269理论计算机科学电子笔记46（2001）网址：http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume46.html16页素阵和复合阵的数字投影Imants Svalbe1，2莫纳什大学澳大利亚悉尼摘要离散拉东变换（DRT）提供任何离散阵列（例如3D微晶或2D数字照片）与其数字投影之间的1：1映射。 DRT在概念上简单，计算效率高， 但在描述离散系统时却具有丰富的描述能力迄今为止，DRT已被应用于基于数字投影的数字图像的重建和分析，但似乎DRT有更多的可操作性。DRT通过伪随机序列以及素数数量的分布，从而与黎曼zeta函数的零点在基本数论中有根源。这些数论方面与物理系统性质的联系意味着DRT可以在不同领域找到应用。它可能是可能的模型的离散系统的能量谱的混沌行为，使用一组基函数从DRT。本文描述了离散阵列的固有特性，由2D DRT生成的数字投影集定义。特别是，它提出了详细的角度和采样距离间隔分布的数字投影，为正方形和六边形阵列的总理和复合尺寸。阵列的复合尺寸是感兴趣的，est在表示的光谱性质的晶体含有颗粒域的可变大小。1介绍这里的关键思想在于这样一个事实，即任何离散或颗粒状的“类原子”点的集合的形状和内容这种描述的必要理论是1感谢Charles Osborne副教授提供的有益意见，感谢Monash大学的Steven Homolya在手稿准备方面提供的帮助和建议2电邮地址： imants. spme.monash.edu.au2001年由ElsevierScienceB出版。 诉 在CCBY-NC-ND许可下开放访问。SVALBE270将连续空间Radon投影变换[7]扩展到定义为由位于离散规则晶格空间上的采样值组成的对象的数字投影。1.1离散Radon变换Radon变换[7]是基于沿穿过物体的直线所取积分的性质。连续空间Radon投影变换有一个反演公式，它允许在给定一组具有充分代表性的离散采样投影（例如，X射线透射分布）的情况下，对任意物体的形状进行近似。离散Radon变换（DRT）对嵌入在离散空间而不是连续空间中的图像I（x，y）映射到其DRTR（t，m），其中I是在规则位置x和y处采样的离散对象，并且R是具有平移t和角度m的一组数字投影，其中x、y、t和m为整数。Beylkin [1]为任意整数大小的离散矩形阵列开发了DRT的一般定义Beylkin给出了离散投影与反演过程的精确代数形式，建立了DRT与离散Fourier变换（两者都是原离散集的1：1映射）之间的联系，并给出了其计算的有效算法。Beylkin还包括沿弯曲和直线路径进行投影的可能性当从地震成像反演投影时，添加弯曲路径投影是一个重要的扩展，其中射线经历显著的折射，例如也发生在超声CT中。Beylkin还预示了通过在DRT空间中计算这些属性，在2D或更高空间中实现滤波和其他空间操作Radon变换与用于分割数字图像中的线或形状之处，并且DRT与用于Hough变换的离散化版本的直线的离散表示密切相关。转换[9]。这里采用的数字投影映射的定义是Matus和Flusser [6]的定义，他们概述了DRT的群论和傅立叶他们将DRT的应用描述为一种相对有效的数字图像数据压缩机制当阵列大小被限制为素数而不是任意整数时，投影的集合变得非退化，因为每个阵列点以对于每个投影唯一的模式被采样一次且仅一次投影和反演过程就变成了一个简单的算术（加法）运算，而不是Beylkin的DRT格式的更一般的代数Salzberg [8]应用DRT从真实的X射线透射曲线中对3D晶体的结构进行成像，并表明可以在迭代重建SVALBE2712公式Svalbe [11]应用DRT形式主义直接从真实空间投影数据计算灰度图像，并证明了产生与使用传统CT方法获得的图像质量相当的图像所需的重建DRT原理也是众所周知的，并应用于离散断层扫描[3]，并用作数学格理论[5]中的工具数字投影可以精确地表示离散集合中的所有信息的概念，在涉及（或操纵）离散对象的应用中也会带来直接的实际好处例如，Svalbe [10]已经表明，DRT为离散图像中的消息或结构信息的不可感知的方向敏感嵌入提供了合适的框架，并提供了用于描述局部纹理的方向敏感的非线性模型。