Journalof the Egyptian Mathematical Society（2014）22，265埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章a-c-I -开集上的运算方法与a-c-I-连续函数N. Kalaivania，*，A.I.El-Maghrabib，c，G.Sai Sundara Krishnanda印度金奈VelTech HighTech博士Rangarajan博士Sakunthala工程学院数学系b埃及Kafr El-Sheikh大学理学院数学系c埃及Al-Muna Warah Al-Madin Taibah大学理学院数学系。d印度哥印拜陀PSG技术学院应用数学和计算科学系接收日期：2013年5月20日;修订日期：2013年7月11日;接受日期：2013年2013年9月5日在线发布本文在拓扑空间中引入了a-c-I进一步引入了a-c-I-连续函数和a-c-I-开函数的概念，并研究了它们的一些基本性质数学潜在分类：AMS（2000年）：54A05; 54A10; 54C08？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍Njastad[1]在拓扑空间中引入了α-开集，并研究了它的一些性质.半开集Levine[2]、Corson和Michael[3]以及Andrijevic[4]分别引入了预开集和半预开集。“预开放"一词[5]他们研究了它的一些基本性质。Andrijevic[6]引入了一类新的由预开集生成的拓扑，相应的闭包和内部算子。*通讯作者。联系电话：+91 044 9944313979。电子邮件地址：kalaivani. gmail.com（N. Kalaivani）， yahoo.com，amaghrabi@taibahn.edu.sa（A.I. El-Maghrabi），g_ssk@yahoo.com（G.Sai Sundara Krishnan）。同行评审由埃及数学学会负责Kasahara[7]定义了拓扑空间上运算的概念，并引入了运算的a-闭图。Ogata[8]把运算a称为c运算，并引入了拓扑空间（X，s）中c-开集的集合sc的概念Kalaivani和Sai Sundara Krishnan[9]在拓扑空间（X，s）中引入了a-c-开集，并引入了s-c的概念，s-c是拓扑空间中所有a-c-开集的集合本文在第三节中引入了s-c-I的概念，它是拓扑空间（X，s）中所有a-c-I在此基础上，我们引入了sa-c-I内算子和sa-c-I闭包算子的概念，并研究了它们的一些性质.在第四节中，我们引入了a-c-I-连续的概念，并利用a-c-I-闭集或a-c-I-开集的概念刻画了它.我们研究了它的一些性质，并研究了它们之间的关系。在第五节中，我们引入了-c-I-开函数的概念，并研究了它的一些性质.1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.07.011制作和主办：Elsevier关键词a-c-I -开集;a-c-I -连续函数;a-c-I -开函数266N. Kalaivani等人[2-[--.¼--*2. 预赛设（X，s）是拓扑空间，I是X. 理想定义为X的子集的非空集合I，满足以下两个条件：（i）如果A2I，BcAthen B2I;（ii）如果A2I andB2I，then A[B2I.一个理想拓扑空间是一个拓扑空间（X，s），其上有一个理想I，记为（X，s，I）。对于子 集 AcX ， A* （ I ） ={x2X ： U\ARIfor eachneighborhood U of x}称为A关于I和s的局部函数[10].我们简单地写A*而不是A*（s，I），以防混淆。X*通常是X的真子集。 假设X = X*[11]等价于假设s | I = f [12]。对于每个理想拓扑空间（X，s，I），存在一个比s更小的拓扑s*（I），由b（I，s）={UI：U2sandI I}生成，但一般来说，b（I，s）不总是拓扑[13]。另外，cl*（A）=AA*定义了s*（I）的Kuratowski闭包运算符。