直接建模与工程设计：基于几何扰动的变分B-rep模型分析

可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报6（2019）606基于几何扰动的变分B-rep模型直接建模分析邹强，冯希勇不列颠哥伦比亚大学机械工程系，温哥华，BC V6T 1Z4，加拿大阿提奇莱因福奥文章历史记录：2018年8月29日收到收到修订版2019年3月11日接受2019年3月12日在线预订2019年保留字：CAD建模直接建模几何约束系统约束系统表征约束系统分析A B S T R A C T最近的直接建模CAD范例产生了处理定义在边界表示（B-rep）模型上的3D几何约束系统的需要。处理这种变分B-rep模型（STEP格式）的主要问题是，约束良好的模型的自由运动不仅仅涉及刚体运动。根本的困难在于系统地描述这些自由运动遵循的模式。本文提出了一种几何摄动方法来研究这些自由运动。该方法是见证方法的推广，允许它直接处理由STEP格式表示的变分B-rep模型这种推广基本上是通过使用自由运动的直接几何表示，然后用几个基本运动的合成来表示自由运动来实现的。为了证明所提出的方法的有效性，一系列的比较和案例研究。©2019计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个开放在CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）下访问文章1. 介绍计算机辅助设计（CAD）是机械设计中广泛使用的工具直接建模是最新的CAD建模模式，其特点是直接操纵模型的几何形状，以大大提高模型编辑的灵活性（Ault Phillips，2016; Tornincasa DiMonaco，2010）。通过这种技术，可以通过推拉面等直观操作轻松编辑模型（邹峰，2019）。实现直接建模可以采取两个方向：将直接建模集成到基于历史的建模中（Shah Mäntylä，1995），或将变分建模集成到直接建模中（Anderl Mendgen，1996前一种整合方向概念简单，但有其固有的局限性。集成通常通过简单地将直接编辑添加到模型构建历史的末尾（Farjana，Han，Mun，2016）作为额外的特征操作来完成，并且原始历史与以前完全相同。正如Bettig和Hoffmann（2011）所指出的那样，这种集成可能会混淆模型中的参数信息，并导致失去有意义的参数控制。针对这一局限性的一个可能解决方案是开发一个新模块，将直接编辑转换为模型构建历史中已经呈现的特征的参数调整操作（Fu，Chen，Gao，2017）。这种方式由计算设计与工程学会负责进行同行评审。*通讯作者。电子邮件地址：feng@mech.ubc.ca（H.- Y. Feng）。但是不能完全解决该限制，因为不是所有的直接编辑都可以通过特征参数调整来实现更糟糕的是，给定的直接编辑（如果可以实现）的特征参数调整在这些方面，这项工作选择了后者的集成方向，它集成了变分建模到直接建模。为了将变分建模集成到直接建模中，在直接建模中使用的边界表示（B-rep）模型的基础上增加了一个几何约束信息层直接编辑仅更改几何体（即，模型的B-rep层）。结果，预编辑模型中的几何约束一致性将被破坏，并且需要相应地调整模型也就是说，约束层中的几何约束系统（GCS）将通过用改变的模型几何形状上的尺寸更新约束参数并移除任何不适用的约束来改变此更新过程可能会破坏更新前GCS的良好约束状态，从而导致约束不足和/或约束过度的模型。因此，有必要开发方法来分析更新后的GCS的约束状态，然后根据结果，添加/删除约束，使得GCS再次成为良好的约束这项工作的目的是提供一个自动GCS分析方法，它可以帮助用户有效地处理直接编辑后的非约束模型，而不需要他/她成为几何约束推理的数学专家https://doi.org/10.1016/j.jcde.2019.03.0022288-4300/©2019计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。Q. 邹，H.-Y. Feng/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）6066072GCS 分 析 在 几 何 约 束 求 解 领 域 得 到 了 广 泛 研 究 （ BettigHoffmann ， 2011 ） 。 