L-fuzzy闭包空间的扩张研究及应用

不埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，300原创文章L-fuzzy闭包空间的扩张A.H. Zakaria，S.E.Abbasa，*，硕士Al-Homieyedba沙特阿拉伯吉赞大学理学院数学系b沙特阿拉伯乌姆库拉大学女子应用科学学院数学系接收日期：2012年11月10日;修订日期：2013年2月17日;接受日期：2013年2月20日2013年5月3日在线发布本文研究了L-fuzzy闭包空间的扩张理论，其中L是严格双边交换Quantale格。给出了L-fuzzy栈、L-fuzzyc-格架和点迹等新概念。同时，我们构造了两个扩张之间的序关系和等价关系。此外，我们还引入了L-fuzzy闭包空间的主扩张的概念，并研究了它的一些应用。？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍在明确拓扑中，扩张理论在完全正则空间中得到了深入的研究，在T0拓扑空间中也得到了相当好的发展（例如见[1]）。引入了闭包空间扩张的一些基本概念，并研究了Gagrat关于[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，[7]，[9]，[10]，[11]，[12]，[13]，[14]，[15]，[16]，[17]，[18]，[19]。一般Chattopadhyay和Thron[5]引入并研究了G0闭包空间的扩张理论。在模糊集合中，研究了特殊类型的扩张，如模糊拓扑 空 间 和 模 糊 一 致 空 间 的 扩 张 、 补 空 间 [6 在 [9] 中 ，Chattopadhyay，Hazra和Sa- manta首次引入了Fuzzy拓扑空间的扩张的一般概念，并给出了构造T0Fuzzy拓扑空间的T0主扩张的*通讯作者。电子邮件地址：sabbas73@yahoo.com（S.E. Abbas）。同行评审由埃及数学学会负责在本文中，我们需要研究Kim[10]定义的L-fuzzy闭包空间的扩张，如下：在第二节中，我们引入了L-fuzzy格、L-fuzzyc-格和两个L-fuzzy闭包空间之间的同胚的概念，并研究了它的一些结果，此外，我们还定义了L-fuzzy闭包空间中的r-L第三节研究了L-fuzzy闭空间的扩张理论，其中L是严格双边交换quantale格。给出了L-fuzzy栈、L-fuzzyc-格架和点迹等新概念给出了点y关于扩张E的迹E_（？）同时，我们也研究了它的一些性质。进一步，我们定义了L-fuzzy闭空间的一个主扩张，并给出了它的一些结果2. 预赛通过本文，设X是一个非空集，L=（L，6，x，<$，0，1）是一个完备格，其中0和1分别表示L中的最小和最大元素，L0=L-{0}.1110- 256 X？ 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.02.013制作和主办：Elsevier关键词L-模糊闭包空间;LC-模糊连续映射;L-fuzzyc-格架与 L-fuzzy 闭包空间的主扩张L-fuzzy闭包空间的扩张3012（5）Vi2Ci 1/4。Wi2Ci.22222 222222（6）Wi2C. i½Vi2Ci .XX定义2.1（8，11）。一个完备格（L，6，x）称为严格双边交换量子（简称scq-格）当且仅当它满足以下性质：(1) （L，x）是一个交换半群。(2) x=xx 1，对于每个xL，1是通用上限。(3) x在任意连接上是分布的，即，一个L-模糊集k称为r-L-模糊闭集，如果c（k，r）=k.设（X，c1）和（Y，c2）是两个L-fuzzy闭包空间.