BASES THEN B于 丹BJis the basis de follows ：⎧⎪B）y）但 Giu BJ）y）如果 both B）y） 和BJ）y（ Are ）实践 出 真知 。⎪⎪⎨B）y）如果B）y（ 未 完 待续 ）B）y） is未 定义 的 ，）B于 丹BJ）（y）=⎪BJ）y）如果BJ）y（ 未 完 待续 ）B）y） is未 定义 的 ，⎪⎪粤未 定义其他 的 。The类型签名System ►νenjoys some感 兴趣财产 。Lemma 3.2（ generation ）i) 如果 B►νM：你们 B于 丹BJ►νM：σ ， for any basis ， 任何 基础BJ.ii) 如果B ►νMN：σ then there are类型ρ iAnd τ i同1 ≤ i ≤ n ，寿司thatσρ1但 Giu... 但 Giuρ n n， B►νM：τ i→ρ i and b►νn：τ i.⎪l. Paolini et Al 。 /Electronic Notes in理论计算机science 科学136（ 2005 ）103-116111iii) B►νλ x . M：σ→if and only if B 如果 B [σ/x） 否νM：你 。证明i) 易 ，by induction on The衍生 品D测试B ►νM：σ.ii) 易 ，B induction on The衍生 品D测试B ►νMN：σ.112l. Paolini et Al 。 /Electronic Notes in理论计算机science 科学136（ 2005 ）103-116νiii) rule （ 规则 ）I）.（ 注 ： 很 容易 证明 这 一 点 ）B►νλ x . M：σ→τ但 Giuπ1但 Giu...但 Giuπ n n）n n∈（ 三 ） 牵连B [σ/x） 否νM：τ由 Induction on衍生品 。Q类型 系统 *ν画 名 ： 结构 体 的 弯曲 与 限制 的 形体 The Subject-Reduction property and a restricted form of subject-expansion 的 。房 地产 3.3（ subject-reduction ）如果B ►νM：σ And M →βn then B ►νn：爸爸 。证明标准 |Q属性 3.4 （ 类型（ Subject-Expansion ）让c [. ]这是一个上下文。 Then B►νC [P [Q/X] ：σ & bJ►νQ：τ IMPLYB于 丹BJ►νC [（λ x . p）Q] ：爸爸 。证明The proof is by induction on的意思C [. ]. 让D Be a Derivation Proving相关B►νC [P [Q/X]：σ. We may，without loss of generality，that，我们可能会承担，没有普遍性的损失，那B is unded on未定义X And that all typings in这一切D Have the same基础B. Indeed ， （ ）I）is the only rule having a basis ， in the premises ， from the basis in theconclusion . 但 我们 可以 假设 ， 自由 和 限制 变量 具有 足够 的 名称 。M.在case C [. ）=（. [ 电影 介绍 ] 两 个 人 的 缘分 （ There Are Two Casesto ）分析 。a) 假设 either 是X/∈ sin sin （P（ Hence ）P [Q/X]粤P） 或Q关键 词 ：Occurs in sub - terms of P which are subjects of an application of the rule 什么 是 规则 的 一 个 应用）ν）.在 both cases ，B►νP：σ; Therefore B [τ/x） 否νP：σ关于 Lemma 3.2（ 一 ） 。then B►νλ x . p：τ→σ在 rule （→I英文 片名 And ， byLemma 3.2 （ 一 ） both B于 丹BJ►νλ x . p：τ → σ And B 于 丹BJ►νQ：τ. hence ，by规则（ →E），B于 丹BJ►）λ x . p）Q：爸爸 。b) 假设that Q Occurs中P [Q/X（There is a sub—derivation of）D Hav—ing Qas subject of the typing of its conclusion.作为其结论的主题。衍生 物 TheDerivation D可以 被 转换 成 一 个 衍生 品DJ测试B [τ/x） 否νP：σ表演者 ： Performing the Following operation .- 地点 ReplaceEach typing 类型B ►νQ：τ Occurring in The衍生 品D by ：B[τ/x） 否νX：τ）var）.- 使用 Replace each typing B►νPJ [Q/X] ：微米Occurring in the Derivation衍生 品D By The Typing 类型B [τ/x） 否νPJ：微米.l. Paolini et Al 。 /Electronic Notes in理论计算机science 科学136（ 2005 ）103-116113ITis容易TO see by induction on D that DJis威尔de Finned 的 thus The证明程序 在 家里）A）.114l. Paolini et Al 。 /Electronic Notes in理论计算机science 科学136（ 2005 ）103-116η►ηJFor the general case，where一般情况下，任何地方C [. ]=λ x. CJ [. （或C[. ]=C1 [. ] C2 [. 下 一篇 ： The result follows easilyby的 induction 。Q说明 that typing 类型in the type assignment system 类型 指示 系统νisnot preserved 的 意 思 η 如 果 集 合 Expansion if the set C has any typeconstants other than 其他 类型ν. Besides ， ►νis not preserved 的 意思η-缩减 。in事实 ，可 萨►ν托尼 · y · xy：νwhile 的X：ν is not provable from the empty 从 empty Context .Moreover ，The η- 减少is Not Valid 的Ev in The case that we consideronly terms having a functional type ， as shown in the next 只有 在 期限内 有 一 个 功能 类型 ， 在 下 一 个样品 |Example 3.5让π=）σ→τ0）但 Giu）σ→τ1） 和B=[π/x ， σ/y]. 