ABC-Dataset：一个用于几何深度学习的大型CAD模型数据集

96010ABC：用于几何深度学习的大型CAD模型数据集0Sebastian Koch柏林工业大学0Albert MatveevSkoltech, IITP0Zhongshi Jiang纽约大学0jiangzs@nyu.edu Francis Williams 纽约大学0francis.williams@nyu.edu0Alexey ArtemovSkoltech0a.artemov@skoltech.ru0Evgeny BurnaevSkoltech0e.burnaev@skoltech.ru0Marc Alexa柏林工业大学0marc.alexa@tu-berlin.de0Denis Zorin纽约大学0dzorin@cs.nyu.edu0Daniele Panozzo纽约大学0panozzo@nyu.edu0摘要0我们介绍了ABC-Dataset，这是一个包含一百万个计算机辅助设计（CAD）模型的集合，用于研究几何深度学习方法和应用。每个模型都是一组明确参数化的曲线和曲面，为差分数量、补丁分割、几何特征检测和形状重建提供了地面真实标注。对曲面和曲线的参数化描述进行采样可以生成不同格式和分辨率的数据，为各种几何学习算法提供公平比较的能力。作为我们数据集的一个用例，我们进行了一个大规模的表面法线估计基准测试，比较了现有的数据驱动方法，并将它们的性能与地面真实标注和传统法线估计方法进行了评估。01. 引言0大数据集合和深度学习算法的结合正在改变计算机科学的许多领域。大数据集合是这一转变的重要组成部分。为许多类型的数据（图像、视频和音频）创建这些集合已经得到了采集设备的普及和这些类型数据在社交媒体上的大规模共享的推动。在所有这些情况下，数据表示都基于空间和时间的规则离散化，为深度学习算法提供了结构化和统一的输入。0三维几何模型的情况不同。尽管3D传感器的可用性不断增加，3D设计工具的改进，但获取或创建高质量的这种类型模型仍然困难。固有的不规则性是造成这种困难的原因之一。0图1：ABC-Dataset中的随机CAD模型：https://deep-geometry.github.io/abc-datasetABC1,000,000+✓✓✓––ShapeNet* [22]3,000,000+–––✓✓ShapeNetCore51,300–––✓✓ShapeNetSem12,000–––✓✓ModelNet [58]151,128–––✓✓Thingi10K [62]10,000––––✓PrincetonSB[9]6670––––✓NIST [4]≤ 30✓✓✓––96020表面数据的规律性以及创建高质量3D形状所需的显著技能水平，导致几何数据集的可用性有限。几何数据的不规则性反映在常用的几何格式中，这些格式与图像、视频和音频的格式在根本上有所不同。现有的数据集通常缺乏可靠的地面真实标注。我们在第2节进一步讨论当前可用的几何数据集。可以从几何深度学习中受益的常见形状分析和几何处理任务包括估计差分表面属性（第5.1节）、特征检测和形状重建。对于其中一些任务，生成地面真实标注很困难，因为手动标记特征是一项费时费力的任务，并且差分属性只能对采样表面进行近似。在这项工作中，我们做出以下贡献：0数据集。我们引入了一个用于几何深度学习的数据集，包含100万个独立（高质量）的几何模型，每个模型都由参数化曲面定义，并与分解成补丁、锐利特征标注和解析差分属性的准确地面真实信息相关联。我们通过Onshape[5]提供的公开接口收集这些模型。与图像的矢量图形类似，这种表示允许以任意分辨率对表面数据进行重新采样，带或不带连接信息（即转换为点云或网格）。0基准测试。我们通过构建一个表面法线估计的基准测试来展示数据集的使用。该基准测试针对两种方法：(1)在表面的小区域上局部计算法线，(2)同时在整个表面上全局计算法线。我们选择这个问题有两个原因：大多数现有的几何深度学习方法都在这个任务上进行了测试，并且可以很容易地获得我们数据集中形状的非常精确的地面真值。我们在7个现有的深度学习算法上运行基准测试，研究它们在数据集大小增加时的扩展性，并将它们与5个传统的几何处理算法进行比较，以建立未来算法的客观基准。结果在第5.1节中呈现。0处理流程。我们开发了一个开源的几何处理流程，用于处理CAD模型以直接输入深度学习算法。详细信息请参见第3节。随着Onshape公共模型集合中添加更多模型，我们将不断更新数据集和基准测试。