量子态的纠缠问题及高斯态的讨论

理论计算机科学电子笔记169（2007）121-131www.elsevier.com/locate/entcs高斯态斯特凡诺·曼奇尼1物理系，卡梅里诺大学，I-62032卡梅里诺，意大利Simone Severini2约克大学数学系，YO10 5DD York，UK摘要确定量子态是纠缠态还是可分态是量子信息科学中的一个重要问题。这是一个简短的评论，我们认为在无限维希尔伯特空间的状态的问题。我们展示了如何问题变得易于处理的一类高斯状态。关键词：量子纠缠，量子算法，量子复杂性。1引言纠缠的概念是随着量子理论的完备性问题而出现的[1]。纠缠被认为是量子态的一个基本性质，是一种重要的物理资源。在某种意义上，纠缠是不可分离性的同义词，因为纠缠态具有一些不能仅用系统的各方（子系统）来解释的全局性质粗略地说，纠缠态在各方之间具有“强”相关性，这在任何经典局域理论中都无法解释（因为这意味着远距离的瞬时作用）。可分离态也可能表现出各方之间的相关性，但这些是纯粹的经典和局部的，因此1电子邮件：stefano. unicam.it2电子邮件地址：ss54@york.ac.uk1571-0661 © 2007 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2006.07.034122S. Mancini，S.Severini/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 169（2007）121√向量的范数|搜索结果|ψ ⟩ǁ =⟨ψ|好吧 以下两个假设固定了最近，纠缠的作用变得很重要，并且在许多不同的背景下，如量子算法，量子通信原型，量子密码学等（参见例如[2]）。因此，决定一个给定的量子态是可分的还是纠缠的问题就成为最重要的问题。这可以称为量子可分性问题（QSP）。从本质上讲，它代表了一个被称为弱成员问题的组合优化问题的实例[3]。虽然存在许多可分性的特征，但仍然没有可行的程序来解决QSP的一般性（参见例如[4]和其中的参考文献）。就计算复杂度而言，QSP是一个“困难”问题。 事实上，QSP已被证明是NP难的[5]。然而，如果我们把自己限制在特定类别的量子态上，就有一些例子可以有效地解决QSP例如，这是2维或3维希尔伯特空间中的状态的情况[6]和一些有限的国家[7]。在无限维希尔伯特空间中，高斯态产生了一类重要的状态，对于这些状态，QSP是在本文中，我们回顾了无限维希尔伯特空间的QSP公式，并展示了如何解决高斯态类的问题本文的结构如下。节中2我们回顾了量子理论的一些基本概念。节中3.我们正式化了QSP。节中4我们引入高斯态。节中5.提出了高斯态可分离性的判据。最后，在SEC中得出了一些结论。六、2量子理论在本节中，我们将介绍一些接近论文所需的量子力学术语和概念当然，专业读者可以跳过这一部分。在其标准公式中，量子理论发生在希尔伯特空间[10]。希尔伯特空间H是复数域C上的一个向量空间，它被赋予了一个内积（它导出了一个范数），可以有有限维或无限维。我们用所谓的狄拉克符号来表示一个向量|好吧它的对偶是|.然后，两个状态之间的内积|我的朋友和|φ读|φ∈C。的量子态的数学表示：假设2.1物理系统的状态空间是希尔伯特空间。 在这样的希尔伯特空间中，状态由单位范数向量描述假设2.2复合系统的状态空间是子系统的希尔伯特空间的张量积。当考虑复合系统时，希尔伯特空间的结构自然会引出纠缠的概念。事实上，存在着整个系统的状态，它们不能分解为子系统的状态。例2.1假设|2001年1月，|H1中的两个正交态，|η2，|ηππ2是H2中两个正交态. 然后，|ψ⟩1⊗|η<$2∈ H1<$H2以及（a|ψ⟩1⊗ |η2+S. Mancini，S.Severini/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 169（2007）121123Σ2212JHHJJJ2 2JB|ψ⊥⟩1⊗|（η_n（2））∈H1<$H2，其中a，b∈C.第一个可以分解为子系统的状态;第二个不是这样。这个看似抽象的数学概念在量子力学世界的描述中产生了巨大的影响。上述假设可以根据状态的混合来推广，|其中pj表示系统处于以下状态的概率：|你好。这可以通过引入密度算子的概念来实现：定义2. 2定义操作权限是一种非管理性、安全性和约束性的操作权限，在所有操作权限都已定义的情况下（这是一种不确定性|ρˆ|ψ⟩≥0∀|H.