在本文中，（X，s）和（Y，r）表示拓扑空间，除非另有说明，在它们上面不假定分离性公理对于（X，s）的子集A，cl（A），int（A）和Ac分别表示A的闭包，A的内部和A我们定义Kuratowski*闭包算子为sccl*（A）=AA*。在本节中，我们回顾一些基本定义和定理。定义2.1.设（X，s）是拓扑空间，A是X的子集.那么，A被认为是(i) [1]a-open set ifAcint（cl（int（A）(ii) [2]半开集如果Accl（int（A））(iii) [4]预开集如果Acint（cl（A））(iv) [5]半预开集如果Accl（int（cl（A）定义2.2.设（X，s）是一个拓扑空间，在拓扑s上的一个运算c是从s到X的幂集P（X）的一个映射，使得对于每个V2s，VcVc，其中Vc表示c在V处的值.定义2.3. 设（X，s）是拓扑空间，A是X的子集，c是s上的运算.那么，A可以说是：(i)[8]一个c-开集，如果对每个x2A存在一个开集它是包含A的所有c-闭集的集合的集合，记为sccl（A）.即sccl（A）=stec{F：F是c-闭集且AcF}定义2.5[9]。设（X，s）是一个拓扑空间，c是s上的一个运算.则称X的子集A是a-c-开集当且仅当A c s c-int（s c-cl（sc-int（A）定义2.6.(i) [9]设（X，s）是一个拓扑空间，c是s上的运算，A是X的子集。 则A的a-c-内部是A中所有a-c它是表示通过int（A）.的是sa-c-int（A）=[{U：U是a-c-开集且UcA}(ii) [9]设（X，s）是一个拓扑空间，c是s上的一个运算。设A是X的一个子集。然后，一个-c-关闭是a-c-闭集的交， A，记作sa-c-cl（A）.那是Sa-c-cl（A）=\{F：F是a-c-闭集且AcF}3. a-c-I -开集定义3.1.设（X，s，I）是一个理想拓扑空间，c是s上的一个运算.则称X的子集A是a-c-I-开集当且仅当Acsc-int（sc-cl*（sc-int（A）实施例3.2.令X={a，b，c，d}，s={i，X，{a}，{b}，{c}，{a，.b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，{a，b，d}}和I={l，{d}}。我们定义一个操作c：sfip（X）如下：对于每个A2s，AcintclAifA- f a g cl A ifA ¼ f ag然后，sc={l，X，{a}，{c}，{a，c}，{a，b，d}}，sa-c={l，X，{a}，{c}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}}和sa-c-I={l，X，{a}，{c}，{a，c}，{a，d}，{a，c，d}，{a，b，d}}定义3.3.理想拓扑空间（X，s，I）的子集称为(i) c-半I-开当且仅当Acsc-cl*（sc-int（A））.(ii) c-pre-I-open当且仅当A c s c-int（s c-cl*（A））。使得x2U和UccA.sc表示所有c-（X，s）中的开集。(ii) [14]c-半开当且仅当Acsc-cl（sc-int（A））。(iii) [15]c-preopen当且仅当Acsc-int（sc-cl（A））。(iv) [15]c-半预开当且仅当Acsc-cl（sc-int（sc-cl（A）。定义2.4.(i) [14]设（X，s）是一个拓扑空间，c是s上的一个运算。然后，定义A的sc-内部为A中包含的所有c-开集的并，记为scint（A）.这就是S Cint（A）=-{U：U是一个c开集和Uc A}(ii) [9]设（X，s）是一个拓扑空间，c是s上的一个运算。A的C-闭包被定义为相交，(iii) c-半预I-开（或c-b-I-开）当且仅当Acsccl（sc-int（sc-cl*（A）。定理3.4. 设（X，s，I）是一个理想拓扑空间，c是s上的一个运算.(i) 每个a-c-I-open集合都是a-c-open。(ii) 每个c-半I-开集都是c-半开的。(iii) 每个c-b-I-开集都是c-b-开的。