DWKS描述符：非刚性形状匹配中的新方法

3793DWKS：网格与点云罗宾磁铁LIX，E'cole Polytechniquermagnet@lix.polytechnique.frMaksOvsjanikovLIX，E'colePolytechniquemaks@lix.polytechnique.fr摘要我们提出了一种新的逐点描述符，称为DWKS，目的是在两个可变形的形状集合中找到对应关系。与大多数现有的descriptor，而不是捕捉局部几何形状，DWKS cap-tures在一个集合内的一个点周围的变形在多尺度和信息的方式。这进而允许在不使用地标的情况下计算集合间对应。为此，我们建立在成功的频谱WKS描述符，而不是使用拉普拉斯-贝尔特拉米算子，表明可以对形状差异算子执行类似的构造，该形状差异算子捕获集合内的差异或失真。通过利用集合信息，我们的描述符有助于困难的非刚性形状匹配任务，即使在存在强烈的偏袒和显着的变形。 我们展示了我们的方法在一系列具有挑战性的匹配问题的网格和 点 云 的 效 用 。 本 文 的 代 码 可 以 在https://github.com/RobinMagnet/DWKS 上 找到1. 介绍形状匹配是三维计算机视觉中一个普遍存在的问题，具有纹理、形变转移等多种应用。因此，在过去的十年中，已经开发了许多方法来计算表面之间的对应性，依赖于简单的刚性变形到最近的基于学习的模型[44，36]。虽然这些方法在几个数据集上显示出令人印象深刻的结果，但仍然存在一些非常具有挑战性的问题，特别是在处理对称性和非等距形状时。 非刚性形状（例如，椭圆）中固有对称性的存在人体形状中的左右对称性）可以以多种方式处理，使用形状描述符上的方向保持约束[31]，探索映射空间[30]，或通过基于学习的方法添加先验[23，34，9]。这些方法分别-图1.我们的方法使用两个具有大致相似变形的噪声点云集合（左），并输出逐点集合间映射（右）。实际上需要精确的形状描述符的存在、对称和非对称图的自动选择以及用于神经网络训练的大数据集。非等距形状的情况通常通过要求用户指定的标志[1，11，38]或再次通过广泛的神经网络训练[14]以及许多其他方法来解决在部分非刚性形状匹配的特定情况下，已经开发了几种方法[33，24]，依赖于在偏置下Laplace-Beltrami算子的变化的理论性质。值得注意的是，虽然3D形状经常出现在集合的上下文中，但很少有方法[39，5]试图利用集合内存在的变形的共性来促进它们之间的匹配，例如，消除这种对称性的歧义或解决偏袒问题。值得注意的是，当匹配处于静止姿势的两个人体形状时，可能会遭受其固有的对称性模糊性，使用来自这些形状的变形版本的信息，例如3794他们的左膝抬高可以帮助他们消除对称性的图1展示了当单腿跳跃时膝盖的局部变形如何允许计算两个人体形状之间的对应关系，即使当身体的上半部缺失时。在这项工作中，我们建议开发一个局部描述符的表面和点云之间的差异。我们的方法受到从Laplace-Beltrami算子[43，2]中提取的成功的基于谱点的描述符的启发。我们的主要见解是，类似的建设可以在其他功能运营商进行，导致信息描述符，捕捉不同的属性的形状和集合。在我们的工作中，我们使用形状差算子[35]已用于分析集合内的变形[16]甚至形状合成[19]。在交叉集合映射的上下文中，形状差异算子已在[39，5]中用作功能图框架内的全局目标，这可能限制其用于完成形状匹配的效用。相反，我们demonstrate逐点谱描述符可以成功地提取形状差算子。因此，我们的描述符，称为DWKS，结合了本地描述符的权力和灵活性与形状差异算子中存在的形状失真的信息，这使得它适用于部分交叉集合匹配的情况。我们还利用了构建鲁棒算子[41]的最新进展，以实现跨网格和点云表示的形状的准确和有效匹配。我们的主要贡献可以概括如下：1.我们引入一种新颖的逐点描述符，其反映集合内的点周围的变形。我们演示了谱方法，特别是WKS分解器如何可以扩展到拉普拉斯算子之外，以形成差分算子，以及3。我们展示了在点云和网格上具有偏性和对称性模糊性的困难匹配场景如何能够在没有地标或神经网络训练的情况下强烈受益于我们的描述符。2. 相关工作形状匹配文献非常广泛，我们将只强调与我们的设置最相关的现有方法。我们建议读者参考最近关于这个问题的调查[37]以获得更多信息。我们的方法基于[28]中定义的功能图框架，该框架旨在匹配形状上的功能空间，而不是形状本身，并且在过去十年中取得了令人印象深刻的结果。几个后续工作[27，45，31，18，25，30]已经在原始流水线上带来了实质性的改进，并且都严重依赖于形状的一致描述符函数的存在，这些描述符函数是应该由映射保留的函数，基于局部去映射或[43，2，8]或地标。以全自动的方式生成信息丰富且鲁棒的描述符仍然是一个非常具有挑战性的问题，并且通常需要没有对称性的近等距形状。为了缓解这个问题，最近的工作已经寻求使用神经网络从通常的描述符[23，34]或直接从原始数据[9，40]学习描述符。