一个映射f：（X，c1）fi（Y，c2）称为LC-模糊连续的，如果对每个k2LX，r2L0，f c1k; r6 c2 fk; r：._i2Cri！联系我们_i2C我是说：定义2.5.设（X，c）是L-fuzzy闭包空间，r2L0b是（X，c）中的r-L则称b是（X，c）中r-L-fuzzy闭集的基，如果（X，c）中的每个r-L- fuzzy闭集都能表示为a的下确界定义2.2（8，11）。 设（L，6，x）是scq-格. 一个映射0：LfilL被称为强否定，如果它满足以下条件：(a) （a0）0=a，对于每个a2 L。(b) 如果a6b，则a0Pb0，对于每个a，b2L.在本文中，我们假设（L，6，x，<$，0）是一个scq-格，其中<$xy¼ x0y00：特别地，单位区间（[0，1]，6，x，<$，0），其中x=x，<$=v，是对每个a2 [0，1]有强否定a0=1-a的scq-格.引理2.31 2. 设（L，6，x，<$，0）是一个具有强否定的序列格.那么对于每个x，y，z L，{yi：i C}cL，我们有以下性质：(1) 如果y6 z，则（xxy）6（xxz）。(2) 如果y6 z，则（x<$ y）6（x<$ z）。(3) xx y6 xx y.（4）00= 1，10= 0且x v y 6 x <$y。y0y0y0y0(7) XVi2 Cyi 1/4Vi2 C是的。L上的所有代数运算都可以逐点扩展到集合LX上，如下所示：对于所有x2X和k，l2LX，(1)（k×l）（x）=k（x）×l（x）。(2)（k<$l）（x）=k（x）<$l（x）。10.第2.4一个L-fuzzy闭包空间是一个有序对（X，c），其中c：LX·L0fLX是一个满足以下公理的映射：（CO1）c（0，r）=0，对于所有r L0。（CO2）k6c（k，r）对所有kLX，rL0.（CO3）如果k6l和r6s，则c（k，r）6c（l，s）对所有k，l2L.(CO4)c（k<$l，r）=c（k，r）<$c（l，r）对所有k，l2LX，r2L0.一个L-fuzzy闭包空间（X，c）称为拓扑空间，如果c满足以下条件：(CO5)c（c（k，r），r）=c（k，r）对所有k2LX，r2L0.b的子集定义2.6.设（X，c）是L-fuzzy闭包空间，AcX.定义cA：L A·L0filL A通过c A（k，r）（x）= c（k，r）（x）对于所有x A和kL A，r L0。则（A，cA）是一个L-模糊闭包空间，称为（X，c）的一个子空间.定义2.7.一个L-fuzzy闭空间（X，c）称为T0，如果对于每个x，yX，xn，y和rL0，存在一个r-L-fuzzy闭集k使得k（x）n，k（y）.定义2.8.设（X，c）和（Y，c*）是两个L-fuzzy闭包空间.一个映射f：（X，c）fi（Y，c*）称为同胚，如果f是双射的，且f，f-1是LC-fuzzy连续映射.定理2.9. 设（X，c）和（Y，c*）是两个L-fuzzy闭包空间。双射映射h：（X，c）fi（Y，c*）是同胚映射当且仅当hck;rcωhk;r对于所有k2LX; r2L0：在下文中，我们定义了L-fuzzy栈的概念，L-fuzzy闭包空间中的L-fuzzy格架和L-fuzzyc-格架定义 2.10. 让 X 被 一 非空 集 的映射S：LX文件满足Sk1PSk2ifk1Pk2 for allk1;k22LX称为X上的L-fuzzy栈.定义2.11.一个L-fuzzy grillG：LXfilL是X上的一个L-fuzzy栈，使得它满足以下条件：(i)G（0）= 0。(ii) G（k1<$k2）= G（k1）<$G（k2）对所有k1，k2LX.(iii) G（1）>0。称X上的L-fuzzy grillG是真的，如果G（1）= 1。定义2.12.