我们的贡献为几何深度学习的发展增加了一个新的资源，针对的是人造机械形状的应用。它将允许研究人员在一个大型和真实的人造物体数据集上与现有技术进行比较。0数据集数量0CAD文件0曲线0补丁0语义0类别0表1：现有数据集及其能力概述。*:完整的ShapeNet数据集尚未公开，只有ShapeNetCore和ShapeNetSem的子集可用。02. 相关工作0我们回顾了用于几何数据驱动处理的现有数据集，然后回顾了在光滑曲面上估计微分特性的数据驱动和分析方法。03D深度学习数据集。社区中3D模型和数据集的可用性不断增加。分割和分类算法从其中最显著的数据集中受益匪浅。此外，还有用于大场景、网格配准和2D/3D对齐的其他数据集。本文提出的数据集具有包含曲面和曲线的解析表示的独特属性，非常适合对数据驱动方法进行定量评估。表1概述了最具可比性的数据集及其特性和功能。0点云网络。点云的神经网络特别受欢迎，因为它们对输入数据的假设最少。最早的例子之一是PointNet及其扩展PointNet++，它们确保网络输出对于点的排列是不变的。PCPNet是PointNet的一个变体，专门用于估计局部形状属性：它从点云中提取局部补丁，并在这些补丁的中心点处估计局部形状属性。PointCNN探索了从初始点云中学习变换的思想，它为输入点和相关特征提供权重，并将点的排列转换为潜在顺序。通过扩展和反向映射点云函数和体积函数，PointConvolutional Neural Networks by ExtensionOperators是一种根本不同的处理点云的方式。96030结构操作符。PointNet系列的方法并不试图明确使用局部邻域信息。Dynamic GraphCNNs使用一种称为EdgeConv的操作，通过在特征空间中基于接近性生成局部邻域图，并在该图的边上应用类卷积操作来利用点集的局部几何结构。类似地，FeaStNet为一般图提出了卷积操作符，它以数据驱动的方式将滤波器核应用于局部不规则邻域。0图和流形上的网络。图上的神经网络在[48]中被引入，并在[39,52]中得到扩展。一类广泛的具有谱滤波器的卷积神经网络在[20]中被引入，并在[30, 24,36]中得到进一步发展。图卷积神经网络被应用于非刚性形状分析[15, 60]。Surface Networks[37]进一步提出使用微分几何算子来扩展GNN以利用表面的特性。对于一些局部化的问题，空间滤波器比谱滤波器更合适。在[41]中提出了一种专门用于网格的CNN模型，该模型使用固有的补丁表示，并在[16,42]中进一步推广。与这些固有模型相比，欧几里得模型[59,57]需要学习表面嵌入的基本不变性，因此具有更高的样本复杂性。最近，[40]提出了一种基于平面扁平环的规范表示的表面CNN。关于几何深度学习方法的详细概述，请参阅[19]。0分析法线估计方法。最简单的方法是基于拟合切平面。对于一个点集，这些方法将点的法线估计为最小协方差的方向（即切平面是邻域内点的最小二乘拟合）。对于一个三角网格，可以使用与顶点相邻的三角形的法线来计算顶点法线，作为加权平均值。我们考虑均匀加权、面积加权和角度加权[34]。还可以将高阶曲面拟合到离散曲面数据上。这些方法首先估计一个切平面，然后在切平面上拟合一个插值点的多项式（称为奥斯丁喷流[21]）。然后可以从多项式曲面近似在该点处的切线重新计算出更准确的法线。三角网格和点集之间的差异仅在于收集邻域中的样本。此外，还可以使用鲁棒统计方法对邻域中的点进行加权[35]。对于加权三角形法线，我们使用libigl [33]的实现，用于计算协方差法线。0对于奥斯丁喷流，我们使用CGAL [45,10]中的函数。对于鲁棒估计，作者提供了源代码。还有许多其他估计曲面法线的技术（例如[43]），但我们在当前工作中仅关注其中的一部分。一个重要的推广是检测尖锐边缘和角点，其中一个点可以分配多个法线[44,17]。然而，由于我们只训练机器学习方法报告每个点的单个法线，我们将这些扩展的分析留给将来的工作。03. 数据集0我们确定了六个对于几何深度学习而言理想的数据集的关键特性：（1）大规模：由于深度网络需要大量的数据，我们希望有足够的模型来找到统计上显著的模式；（2）地面真实信号：这样，我们可以定量评估在不同任务上的学习性能；（3）参数化表示：这样，我们可以在所需分辨率上重新采样信号而不引入误差；（4）可扩展性：它应该很容易随着学习算法的进展而增加收集，以保持数据集的挑战性；（5）变化性：包含不同类别中各种形状的良好采样；（6）平衡性：每种类型的对象应该有足够数量的样本。