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∞.n.nJournalof the Egyptian Mathematical Society(2016)24,361埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章超几何函数属于解析函数的某些子类的限制M.K.好吧,好吧。Mostafaa,H.M.扎耶德湾a埃及曼苏拉35516曼苏拉大学理学院数学系b埃及,Shebin Elkom 32511,梅诺菲亚大学,理学院,数学系接收日期:2015年7月4日;修订日期:2015年11月3日;接受日期:2015年12月21日2016年2月3日在线发布本文给出了(高斯)超几何函数属于解析函数的各种子类的充分条件。此外,我们研究了涉及这些子类的几个2010年数学学科分类: 30C45; 30A20; 34A40版权所有2016,埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。1. 介绍设A表示以下形式的函数类:它们在开放单位圆盘U={z:z∈C且|z| 1<}。Forg(z)∈A的form:g(z)= z +. (2)第一次见面。f( z)=z+∞ANZ,n=2(一)n=2两个幂级数f(z)和g(z)的Hadamard积(或卷积)由下式给出(见[1]):∗ 通讯作者。联系电话:+20 1090388351。电子邮件地址:mkaouf127@yahoo.com(M.K. Aouf)、adelaeg254@yahoo.com(A.O. Mostafa),hanaa_zayed42@yahoo.com(H.M. Zayed)。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办:Elsevier∞( fg ) ( z ) =z+an gn z = ( g<$f ) ( z ) .(三)n=2我们回顾了将在本文中使用的一些定义定义1.1. 对于两个在U中解析的函数f(z)和g(z),如果存在一个解析的Schwarz函数w(z),我们称函数f(z)在U中从属于g(z),并记f(z)<$g(z)在U中,w(0)= 0,|w(z)|<1使得f(z)= g(w(z))S1110-256X(16)00012-2 Copyright 2016,Egyptian Mathematical Society.制作和主办:Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。关键词星形;凸形;k-Starlike;k-一致凸;超几何函数;Hohlov算子http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.12.001362M.K. Aouf等人∈vastava[10]);− = ∈A..2..−+ −∞∈U;/= − −π≤ ∈A- −1+BzRe.1+zfr(z)<$≥k。z frr(z).(k≥0;z∈U).(七)=.−≤≤||Σ2 1f(z)。 f(z)。⎧⎪⎨⎩(z U)。此外,如果函数g(z)在U中是单叶的,然后我们有以下等价(见[2]):f(z)<$g(z)惠f(0)= g(0)和f(U)<$g(U)。定义1.2. 函数f(z)∈ A称为级 星形函数α(记为S(α)),如果f(z)满足以下条件:. zf r(z)(i)Rλ(−1,1,α)=Rλ(α)( 0≤α 1)(参见卡纳斯和斯里-(ii)Rλ( A, B,0)Rλ( A, B) 1A B<1,λπ2(see Shukla和Dashrath[11]);(iii) R0(β,β,0)D(β)满足条件的函数类f( z). f r(z)− 1。 <β(0 <β ≤ 1; z ∈ U),Ref( z)> α(0 ≤α<1;z∈ U).(四). fr(z)+1。此外,函数f( z)∈A称为α阶凸函数(记为K(α)),如果f(z)满足以下条件:由Padmanabhan介绍和研究[12],后来Caplinger和Causey[13];(iv) R0(−β,β,α)=R(α,β)函数类f( z)∈Re.1个以上zfrr(z)fr(z)> α(0 ≤α<1;z∈ U).(五)A满足条件...fr(z)− 1SK. <β(0 ≤ α<1; 0 <β ≤ 1; z ∈ U),MacGregor[3]研究了类[1](α)和(α),[4],[5],[6],[7],[9],[10],[11],[12],[13],[14],[15],[16],[17],[18],[19]。从(4)和(5)我们可以看到的f(z)∈ K(α)<$$> zfr(z)∈ S <$(α).(六)fr(z)+1− 2α由Junenja和Mogra研究[14]。