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约化微分变换法对Newell-Whitehead-Segel方程的解法比Adomian分解法更有效
Journalof the Egyptian Mathematical Society(2013)21,259埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章约化微分方程的比较Newell-Whitehead-Segel方程的变换方法和Adomian分解方法A. Saravanan*,N. 马盖什印度泰米尔纳德邦,Salem 636 005,Sona技术学院,数学系印度泰米尔纳德邦Krishnagiri 635 001,政府艺术学院(男子)数学研究生和研究系接收日期:2013年2月18日;修订日期:2013年3月10日;接受日期:2013年3月10日2013年5月20日在线提供本文将对约化微分变换法和Adomian 分解法进行比较研究。这是通过处理Newell-Whitehead-Segel方程通过两个数值算例验证了这两种方法的有效性。进一步证明了约化微分变换法与Adomian分解法相比,不使用Adomian多项式,求解非线性问题所需时间数学潜规则分类:44A99; 35Q99?2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 引言和附录非平衡系统通常表现为平衡扩展状态:均匀、振荡、混沌和模式MSC:44A99; 35Q99*通讯作者:Sona College of Technology,Salem 636 005,TamilNadu,India. 联系电话:+91 9790618865。电子邮件地址:mathsaran@gmail.com(A.Saravanan),gmail.com(N.Magesh)。同行评审由埃及数学学会负责states.条纹-(或滚动)图案出现在自然界中各种空间延伸的系统中,如沙子中的波纹,贝壳的条纹或哺乳动物的皮毛上,如我们的家猫或动物皮肤的标记,以及各种物理实验室系统,如Rayleigh-Benard对流,Taylor-CouetteEkow,法拉第不稳定性,定向凝固,非线性光学,化学反应,和生物系统。这种类型的系统可以很好地描述了一组方程称为振幅方程。Newell-Whitehead-Segel方程是二维系统中最著名的振幅方程之一该模型描述了二维系统中条纹图案的外观现在,我们考虑下面类型的著名ut x; t kuxxau x; t- buq x; t;11110- 256 X? 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.03.004制作和主办:Elsevier关键词简化微分变换法;Adomian分解法The260A. Saravanan,N. 马盖什@tr.ΣðÞ¼kX-.电子邮件nKr¼0UrxV你好在初始条件下,ux;0fx;2其中a和b是实数,k和q是正整数。定理2.4. 如果w(x,t)= [x m t n u(x,t)],则Wk(x)= x mUk-n(x).定理2.5. 如果wx;th@rux;ti,则TheWxk 1k 2. 克鲁尔乌快去吧!U你好,近年来,通过引入各种方法,Ods和技术,例如,Li等人。[1]使用格子Boltzmann方案,Malik等人。[2]使用的g0展开法h@ux;ti格布尔国王!格布尔@G得到广义行波解。Manaa[3]应用Adomian分解法求近似解和Aasaraai[4]用微分变换法讨论的本文首先介绍了简化微分变换法,定理2.6. 如果wx; t@x,则W kx@xU kx。P定理2.7. 如果w(x,t)=u(x,t)v(x,t),则Wk=x的1/4k-r由Keskin提出[5],并成功地解决了许多一类非线性偏微分方程。Keskin和Oturanc也用这种方法得到了解析解定理2.8. 如果w(x,t)=[u(x,t)] m,则Wx.U0x;k 0;.PKm线性和非线性波动方程[6]。 阿多米安分解方法由George Adomian在[7,8]中引入和开发,并在文献[9,10]中得到了很好的解决。近年来,许多学者利用Adomian分解方法[9本文求解了Newell-Whitehead-Segel方程。(1)通过对约化微分变换法、Adomian分解法的分析,讨论了约化微分变换法与Adomian分解法的比较。2. 简化微分变换法与参考文献[5]一样,约化微分变换的基本定义如下:t=0时u(x,t)的约化微分变换定义为:1@kux;tn1kU0x-3. 