由于现有的数据集由获取或合成的点云或网格组成，它们不满足属性2或3。因此，我们提出了一个新的CAD模型数据集，它是互补的：它满足属性1-4；它限制在特定类型的模型上（属性6），但在这个类别内具有相当大的变化。虽然限制在CAD模型上可能被视为一个缺点，但它在具有足够数量的相似样本和所代表形状的多样性之间取得了良好的平衡，此外还具有一些数量的高质量地面真实性。0获取。Onshape拥有大量的CAD模型在线收藏品，可供研究目的免费使用。通过在4个月的时间内收集它们，我们获得了超过100万个模型的收藏品（见图2）。0基准信号和矢量表示。数据以矢量格式编码，可以以任意分辨率重新采样，并计算出大量感兴趣的信号（第4节），可用作基准信号。0挑战。然而，数据表示对于大多数学习方法来说并不合适，而将CAD模型转换为离散格式是一项困难的任务。本文提出了一个强大的流程，用于处理和使用CAD模型作为几何处理算法的理想数据源。96040图2：数据集中的随机示例。大多数模型都是具有锐利边缘和明确定义表面的机械零件。03.1. CAD模型和边界表示0在接下来的内容中，我们将使用术语CAD模型来指代由边界表示（B-Rep）定义的几何形状。边界表示描述模型的拓扑（面、边和顶点）以及几何（曲面、曲线和点）。拓扑描述以分层方式组织：固体由一组有向面（称为壳）绑定；面由有序边的线束绑定（顺序定义面的方向）；边是连接两个顶点的有向连接；顶点是基本实体，对应于空间中的点。每个实体都有几何描述，允许我们将模型嵌入到3D空间中。在我们的数据集中，每个曲面可以表示平面、圆锥、圆柱、球体、圆环、旋转曲面、挤压曲面或NURBS补丁[26]。同样，曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线或NURBS曲线[26]。每个顶点在3D空间中具有坐标。修剪补丁增加了额外的复杂性（完整描述请参见[26]）。03.2. 处理流程0组装如此庞大的数据集是一项耗时的任务，在此之前必须做出许多设计决策：例如，提取100万个CAD模型的三角形网格需要约2个CPU年的时间。为了鼓励积极的社区参与和便于采用，我们使用易于访问、得到良好支持的开源工具，而不是依赖商业CAD软件。这使得社区可以在未来使用和扩展我们的数据集。我们的流程设计为在大型计算集群上并行运行。Onshape公共收藏品没有经过策划。它包含了所有用户创建的公共模型，没有任何额外的过滤。尽管所有模型都是手动创建的，但有一小部分存在边界损坏、自相交的面或边以及重复的顶点。此外，还有许多重复的模型，尤其是由单个基本图元（如平面）组成的模型。0盒子或圆柱体，可能是由初学者创建的，他们正在学习如何使用Onshape。鉴于数据集的庞大规模，我们开发了一套几何和拓扑标准，以过滤低质量或有缺陷的模型，我们在补充材料中进行了描述，并将语义、众包过滤和注释作为未来工作的方向。0步骤1：B-Rep加载和转换。我们从Onshape获得的STEP文件[8]包含CAD模型的边界表示，我们使用开源软件Open Cascade[6]加载和查询。翻译过程为每个曲面补丁和曲线段生成一个明确的参数化，可以以任意分辨率进行采样。0步骤2：网格化/离散化。然后使用开源软件Gmsh[28]对补丁的参数化进行采样和三角化。我们在这里提供了一个选择，可以在均匀采样（遵守最大边长）和曲率自适应采样之间进行选择。0第三步：拓扑树遍历/数据提取。B-Rep的采样允许跟踪连续和离散表示之间的对应关系。由于它们可以在任意位置进行区分，因此可以计算离散模型的所有样本的地面真实微分量。另一个优点是B-Rep模型中的显式拓扑表示，可以以标签的形式转移到网格中。这些标签为离散网格的每个三角形定义了它属于哪个曲面补丁。对于曲线也是如此，我们可以将离散网格中的边缘标记为尖锐特征边缘。尽管CAD内核提供了这些信息，但很难以适合学习任务的格式提取它们。我们的流程将此信息导出为具有简单结构的yaml文件（请参阅补充材料）。0第四步：后处理。我们提供工具来根据质量或补丁数量对我们的网格进行过滤，计算网格统计信息，并重新采样生成的曲面以匹配所需的顶点数量[27]。96050图3：我们的数据集中的每个模型由多个补丁和特征曲线组成。两个图像显示了当前数据集（≈1M个模型）中补丁类型（左）和曲线类型（右）的分布。