在 这 些 研 究 中 ， 见 证 方 法 （ FoufouMichelucci，2012;Michelucci Foufou，2006）是最适合这项工作的分析任务然而，直接应用机智方法是不够的，需要新的发展见证方法（Foufou &Michelucci，2012）假设几何表示参数上没有冗余的条件。这个条件可以借助于以下示例来理解：平面可以用（1）元组a;b;c; d和附加约束a2b2c2 1/4 1（平面方程是axbyczd 1/4 0）来表示，以及（2）平面上的点p2R3，平面的法线n S2。方案（1）没有冗余的表示参数，而方案（2）具有冗余的表示参数，因为p不是唯一的，并且平面上的任何点都可以用来定义它。在以前的研究中没有讨论过见证方法。 我们将在实施和结果部分验证此声明。这个条件不一定不可能满足，但是标准的B-rep方案（即，在CAD中使用STEP标准（Requicha，1980; Owen，1997））不具有这样的质量。这个问题可以通过在CAD系统中并行使用两种不同的表示方案来解决，然而这引入了另一个问题：需要在方案之间进行转换的附加CAD模块。这项工作选择了一个直接的方法，可以处理可变的B-REP模型与标准的STEP计划。此后，除非另有说明，否则变分B-rep模型是指具有标准STEP方案的模型。直接方法的挑战在于，约束良好的模型的自由运动（不违反GCS）不仅仅涉及刚体运动。例如，考虑图1a中的良好约束模型。刚体运动显然是自由运动。一些非刚体运动也是适用的。通过平移顶平面和底平面并旋转四个侧平面，如图1所示。 1b，我们得到了一个运动，这不是一个刚体运动，同时不违反模型的GCS。为了对变分B-rep模型进行有效的分析，必须对这种自由运动进行系统的为了应对这一挑战，提出了一种几何摄动方法，表明这些自由运动背后有一个优雅的模式：任何这样的运动都可以用几个基本运动的组合来表示该方法实质上是对见证方法的推广，使其可以直接处理标准STEP格式下的各种B-rep模型。2. 相关工作在过去的三十年中，已经出现了大量与GCS分析相关的出版物，请参阅（Bettig Hoffmann，2011）对其进行全面综述。这些思想大致可以分为四类：基于求解的、基于逻辑的、基于图的和基于扰动的。其中，基于求解的方法是（概念上）最简单的，它分析了（一）通过直接通过符号方法（例如，Grobner基，Wu-Ritt三角形方法）或数 值 方 法 （ 例 如 ， Newton-Raphson ， homotopy continuationmethods）（Bettig Hoffmann，2011）.由于计算量大，这些方法在GCS分析实践中很少使用。基于逻辑的方法，如（Dufourd，Mathis，Schreck，1998; Joan-Arinyo Soto，1997）开发了一组几何理论和推导规则，然后基于它们，检查GCS是否可以逻辑推导。如果是，GCS是良好约束的;如果有额外的约束，它是过度约束的;否则，它是欠约束的。这个过程本质上是所有可能的约束系统的公理化，这是非常数学优雅的。然而，图书馆的几何定理和推导规则的发展是远远不够的实际用途。基于图的方法以间接的方式处理GCS，通过将GCS转换为图结构，然后研究此图而不是原始GCS。有两条发展路线第一个尝试在GCS中识别预设的图形模式（对应于已知的形状）这条线由Owen（1991）开创，并由Bouma，Fudos，Hoffmann，Cai和Paige（1995），Fudos和Hoffmann（1997）以及Gao，Hoffmann和Yang（2002）在模式库的大小方面进行了第二条线将几何结构的自由 度 （ DOF ） 与 GCS 的 限 制 度 进 行 比 较 。 这 条 线 由 Bardord（1987）和Serrano（1987）初始化，并由Ait-Aoudia，Jegou和Michelucci （ 1993 ） ， Latham 和 Middleditch （ 1996 ） 以 及Hoffmann，Lomonosov和Sitharam（1997）详细描述。2001年，这两条线在霍夫曼、罗蒙诺索夫和西塔拉姆（2001年）提出的框架下统一起来。从那以后，仍然有一些好的进展，例如，（Gao，Lin，Zhang，2006; Hidalgo&Joan-Arinyo，2015），但基础保持不变。虽然基于图的方法在许多场景中可能是有效的，但已知的限制是 无 法 处 理 约 束 依 赖 关 系 （ 除 了 最 简 单 的 结 构 依 赖 关 系 ）（Michelucci Foufou，2006）。这是因为图表示法只捕捉了GCS的组合信息，而忽略了几何信息。为了克服基于图的方法的上述限制，提出了证人方法（Michelucci Foufou，2006年）。