我们还注意到:Rλ(−β,β,α)=Rλ(α,β)=我们用S=S(0)和K=K(0)表示,其中S和K是.f(z)∈A:.fr(z)−1. <β(|λ|星形和凸函数类,分别(见Robertson[6])。定义1.3. 一个函数f( z)∈A称为k-一致凸函数(记为k-UCV),如果fr(z) 1 2( 1α)e−iλcosλ< π;0 ≤α<1; 0 <β ≤ 1;z∈U)(高斯)超几何函数2F1(a,b;c;z)定义为:fr( z). fr(z).2F1(a,b; c; z)=.(a)n(b)n z n(zc 0,1,2,. . .),(c)n(1)n又称函数f( z)∈A是k-星形函数(de-记为k-ST),如果Re. z fr(z)<$≥k. z fr(z)−1。 (k≥0;z∈U).(八)哪里(γ)n=n=0例如果n=0,则为1,γ(γ+1)(γ+ 2)k-一致凸函数类和k-星形函数类是由Kanas和Wisniowska(见[7,8])引入定义1.4 [9,p= 1]。对于−1≤A 0是收敛的,并且与伽玛函数相关:F(a,b; c; 1)=<$(c)<$(c-a-b)。(十一)(c-a)e iλf r ( z ) <$cos λ<$( 1 − α ) 1 + Az+ α<$+ isin λ 。(九)利用从属原理,f(z)∈R λ(A,B,α)当且仅当存在函数w(z)满足w(0)= 0,|w(z)|<1(z ∈ U),使得Σ超几何函数属于解析函数的某些子类的限制363..使用(高斯)超几何函数,考虑函数g( a, b;c;z)=z2F1(a, b;c;z)( z∈U),(12)我r1+Aw( z)hμ( a, b;c;z)=(1−μ) [g( a, b;c;z)]eλ f( z)=cosλ或者,等价地,(1−α)1+Bw( z)+α+isinλ,和+μz[g( a, b;c;z)]r(z∈U;μ≥ 0),(13)1λ= 0(.fr(z)−1). < 1(z∈U)。( 十)Jμ,δ( a, b;c;z)=(1−μ+δ) [g( a, b;c;z)]+(μ−δ)z[g( a, b;c;z)]r+μδz2 [g(a,b; c; z)] rr(z ∈ U; μ,δ ≥ 0; μ ≥ δ).(十四)Beiλfr(z)−[Beiλ+(A−B)(1−α) cosλ]对于A、B和α的适当选择,我们得到以下子类:函数hμ(a,b;c;z)和Jμ,δ(a,b;c;z)的映射性质分别由Shukla和Shukla[15]以及Tang和Deng[16,p=1]研究。364M.K. Aouf等人-UCV∈A| | + | |+∈联系我们.fr( z).(a)(b)n1n1n;;=+∈∞A→A∞2=(c − |||a)(c-b)|a )Г(c−b)Σ=∈AK+21n−1(n−1)!. (c)n−1(1)n−1。1(c)nn=2(一)−1n−1nK+2∞对于属于k-一致凸函数类的函数f( z),记为k,以下成立(见[7]):|≤(P 1)n −1(n ≥ 2),(15)| ≤ (P1 )n−1(n ≥ 2),(15)定理2.1. 设a,b,C,c是实数,使得c> a,B1 .一、则g(a,b;c;z)属于类Rλ(A,B,α)的充分条件是(c)|一|− |B|)1 +|AB|Σnn!(c −|一|)(c − |B|)(c −|一|− |B|− 1)其中P1=P1(k)是函数中z∞1(B − A)(1 − α)cos λ。(二十三)(1+)|B|)pk( z)=1+Pn( k) zn,(16)n=1它是类P(p k)与类k-UCV通过表达式1 +zfrr(z)(z∈ U)的范围相关的极值函数。类似地,如果f( z)∈A属于由k-ST表示的k-星形函数类,则(参见[8]):(P)证据 以来∞g( a, b c z)z− − z( zU),n=2(c)n−1(1)n−1根据引理2.1,我们只需要证明.n(1+)|B|)的。 (a)n-1(b)n-1。 ≤(B−A)(1−α)cosλ。(二十四)n=2使用 高斯超 几何 函数 2F1 ( a , b;c;z) ,Hohlov ( 见[17])通过卷积定义了线性算子Ia,b, c:[Ia,b,c(f)](z)= z2F1(a,b; c; z)<$f(z)(f ∈ A).(十八)2. 主要结果以来|(|D|)n,(25)|)n,(25)则(24)的左侧小于或等于.n(1+)|B|)的情况下(|一|)n−1(|B|)n−1= T1。除非另有说明,我们假设在整个页面中-其中C\{0} =C,−1≤A a,B二、则hμ(a,b;c;z)属于类Rλ(A,B,α)的充分条件是(c)|一| − |B|)112|AB|(|一|)2(|B|)2(c −|一|− |B|− 2)2引理2.4 [8]. 设f(z).如果对于某个k,下面的不等式∞[n + k(n − 1)] |a n|≤ 1,(22)n=2若f ∈ k-ST成立,则f ∈k-ST。