0图4：CAD模型的补丁和曲线数量的直方图。这显示了许多较简单的模型，其由少于30个补丁/100个曲线组成，以及更复杂的模型。两个直方图在右侧被截断。03.3. 分析和统计0我们在图1和图2中展示了数据集中模型的概述。在图3和图4中，我们展示了曲面和边缘类型的分布以及补丁和边缘数量的直方图，以展示数据集的复杂性和多样性。有关不断增长的数据集的最新统计信息可在我们的数据集网站[1]上找到。04. 支持的应用0我们简要概述了可能从我们的数据集中受益的一系列应用，可以将其用作训练数据或基准。0补丁分解。我们收集的每个对象自然地分为由特征线分隔的曲面区域。分解是在构建形状时由作者定义的，并且可能具有语义上的意义。它还受到强烈的几何标准的约束：每个区域应该可以由（可能是修剪的）NURBS补丁表示。0曲面矢量化。CAD模型的B-rep是图像的矢量表示的对应物，可以以任何所需的分辨率重新采样。将曲面三角网格转换为B-rep是一个有趣且具有挑战性的研究方向，数据驱动的方法在这方面仍处于初级阶段[49, 50, 25]。0微分量的估计。我们的模型具有地面真实法线和曲率值，使其成为评估预测这些数量的算法在人工生成的点云或三角网格上的理想客观基准。0尖锐特征检测。尖锐特征在我们模型的拓扑描述中被明确编码，因此可以获得预测点云[56]和网格上尖锐特征的地面真实数据。0形状重建。由于B-rep模型的地面真实几何已知，因此可以将其用于模拟扫描设置，并定量评估重建[13,53]和点云上采样[61]技术的重建误差。0基于图像的学习任务。除了数据集外，我们还提供了一个渲染模块（基于Blender[2]），用于生成图像数据集。它支持在平面上以物理静态方向摆放的模型的渲染，不同的光照情况、材料、相机位置（半球、随机）以及不同的渲染模式（深度、颜色、轮廓）。需要注意的是，所有这些图像都可以被视为地面真实数据，因为没有几何逼近误差。0几何处理算法的鲁棒性。除了数据驱动任务外，该数据集还可用于评估几何处理算法的鲁棒性。即使是像法线估计这样简单的任务，在这样一个大型数据集上也是有问题的。我们在第5.1节中评估的大多数方法都失败了（即产生了长度为零或包含NaN的无效法线）至少在一个模型上：我们的数据集非常适合研究和解决这些具有挑战性的鲁棒性问题。05. 法线估计基准测试0我们现在引入了一组大规模基准测试，以评估计算表面法线的算法，利用了B-rep模型上的地面实际法线的可用性。据我们所知，这是第一个这样的大规模研究，它提供的见解将对数据驱动和分析方法的发展都有用。96060图5：我们法线估计基准测试中不同类别的样本。从左到右：不断增长的局部补丁的大小和复杂性（512、1024、2048个顶点），以及不同密度的完整模型（512、1024、2048个顶点）。0构建。为了公平比较各种数据驱动和分析方法，一些针对局部估计，一些针对3D模型的所有法线的一次性预测，我们通过在我们的网格化B-rep上随机采样点，并生成不同大小的补丁来构建一系列数据集，补丁的大小从512个顶点到整个模型（图5）。对于每个补丁大小，我们生成4个基准测试，其中包含从10k到250k个补丁的递增数量，以研究数据驱动算法在更大的输入集上训练时的行为。0划分。所有基准数据集都以80%的训练数据和20%的测试数据进行随机划分。划分结果将提供以便结果可复现。05.1. 评估0算法。我们从文献中选择了12个代表性的算法，其中5个是传统算法，离散曲面上的鲁棒统计估计（RoSt）[35]，操作点云（PC）和网格（M），曲面的切线喷射（Jets）[21]，也是在点云和网格上操作，以及相邻面法线的均匀加权（Uniform）[34]。请注意，我们将RoSt和Jets的K环邻域替换为K最近邻以支持点云输入。此外，还选择了7种机器学习方法，包括PointNet++（PN++）[47]，动态图卷积神经网络（DGCNN）[55]，点卷积神经网络（PwCNN）[32]，点云卷积神经网络（PCNN）[38]，拉普拉斯曲面网络（Laplace）[37]，PCP-Net（PCPN）[29]和扩展算子的点卷积神经网络（ExtOp）[11]。这些方法中，Laplace操作三角网格输入，其余方法操作点云输入。它们的大多数输出是每个顶点一个法线，除了PCPN和ExtOp的输出是补丁中心的一个法线。我们在补充材料中详细解释了每种方法的（超）参数和修改。对于统计数据，我们只使用每种方法报告的有效法线，并过滤掉所有退化的法线。0协议。