证据(i) 设A是（X，s，I）中的a-c-I 然后，可以得出Acsc-int（sc-cl*（sc-int（A）=sc-int（（sc-int（A））[（sc-int-a-c-I -开集与a-c-I-连续函数的运算方法267（A））csc-int（sc-cl（（sc-int268N. Kalaivani等人2-2\2 -2-2\2 -********（A））[sc-int（A））csc-int（sc-cl（sc-int（A）.因此，我们认为，A是一个-C-开放。(ii) 设A是（X，s，I）中的一个c-半I-开集，则Acsc-cl*（sc-int（A））c（sc-int（A））*[sc-int（A））csc-cl（sc-int（A））[sc-int（A）=sc-cl（sc-int（A））.因此，A是C-半开的。(iii) 设A是（X，s，I）中的一个c-b-I-开集，则有Acsc-cl（sc-int（sc-cl*（A）=sc-cl（sc-int（sc-cl（A）[A]））.因此，A是c-b-open。H定理3.5. 设（X，s，I）是一个理想拓扑空间，c是s上的一个运算.(i) 每个a-c-I-开集都是c-半I-开集。(ii) 每个a-c-i-开集都是c-预-i-开集。(iii) 每个c-预I-开集都是c-b-I-开的。(iv) 每个c-半I-开集都是c-b-I-开的。(v) 每个a-c-I-open集都是c-b-I-open的。证据(i) 设A是（X，s，I）中的a-c-I-开 然后，它遵循Acsc-int（sc-cl*（sc-int（A）csc-cl*（sc-int（A））。因此，A是C-半I-开的.(ii) 让一被一个a-c -I-open设置在（X，s，I）。然后，Acsc-int（sc-cl*（sc-int（A）csc-int（sc-cl*（A））.因此，A是C-前I-开的.(iii) 设A是（X，s，I）中的c-准I-开集 然后，Acsc-int（sc-cl*（A））csc-cl（sc-int（sc-cl*（A）.引理3.8。 设（X，s，I）是理想拓扑空间，A是X的子集.然后，以下属性成立：(i) 如果O在（X，s，I）中c-开，则O\sc-cl*（A）cs c-cl *（O\A）.(ii) 如果AcX0cX，则sc-c lωX0<$Asc-c lω<$A\X0。证据(i) 若O2sc则对X的任意子集A，O\A*c（O\A）*.因此，我们有O\sc-cl*（A）=O\（A*[A）=（O\A*）[（O\A）c（O\A）*[（O\A）=sc-cl*（O\A）。(ii) 我们知道A*（s/X0，I/X0）=A*（s，I）\X0。因此，我们有sc-clωX0<$A< $$>Aω<$s=X0;I=X0<$ [A<$$>Aω[A<$ \<$X0[A<$s c-clωA <$\X0。H定理3.9. 设（X，s，I）是一个理想拓扑空间，c是s上的一个运算.(i) 如果VcSIO（X）和Asa-c-I，则V AcSIO（X）。(ii) 如果VcPIO（X）和Asa-c -I，则V AcPIO（X）.证据(i)设V2c-SIO（X）和A2sa-c-I.通过使用引理3.8，V\Acsc-cl（sc-int（V））\sc-int（sc-cl（sc-int因此，A是c-b-I-open。(iv) 设A是（X，s，I）中的c-半I-开集 然后，Acsc-int（sc-cl*（A））csc-cl（sc-int（A））csc-（A）csc-cl*（sc-int（V）\sc-int（sc-cl*（sc-int（A）csc-cl*（sc-int（V）\sc-cl*（sc-int（A）csc-cl（sc-cl（sc-int（A）\sc-int（V））csc-cl（sc-cl（sc-int（sc-cl*（A）。因此，A是c-b-I-open。(v) 设A是（X，s，I）中的a-c-I-开集 然后，Acsc-cl*（sc-int（A））csc-int（sc-int（A）*）csc-int（V\A））。因此，V\A 2 c-SIO（X）。（ii）设V2c-PIO（X）和A2sa-c-I. 