1(B − A)(1 − α)cos λ。(二十六)(1+)|B|)证据 显然h μ(a,b; c; z)具有级数表示h(a,b; c; z)= z +. [1 + μ(n − 1)](a)n−1(b)n−1z n(z ∈ U),n=2−1n−1366M.K. Aouf等人∞(a)(b)∞∞+−∞∞∞+ − +∞∞(n(1+)|B|)[1 + μ(n− 1)])n−1()n −1=T2。(|一|)n−1(|B|)n−1+10 - 11 - 12- 1|一|)n−1(|B|)n−1(c)n−1(1)n−1(c)n−1(1)n−2×n−1n−1+μδn−1n−1根据引理2.1,这足以表明,..(n−1n−1.n=2(c)n−1(1)n−1根据引理2.1,我们只需要证明:T=.n(1+)|B|)的。<$1+(n−1)(μ−δ+nμδ)<$(a)n−1(b)n−1。3n=2−−n(1+)|B|)的。[1+μ(n−1)]。.(c)n1(1)n1。≤(B − A)(1 − α)cos λ。(二十七)使用(25),(27)的左手边,小于或等于≤(B − A)(1 − α)cos λ。(二十九)使用(25),我们有∞.|B||b|T3≤.n(1+)|B|)[1+(n − 1)(μ − δ)n=2n=2(c)n−1(1)n−1[1][2][3](|一|)n−1(|B|)n−1(c)n−1(1)n−1现在=(1+)|B|)。n=0(|一|)n−1(|B|)n−1+。∞n(n−1)(μ−δ)- 是的∞(|一|)(|B|)n=2(c)第(1)款n−1 (一)n−1n=2T2=(1 +|B|)∞[1+μ(n−1)]n=2n−1n−1.∞Σ.(|一|)的情况下(|B|)n=2(c)第(1)款n−1 (一)n−1n=2(c)第(1)款n−1 (一)n−1+[1+μ(n−1)]n−1n−1- 是的∞- 是的∞ (|一|)的情况下(|B|)n=2(c)第(1)款n−1 (一)n−1=(1+)|B|)n−1n−1. (一)|一|)的情况下(|B|)n=2.(c)n−1(1)n−1(|一|)的情况下(|B|).(一)|一|)的情况下(|B|)×n=2(c)第(1)款n−1n−1(一)n−1(μ δ5μδ)n−2(c)n−1(1)n−2=(1+)|B|)(|一|)n−1(|B|)n−1+(1 + 2 μ − 2δ +4 μδ)(c)第(1)款(一)(c)第(1)款(一)超几何函数属于解析函数的某些子类的限制367| | + | |+∈n=2(c)n−1(1)n−3=(1+)|B|)(c −|一|)(c− |B|)1+( 1+2μ)+μδ(|一|)3(|B|)3 <$(c +3)<$(c −|一|− |B|− 3)− 1+(1+2μ)n−1n−1+μn−1n−1.(一)|一|)的情况下(|B|). (一)|一|)的情况下(|B|)ΣГ(c)Г(c −|一|−|B|)n=3n−1n−3n=4n−1n−4=(1+)|B|)(c −|一|)(c −|B|)ΣГ(c)Г(c −|一|− |B|)+(1 + 2 μ)|AB|(c +1)|一|− |B|−1)n=3368M.K. Aouf等人=(1+)|B|)(c −|一|)(c −|B|)超几何函数属于解析函数的某些子类的限制369++ −+.ΣΣ×∈联系我们c(c −|一|)(c −|B|)370M.K. Aouf等人+(1 + 2 μ − 2 δ +4μδ)|AB|(c +1)|一|− |B|− 1)+(|一|)2(|B|)2 <$(c +2)<$(c −|一|−|B|− 2)−1超几何函数属于解析函数的某些子类的限制371c(c −|一|)(c − |B|)372M.K. Aouf等人μ(c)(c −|一|)(c −|B|)超几何函数属于解析函数的某些子类的限制373(|一|)2(|B|)2 <$(c +2)<$(c −|一|− |B|−374M.K. Aouf等人2)超几何函数属于解析函数的某些子类的限制375Σ2(c)|一|−|B|)+(μ−δ+5μδ)376M.K. Aouf等人(c)2(c −|一|)(c − |B|)超几何函数属于解析函数的某些子类的限制377|AB|( 一)|一|)2(|B|)2个(c)3(c −|一|)(c − |B|)×(c−|一|−|B| − 1)+ μ(c −|一|−|B|− 2)-(1+)|B|),(c)|一|− |B|)2=(1 + |B|)(c −|一|)(c− |B|)378M.K. Aouf等人1+( 1+ 2μ− 2δ+ 4μδ)
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cpongm
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