主要结果第3.1在这一节中,我们使用约化微分变换方法来获得(1)和(2)的解。考虑以下类型的ut x; t kuxxau x; t- buq x; t;6在初始条件下,ux;0fx;7其中k、a、b是实数k,q是正整数。通过在(6)和(7)的两侧进行约化微分变换,我们有:RDT<$utx;t]<$kRDT<$uxx;t]aRDT<$ux;t]Q好吧,好吧,好吧!@tkt¼0; 2003年-bRDT½ux;t];8其中u(x,t)是原始函数,Uk(x)是变换后的函数。Uk(x)的简化微分逆变换定义为:RDT½ux;0fx]:109在应用(8)和(9)中的基本定理之后,我们得到以下递归关系:u x; t1k¼0Ukxtk;4@2k.U0x;k <$0;n1k- n.从(3)和(4),我们有,其中,FkxPkqxkP1u x; tX11@kux;ttk:150U0xfxdk-0;11国王!k¼0@tkt¼0其中Uk(x)和Fk(x)是u(x,t)的变换值,Q由(3)和(4)可以推导出的下列定理如下[5,16]:定理2.1. 若w(x,t)= u(x,t)± v(x,t)则Wk(x)=Uk(x)± Vk(x).定理2.2. 如果w(x,t)= au(x,t),则W(x)=aU(x)。u(x,t)分别和f(x)d(k0)是变换值f(x).通过对(10)和(11)的迭代计算,我们得到以下U(k,h)值:U 1 x g1 x;U 2 x g2x;U 3 x g3 x;. . 联合国教科文组织gn . :1200K K从(4),我们有,定理2.3. 如果w(x,t)=[x m t n]则W k(x)=x md(k-n)其中Kronecker delta d kn1;当k^n;0的整数;当kux;tU0xt0U1xtU2xt2U3xt3你在说什么? 中文(简体)kU0xn约化微分变换法与Adomian分解法的比较261n把(11)和(12)代入(13)中,就可以得到(6)的精确解。第3.2X1ux;tfx0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000n¼0262A. Saravanan,N. 马盖什不不不不“1@不不xx不不不XZ2202!0X1ux;taX1ux;t-bX1A#:在本节中,我们使用Adomian分解方法来获得(1)和(2)的解。txxnn¼0nn¼0n¼0nð20Þ在运算符形式中,(1)变为,Lt u¼ kLxxu au-buq;14其中微分算子L由下式给出,Lt¼@t和@2Lxx¼@x2;其中,每个算子被假设为容易可逆的,因此,逆算子L-1被定义为,不L-1型0和解u(x,t)的分量un(x,t),nP0可以是通过使用以下关系递归地确定:u0 x;tf x;21uk1x;tL-1½kLx½uk] auk] -bL-1½Ak]:22我们可以通过代入(16)中的un(x,t)的值得到精确解。4. 说明性实例在本节中考虑两个不同的例子来说明约化微分变换方法的有效性。实施例4.1.考虑线性纽厄尔-怀特黑德-西格尔方程,L-1铝合金ZxZx00·uu-2u;223在(14)的两侧应用L-1并使用初始条件,我们得到,L-1Ltu<$L-1½kLxxuau-buq];在初始条件下,u x;0 ex;24其精确解为[4]:或者等效地,ux;t-ux;0l/4L-1½kLxxuau-buq];ux;tex-t:25案例1.(通过RDTM)ux;tfxL-1½kLuau-bu]:15QtxxAdomian方法通过无穷多个分量来定义解u(x,t),它由下式给出:X1通过在(23)和(24),我们有:RDT½ut]¼RDT½ux] -2RDT½u]26u x; tn¼0一个月和RDT½ux;0ex]:1027其中分量u0,u1,u2,.. . 通常会反复出现并且非线性项F(u)=uq可以由Adomian多项式An表示为,X1n¼0An:1000在应用(26)和(27)中的基本定理之后,得到以下递归关系:@2@x2非线性项F(u)=uq的Adomian多项式An可以通过使用以下表达式来计算U0xx:29通过对(28)和(29)的迭代计算,我们得到:1An¼dnnF你好!:1880exU1 x- ex; U2x;U3x¼-;......的人。 :300万你好!d kn1/4k¼0从(4),二号!三个!