因此，我们可以表示混合物{p，j，|由密度算子jpj|吉吉|.ρ=定义2. 3一个复杂的双端口系统的数据可以单独使用，它可以写成以下形式：ρ=pjρ（1）ρ（2），（1）具有非负的pjpj=1，且当ρ∈（1），ρ∈（2）时，子系统的tors;状态被认为是纠缠的。一个系统中可以（原则上）被测量的物理量被称为可观测量。下一个假设固定了可观测量的数学表示：假设2.3物理观测量对应自伴算子。对可观测O的可能测量结果是与O相关的自适应函数的本征值。 该xpectationvaluee为OTr（Oρ）。对期望值的限制由以下著名的原则施加原理2.1（不确定性原理）任意两个可观测量A和B，对于所有量子态，H必须满足以下不等式：（ΔA^）[A^，B^] 、（二）≥4。- 是的其中Δ O^<$O^−<$O^^和[A^，B^]<$A^B^−B^A^是该算子。第三章量子可分性问题在本节中，我们介绍量子可分性问题。让我们来考虑一个问题系统，其中将一个对象与一个Hilbertpac e e e e相关联12=CMCN. 注意，这样的希尔伯特空间同构于RMN，并且它被赋予Euc lidea。ninerproduct（X， Y）ntr（XY），其中该核的值为nXtr（X。LetDH1H2dentt he tt h e t tt h et tt h etJ124S. Mancini，S.Severini/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 169（2007）121δδ所有的密度算子。二分可分量子态集S D被定义为可分纯态{|ψ⟩1⟨ψ| ⊗|η⟩2⟨η|在哪里|1（resp. |η⟩2) is a normalized vector in CM(resp. CN）。 D中的任意密度矩阵由M2N2−1个实变量参数化。由于我们处理的是连续量，在定义可分性问题时，我们不能允许无限精度，因此我们需要引入一个精度参数δ∈R+。定义3. 1[TheQuanntumSeparabi l ityProblem]Givvenρε ∈Danda presionδaserteithrρρ为：• Separable：thereexistsaseparablestateσsuchchatρ−σ1或• Entang led：该文本是一个满足tp−τ<1的单角度数据。在该公式中，该问题等价于称为弱隶属度问题的组合优化问题的实例[3]。在其完整的一般性，QSP已被证明是NP难的[5]。因此，任何设计的可分离性测试都可能需要随着M和N而非常快速地增加的计算步骤。对于MN≤6，部分转置下的阳性（见下一节）代表了必要和充分的检验[6]。否则，只存在足够的“单侧”可分性检验。在这些测试中，光子的自适应非实时可分离的输出可以是完全纠缠的或完全可分离的，但不是两者都是（参见例如[4]和其中的参考文献）。4高斯态在本节中，我们介绍高斯态。现在让我们转向M，N→ ∞，从而考虑两个无限维希尔伯特空间H1和H2。在这样的空间中，我们可以引入对应于正则位置和动量变量的连续谱自伴算子[10]。让我们把它们排列成四维列向量v∈ T=（q∈1，p∈1，q∈2，p∈2）， z∈ T=（x1，y1，x2，y2）.这些操作可能与竞争关系有关[10]，因此需要确保竞争空间[v<$α，v<$β]=iΩαβ，α，β=1，2，3，4，（3）与Ω =ΩJ0Ω，J=Ω0 1美元。（四）2000年⎝−10⎠相空间[11]中的密度算子和c数维格纳分布函数之间存在一一对应关系，在这种情况下，相空间是变量z的空间，即R4S. Mancini，S.Severini/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 169（2007）1211253∫ΣΣ·−JJ2第四章. 1对于给定的在H1和H2中进行运算的情况，校正后的Wigner函数定义如下W（z）：=Tr.ρT（z），（5）哪里T（z）：=1d4zJexpizJT（vz）.（6）（2 π）4反过来，结果密度算子ρ=d4zW（z）T（z）。（七）如果Tr（ρεqε2）∞且对于所有j，Tr（ρ2）<∞。在这种情况下，我们可以将视频文件定义为m：=Tr（ρv）=10d4zzW（z），（8）并且实对称相关矩阵V为1Vαβ：=2<${Δv<$α，Δv<$β}<$，α，β=1，2，3，4，（9）其中{Δv<$α，Δv<$β}<$Δv<$αΔv<$β+Δv<$βΔv<$α是一个非线性模型。