我们使用以下协议在基准测试上比较上述方法：（1）对于每种方法，我们从作者那里获得了原始实现0（或者使用流行库进行重新实现）；（2）我们使用了学习方法的推荐或默认值的所有（超）参数（如果没有提供这些参数，我们会根据具体情况进行微调）；（3）如果实现不直接支持法线估计，我们会根据原始论文中的相应描述修改其代码；（4）对于所有方法，我们使用相同的损失函数1-�n T ˆn �2，其中n是估计的法线，ˆn是地面实际法线。请注意，这个损失函数不会对反转的法线（被180°翻转）进行惩罚，这通常是在后处理步骤中修复的一个正交问题[31]。0结果。表2列出了所有方法的统计结果。我们的实验表明，用于法线估计的神经网络在多次运行中是稳定的；损失的标准差约为10^-3。对于10k的数据集，大多数网络在NVIDIAGeForce GTX 1080 TiGPU上的训练时间不超过24小时。我们将所有方法的训练时间限制在72小时。0数据驱动方法的比较。我们观察到，如预期所示，随着训练集中样本数量的增加，误差减小，这对于补丁和完整模型上的所有方法都是一致的。然而，改进是有限的（图6和7）。0完整模型上的采样分辨率。我们还探索了数据驱动方法在采样分辨率增加时的行为。DGCNN、PCNN和PwCNN明显受益于采样分辨率的增加，而PN++没有明显的改进。这种现象可能与用于确保训练时间为次线性的空间子采样机制有关，但阻碍了该方法利用额外的分辨率。对于Laplace表面网络，由于在最高分辨率上训练3天后仍未收敛，很难理解其效果。0分析方法的比较。分析方法在数据集大小上非常一致，并且随着网格采样分辨率的增加而改善。基于表面连接性的方法远远优于依赖K最近邻估计的方法，表明连接性对于这个任务是有价值的信息。02040608002040608096070PN++DGCNN0PwCNNPCNN0LaplaceRoSt PC0喷气机PCRoSt M0喷气机 M均匀0图6：低分辨率补丁（512个点）基准的角度偏差误差图，使用不同的样本大小（从上到下：10k，50k和100k）。0PN++DGCNN0PwCNNPCNN0LaplaceRoSt PC0喷气机PCRoSt M0喷气机 M均匀0图7：高分辨率（2048个点）完整模型基准的角度偏差误差图，使用不同的样本大小（从上到下：10k，50k和100k）。0数据驱动与分析方法的比较。对于点云，几乎所有的数据驱动方法表现良好，特别是当模型分辨率较低时。然而，如果允许分析方法使用连接性信息，它们将远远优于所有使用连接性信息的学习方法，甚至优于那些也使用连接性信息的方法。为了进一步支持这个结论，我们在一个更简单的合成数据集上进行了类似的实验，该数据集由10k和50k个随机NURBS补丁组成，观察到类似的结果，这些结果在补充材料中提供。06. 结论0我们引入了一个新的大型CAD模型数据集，并提供了一套工具将其转换为深度学习算法使用的表示形式。随着更多模型被添加到Onshape公共收藏中，数据集将继续增长。我们可以使用从CAD数据中提取的地面真实信号创建大规模学习基准，正如我们在估计差分表面数量方面所展示的那样。我们的比较结果将对新的几何深度学习方法的发展提供指导。令人惊讶的结论是，虽然只使用3D点的深度学习方法优于分析方法，但当有连接性信息可用时情况并非如此。这表明现有的图形结构在有效利用连接性方面存在困难，并且比最简单的分析方法（均匀方法）要差得多，后者只是简单地对相邻面的法线进行平均。如果将这些算法扩展到正确识别和预测尖锐特征上的多个法线，并将它们与专门用于此任务的方法进行比较，将会很有趣。另一个令人惊讶的发现是，即使是均匀算法也无法在我们的数据集中的大约100个模型上产生有效的法线，这是由于浮点误差引起的。这类问题极具挑战性，很难识别，我们相信我们的数据集的规模和复杂性是鲁棒几何处理算法的理想压力测试。07. 分发0数据集和所有信息可在以下网址获得：https://deep-geometry.github.io/abc-dataset。它以MIT许可证分发，并分为每种数据类型的10k个模型的块。模型的版权所有者是各自的创建者（在元信息中列出）。几何处理流水线以容器化软件解决方案（Docker [3]和Singularity[7]）的形式提供，可以在每台适用的机器上运行，它以GPL许可证提供。0致谢0我们感谢Onshape提供CAD模型和支持。本工作部分地通过NYUIT高性能计算资源、服务和员工专业知识的支持。