该方法考察了约束方程在对方程变量作无穷小扰动时的行为。行为和扰动之间的关系由约束方程的相关雅可比矩阵描述;该矩阵的相关行表征（结构和非结构）约束依赖性，该矩阵的内核给出GCS的DOF（Foufou Michelucci，2012;Hu ， Kleiner ， Pernot ， 2017; Thierry ， Schreck ， Michelucci ，Fuenfzig，Génevaux，2011）。这种方法的成功应用需要在称为见证配置的精心选择的点处评估雅可比矩阵，这在几何约束求解的背景下不是 直 接 生 成 的 （ Kubicki ， Michelucci， Foufou ， 2014; Moinet ，Mandil，Serré，2014）。然而，在直接建模中，这个任务变得微不足道：（b）第（1）款1. 距离（F1，F3）=12. 距离（F2，F4）=13. 距离（F5，F6）=14. 外周（F1、F5）5. 外周（F1、F2）6. 外周（F2、F5）F4F5F1F2F3F6图1.一、约束良好的变分B-rep模型（a）和非刚体自由运动（b）的示例608Q. 邹，H.-Y. Feng/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）606J Jð Þ¼ð Þ¼ð Þ¼ð Þ¼ð Þ.Σ¼·¼ð Þð Þ ð Þð Þð Þð Þ¼@Adn11010@Adr1dr×pt¼-B@pz0-pxCAdr-Pdr.pcab公司.dtm01C见证配置仅仅是当前模型几何形状（即，直接编辑后的模型几何形状由于GCS更新的预处理，该几何结构满足了所有的模型约束，GCS更新的预处理用模型几何结构来表示模型GCS在这方面，见证方法适合变分B-REP模型分析任务非常好。然而，为了采用这种方法，需要新的发展来解决第1所述的挑战。3. 方法3.1. 问题陈述变分B-rep模型变分B-rep模型包括：B-rep模型和在B-rep模型之上定义的GCS。B-rep模型中的数据通常被分类为几何（即，包括表面、曲线和点的几何实体）和拓扑（即，这些几何实体之间的连接）（Braid，1986）。模型GCS中的约束实际上指的是B-rep模型中的几何实体。一个几何实体通常由几个参数表示，然后一个约束可以由定义在这些参数上的一个或多个代数方程来描述。因此，模型GCS可以由非线性方程组F X来描述0，其中X是几何参数的向量（视为方程变量）。这里，我们假设方程F X0与所使用的笛卡尔坐标系无关。定义1. 设F X0是GCS的约束方程，S是解空间。如果S -1，则GCS被一致地约束，否则被不一致地约束。定义2.设FX0表示一致约束GCS，S表示解空间.如果基数S是无限的，则GCS是欠约束的（如果两个解的点集对刚性变换取模相等，则认为它们是DF¼JX·DX kDXk21其中J X是在X处求值的雅可比矩阵。如前所述，在直接建模中经历扰动的见证配置是直接编辑后的模型几何，因此此处的X将从此几何绘制。如果存在相关约束，则它们对扰动的响应应该是相关的，或者等价地，对应于这些约束的雅可比矩阵的行是相关的。 然后，过约束由向量在核（或零空间）的JT。欠约束与不违反现有约束的自由扰动密切相关，即，DF J DX0. 也就是说，欠约束由J的核中的向量描述。见证方法（Foufou Michelucci，2012; Michelucci Foufou，2006）应用的扰动是参数的，如等式（1）（二）、因此，由该方法给出的自由扰动不能明确地显示模型如何根据几何运动（平移和/或旋转）弯曲。几何运动不仅有利于设计人员理解欠约束，而且对于研究图1所示的非刚体自由运动也很重要。Foufou和Michelucci（2012）以及Haller、Lee-St. John、Sitharam、Streinu和White（2012）对线性几何（如直线和平面）的参数到几何转换进行了硬编码。然而，不包括其他常用的几何形状，如圆柱体。这一小节介绍了一种根据几何运动应用摄动（简称几何摄动）的一般方法。几何实体的几何运动由两个时变分量组成：指定运动的旋转部分，T t描述平移部分。在时间t处，几何实体ptRtp 0 Tt2n对该方程求微分给出了参数扰动和几何扰动之间的关系（Gilmore，2012）：定义3. 设FX0表示一致约束GCS，S表示解空间.昏迷指数一直在-dp<$dr×ptdtnð3Þ约束，如果存在GCS的子集，使得相应的约化方程具有与S相同的解空间。定义4.