ItresultsVαβ =Tr.ρ1{Δv ，Δv<$β}=d4z（z-m）α（z-m）βW（z）。（十）给定的V是物理状态i满足的相关矩阵我K<$V+2 Ω≥0，α126S. Mancini，S.Severini/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 169（2007）121（11）作为不确定性原理2和对易关系（3）的结果。相关矩阵形成一个4×4矩阵，在线性正则（辛）变换下变换为不可约的二阶张量，并具有4个不变量。如果我们把相关矩阵写成块形式V=AC CC，（12）公司简介 B组[3]在整篇文章中，如果没有具体说明，积分是从−∞到+∞。S. Mancini，S.Severini/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 169（2007）121127⎟Σ不变量是det A、det B、det C和Tr（AJ CJBJCTJ）。条件（11）表示A≥1/4且B≥1/4。此外，方程（11）可以理解为detA detB− Tr（AJCJBJCTJ）−1(detA+ detB）+4124 −detC≥0。 （十三）还值得注意的是，任何相关矩阵都可以被带入标准形式a c一个dV=0，（14）cb德布尔德其中a，b，c，d∈R，通过选择与Sp（2，R）×Sp（2，R）<$Sp（4，R）中某个元素相对应的适当的局部正则变换，得到了一个新的推广现在我们准备给出高斯态的定义：第四章. 2一个被称为GaussianifitsWignerfunctiontkesther m的模型1Σ1T−1W（z）=4π2πdetV exp−2（z−m）V（z−m）、（十五）其中m是实4-向量，V是实对称4× 4-矩阵。可以证明m确实是均值，V是相关矩阵。这些唯一地定义了高斯状态。下面我们简单地考虑m=0的情况，因为m可以很容易地通过一些局部位移来去除，因此对状态的可分性或不可分性没有影响。5高斯态在本节中，我们将描述如何求解高斯态的QSP让我们考虑在H1-H2空间中将式（1）分离的一 个 可 行 方 案。我们选择了一个合适的方法来计算Hj（j=1，2）中的任意一个变量，其中Cj= i[rj，sj]，j= 1，2.（16）然后，我们引入H1<$H2上的以下观测量：u=a1r1+a2r2，v=b1s1+b2s2，（17）其中haj，bj∈R. 从第二个假设中，我们可以得出H1和H2上的ρ必须满足的条件22|a1b1<$C<$1<$+a2b2<$C<$2<$|2（Δu.（十八）4.128S. Mancini，S.Severini/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 169（2007）121KΣWj= Δpk|阿吉克|≥。你好。 为|⟨Cˆj⟩|，（二十三）W ≥2|a|1000万美元|+的|a 2 b2|a|2019年12月20日|⟨C2⟩|21 112 22.然而，对于可分离的状态，存在更强的约束我们实际上有以下定理[12]：定理5.1对于任何可分状态，下列推论成立：ρsep=（Δu）2（Δv）2≥W2，（19）哪里W= 1。|W| W +的|aB|中国（20）与21 1 12 2 2Wjpk|阿吉克|，j=1，2，（21）Kbeing<$C<$j<$k<$Tr[C<$jρ<$（j）]。这个定理可以借助于一族线性不等式来证明α<$（Δu<$）2<$+β<$（Δv<$）2<$≥2<$αβW，α，β∈R+，（22）它必须总是由可分离的状态来满足这种关系的卷积给出了（19）中的卷积，可以在由双曲线限定的ε（Δuε）2ε，ε（Δvε）2ε请注意，由于K K下列不等式成立1 .一、 ˆˆΣ≥1。|-是的|Σ.（二十四）特别是，Eq。公式（24）告诉我们，可分离态的界（19）比公式（24）强得多。（18）一般国家。此外，方程（24）给出了一个简单的可分性准则。事实上，虽然W不容易直接评估，因为它取决于人们正在考虑的凸分解（1）的类型，但等式（1）的右手侧是这样的： （24）是很容易衡量的，因为它取决于期望值，这两个人都是C. 我们可以来看看这个等式。（19）这是一个必要的条件，可分离性，即2 2 2（Δu=ρ纠缠（二十五）.S. Mancini，S.Severini/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 169（2007）121129示例5.2一个简单的实现方法适用于以下情况，即服务器C语言仅适用于您操作的特定实体，例如： rjqj和sjpj。 