通过使用定理3.8，V\Acsc-int[sc-cl（V）\sc-int（sc-cl（sc-**int（sc-cl（sc-int（A）csc-cl（sc-int（sc-cl*（A）和int（A）]csc-int[sc-int[（sc-cl（V）\sc-cl（sc-int因此A是c-b-I-开。H定理3.6. 理想拓扑空间的每一个c-开集都是-c-I-开的。证据设A是任意c-开集.然后，我们有A=sc-int（A）csc-int（（sc-int（A））*[sc-int（A））=sc-int（sc-cl*（sc-int（A）。这表明A是一个-c-i-open。H定理3.7[16]. 设（X，s，I）是一个理想拓扑空间，c是s上的一个运算. X的子集A是a-c-I-开的当且仅当它是c-半I-开的和c-预I-开的。证据必要性。设A是a-c-I-开集.然后，我们有（A））]] csc-int[sc-cl*[sc-cl*（V）\sc-int（A）]]csc-int[sc-cl*[sc-cl*[V\sc-int（A）]csc-int（sc-cl*（V\A））。因此，V\A2c-PIO（X）。H定理3.10.设（X，s，I）是理想拓扑空间，c对某人 A，B是X的子集.(i) 如果A，B2是a-c-I那么A\B2是a-c-I.(ii) 设{Aa：a2J}是（X，s，I）中的a-c-I-开集族. [2]Aa也是一个a-c-I-开集。证据Acsc-int（sc-cl*（sc-int（A）。这意味着(i) 设A，B2为a-c-I.由定理3.7A，B是c-半I-开的Acsc-cl*（sc-int（A））和Acsc-int（sc-cl*（A））。因此，我们认为，A是C-半I-开和C-预I-开。充足。 设A是c-半I-开和c-准I-开.C-准I-开，A\B是C-半I-开，C-准I -开我...张嘴。因此，根据定理3.9A\B2a-c。(ii) 设A对每个a2J都有a2sa-c，那么我们有aacsc-* *int（sc-cl*（sc-int（A）csc-int（sc-cl*（sc-int（[ Aa）然后，我们有Acsc-int（sc-cl（A））csc-int（sc-cl（sc-故[A] cs-int（s-cl（s-int（[A]））。cl*（sc-int（A）=sc-int（sc-cl*（sc-int（A）。 这说明A C Ca2Jaa-c-I -开集与a-c-I-连续函数的运算方法269A是一个开的. H这表明[a2JAa2sa-c.H270N. Kalaivani等人[-.2s s-s- s -s-cXcca-c-I00X0Σ\\对于X的每个子集A，A[A*]= s-cl（A）。因此，我们认为，c-clc-intc-intX0c-clX0c-intX0Asc-int （sc-cl（sc-int（A）=sc-int（sc-cl（sc-int（A）和C0***00Cc定义3.11.称X的子集A是-c-I-闭的当且仅当X-A是-c-I-开的，等价于设（X，s，I）是一个理想拓扑空间，c是s上的一个运算，A是X的一个子集.则A是a-c-I-闭的当且仅当Assc-cl（sc-int*（sc-cl（A）定义3.12.设（X，s，I）是一个理想拓扑空间，c是s上的一个运算，A是X的一个子集.则A的sa-c-I-int（A）是所有包含在A中的a-c-I-open集的并，记为sa-c-I-int（A）.sa-c-I-int{\displaystyleU}是a-c-I-开集，U {\displaystyleU}是a- c - I -开集，U {\displaystyle U}是a-c-I-开集。定义3.13.设（X，s，I）是一个理想拓扑空间，c是s上的一个运算，A是X的一个子集.则A的sa-c-I-闭集是所有包含A的a-c-I-闭集的交，记为sa-c-I-cl（A）.sa-c-I-claFg：F是a-c-I -闭集且A∈Fg：推论3.14。 设（X，s，I）是理想拓扑空间. 则族sa-c-I是X的拓扑使得sa-c-Icsa-c.证据由于f，X2是a-c-I，因此可以从证据(a) 如 果 I={i} ， 则 对 于 X 的 任 何 子 集 A ， A*=Sccl（A），因此Sc-cl*（A）= A A*=Sc-cl（A）。因此，我们得到A*= sc-cl（A）= sc-cl *（A）。