如果GCS不一致地约束或一致地过度约束，则GCS过度约束其中dr是描述围绕方向dr=kdrk旋转角度kdrk的矢量，并且dt是描述平移的矢量将pt记为px;py;pzT，将nt记为nx;ny;nzT，dr×pt和dr×nt在等式（3）可以改写为如下形式：0-pz py定义5.如果GCS既不欠约束也不过约束，则它是良好约束的。-pypx000-nz ny1ð4Þ定义6.如果模型的关联GCS始终受到约束，并且不是欠约束，则该模型为刚性模型。问题陈述。给定变分B-rep模型（GCS具有dr × ntdr¼-Ndr-ny nx 0最后，Eq。（3）可以重写为线性变换：. dp =0.001。I3×3-P dt5Dn已更新），确定其约束状态，然后，如果0-N dr没有很好地约束，形成最小过约束子系统的组约束和形成最大刚性子系统的群集几何实体。该等式描述了单个几何图元的参数到几何的转换为了实现模型中所有几何实体的转换，我们只需要对角地组装每个实体的转换矩阵，如下所示3.2. 几何摄动法0dp11B C.T1BT2dt1换股债券C.设F_（x）= 0为给定GCS的约束方程，其中X表示方程变量。见证方法应用B C¼B. .换股债券Cð6Þ小扰动DX到X，并检查F的响应DF，其关系为：DMdnmTm@drmABCB@.Q. 邹，H.-Y. Feng/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）606609¼0-Ni¼.ΣΣ·· ·Σ·· ·其中T为1/4。I3×3-我是通过将变换矩阵表示为当量（6）作为T，并将其与等式（6）中的雅可比矩阵J相乘。新矩阵GJT涉及对GCS做出的任何几何扰动及其响应。也就是说，该矩阵允许见证方法直接将几何扰动应用于GCS。在下文中，矩阵G被称为几何扰动矩阵。这里应该注意的是，公式中的变换矩阵。（6）仅达到几何实体的位置和方向的参数变化事实上，等式中的变换矩阵（6）可以很容易地扩展到处理任意表示方案。我们需要的是从位置和方向的变化到特定表征参数的变化的额外转换;这样的转换是直接的，甚至可以自动完成（第8章，（Nocedal&Wright，2006））。设T0表示该转换矩阵。如上所述的几何扰动矩阵然后被给出为以下形式的三个矩阵的乘积G JT0T，其中J是等式中的雅可比矩阵（1）和T是等式中的变换矩阵（六）、3.3. GCS表征良好约束的GCS具有有限数量的解或可行的几何配置。由于这些可行的配置是有限的，一个可行的配置不能连续变形到另一个不违反现有的约束。也就是说，约束良好的GCS的自由运动不会改变模型的形状。在命题1中证明，总共有三种类型的几何运动保持模型形状：（1）刚体运动，（2）几何不变的运动，和（3）它们的合成。的几何不变运动几何实体是使实体不变的运动（例如，沿着平面中的任何方向平移平面 ） 。 图 2 示 出 了 CAD 中 常 用 的 几 何 实 体 的 几 何 不 变 运 动 （ KoSakkalis，2014），包括线、平面、圆柱体、球体、圆锥体和环面。与命题1，一个良好的约束GCS的基于解决方案的表征trans-lated的GCS的自由运动的条件提案1. 约束良好的GCS的自由运动可以是刚体运动，也可以是几何不变运动，或者是它们的组合。证据见附录二H备注。如果我们只考虑单个几何实体，那么几何不变运动的概念可能看起来很肤浅。当涉及到一堆几何实体时，这是多么重要.也就是说，真正重要的是这些动议的综合结果。这种复合材料显着复杂的自由运动的约束良好的变分B-REP模型。例如，图1b中描述的自由运动是（1）平面F1、F2、F3和F4的平移几何不变运动和（2）平面F5和F6的旋转几何不变运动的合成。在介绍GCS表征的细节之前，对几个术语进行了精确的描述。自由运动是指不违反GCS中约束的运动。刚体运动是将模型作为一个整体平移和/或旋转的运动。几何不变运动已在上段中定义。非线性运动是自由运动，既不是刚体运动，也不是几何不变运动（直观上，屈曲运动使模型变形）。如前所述，约束良好的GCS除了刚体运动和几何不变运动之外没有任何自由运动。换句话说，GCS的良好约束状态可以通过将自由运动集与刚体和几何不变运动集进行比较来确定。由于所提出的几何摄动法的线性特征，自由运动集具有一个简单的表示：自由运动向量所张成的线性子空间，刚体和几何不变运动集的表示也是如此。这两个集合的比较也很容易：检查两个张成线性空间之间的差异。更具体地，自由运动空间由几何摄动的核给出矩阵G：KerG fxjGx0g 7刚体和几何不变运动的空间由矩阵的像给出，矩阵的列是表示刚体运动和几何不变运动的向量。把这个矩阵记为Bm×n。