Insuchacas e，Eq. （18）减少到2 21（Δu130S. Mancini，S.Severini/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 169（2007）121222222而Eq.（19）减少到（Δu我们现在可以在以下情况下确定这些成本：在成本、成本和利润方面，传统业务的成本是有限的，即：a3b3rq+psp+q1 1a11 1 1b11a4b4rq+psp+q，（28）2 2a22 2 2b22其中a3，a4，b3，b4∈R是一般实参数.那么方程（19）考虑到Eq。（3）成为（Δu）1a b−a b|+的|a B-a b|第二章（29）⟩ ≥4应该与| 1 13 32 2 4 4（Δu）|a1b1− a3b3|+的|a2b2− a4b4|.（三十）这是容易的，以使h，givenaj，bj（j=1， . . . ，4），则但是，如果我们需要Eqs。为了简化卷积aj、bj 的 所 有 概 率 值 ， 这 两个等式是有效的，因为可以使用卷积技巧从另一个中重新获得一个，如等式29和（30）所使用的。（19）和（22）（在所有情况下二次和线性检验之间的一一对应关系也已在参考文献中指出[13]）。事实证明，（Δ u）2|a1b1−a3b3|+的|a2b2−a4b4|，naj，bj∈R，（31）对于高斯态的可分性是必要和充分的[14，15]。然而，从复杂性的角度来看，通过测试条件（31）来求解QSP是困难的，因为右手边存在万有量化器。然而，条件（31）可以用更简单的方式重新表述。首先注意，所有（可分和不可分）状态满足的不确定性关系2 212（Δu）|a1b1−a3b3+ a2b2−a4b4|，（三十二）并将其转换为从等式（1）中导出的值。在等式（19）中，（Δu）2|a1b1−a3b3+ a2b2−a4b4|，（3.S. Mancini，S.Severini/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 169（2007）1211313）就像Eqs一样。（29）和（30）。那么，条件（30）和条件（33）之间的关系是什么？132S. Mancini，S.Severini/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 169（2007）121≥4它们通过部分转置变换简单地联系在一起PT：v<$−→Λv<$， Λ=diag（1，1，1，−1）.（三十四）该操作在本发明的第2部分中，包括第1部分、第1部分和第2部分，不包括第4部分。事实上，某些特定的状态满足通常的不确定性关系（33）和在部分转置下获得的类似关系;因此这些满足条件（30）。另一方面，变换（34）将相关矩阵改变为：V→V=ΛVΛ。因此，该复合材料的安全性关系（11）是经济的VΩ +iΩ0.（三十五）2在虚拟机的预定义中，对于虚拟机，采取的形式与（十三）、在左手边第二项的detC前面的签名被改变了。因此，如果我们写. 1Σ2f（V）：=detAdetB+4− |C组|-tr（AJ CJBJC1J）−4（detA + detB），（36）除了基本测不准原理（11）之外，可分离状态的相关矩阵必须服从（35）的要求可以陈述如下定理5.3二分高斯态是可分的，i ∈ f（V）≥ 0。这个必要性由定理5.1推出。充分性来自于这样的事实，即具有detC≥ 0的相关矩阵的高斯态是可分离的[14]。语句5.3等价于条件（31），但使用起来更有效。给定相关矩阵V的标准形式（14），我们可以认为所有可能的高斯态空间同构于R4，而物理态集是通过（11）定义的子空间G <$R4。此外，方程f（V）= 0表示为：f（V）= 4（ab − c2）（ab − d2）−（a2+ b2）− 2 |CD|-1 = 0。 （三十七）该方程定义了可分离态子集S G的表面S。 然后，通过简单地计算f，我们可以说一个给定的状态（G中的点）是否在S内（因此是可分的）或不在S内（因此是纠缠的）。这是一个简单的计算任务，可以有效地完成。在现实中，考虑到有限的精度δ，我们只能说状态几乎是可分的（分别是）。几乎纠缠在一起）。