数字图像及其数字变换之间的信息守恒还意味着可以选择具有最大百分比的描述性信息的投影，并将其用于引导真实空间有限的角度采集系统，以从有限数量的视图实现最佳图像恢复。1.2数论与DRT值得注意的是，DRT与著名的“Riemann Hy假设”有着重要的联系康纳斯的黎曼zeta函数的零点DRT形式主义，适用于二维离散格，似乎构成了一个实际的，具体的例子Adeles系统，因为（平方）间隙距离的分布也是基于一组选定的素数，因此被赋予了相同的代表性的复杂性。正如Berry在[4]中指出的，量子混沌系统系综的平均能量分布也符合Riemann zeta零点分布。数论学家Sarnak和Katz在[4]中也报道了谱解释不仅可以应用于黎曼zeta函数的零点，而且可以应用于许多其他zeta数论函数。DRT形式主义联系量子混沌和真正的离散系统的关系的行为的激发，传播（如数字投影）沿线之间的阵列选择最近的邻居，真正的离散对象的能态数字样本之间的最小间隙距离的（唯一）分布可以用作描述在由离散元件组成的对象内沿着离散直线轨迹传播的单个电子（或诸如声子的其他波激发）的能量的谱的基础，正如原子平面SVALBE272(a)（b）（c）Fig. 1. 有限系统中激励轨迹的例子：a）确定性路径在经典的规则对象，b）经典的混沌路径在定义了X射线衍射中的布拉格反射。沿着任意轨迹传播的激励的路径长度（以及因此的波长）被限制为位于紧凑（但连续）的2D或3D边界内，对于如图1a所示的矩形物体，其可以是简单的周期性的，或者对于如图1b所示的“体育场台球”情况（具有弯曲端部的矩形），其可以是混沌的[2]量子混沌解决方案往往需要描述复杂的能量状态的有限，离散的对象，如图所示。1c.对于离散对象，底层晶格提供了势阱，该势阱将激励路径约束为远离任意方向上的轨迹，并将它们偏向由与最近的“原子”邻居的链接支持的方向。这些状态的能量将与定义这些轨迹的最小路径的长度或平方长度经典混沌轨道和量子本征值之间的联系（作为“迹公式”）是由Gutzwiller在40年前提出的。离散对象可以被建模为嵌入在下一个最大素数大小的规则数组为了实现对象属性与阵列属性的最佳匹配，阵列被选择为尽可能接近与对象相同的大小和真实空间对称性。这些要求激发了对正方形和六边形晶格上DRT性质的研究复合大小的阵列也被检查，以使一个更一般的大小的方法，为任意形状和相对断开的对象，例如，作为一个复杂的阵列构建或平铺从一个组件的松散耦合的素数子阵列。DRT形式主义还可以在大小等于边界正方形的网格上定义任意形状的对象，然后使用站点占用变量作为离散阵列函数值之一另一个数论联系是DRT中原根或勒让德序列发生器的出现当映射为单位圆上的相位矢量时，Legendre序列具有有趣的性质，即它们在傅立叶变换下是不变的[13]。例如，在R（t，m）空间中的行和列上生成循环映射时会出现相关序列，从而使重建图像旋转90°[12]。在这种情况下，旋转映射序列具有素数长度p，并且基于SVALBE273××在p和整数幂元（p−1+αip）/i，其中1≤i≤p− 1和整数αi≥0。1.3本文结构DRT形式及其与图像重建的关系在第2节中针对正方形阵列进行了定义，随后在第3节中简要描述了DRT到六边形阵列第4节概述了素数大小阵列上数字投影的角度和间隙距离分布的系统行为。在可能的情况下，给出了连接DRT变量的方程，否则使用表格或说明性图表来证明在所检查的大范围阵列大小上观察到的一致趋势。