由NSF奖励MRI-1229185提供资金。我们感谢Skoltech CDISE HPCZhores集群工作人员提供计算集群。本工作部分地得到了NSFCAREER奖励1652515、NSF资助IIS-1320635、DMS-1436591和1835712、俄罗斯科学基金会资助的19-41-04109号项目以及Adobe Research、nTopology Inc和NVIDIA的赞助。10k50k100k10k50k100k10k50k100k10k50k100kPN++5120.1680.1550.1427.837.326.430.0340.0320.0251.701.421.1010240.1800.1630.1607.496.066.170.0560.0520.0482.111.571.5120480.1710.1560.1496.755.475.080.0810.0710.0632.481.771.44DGCNN5120.1770.1670.1449.618.327.130.0540.0490.0253.203.001.1210240.1260.1040.0995.914.594.340.0480.0360.0242.982.151.1320480.0900.0700.0684.542.802.770.0450.0350.0232.661.950.98PwCNN5120.2730.2600.25218.7317.2716.360.0920.0690.0674.713.453.4310240.2170.2180.19812.7813.1011.380.1070.1100.0895.506.114.5820480.1880.176*0.168*11.3410.54*10.05*0.1070.120*0.0945.986.36*4.83PCNN5120.1460.1530.1396.476.966.150.0370.0430.0281.841.841.4210240.1040.0990.1033.563.463.690.0250.0300.0250.941.370.9220480.0650.0700.0672.052.442.220.0230.0250.023*0.881.010.83*5120.2820.2030.13320.0111.948.470.0410.0470.0221.933.131.1210240.2110.1380.146*34.249.439.85*0.0300.0270.029*1.651.361.46*20480.1970.148*0.158*9.999.95*10.57*0.0310.0400.040*1.601.671.81*PCPNet512––––––0.098†0.081†–9.95†9.28†–1024––––––0.123†0.097†–13.89†9.55†–2048––––––0.142†0.200†–16.24†16.45†–ExtOp512––––––0.074†0.073†–2.42†2.05†–1024––––––0.095†0.096†–3.32†2.50†–2048––––––0.091†––3.00†––RoSt PC5120.2980.300–21.3221.36–0.0830.082–0.820.79–10240.2200.223–14.4714.63–0.0780.077–0.740.72–20480.1640.166–9.9610.18–0.0730.072–0.590.62–Jets PC5120.2600.261–17.8417.97–0.0500.050–0.050.05–10240.1830.186–12.1912.39–0.0480.048–0.050.05–20480.1290.132–8.418.63–0.0450.044–0.040.04–RoSt M5120.0820.0840.0842.152.172.180.1080.1030.1020.060.060.0610240.0530.0550.0560.250.290.290.1070.1050.1050.060.060.0620480.0470.0480.0500.080.080.080.1120.1080.1070.060.060.06Jets