设G是L-fuzzy闭包空间（X，c）中的L-fuzzy格网则称G是（X，c）中的L-fuzzyc-grill，如果G（c（k，r））=G（k），对所有k2LX，r2L0.定义2.13. 设（X，c）是L-fuzzy闭包空间.为所有x2X，定义Gx：L，对于所有k2LX;r2 L0：302A.H. Zakari等人2.Σ.Σ222 22.Σ2T22..好吧.ΣΣa：X;c！a<$X<$;cωa<$X<$ω1ω1112 22.- 是的Σ..好吧.ΣΣEX定理2.14. 设（X，c）是T0L-fuzzy闭包空间. 则对所有的x，y2X，Gx=Gy蕴含x= y.证据设x，y，X是这样的，由于（X，c）是T0，则存在r-L-模糊闭集k使得k（x）nk（y）.因此，Gx（k）=c（k，r）（x）=k（x）nk（y）=c（k，r）（y）=Gy（k）。因此，我们认为，Gx，Gy。这就完成了证明。H定理2.15. L-fuzzy闭包空间（X，c）是拓扑的当且仅当Gx是（X，c）中的L-fuzzy c-格架，对每个x2 X.证据设x2X和k，l2LX，r2L0.然后，定理3.3. 设（X，c）和（Y，c*）是两个L-fuzzy闭包空间，a：（X，c）fi（Y，c*）是一个内射映射. 则 （a，（Y，c*））是（X，c）的一个嵌入当且仅当a（c（k，r））=c*（a（k），r）xa（1），对所有k2LX，r2L0.证据设（a，（Y，c*））是（X，c）的嵌入。然后a：X;c！a<$X<$;cωa<$X<$是一个同胚。 由定理2.9可知，对所有k2LX，r2L0，a（c（k，r））= c*（a（k），r）xa（1）.反之，设a：（X，c）fi（Y，c*）是一个内射映射，且a（c（k，r））= c*（a（k），r）x a（1），对所有k 2 LX，r 2 L0. 然后，是 一 同胚因此，我们认为，Gxklc kl;rx ck;r cl;r x（a，（Y，c*））是（X，c）的嵌入。1/4ck;rx 1/ 4 cl;rx1 /4Gx1/4k Gx1/4l：因此，Gx是X上的L-fuzzyc-grill.反之，设（X，c）是一个L-fuzzy闭包空间，使得Gx是（X，c）中的一个L-fuzzyc-grill，对每个x2X.根据上述定理，下面的结果成立。若（X，c）和（Y，c*）是两个L-fuzzy闭包空间，且a：（X，c）f（Y，c*）是一个内射映射，则（a，（Y，c*））是（X，c）的扩张当且仅当因此，对于所有k2LX，r2L0和所有*X，Gx（c（k，r））=Gx（kXX. 因此，对于所有k，c（c（k，r），r）（x）=c（k，r）（x）LX，r L0对于所有的x，即，c（c（k，r），r）=c（k，r）对于所有kLX，r L0.因此，（X，c）是拓扑L-fuzzy闭包空间.H3. L-fuzzy闭包空间的扩张在这一节中，我们定义了L-fuzzy闭包空间的一个扩张，关于该扩张的点的迹，该扩张的迹系和L-fuzzy闭包空间的一个主扩张。并给出了一些结果。定义3.1.设（X，c）和（Y，c*）是两个L-fuzzy闭包空间，a：（X，c）fi（Y，c*）是一个映射.则（a，（Y，c*））为可以说是（X，c）ifa：<$X;c< $ ！a<$X<$;cωa<$X<$是一个同胚。定义3.2.设（X，c）和（Y，c*）是两个L-fuzzy闭包空间，a：（X，c）fi（Y，c*）是一个映射. 则（a，（Y，c*））称为（X，c）的扩张，如果(i) （a，（Y，c*））是（X，c）的嵌入。（二） c*（a（1），r）=1。(iii)a（k<$l）=a（k）<$a（l）对所有k，l2LX.扩张E=（a，（Y，c*））称为（X，c）的主扩张，如果{c*（a（l），r）：lLX，rL0}是（Y，c *）中r-L-模糊闭集的基.设E1 1/4a1;Y1;cω1和E2¼a2;Y2;cω2是（X，c）的两个延拓。