（一）、（二）、（三）、（四）、（五）、（六）、（七）、（八）、（九(b) 设I=P（X），则对于X的任意子集A，A*=I。因此，我们有sc-cl（sc-int（sc-cl*（A）= sc-cl（sc-int（A*[A]））= sc-cl（sc-int（A））.因此c-b-I-开性和c-半开性是等价的.(c) 由定理3.4（iii），每一个c-b-I-开集都是c-b-开集.如 果 I=N ， 则 众 所 周 知 ， A*=sc-cl （ sc-int （ sc-cl（A）。因此，如果A是c-b-开的，我们得到Acsc-cl（sc-int（sc-cl（A）=A*=sc-cl*（A），因此Acsc-cl（sc-int（sc-cl（A）=sc-cl（ sc-int[sc-cl（sc-int（sc-cl（A）]）=sc-cl（sc-int（sc-cl*（A）.因此，c-b-I-开放性和c-b-开放性是等价的。H定理3.17. 设（X，s，I）是理想拓扑空间.如果A2是a-c-I，而AcX02是a-c-I，则A2是a-c-I（X 0）.证据利用引理3.8（ii），我们得到了Asc-intsc-clωsc-intA\X0sc-intX0½sc-intsc-clωsc-intA\X0\X0]sc-intX½sc-clωsc-intA\sc-int定理3.10. H定理3.15. 设（X，s，I）是理想拓扑空间. 然后，(i) 如果I ={/}，则sa-c -I=sa-c(ii) 如果I=P（X），则sa-c-I=s(iii) 如果I=N，则sa-c -I=sa-c证据0X0X0 这表明A2是a-c-I（X0）.H定理3.18. 设（X，s，I）是理想拓扑空间.如果X 02是a-c-I，A2是a-c-I（X 0），那么A2是a-c-I.证据以来A（X），A.intclωintX0AX0\UforsomeU2s. SinceX02sa-c-I，由Lemma3.8AX0\UU\sc-intsc-clωsc-intU\X0U\(i) 让I ={/}。那么，A*= s c-cl（A），因此s c-cl*（A）=sC.sωs sCCCsωsCCC*s-ints-clωs-ints-clωs-intAs-int因此sa-c-I=sa-c。(ii) 设I = P（X），则对于X的每个子集A，A*= I且s-cl *（A）= A. 因此，sc-int（sc-cl*（sc-int（A）=sc-int（s-int（A））=s-int（A）因此s=s在tX0AA中，以来intX0{\displaystyle x 0}是开放inX0;intX{\displaystyleX}{\因此，Acsc-int（sc-cl（V X0））sc-int（sc-cl（Vsc-int（sc-cl（sc-int（X0）s c-int（s c-cl*（s c-int（s c-cl*（s c-int（X0）c s c-int（s c-cl*（s c-int（A）。c c a-c -I(iii) 设I=N，则对X的每个子集A，A*=sc-cl（ sc-int（sc-cl（A）. 因此，s c-int（s c-cl*（s c-int（A）=s c-int[（s c-int（A））*[s c-int（A）]=s c-int [s c-cl（sc-int（s c-cl（s c-int（A）[s c-int（A）]= s c-int（sc-cl（s c-int（A）。 这表明s-c-I=s-c。H定理3.16. 设（X，s，I）是理想拓扑空间，A是X的子集.那么，以下成立：(a) 如果I={/}，则(i) a-c-I-open，c-pre-I-open和c-preopen都是等价的，(ii) A是c-半I-开的当且仅当A是c-半开的。(iii) A是c-b-I-开的当且仅当A是c-b-开的。(b) 若I= P（X），则A是c-b-I-开的当且仅当A是c-半开的.(c) 如果I= N，则A是c-b-I-开的当且仅当A是c-b-开的，其中N是无处稠密集的理想。c-intx0的x0的a-c-I -开集与a-c-I-连续函数的运算方法271这表明A2是a-c-I. H4. a-c-I -连续性定义4.1. 