一般公式(17)可以简化如下:A0¼Fu0;A1¼u1F0u0;一 u F0ð19Þux;tU0xt0U1xtU2xt2U3xt3···:31将(30)代入(31),我们得到:u x; t ex-t;32这是问题的精确解A¼ u F0u u F00uu1 u3 F000uu;3 3 01 20三个! 1 0案例2. (由行政部门提供)可以以类似的方式生成其它多项式。根据这些假设,(14)就变成了,在运算符形式中,(23)变为,Xxxuq¼kUkx-2Ukx;28e约化微分变换法与Adomian分解法的比较263不xx不Xux;tux;t:35不不þ不Þ ;ZtL¼ttLt u<$Lxx u-2u;33其中微分算子L由下式给出,X1un¼0x;texL-1“LX1un¼0x;t2X1un¼0x;t#36@t@t和其中解u(x,t)的分量un(x,t),nP0可以通过使用关系式递归地确定u0 x; t ex;37@2u单位:单位:升/升/升Lxx¼ @x2;k1txxK K其中每个算子被假设为容易可逆的,因此,逆算子L-1被定义为,从上面的等式,我们有,2 3x x xtu 1 x; t-e t; u 2 x; t e 2!; u 3 x; t-e三个!......这是什么? :139元L-1铝合金0约翰·伯克特代入(35)中的un(x,t)的值,我们有,和x xt2xt3ZxZxL-1铝合金·00你是说你是2号!-e3!··· ·;X-T在(33)的两侧应用L-1并使用初始条件,我们得到,L-1½Ltu]<$L-1½Lxu-2u];这是问题的精确解。为了验证求解线性Newell-Whitehead-Segel的简化微分变换法的效率和精度方程(23)和(24),绘制了数值曲线图。t t解以及精确解。或者等效地,ux;t-ux;0μL-1½Lxxu-2u];ux;txL-1½Lxu-2u]:34Adomian方法通过无穷多个分量来定义解u(x,t),它由下式给出1nn¼0将上述等式代入(34),我们有:从图1a-c算例结果表明,约化微分变换法是一种比Adomian分解法更为简便的方法,因为约化微分变换法不需要Adomian分解法中所用的Adomian多项式即可求解问题,因此,约化微分变换法图1 RDTM和ADM在不同t值时与精确解u∈x;t∈ x的比较nÞ ¼xxn-nÞu x;t e:400万264A. Saravanan,N. 马盖什不不3ð Þ ¼ ð Þxx不nn二号!3“0不不2Kk1@x2KKRk-r012n¼0n¼0.XL¼ZXX-3L-“XA#;56n不xxnn与Adomian分解法相比,微分变换法耗时少实施例4.2.考虑非线性ut<$u xx 2u- 3u2;41在初始条件下,ux;0k;42其精确解为[4]:-2ke2t@t@t和@2Lxx¼@x2;其中每个算子被假设为容易可逆的,因此,逆算子L-1被定义为,不L-1型0和时间3:43-2\f25k-ke2t-2\f6L-1铝合金ZxZx·0 0案例1.(通过RDTM)通过在(41)和(42)的两侧进行简化微分变换,我们有:在(52)的两侧应用L-1并使用初始条件,我们得到,L-1½Ltu]<$L-1½Lxxu2u-3u2];或者等效地,2ux;t-ux;0μL-1½Lxu2u] -3L-1½u2];RDT½ut]<$RDT½ux]2RDT½u] -3RDT½u]44tt tux;tkL-1½Lxu2u] -3L-1½u2]:53ttRDT½ux;0k]:145在应用(44)和(45)中的基本定理之后,得到以下递归关系:kr¼0U0xk:47通过对(46)的迭代计算,我们有:U1× 10~(-1)Adomian方法通过无穷多个分量定义解u(x,t),它由下式给出ux;tx1ux;t;54n¼0其中分量u,u,u,. 通常是递归确定的,并且非线性项F(u)=u2可以由Adomian多项式An表示为,u2¼1A:155磅n¼0U形2千2- 3千1- 3千;将(54)和(55)代入(53),我们得到:2 200万!48岁“#2k2- 3k27k2- 18k2X1ux;tkL-1LX1ux;t2X1ux;t从(4),ux;tU0xt0U1xtU2xt2U3xt3···:49将(47)和(48)代入(49),我们得到:ux;tk2k-3k2t2k2- 3k1- 3kt22k2- 3k27k2- 18k211tnn¼0其中解u(x,t)的分量un(x,t),nP0可以通过使用关系式递归地确定u0 x; tk;57uk1x;t1L-1½Lx½uk] 2uk] -3L-1½Ak]:58t3···;或者等效地,非线性项F(u)=u2的Adomian多项式An由下式给出,u x; t-2ke2t-2\f25k-ke2t-2\f6;251公斤1An¼dnnnF基乌伊!