则如果存在一个LC -fuzzy连续，则称E1大于或等于E2（记为E1PE2）映射ffromY1;cω1 在Y2上;cω2 使得f≠a1=a2。扩展E 1/4a;Y;cω被认为是等价于E2¼ a2; Y2; cω（书写 作为 E1-E2） 如果 那里 存在（i）a（c（k，r））= c（a（k），r）x a（1）对于所有kL，rL0.（ii）c*（a（1），r）= 1.(iii)a（k<$l）=a（k）<$a（l）对所有k，l2LX.H定义3.4.设E=（a，（Y，c*））是（X，c）的扩张，yY.定义跟踪点y相对于延伸E的E，对于所有k2LX;r2L0，在没有混淆的可能性的地方，我们将简单地写Ty对于Ty;E.跟踪系统X扩展E的定义为：XE¼ fTy： y2 Yg：定理3.5. 设E=（a，（Y，c~*））是（X，c）的扩张，a是保序的，（Y，c~*）是拓扑L-fuzzy闭空间. 然后，(i) Ty是（X，c）中的L-fuzzy c-grill，对所有y 2 Y。(ii) T ax ¼ G x for all x 2 X.(iii) 如果E1和E2是X的两个等价扩张X E12.casino证据(i) 让y2Y.然后Ty0cωa0;ry0和Ty11cωa1;ry1。 另任意k，l2L，r2L0Tyklcωakl;rycωak al;rycωc因此，Ty是（X，c）中的L-fuzzy grill现在，设k2LX，r2L0.二、ω。ω Σ同胚 H 从Y1;c1到Y2;C2ha1= a2。使得然后L-fuzzy闭包空间的扩张303.Σ2^^21 1 22222 2 TTT ¼T2T2-T4（iii）设E1 1/4a1;Y1;cω1和E2¼a2;Y2;cω2*0（X，c）的两个等价扩张那么Y2;cω2y11E2^1 22XωωXωω011Tykcωak;ryc ωcωak;ryT y1lcωal;ry1lGy1alg y6 al Gy2algPcωcωak;rj;rycωack;r;ry从一个月前开始，一个100万美元的我是一个很好的朋友，很明显，T y k 6 T yck; r。因 此，T y k T yck; r。因此，对于所有的y 2 Y，Ty是（X，c）中的L-模糊c-格栅。22因此，Ty16Ty2。H定理3.8. 设（Y，c*）是拓扑L-fuzzy闭包空间，使得（a，（Y，c*））是（X，c）的主扩张.然后(ii)设x2X，k2LX，r2L0.然后，Ta xkcωak;r a xc ωak;r jaXa x<$ack;r a x ck;r xG xk：Ty16Ty2 当且仅当G y16G y2 对于所有的y1，y22Y.证据 从定理3.7,我们有G Y1 6Gy2意味着TY1 6Ty2.相反地，假设的TY1 6Ty2. 因此，在本发明中，c*（a（l），r）（y1）6 c*（a（l），r）（y2）对于所有l2 I X. 设k2LY.以来因此，对于a，11x. 2倍。Σ Σ..ΣΣ（Y，c*）是拓扑的，{c*（a（l），r）：l2LX，r2L}是基对于（Y，c）中的r-L-fuzzy闭集，则有.存在一个自同构H。Y1;cω1XGkcωk;ry^fcωal;r：l2LX;r2L，r2L0. 然后，Ty;E1kcω1a1k;ryhcω1a1k;rhy^^¼T hy;E2 k：因此，Ty;E1Thy;E2。因此X E1 ¼fTy;E：y2Y1g¼ fTy;E：y2Y1g¼ fTy;E：y2Y2g¼X;因为Y2={h（y）：yY1}.下面我们给出一个例子来说明定理3.5的结果（iii）的逆不必成立. H示例3.6.设X，Y，Z是三个无限集合，使得XcYcZ和Y<

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