第4.3节介绍了在这些分布中观察到的复合而不是素数大小的数组的变化。第5节给出了一些结论。2DRT形式主义DRT精确且可逆地映射任何离散集及其适当定义的投影集。数字投影提供了一个有见地的描述，在一个独特的一组离散的投影角度，平行的样本均匀间隔（整数）的翻译方面表达的原始对象沿着数字投影射线的方向，对象“主体”内的对象值的采样也以离散间隔发生（与原始拉东变换的连续积分采样相反）。这种离散的这里通过2D示例说明DRT属性（对于更高维度，2D平面可以映射到环面[8]）。传统的DRT工作在素数p大小的阵列上，并且被开发用于投影数字图像的离散元素（像素）。当考虑真实的离散原子系统而不是数字图像时，每个阵列位置处的值可以以几种（多光谱）方式解释;作为该点处阵列的一些数字属性（例如，局部电子密度），或作为（常数）标签来表示每个位置处的原子种类类型，或作为二进制值（对于填充/空置的晶格位置）。DRT将2Dp p数字图像I（x，y）映射到由“1D”数字投影组成的2Dp（p+ 1）数字空间R（t，m）坐标x、y、t和m都是整数。每个空格的原点（0，0）（任意）取为数组左上角的元素。每个数字投影具有p个均匀平移（这里称为投影<图图2示出了真实对象O、其离散模拟投影和SVALBE274−×数字图像I（x，y）投影R（t，m）⇓↑s⇓↑对象O=φP（ρ，θ）模拟投影（ρ以θ角采样图二、一个真实的物体，它的图像和投影之间的联系I（ x，y）x= 0时x= 1x= 2y= 0时123y= 1456y= 2789表1一个3× 3的数字图像样本I（x，y）。图像P、数字图像I和同一对象的数字投影RI和R之间的联系正好是1：1并且是可逆的，因此关于图像I的信息（例如总方差）分布（通常是不均匀的）在R上，即数字投影的集合。O对于任何给定的离散投影P的集合都不是唯一的，但是P可以被充分地表示以使I成为O的紧密近似。从R到P的精确映射是可能的，但从P到R的映射就像从P到I或从O到I的映射一样，是一个有损的过程，取决于连续到离散映射的细节为了生成单个数字投影（t，m），平移x=t，y= 0处的图像像素值与x=（t+m）mod（p），y= 1处的像素值相加，然后在y= 2上的x=（t+2m）mod（p）处的像素值相加，以此类推，直到并包括y=p 1。通过对t和m的所有可能值重复该过程来生成投影。数字投影m=p是一个例外，每个t的求和都是在p行之一上进行该过程由表1中的数据说明，对于3 × 3离散正方形点阵阵列，位点标记为1至9。表1同样可以被认为是具有9个任意值的灰度级或灰度阴影的灰度数字图像I（x，y）。表2显示了表1中数据的DRT因为数组是素数大小，每个像素被选择，对于任何选择的t和m，只是一次从一个独特的模式的位置，因此投影是完全可逆的。逆DRT以与获得R（t，m）值相同的空间图案在图像空间I（x，y）上回写每个R（t，m）值。重建（反投影）过程几乎与SVALBE275×R（ t，m）t= 0时t= 1t= 2m= 0一、四、七二，五，八三六九m= 1一、五、九二、六、七三、四、八m= 2一、六、八二、四、九三五七M= 3一、二、三四、五、六七、八、九表2表1的图像I（x，y）的DRTR（t，m）IJ（ x，y）x= 0时x= 1x= 2y= 0时一、二、三一、五、九一、二、三二、六、七一、二、三三、四、八一、六、八一、四、七二、四、九二，五，八三五七 三六九y= 1四、五、六三、四、八四、五、六一、五、九四、五、六二、六、七二、四、九一、四、七三五七 二，五，八一、六、八三六九y= 2七、八、九二、六、七七、八、九三、四、八七、八、九一、五、九三五七 一、四、七一、六、八二，五，八二、四、九三六九表3从表2的数字投影数据R（t，m）重建的图像I（x，y）前向投影，就像傅里叶变换。