#:159元3n!D K1/4k¼0这是问题的精确解案例2. (由行政部门提供)在运算符形式中,(41)变为一般公式(59)可以简化如下:A0<$Fu0<$u2<$k2;A1<$u1F0u0u2u0u1<$k22- 3kt2;2ð60Þ012002002-2003年2月2日至Lt u¼Lxxu2u- 3u2;52其中微分算子L由下式给出,一个2½u2Fu02!u1Fu0三个!U3双排三个!... .n¼0约化微分变换法与Adomian分解法的比较265通过使用(57),(58)和(60),我们有,3···:266A. Saravanan,N. 马盖什二号!ð Þ ¼ ð Þ3. Σux;tk2k-3k2t2k2- 3k1- 3kt22k2- 3k27k2- 18k2þ或者,等价地,-2ke2tt3···;62u x; t3;63-2\f25k-ke2t-2\f6这是问题的精确解。为了验证本文提出的求解非线性Newell-Whitehead- Segel方程组的约化微分变换方法的有效性和准确性在公式(41)和(42)中,绘制了数值解以及精确解的曲线图。从图2a-c算例结果表明,约化微分变换法比Adomian分解法简单,因为约化微分变换法不使用Adomian分解法中的Adomian多项式,因此约化微分变换法比Adomian分解法耗时少。5. 结论通过对Newell-Whitehead-Segel方程的处理,对约化微分变换法和Adomian分解法进行了比较研究。两个数值算例表明 , 约 化 微 分 变 换 法 是 处 理 线 性 和 非 线 性 Newell-Whitehead-Segel方程的一种比Adomian 分解法简单的方法,同时也证明了约化微分变换法不需要使用象Adomian多项式那样复杂的多项式就能求解线性和非线性Newell-Whitehead-Segel方程.此外,由约化微分变换法得到的级数解比Adomian分解法得到的级数解收敛得快。结果表明,这种简单的约化微分变换方法是处理线性和非线性初值问题的一种有效方法。确认图2 RDTM和ADM在不同k值下的精确解u∈x;t∈ xu1x;t12k-3k2t;2k2- 3k1- 3k2作者感谢编辑和审稿人对本文的评论和建议引用[1] Q. Li,Z. Zheng,S.王军,刘军,非线性热传导方程的格子玻尔兹曼模型,神经网络。(2012)140-148。u2 x; t¼;61Þ[2] A. Malik,F. Chand,H. Kumar,S.C. Mishra,精确解G二号!2k2- 3k27k2- 18k23使用G0建立一些物理模型普拉马纳河Phys. 78(4)(2012)513-529。膨胀法,u3 x; t三个!; ···:[3] S.A. Manaa,Newell-Whitehead方程的一个近似解Adomian分解法,Raf。J. Comp.代入(54)中的un(x,t)的值,我们有,8(1)(2011)171-180。三个!约化微分变换法与Adomian分解法的比较267[4] A.张文,等.微分变换法求解Newell-Whitehead-Segel方程.北京:科学出版社,2000,21(1):117 - 118. 第10(2)(2011)号决议第 270-273段。[5] Y. Keskin,G.杨文,偏微分方程的简化微分变换方法,北京大学出版社,2001。Sci. 数字。你好10(6)(2009)741-749。[6] Y. Keskin,G.杨文,解线性和非线性波动方程的约化微分变换方法,北京。J. Sci. 34(2)(2010)113-122。[7] G.张文,非线性随机算子方程,北京:人民出版社,1986。[8] G. Adomian , Solving Frontier Problems of Physics :TheDecomposition Method,Kluwer Acad.公众,多德雷赫特,1994年。[9] G. Adomian,非线性方程的分解方法和一些最近结果的回顾,Comput。Math.Appl.21(1991)101-127。[10] R. Rach,Adomian分解方法的理论和应用的参考书目,1961-2011,Kybernetes 41(2012)1087-1148。[11] Y. Cherruault,Adomian方法的收敛,Kybernetes。18(2)(1989)31-38.[12] Y. Cherruault , G. 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