M5120.1750.1760.1757.267.297.290.0360.0360.0360.000.000.0010240.1180.1180.1170.100.100.110.0330.0330.0330.000.000.0020480.0780.0790.0790.010.020.020.0290.0310.0310.000.000.005120.0240.0250.0240.260.290.280.0070.0070.0070.000.000.0010240.0130.0130.0130.000.000.000.0050.0050.0050.000.000.0020480.0090.0100.0090.000.000.000.0040.0050.0040.000.000.0096080方法/全模型 补丁 顶点 损失 角度偏差 [ ◦ ] 损失 角度偏差 [ ◦ ]0拉普拉斯0均匀0表2：全模型和补丁基准的所有评估方法的统计结果。损失计算为1  − � n T ˆn � 2，角度偏差计算为角度 ∠ ( n ,  ˆn )，其中n是真实法线，ˆn是估计法线。对于损失，我们报告所有模型的平均值，对于角度偏差，我们报告相应数据集中所有模型的中位数。Osculating Jets和Robust StatisticalEstimation在点云输入（PC后缀；与学习方法相当）和网格输入（M后缀）上进行评估。†：PCPNet和ExtOp未在完整模型上运行，因为它们每个补丁只计算1个法线（与所有其他行不同，它们的损失仅在补丁中心的顶点上计算）。*：训练在达到时间限制之前未完成，使用部分结果进行推断。96090参考文献0[1] ABC数据集。https://deep-geometry.github.io/abc-dataset。访问日期：2019-03-20。[2]Blender。https://www.blender.org/。访问日期：2018-11-14。[3]Docker。https://www.docker.com/。访问日期：2018-11-11。[4] NISTCAD模型和带有PMI的STEP文件。https://catalog.data.gov/dataset/ nist-cad-models-and-step-files-with-pmi。访问日期：2018-11-11。[5]Onshape。https://www.onshape.com/。访问日期：2018-11-14。[6] Open CASCADE TechnologyOCCT。https://www.opencascade.com/。访问日期：2018-11-11。[7]Singularity。https://singularity.lbl.gov/。访问日期：2018-11-11。[8]STEP文件格式。https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_10303-21。访问日期：2018-11- 11。[9]Princeton形状基准。在《Shape Modeling International2004》中。SMI'04，页码：167-178，华盛顿，美国，2004年。IEEE计算机学会。[10] P. Alliez，S. Giraudot，C. Jamin，F.Lafarge，Q. M´erigot，J. Meyron，L. Saboret，N.Salman和S.Wu。点集处理。在《CGAL用户和参考手册》中。CGAL编辑委员会，第4.13版，2018年。[11] M. Atzmon，H.Maron和Y.Lipman。通过扩展运算符的点卷积神经网络。《ACMTrans. Graph.》，37(4)：71:1-71:12，2018年7月。[12]M. Aubry，D. Maturana，A. Efros，B. Russell和J.Sivic。看到3D椅子：使用大型CAD模型数据集的示例基于部分的2D-3D对齐。在CVPR中，2014年。[13] M.Berger，J. A. Levine，L. G. Nonato，G. Taubin和C. T.Silva。用于表面重建的基准。《ACM Transactions onGraphics (TOG)》，32(2)：20，2013年。[14] F.Bogo，J. Romero，G. Pons-Moll和M. J.Black。DynamicFAUST：在运动中注册人体。在《IEEE计算机视觉和模式识别会议（CVPR）》中，2017年7月。