然而，如果我们想断言状态是严格可分的（分别是），严格不S. Mancini，S.Severini/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 169（2007）1211334密度矩阵的部分转置，即 相对于子系统2的转置等于在 子系 统2的相空间中的转置或重新转置。 Thtis，ρ→ρT2惠W（x1，y1，x2，y2）→W（x1，y1，x2，−y2）。134S. Mancini，S.Severini/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 169（2007）121ǁ−ǁBJ22例如），我们必须确保从表面S中删除数据集的内容大于1/δ。 即minρπρπJ>1。ρ∈Sδ（三十八）根据安全部的要求。3.两个工作组之间的差异是一致的，因为它是一个很好的选择。Tr[（ρ−ρ）]和对于Gausian stisa n s t i s ans ti sa n s t i s t i sanexpredthroughWignerfunc-矩阵（correlation matrix）<$ρ−ρJ<$=<$d4z<$W（z）−WJ（z）<$2。（三十九）借助于几何论证和简单的算法，可以有效地完成这一任务。例如，一个软件包可以有效地找到所有与曲面S相切的超平面，从中计算l.h.s.等式（38）已经存在[16]。6结论总之，我们对两粒子高斯态的准同步问题作了一个简要的回顾这个问题已经接近开发测试，涉及方差，以达到一个有效的解决方案的基础上的不变性（积极性），只有可分离的状态下部分转置。注意，这个参数可以进一步推广到部分转置所属的部分缩放变换事实上，虽然K和V在线性正则变换下总是不变的，但它们在Sp（4，R）中不连续的情况下不是不变的。在particularunder部分缩放K不一定是正定的[17]。这些论点可以扩展到多部系统，例如N自由度。从不确定关系K<$V + iΩ ≥ 0开始，我们可以执行由实向量x =（x1，x2，...）x2N），然后计算Kx=Vx+Ω，Vx2= ΛxV Λx，（40）其中，Λ xdiag（x1，x2，. x2N）。2N个实量x参数化阿贝尔尺度半群，其要求是|≥1，|x 3 x 4|≥1，.| ≥ 1,...、|x2N−1x2N|≥ 1。（41）国家可分离性的必要条件是Kx≥ 0，（四十二）注意，然而，对于多部系统，除了可分性（分别）。不可分离性），则可能存在部分可分离性（分别地，部分不可分离性），例如一个子系统相对于其他子系统的可分离性，而其他子系统又是纠缠的[9]。因此，QSP变得更加微妙，甚至对于高斯态，它也没有完全理解。我S. Mancini，S.Severini/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 169（2007）121135鸣谢我们感谢您发送编修。引用[1] 爱因斯坦，A.，B. Podolski和N.罗森，量子力学对物理实在的描述可以被认为是完整的吗？《物理学评论》47（1935年），第777页。[2] 尼尔森，M.，和I.庄，量子计算与量子信息，剑桥大学出版社，剑桥，2000年。[3] Gréots chel ， M. ，L.LovaszanddA.Schrij ver ， GeometricAlgorithmsanddCombinatorialOp timization，Springer-Verlag，Berlin，1988.[4] 约安努湖 M.， B. C. 特拉瓦廖内，D. 张先生，和A. K. 埃克特改进算法对于量子可分性和纠缠检测，Physical Review A 70（2004）060303（R），http://arxiv.org/quant-ph/0403041[5] 古尔维茨湖Edmonds问题的经典确定性复杂性[6] Peres，A.，Separability criterion for density matrices，Physical Review Letters 77（1996），1413;Horodecki，M.，P. Horodecki和R.霍罗德基，混合量子态可分性的充要条件，物理快报A 223（1996），1。[7] Braunstein，S. L.，S. Ghosh和S.张文龙，张文龙，等.混合状态可分离性的一种新方法.http://arxiv.org/quant-ph/0406165L.，S. Ghosh和S. 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