当DRT前向映射应用两次时，结果图像是原始图像的反射图像（再次m=p需要特殊处理[12]）。DRT投影和反演算法是真正的反投影方法，因此需要访问m的所有p+1个值的所有p p个像素，即O（p3）。访问每个数据点所需的唯一操作是加法。更快和更有效的算法存在用于反转投影（参见Herman和Kuba在[8]中的文本），但是这些涉及到SVALBE276原始数据值。表3示出了经由逆DRT从表2获得的重构图像值注意，每个重建像素包含该图像位置处的原始值的p倍与傅立叶变换一样，DRT映射是1：1;归一化后，重建图像与原始图像相同，因此投影过程是无损的。每个m值的数字射线以使人想起模拟投影情况的方式形成特征投影角数字角度由θm= arctan（xm/ym）给出，其中xm和ym是沿着a方向的像素之间的最近邻距离的笛卡尔分量SVALBE277−−25MMM≤ ≤ ≤≤29M(a)（b）第（1）款图三.数字射线，p= 127，t= 0，a）m= 25，xm= 2，ym= 5，θm= 158Ω，b）m= 29，xm= 7，ym= 9，θm= 38θ。普通数码射线零角度在这里被定义为垂直向下的方向，90度角对应于右水平轴方向。数字射线形成为（m，mJ）对，以互补角θmJ= 180<$−θm定向，其中θmJ= arctan（xm/ym）且m+mJ=p[11]。与模拟情况不同，给定平移t的单个数字投影射线可以围绕阵列缠绕若干次，从而创建具有共同平行取向的射线束。这在图3a中示出，对于p= 127的情况，对于正方形晶格，t= 0，m= 25。在图3a中，样品之间的间隙距离沿着射线方向（d2（29）与距离相比，包裹的部分，导致定义良好的数字射线。给定的（平方）间隙距离d2在一个正方形数组中，整数（xm和ym分别是整数水平和垂直位移，格上的元素），并对应于丢番图方程的最小解给出的值（一）2 =x2+y2，其中，要搜索的解的范围是0xmdm和1ymdmm由下式给出：（二）m=αp+xm，ym其中α是正整数，使得m是小于p的整数。图图3b示出了在m= 29处的p=127阵列的数字射线的散射图案;大最近邻间距（d2= 130）一组唯一的共线性样本点仍然很明显。对于一个正方形对称的数组，素数p可以表示为两种类型，4n + 1和4n +DSVALBE278M3。这一区别将成为重要的字符-描述了d2价值观四重对称允许SVALBE279M−⊗⊕±±M22−- -图四、六边形阵列上的数字投影示例标记的元素形成投影t=1，m=3，p=5，标记的元素形成投影t=0，m= 2，(the【？】 标记两个投影的交点）。解xm：ym和ym：xm，形成两组互补的角度对，这四个投影中的每一个具有相同的d2值。例外情况发生在角度0°和90°（其中d2= 1，m= 0，mJ=p）以及45°和135°（其中d2= 2，m= 1，mJ=p 1），因为这些投影在复直角处形成单对数字射线4n + 3素数形成4n个角（不包括0<$， 45<$， 90<$和135<$），因此显示精确的四重对称。4个n + 1素数形成4个-折叠对称角，除了在两个m值处，其中两对等价的形成角，每个角都具有d2=p。3半正交阵我们定义了一个由六边形晶格构建的正方形阵列，如图所示四、在水平平移（t）方向上的平移具有单位间距，如对于正方形横向平移e。垂直方向上的两条平行线不被3/ 2的距离，并且以0.5个单位间距水平设置我们定义数字投影（t，m），以找到的离散阵列的内容开始attranslate t（与。原点在第一行的左边，如前所述）和求和这与在（t+m）mod（p）+1，1处的内容有关，并继续求和直到r owp-1已被处理。 另一个人。thod来形成数字aaal1投影将捕捉回阵列点（t+m）mod（p）-，1并反转行的缩进;采用这个定义只会将m的有效值减少到m−1。