函数f：（X，s，I）f（Y，r）被称为：(i) a-c-I -连续的，如果对每个V2r，f-1（V）是（X，s，I）中的a-c-I(ii) c-半-I-连续的，如果对每个V2r，f-1（V）是（X，s，I）中的c-半-I(iii) c-预I-连续的，如果对每个V2r，f-1（V）是c-预I -连续的，I-在（X，s，I）中的开集。实施例4.2.令X={a，b，]，c}，s={i，X，{a}，{c}，{a，b}，{a，c}}和I={i，{b}}。我们定义一个操作c：sfip（X）如下：对于每个A2s，272N. Kalaivani等人2-）22-2）------2. A[fcg如果A-f(i) f（sc-cl*（U））csc-cl（f（U））对于每个U2c-PIO（X），Ac¼AifA¼fag(ii) 对于每个V2c-PIO（Y），sc-cl*（f-1（V））cf-1（sc-cl（V））然后，sa-c={l，X，{a}，{c}，{a，c}}并且sa-c-l={l，X，{a}，{c}，{a，b}，{a，c}}设Y={a，b，c}，r={f，X，{a}，{c}，{a，c}，{b，c}}。 我们定义f：（X，s，I）f（Y，r）为f（a）=c;f（b）=b;f（c）=a。则对每个V2r，f-1（V）是（X，s，I）中的-c-I-开集因此，f为证据(i) 设UcPIO（X），则Ucs c-int（s c-cl*（U））.因此，由定理4.3我们有f（s-cl *（U））cf（s-cl（U））连续的。定理4.3. 如果函数f：（X，s，I）f（Y，r）是a-c-I-continuous（resp. c-半-I-连续，c-预-I-连续），则f是a-c-连续的（分别为c-半连续，c-预连续）。证据证明由定理3.4得出 H定理4.4. 设f：（X，s，I）fi（Y，r）是一个函数，则下列语句等价：(i) f是a-c-I-连续的。(ii) 对于每个x2X和每个包含f（x）的开集VcY，存在W2sa-c使得x2W，f（W）cV.(iii) Y中每个闭集的逆像都是-c-I-闭的。(iv) 对于每个Bc Y，sc-cl（sc-int*（sc-cl（f-1（B）cf-1（sc(v) f（sc-cl（sc-int*（sc-cl（A）csc-cl（f（A））.证据(i)（ii）设x，X，V是Y中包含f（x）的任意开集.设W=f-1（V），则根据定义4.1，W是包含x和f（W）c V的a-c- I -开集。(ii) （iii）设F是Y的闭集。设V=Y-F，则V在Y中是开路的。设x2f-1（V），由（ii），存在X的a-c-I-开集W包含x，使得C ccf（sc-cl（sc-int（sc-cl*（U）cf（sc-cl（sc-int*（sc-cl（U）csc-cl （f（U））.(ii) 令Vc PIO（Y）。通过定理4.3，我们有sc-cl*（f-1（V））cs-cl（f-1（V））cs-cl（f-1（sc-int（sc-cl*（V ）cs-cl（sc-int（sc-cl*（sc-int [f-1（sc-int（sc-cl *（ V ） ]） ） cs-cl （ sc-int* （ sc-cl [f-1 （ sc-int（ sc-cl *（V）]））cf-1（sc-cl（sc-int（sc-cl *（V）cf-1（sc-cl（sc-int（sc-cl *（V）cf-1（sc-cl（sc-cl（V）。H定理4.6[16]. 函数f：（X，s，I）f（Y，r）是a-c-I-连续的当且仅当它是c-半-I-连续的和c-预-I-连续的。证据 这是定理3.7的直接结果。H定理4.7.函数f：（X，s，I）f（Y，r）是a-c-I-连续的当且仅当f：（X，s a-c-I）f（Y，r）是连续的。证据 这 是 一个 立即 后果 的 推论3.14. H定理4.8. 如果函数f：（X，s，I）fi（Y，r）是a-c-I-连续的，且X 0是a-c-I，则限制f/X 0：（X 0，s/X 0，I/ X 0）fi（Y，r）是a-c-I-连续的。证据设V是（Y，r）的任意开集。由于f是a-c-I-连续的，所以f-1（V）在（X，s，I）中是a-c-I-开的，并且根据定理3.10f-1（V）\X=（f/X）-1（V）2s.