[15] D. Boscaini，J.Masci，S. Melzi，M. M. Bronstein，U. Castellani和P.Vandergheynst。使用局部化谱卷积网络学习特定类别的可变形形状描述符。在《计算机0计算机图形学论坛 , 卷34, 页码13–23. Wiley On- lineLibrary, 2015.0[16] D. Boscaini, J. Masci, E. Rodol`a, and M. Bronstein.使用各向异性卷积神经网络进行形状对应学习. 在神经信息处理系统进展  中, 页码3189–3197, 2016.0[17] A. Boulch and R. Marlet.用于具有尖锐特征的点云的快速和鲁棒法线估计.计算机图形学论坛 , 31(5):1765–1774, 2012年8月.0[18] A. Boulch and R. Marlet.深度学习用于无结构点云中的鲁棒法线估计. 在几何处理的会议论文集  中, SGP ’16, 页码281–290,德国哥斯勒, 德国, 2016. Eurographics Association.0[19] M. M. Bronstein, J. Bruna, Y. LeCun, A. Szlam, andP. Vandergheynst. 几何深度学习: 超越欧几里得数据.IEEE信号处理杂志 , 34(4):18–42, 2017.0[20] J. Bruna, W. Zaremba, A. Szlam, and Y. LeCun.图谱网络和局部连接网络在图上的应用.  arXiv预印本arXiv:1312.6203 , 2013.0[21] F. Cazals and M. Pouget.使用多项式拟合的触发喷流估计微分量.计算机辅助几何设计 , 22(2):121 – 146, 2005.0[22] A. X. Chang, T. Funkhouser, L. Guibas, P. Hanrahan,Q. Huang, Z. Li, S. Savarese, M. Savva, S. Song, H. Su, J.Xiao, L. Yi, and F. Yu. ShapeNet:一个信息丰富的3D模型库. 技术报告 arXiv:1512.03012[cs.GR], 斯坦福大学 — 普林斯顿大学 —芝加哥丰田技术研究所, 2015.0[23] A. Dai, A. X. Chang, M. Savva, M. Halber, T.Funkhouser, and M. Nießner. Scannet:室内场景的丰富注释的3D重建. 在计算机视觉和模式识别(CVPR)会议论文集, IEEE , 2017.0[24] M. Defferrard, X. Bresson, and P. Vandergheynst.在图上进行快速局部化谱滤波的卷积神经网络. 在神经信息处理系统进展  中, 页码3844–3852, 2016.0[25] T. Du, J. P. Inala, Y. Pu, A. Spielberg, A. Schulz, D.Rus, A. Solar-Lezama, and W. Matusik. Inver- secsg:将3D模型自动转换为CSG树.  ACM Trans. Graph ,37(6):213, 2018.0[26] G. Farin.  CAGD中的曲线和曲面: 一个实用指南 .Morgan Kaufmann Publishers Inc., 旧金山, 美国, 第5版,2002.0[27] M. Garland and P. S. Heckbert.使用二次误差度量进行表面简化. 在  第24届会议论文集中  .96100计算机图形学和交互技术年会 , SIGGRAPH ’97,页码209–216, 纽约, 美国, 1997. ACMPress/Addison- Wesley Publishing Co.0[28] C. Geuzaine and J. F. Remacle. Gmsh:一个带有内置预处理和后处理功能的三维有限元网格生成器. 国际工程数值方法杂志 , 2009.0[29] P. Guerrero, Y. Kleiman, M. Ovsjanikov, and N. J.Mi- tra. PCPNet: 从原始点云中学习局部形状属性.计算机图形学论坛 , 37(2):75– 85, 2018.0[30