零角在这里再次被定义为向下垂直轴的方向。投影m= 0是跨行进行的，以形成90度投影，因为现在m=（p1）/2选择六边形阵列的偶数和奇数列对，因此形成零度投影。对于m= 1，投影总是在60° C。对于m=p，角度总是30°，类似地，m=p 1总是在150°形成数字射线，p2总是在120°定向。投影m具有互补投影，mJ=p− 1−m，θm+θmJ= 180Ω。由于水平距离以0.5个单位递增（即使阵列SVALBE280MMMM2MMMMMMM−Mt和m的转换为整数增量），对于六边形阵列，将相对位移xm定义为0.5单位的整数倍是有用的一给定（平方）间隙距离d2在一个六边形阵列上，正方形数组，总是变成一个整数（xm和ym分别是在一个平面上的整体的纵向和垂直位移）。 作为一个独立的国家，在水平方向上以0.5个单位的倍数分隔，在垂直方向上以3/ 2个单位的倍数分隔沿数字射线方向的格点之间的距离由丢番图方程的最小解给出（三）4d2 =x2+3y2，其中Searchover的解的范围为0≤xm≤int（2dm）且0≤ym≤int（2dm/ 3），其中int（）是返回它的参数，m由下式给出（四）αp+1（xmym）m=，ym其中α是正整数，使得m是小于p的整数。这里xm和ym必须都是偶数或都是奇数（或者位移落在晶格位置之间）。沿着六边形网格上的这些数字射线的相邻像素之间的平方距离总是整数（对于正方形网格），作为x2+3y2当xm和ym都是偶数时，都很奇怪六角阵列上的素数可以有两种类型，6n+1或6n+5，其中n是正整数。6个n + 1素数在R（t，m）中生成6个n + 2角，形成3个n+ 1角和互补角对。6n + 2对应d2值是以6的倍数分组的，因为3对射线，以60°的相对角度增量分开，并具有相同的采样间隔，形成在六边形站点上。这留下了一对m值，d2的最大值=p。 对应于最大值的m距离的值也有三个相等的角度，间隔60度，其中任何一个都可以指定为该m的角度。6个n + 5素数形成6个n + 6角作为互补对，每组6个角共享相同的距离值。4角度和距离4.1Prime Square Array角度分布是通过计算和选择样本像素之间的d的最小值来生成的，对于m的每个值，对于p的某个固定素数，对于（1）的所有可能的（互质）解xm，ym。它对素数p没有退化，所以每个数字投影角都是唯一的[11]。这里感兴趣的是像素之间的平方最小间隙距离的分布沿射线方向的样本（d2=x2+y2）。 对于正方形晶格，d2最大值作为p的函数变化很不稳定，但收敛SVALBE281到1左右。14p对于p大[11]。（分级）角度和间隙分布为SVALBE282≥MaxD(a)（b）第（1）款图五、p+1排序角度的分布，左轴180°> θ≥0°，对于大小为p×p的正方形晶格，p+1平方间隙距离作为m的函数，a）p=409，a4n+1素数，rig ht轴1≤d2≤457;b）p=419，a4n+3素数，rig ht轴1≤d2≤449。对于正方形晶格，在图5a中针对p= 4n +1示出，在图5b中针对4n +3示出。下图所示的角度分布从左上角（θ= 180°）到右下角（θ=0°）;间隙分布从左下角（d2=1）到右上角（其中，图5a中d2= 457，图5 b中d2这两种分布都表示为m的p+1值的函数。对于正方形晶格，p= 4n + 1和4n + 3的平方距离的所选（或允许量化）值由下式给出的值的集合形成：(5)d2={ 1， 2，所有4个n + 1素数}加上这些项的叉积，直到最大值d21。14便士。当d2为奇数时，方程（1）允许d2有4n+1型整数解，当d2为偶数时，方程（1）允许d2有2（4n+1）型当xm和ym互质时，解被限制在方程（5）给出的集合d2值出现的频率f对于d25是2（对于d2=p的情况，当p是4n + 1素数时）。