通过定理3.17（f/f（W）cV. 因此，我们得到x2Wcsc-int（sc-100a-c -Icl*（sc-int（W））csc-int（sc-cl*（sc-int（f-1（V）和X0）（V）2sa-c-I（X0）.这意味的f/X0是一个-我-因 此 f-1 （ V ） csc-int （ sc-cl* （ sc-int （ f-1（V）。这表明f-1（V）在X中是-c-I-开的.因此，f-1（F）=Xf-1（YF）=Xf-1（V）是一个-c-I-。在X中关闭(iii)（iv）设B是Y的任意子集。由于sc-cl（B）在Y中是闭的，通过（iii），f-1（sc-cl（B））是a-c-I-闭的，Xf-1（sc-cl（B））是a-c-I-开的.因此，X f-1（s c-cl（B））c s c-int（s c-cl*（s c-int（X f-1（s c-cl（B）= Xsc-cl （sc-int*（sc-cl（f-1（sc-cl（B）.因此，sc-cl（sc-int*（sc-cl（f-1（sc-cl（B）cf-1（sc-cl（B））.(iv) （v）设A是X的任意子集。通过（iv），我们有sc-cl（sc-连续的H定理4.9. 设（X，s，I）是理想拓扑空间，{Vffr}是（X，s，I）的a-c-I-开集对X的覆盖。 函数f：（X，s，I）f（Y，r）是a-c-I-连续的当且仅当约束f/Vf：（V f，s/V f，I/V f）f（Y，r）对每个f 2 r都是a-c-I-连续的。证据必要性。设f是a-c-I-连续的，则根据定理4.7，f/V对每个f2r都是a-c-I-连续的.充足。设f/Vf对每个f2r都是a-c-I-连续的.为int*（sc-cl（A））csc-cl（sc-int*（sc-cl（f-1（f（A）c（Y，r），（f/V）-1（V）2s（V）的任意开集V对每个f2rf-1（s-cl（f（A），因此f（s-cl（s-int*（s-cl（A）F-1-1a-c-I -开集与a-c-I-连续函数的运算方法273----a-c-IFc c cc cC因此f（V） =[{（f/Vf） （V）/f2r}2sa-c-I由Theosc-cl（f（A））.(v) （i）设V是Y的任意开集。 则由（v），f（s c-cl（s c-int*（s c-cl（f-1（Y-V）c s c-cl（f（f-1（Y-V）cs c-cl（Y-V）= Y-V。因此，我们有s c-cl（s c-int*（s c-cl（f-1（Y V）cf-1（YV）cX f-1（V）。我们得到f-1（V）csc-int（sc-cl*（sc-int（f-1（V）. 这意味着f-1（V）是一个-c-I-开集.因此，f是a-c-I-连续的.H推论4.5。设f：（X，s，I）f（Y，r）是a-c-I-连续的，则rem 3.10和定理3.18。这意味着f是a-c-I-连续的.H5. a-c-I -开函数定义5.1.(i) 一个函数f：（X，s）f（Y，r，I）称为-c-I-开的，如果X中每个开集的像是Y的一个-c-I-开集。274N. Kalaivani等人>---(ii) 一个函数f：（X，s）fi（Y，r，I）被称为c-半I-开（或c-预I-开，c-b-I-开）如果X中每个开集的象是c-半I-开的（分别是c-半I -开的）.c-预-I-开，c-b-I-开）集。实施例5.2.设X={a，b，c}，s={l，X，{a，c}}，Y={a，b，c}，r=P（Y），I={l，{c}}。 我们定义一个运算c：rfp（Y）如下：对于每个A2s，8>A[fcg如果A¼fag或fbg（ii）设V是Y的任意c-预开集. 利用（i），我们得到f-1（sc-cl*（V））cf-1（sc-cl（V））cf-1（sc-cl（sc-int（sc-cl（V））cf-1（sc-cl（sc-int*（sc-cl（V）））csc-cl（f-1（V））.H定理5.6. 函数f：（X，s）fi（Y，r，I）是c-预I-开的（分别为 c-半I-开，c-b-I-开）当且仅当对于X的每个子集WcY和每个包含f-1（W）的闭集F，存在一个c-预I-闭（分别为c-半I-闭，c-b-I-闭）集HcY包含W使得f-1（H）cF.Ac¼A[fag]如果A¼fcg：A如果A证据这个证明类似于定理5.4。 