它的图像被定义为（Strang，2016）：ImBBxjx 2Rn 8接下来，我们展示了如何生成刚体和几何不变运动的矢量。刚体运动有六个运动基：三个轴向平移和三个轴向旋转。沿着坐标轴的平移，例如，x轴由下式给出：1;0;0;0;0;|ffl ffld{tz1fflffl}|fflffld{rz1fflffl}1; 0; 0; 0; 0;0T|fflffld{r z m ffl ffl}| ffl ffld{rzmfflffl}ð9Þ其中m表示几何实体的数量。轴向旋转的表示是类似的。例如，绕x轴的旋转为：图二.几何不变运动（顶点，即，半径球0; 0; 0; 1; 0;0|fflffld{r z 1fflffl}|fflffld{rz1fflffl}0; 0; 0; 1; 0; 0T|fflffld{r z m fflffl} | ffl ffld{rzmfflffl}ð10Þ0，与球体相同;旋转椭球体或旋转表面与圆锥体相同几何不变运动是沿着/围绕一些特定向量的平 移/ 旋转 运动 （图11）。2）的情况。让向量几何实体不变运动插图线1. 沿线翻译2. 绕直线平面1. 平面内的平移2. 关于法线的旋转气缸1. 沿轴2. 绕轴球体1. 任何旋转锥1. 绕轴环面1. 绕轴..610Q. 邹，H.-Y. Feng/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）606CD¼ð Þ ð Þð Þð·Þð·Þð ð ÞÞ-ðð ÞÞðÞ2ð Þð Þ[fg[fg¼ ð Þ ðÞfgXyz任何列向量d2D与列向量是v/v/x;v/y;v /z/T。对于第k个几何实体，沿着该向量的平移几何不变运动由下式给出.0;0;0;0··· v;v;v;0;0;0···0;0;0;0;0;0！不GT P<$QR 16寸这里，P是置换矩阵，Q是酉矩阵，R是上三角矩阵。矩阵GT P的前k 1/4秩GT1/4列|fflffld{r z ffl ffl}| ffl fflffl ffl ffl {zfflffl ffl ffl ffl }| ffl ffld { r z fflffl}|fflffld{t z ffl ffl}|fflffld{r z ffl ffl}|fflffld{rz fflffl}构成独立列的最大集合在这里，RankG.T.C.11dtk kM mð11Þ可以很容易地通过QR分解给出然后，矩阵GT P可以被分成两个子矩阵：并且对于关于矢量的旋转几何不变运动也是相同的：XzyGTP¼。第一|k{czol}umns保留时间|c{ozlu}mnsΣð17Þ.0;0;0; 0 ···0;0;0 ;v;v;v·· ·0;0;0;0;0;0！不|fflffld{r z 1 ffl ffl}| ffl ffld{tzkfflffl}|fflfflffl ffl ffl d { r z k ffl ffl ffl ffl ffl ffl} |{tzm}|fflffld{r z m fflffl}|fflffld{rzmfflffl}ð12Þ可以用解线性方程组来表示C中的变量。Cx d.因为C是满列秩，所以这个线性系统有唯一的解，并且所涉及的列是最小的。扩展等式方程中的向量（9）刚体空间和几何不变运动。通 过比 较两 个空 间 Ker G 和 Im B （ 参见 等式 10 ） ，（ 7 ） 和（8）），可以确定GCS（没有约束依赖性）是否被良好约束。或者，注意到自由运动的空间总是包括刚性的空间，（17）包括D的所有列得到：CX¼D18寸这个系统也可以很容易地解决使用QR分解结果（Nocedal Wright，2006）。当量（18）可以改写为：物体和几何不变运动，我们只需要比较两个空间的维数：DimKerG-DimImB1;ColumnSizeG-RankG-RankB，1CQC-D.XIn×nΣ¼0 ð19Þ秩零定理（Strang，2016），Dim是一个获得维度的算子的一线性空间的差异迪姆凯尔G迪姆伊姆B在这项工作中称为GCS的屈曲度，并表示为DFLX G。那么，良好约束的标准是：DFLX双极晶体管（DFLX）其中Dim得到线性空间的维数。在上述方程中，使用了秩零定理（Strang，2016）。 如果Eq. （13）不成立，即，ColumnSizeG-RankG-RankB>014GCS是欠约束的。在上面的讨论中，假设不存在约束依赖性。如果出现这种依赖性，则扰动矩阵将具有线性依赖的行，即、Ke r.GT-ε&排名G-行大小G0 15

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