<对于d2的其他允许值，(6)f（d2）= 2· 2φ，其中φ是d2的不同素因子的个数，对于d25。p的不同值的d2分布从d2= 1到某个截点（例如，对于p= 409和419，d2当d2接近其最大值时，fm y可能介于2n和2n+1之间，因此，fmy的值与d2的最大值相同12岁。 对于较大的p值，其中d2θ≥0<$，以及p+1平方间隙距离作为m的函数，其中a）p=409，a6n+1素数，rig ht轴1≤d2≤409，b）p=419，a6n+5素数，rig ht轴1≤d2≤397。d2的分布相应地失真（因为每个数字角度m都有一个相关的最小距离）。在六边形阵列的情况下，仍然选择6个n+ 1素数的值，但新产品也是如此（例如，现在也允许d2d2的这些额外值由j2的项生成，j2的项被添加到等式（7）中列出的因子集合其中j是p的（现在是复合的）值的因子。的额外值d2允许的情况下，一些主阵列投影被新的复合阵列投影置换。则f（d2）变为2φ，其中φ较大，其中d2具有大量因子（例如d2= 192 = 344（4）f=16。对于复合大小的正方形阵列上的d2分布，情况稍微复杂一些，因为通过插入新的j2项，4n+1个素数的某些倍数被完全抑制4.4复合尺寸阵列中固定d~ 2值的分布如果我们固定一个d2的值，我们可以看看这个值被选择的频率是数组大小的一般函数 这相当于在具有可变晶粒尺寸的晶体系统的能谱中寻找显著的峰。随着p的变化，给定d2值出现的频率是周期性的，周期性的模式可以预测，与d2相关的m值也可以预测。简并的模式可以是复杂的，具有长周期的周期性，这本身就很有趣在六边形阵列上，对于特定情况xm= ym= j，则从（3）d2=j2，所以d是整数。 这 些 射线对应于±30℃或±150℃。六边形频率分布的周期性SVALBE285/±−−××(a)（b）第（1）款见图7。 p+1排序角的分布，左轴180<$> θ≥0<$，以及p+1平方间隙距离作为复合尺寸p×p（p=408）的晶格的m的函数。a）正方形晶格，其ht轴1≤d2≤461，b）六边形晶格，其ht轴1≤d2≤397。当d2=（6n+1）2时，阵列特别长.例如，f（49）在p的每210次增量之后重复。 对于d2=j2，j = n6 + 1素数，f（d2）是零，除了每第j个元素，其中f= 4 φ，对于整数φ。非零条目出现在复合数组大小p处，该复合数组大小p是j的整数倍。这些结果可以推广到预测任意阵列尺寸的最小距离的分布，对于正方形阵列使用等式（1）和（2），对于六边形阵列使用等式（3）和（4）。由于d2的上界较紧，六边形的情况比较容易解决.ym值，作为（2）和（4）中的向量，产生长度为mod（ym）表示对每个d2值的贡献。例如，对于d2= 19的六边形解，ym=2，3和5，使得f（19）作为p的函数的净周期为2 35 = 30。 当p= 408时，对d2= 289 = 172有贡献的32个m值包括16个退化的m值对，对应于xm：ym= 17：17。这是因为17是408的质数因子。对于尺寸为p的复合六边形阵列，+j：j（30°）的数字射线具有m个值，由m=αp/j给出，而j：j（150°，余角）具有m个值，由αp/j1给出。这是因为最近的相邻像素在j行增量之后必须具有j/2的水平邻集则j（m+1/ 2）=p+j/2，与（4）一致。复合阵列的角度和距离分布与素阵的角度和距离分布相差不大。重要的是，任意大到106的整数都可以用（平均）SVALBE286××(a)（b）第（1）款见图8。 a）原始图像“Lena”，大小408 408，b）从复合加性氡投影加性重建的图像。 在0 ° C时m的冗余效应 和45°导致垂直和对角线条纹。大约2.8个素因子，每个因子的平均幂约为1.3。复合阵列保留了大部分素数阵列的精确表示性质，因此它们本身可以充分模拟离散原子系统的许多性质，甚至不需要求助于找到[1]的代数解。