H推论5.7。 设f：（X，s）fi（Y，r，I）是一个函数。那么，ra-c-I={i，X，{a，b}，{b，c}，{a，c}}。我们定义f：（X，s）fi（Y，r，I）为f（a）=c;f（b）=b;f（c）=a。那么，X中的每个开集的像都是X中的-c-I-开集，(i) 若f是c-半I-开的，则对Y的任意子集B，f-1（sc-int*（sc-cl（B）csc- cl（f-1(ii) 若f是c-预I-开的，则f-1（s-cl（s-int*（B）cs-（Y，r，I）。因此，f是一个a-c-I-开函数.cl（fC c c-1（B））的任意子集B。定理5.3[16].函数f：（X，s）fi（Y，r，I）被称为a-c-I-开当且仅当f是c-半I-开和c-预I-开。证据这个证明由定理3.7得出 H定理5.4. 函数f：（X，s）f（Y，r，I）是a-c-I-开的当且仅当对于X的每个子集W c Y和每个包含f-1（W）的闭集F，存在包含W的a-c-I-闭集H c Y使得f-1（H）c F。证据必要性。设H=Y-f（X-F）.由于f-1（W）cF，我们有f（X-F）cY-W.由于f是a-c-I-开的，则H是a-c-I-闭的，且f-1（H）=X-f-1（f（X-F））cX-（X-F）=F.充足。 设U是X的任意开集，W = Y-f（U）.则f-1（W）= X-f-1（f（U））cX-U且X-U是闭的.在此假设下，存在Y的一个包含W的a-c-I-闭集H，使得f-1（H）cX-U.然后，我们有f-1（H）\U=/和H\f（U） =/。因此，我们得到Y-f（U）sHsW=Y-f（U），并且f（U）在Y中是a-c-I-开的.这意味着f是a-c-i-open的。H推论5.5。如果f：（X，s）f（Y，r，I）是a-c-I-open，则以下性质成立：(i) f-1（sc-cl（sc-int*（sc-cl（B）csc-cl（f-1（B））.(ii) f-1（sc-cl*（V））csc-cl（f-1（V））.证据（i）设B是Y的任意子集，则sc-cl（f-1（B））闭于X.根据定理5.4，存在a-c-I-闭集HcY含有B，使得f-1（H）csc-cl（f-1（B））。由于Y-H是-c-I-开的，所以f-1（Y-H）cf-1（s-int（s-H））（iii）若f是c-b-I-开的，则f-1（sc-int（sc-cl（sc-int*（B）csc-cl（f-1（B）），对于Y的任意子集B.证据 这个证明类似于推论5.5。H确认作者对审稿人提出的宝贵意见和建议深表感谢。引用[1] O. 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Hayashi，Topologies defined by local properties，Math.Ann.cl（s c-int（YH） 和Xf（H）c f（Y）（s c-cl（s c-int*（s c-cl（H）=Xf-1（s c-cl（s c-int *（s c-cl（H）. 因此，在本发明中，我们得到f-1（sc-cl（sc-int*（sc-cl（B）cf-1（sc-cl（sc-int*（sc-cl（H）））cf-1（H）csc-cl（f-1（B））.所以我们有f-1（sc-cl（sc-int*（sc-cl（B）csc-cl（f-1（B））。a-c-I -开集与a-c-I-连续函数的运算方法275156（1964）205-215。[12] P. Samuels，A topology formed from a given topology andideal，J. London Math.Soc.10（2）（1975）409-416.[13] D. T.R.扬科维奇Hamlett，新的拓扑从旧的通过理想，上午。数学月刊97（1990）295-310.276N. Kalaivani等人[14] G. Sai Sundara Krishnan，K.张文，等.拓扑空间中的c-半开集.数学学报，
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