其中 ，[π/x） 否ν托尼 · y · xy：σ→τ0但 Giuτ1since ：B►νX：π）var）（朱云El））var）B►νX：π）var）（ 朱云Er））var）B►νX：σ→ τ0B►νXY：τ0B►νy：σ（→E）B►νX：σ→ τ1B►νXY：τ1B►νy：σ（朱云I）（→E）B►νXY：τ0但 Giuτ1[π/x] ►ν托尼 · y · xy：σ →τ0但 Giu τ1（→ I）But it is easy to check that isn ’ t a basilation proving （ 但 这 很 容易 检查 到没有 证据 证明 ）π/x） 否νX：σ →τ0但 Giuτ1.标准证明了强标准化的能力通常情况下，将内容放在考虑系统引起的事实上，这是一种限制形式η英文名称：Reduction，Namely That η在箭头类型的房子减少持有。A similar situation can be found in ， for example . （ 拉丁 语 ， 共 10个） 7 （That solved the problem by adding to the type system anexplicit . ）η rule 的We use a technical approach to this problem not that ，although （ 我们 用 技术 方法 来 解决 这个 问题 ， 但 这 并 不 重要 ）Typings未 保存 为η减少 、Typability 相关is保存 的 。柠檬 3.6让 B►νM：σ 和 x/∈FV）M）.如果M→ ∗—→P[Q/X] Q And BνQ：ρ then is a term m m m ;Jsuch 那个MJ→ ∗）λ x .p）—→QQ 和B于 丹BJ►νl. Paolini et Al 。 /Electronic Notes in理论计算机science 科学136（ 2005 ）103-116115MJ：爸爸 。证明证明是通过感应对号码的M of η sub—order induction on the derivation减少组件D测试B►νM：σ.如果M= 0 then the result follows from property . （ 财产 的 结果 ）3.4.让M≥ 1. Three cases to 其他分析 。116l. Paolini et Al 。 /Electronic Notes in理论计算机science 科学136（ 2005 ）103-116‡Jηa) M粤PJ[QJ/x-→JWithPJ→∗P，QJ→∗QAnd-→J→∗-→] Qηfollows from property 所有 权3.4.ηQη Q. Then theresult 结果b) M粤）λ u M‡u）-→JwherE-→JiSAS厄瓜多尔EoFn n>0tErMSAn nD‡-→J→∗QQMQη—→P[Q/X] Q.then ，M→‡-→J→∗P[Q/X-→β lMQη] Qhence B ►—→νMQ：σ由 Property 3.3. 英文 片名 The Proof Follows By的induction 。c) M粤λ X. M‡XWi t hλ X. M‡X→M‡→∗P[Q/X-→.1111ηη] QThen the last rule applied in最后规则应用于D只能是：（→I（）（）（）I（）（）（）E l（）（）（）E r）或（ν）. The only not trivial case isthe first one.唯一的非Trivial家是第一个。我 猜σπ→微米And D Ends 结束同B [π/X1] ►νM‡X1：微米B►νλ X1. M‡X1：π→微米（→ I）cles A rlyMX→∗P[Q/X-→，thus by煽动 性催眠 状态on D there exists1η] Q X1Aterm M JJ寿司that M JJ→ ∗）λ x .p）—→QQX1And B [π/x1]于 丹BJ►νMJJ：微米.Without loss of generality ， we may 假设 没有 普遍 性 的 损失 ， 我们 可能 承担 这 一 点BJ）X1） 是 未 定义 的 ; SOB [π/x1]于 丹BJ=）B于 丹BJ）[π/x1] And）B于 丹BJ）[π/x1） 否νM JJ：微米.therefore B于 丹BJ►νλ X1. mJJ：π→微米在 rule （→I）. 证明 The ProofIs唐 ，SinceJJ∗—→λ X 1. m→η ）λ x . p）QQ .Q顾问The类型签名System关注From ►νby erasing 注意The俄罗斯 （ν（ It 's well known that it characterizes ）β Strongly normalizing terms 正常化 术语（ 见 [7]）. We will prove that whole system 我们 将 证明 整个 系统νCharacterizes The 的β l大力 规范 化terms 。Theorem 3.7 介绍There are B ， σ such that B 那里 是 B►νM：σ if 且 only ifm isβ l-strangly正常 化 。证明The proof is given in subsections 证明 是 在 Subsections 发生 的3.1 And 3.2.Ql. Paolini et Al 。 /Electronic Notes in理论计算机science 科学136（ 2005 ）103-116117η3.1typability 在► νβ - l - strong标准 化让S）B ， σ ， M（ be the following predicate ） ：M is β l正常 化 且 存在于 某 个 类 中λ- Term MJsuch 那个MJ→ ∗M And B►νMJ：σ ".（ 三 ） 后续 资产Holds 。—→—→房 地产 3.8S）B 、σ →）And S）BJ，妈妈 ， N）IMPLYS）B于 丹J）.τ ，XM—→B . 你 ，XMN证明Trivial ， Since M And n are independent 独立 的Q118l. Paolini et Al 。 /Electronic Notes in理论计算机science 科学136（ 2005 ）103-116]QCηηThe预言 家S is used TO德 菲尼A可 计算 性先达论 定义3.9预言 家 The Predicate comp. is de defined by induction on types 类型as follows ：• comp.）B 、α ，M）如果And only如果S）B 、α ，M），为all α ∈ C;• comp.