同样，将复合数组分解为少量（子多个）素数数组不会变得太复杂，从而失去其描述性效用。作为一个实际的例子，图8示出了复合尺寸（408 408）的图像数据看起来相当可识别，即使在使用素数阵列形式主义来投影和重建图像之后。方程（6）和（8）预测了d2由许多素因子组成的投影中的大退化。例如，d2=32，045，因子为5、13、17和19（前四个4n + 1素数），则f= 32。等效观察到，通过等式（1），半径为该d的圆将具有64个正方形格点，这些格点精确地位于该圆的周长上5总结素数大小阵列上的DRT具有许多有趣的内在性质，因为素数和模运算相互作用产生唯一的最近像素角度分布和非常有选择性的最近像素距离分布。角和距离分布已被表征为正方形阵列和六边形阵列的情况，其中超对称性大大简化了它们的解释我们已经表征了复合物尺寸的阵列这项工作的动机是在图像重建中的应用SVALBE287和图像编码，以及使用DRT研究粒子或激发轨道上的规则晶格内真正的离散“结晶”系统引用[1] Beylkin，G.，离散拉东变换，IEEE声学、语音和信号处理汇刊35（2）（1987），162 - 172。[2] Cipra ， Barry ， A Prime Case of Chaos ， What Is Happening in theMathematical Sciences4，在线文章，http://www.ams.org/new-in-math/cover/prime-chaos.html。[3] Correa，A.，R. Cruz和P. Salzberg，关于X射线计算机断层扫描，应用数学讲座30（1994），24-33。[4] Klarrich，E.，Prime Time，New Scientist168（No.2264）（2000），32 - 36.[5] Kung ， J. ， Radon Transforms in Combinatorics and Lattice Theory ，Contemporary Mathematics57（1986），33-74.[6] Matus，F.， 和j. Flusser，通过有限Radon变换的图像表示，IEEE T-PAMI 15（10）（1993），996-1006。[7] Radon，J.，Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwertelangs gewisser Mannigfaltigkeiten ， Berichte Sachische Academie derWissenschaften，Leipzig，Math-Phys. K169（1917），262-267.[8] Salzberg，P.，和 M. FigueroaHerman，A.Kuba，Birkhauser ，Boston ，1999.[9] 斯瓦尔贝岛霍夫变换的自然表示，IEEE T-PAMI12（2）（1991），336-342.[10] 斯瓦尔贝岛A Method to Embed Messages in Images Using the Digital RadonTransform，Accepted for presentation at ICIP，Thessalonika，October，2001.[11] 斯瓦尔贝岛D.范德斯佩克，层析成像和离散氡变换，离散层析成像研讨会，锡耶纳，意大利，2000年10月（提交给线性代数）。[12] 斯瓦尔贝岛Radon Space中的图像操作，提交给DICTA 2002，墨尔本，澳大利亚，2002年1月21-22日。[13] S chr oeder河M.，《科学与通信中的努曼贝尔理论》，第二版，施普林格出版社，1997年。