这允许将先前信息合并到描述符中，并且可能消除对称性（如针对人类形状的左和右）的歧义。更高要求的设置在于部分形状匹配，这是非等距形状匹配的简单情况。在[33，24]中引入了对原始框架的显著修改，其基于形状的Laplace-Beltrami算子与其紧致子集之间关系的理论见解。使用函数图计算对应关系的方法通常可以产生多少有噪声的对应关系，然后将其用作精化算法的初始化。最初的细化技术使用了一种变体ICP算法[28]，该算法假设形状是等距的，但随后开发了新的更通用的方法[10，31，11，25，20]。 ZoomOut算法[25] 因为它从非常粗略的对应开始以通过光谱上采样获得高质量的图虽然它也依赖于强近似等距假设，但[33]中开发的理论背景可以用于使算法适应实践中的部分形状。与我们的贡献更相关的是形状集合的多个作品。已经开发了几种方法来使用周期一致性约束来细化集合内的对应关系，例如：[26，15，42，20，12]在许多其他人。这些方法还利用形状集合内的信息，但通常不旨在计算交叉集合图，并且通常仍然依赖于成对图估计作为构建块。通过引入形状差异运算符[ 35 ]来提取关于集合内形状的可变性的信息，该形状差异运算符[35]使用表示为函数图的两个形状之间的简单粗略对应来将形状对或形状集合之间的固有失真总结为两个函数运算符。这两个形状差异算子提供了一个强大的工具，用于总结形状集合内的变化，这促使他们在计算交叉集合的形状correspondences使用。我们的工作直接受到[39，5]中所示的优秀结果的启发，其中相应的形状差异算子被匹配在一起以计算交叉集合功能图。然而，求解过程依赖于SVD，其遭受符号模糊性和可能的不确定性。3795MN N → MMMM →N⟨··⟩∈MN2∈∈MN0我∥ ·∥我我FL（S）Σ∥−∥S∫argmin CA−B +µlC∆M−∆NC（1）不稳定此外，该方法假设整体变形是匹配的，以对应，这打破了在偏心的情况下。在这项工作中，我们专注于从形状差异中计算局部或逐点描述符，这些描述符可以在功能映射管道内外使用[2，28]。我们表明，虽然形状差异算子[35]捕获了形状之间的全局差异，但它们的属性允许以顶点描述符的形式提取逐点信息。该信息可以在完整形状的情况下与[39，53. 背景3.1. 功能图我们的工作属于最初在[28]中介绍的功能图框架，为了完整性，我们在下面简要回顾。给定两个曲面和，逐点对应T：可 以等效地表示为线性（函数）映射F：在这个基本管道的许多扩展中，例如[21，31，45，33，13]在[27]中引入的一个值得注意的问题，我们在下面使用，提出了一个术语，促进功能映射从逐点对应中产生。 为此，函数运算符与通过乘法作用于其它函数的每个输入描述符Γfi、Γgi然后，通过促进与这些算子的交换性，将这些算子引入到优化目标（1）中，即µdcCΓfΓgC2。虽然该流水线可以在给定适当的描述符的情况下产生准确的对应关系，但是它遭受多个问题。也就是说，它不允许消除对称性的歧义，需要针对部分匹配的特定适配，并且更广泛地说，不考虑关于形状通常自然地是其一部分的集合的信息3.3.形状差分算子我们的工作还严重依赖于在[35]中引入的形状差异操作器，其直观地捕获一对形状或形状集合内的差异或失真。具体地，给定形状1和2，其具有被编码为它们之间的函数映射F的平方可积空间之间的L2（）在每个形状上的功能。和内积，相关联的M1 和∠·，·∠M2在每个形状上，使用两个函数空间的适当基，函数映射F可以被表示为可能无限的矩阵。具体地，每种形状的拉普拉斯-贝尔特拉米算子的本征函数在谱形状分析[22，32，28]中取得了很大的成功，并且可以被解释为表面上的函数的傅立叶基，并且由于其多尺度性质而能够进行基截断。3.2.形状匹配形状M和N之间的标准功能对应流水线[ 29 ]寻找功能映射C2019- 04 - 22 01：01：02（2 ） 2 ） 2 ）3 ）（其中kM和kN表示对应（截断）基的大小。给定每个形状上的一组描述符函数{（fi，gi）}其中fi∈L2（M），gi∈L2（N），期望形差算子定义为作用在L2（M1）上的唯一线性算子D，使得f，DgM1=F（f），F（g）M2f，g∈L（M1）（2）该算子可以被看作是补偿由F引起的关于给定内积的失真。注意，共享共同源形状和内积两者的形状差算子都可以被比较，因为它们都作用于相同的函数空间。最初的工作[35]引入了两个形状差异算子，它们捕获了形状之间的完整内在畸变。第一个VM1和M2与两个图形上的标准L2内积相关联在形状S上的∠f，g∠ 2=f（x）g（x）dµS。第二1i=1保存在功能图下，我们将它们在 它 们 各 自 的 基 上 表 示 为 两 个 矩 阵 ARkM×p 和BRkN×p。标准选择是HKS [43]或WKS [2]描述符。表示∆M（分别Laplace-Beltrami算子在形状上（分别为），以它们各自的基表示为对角矩阵，则函数对应问题被写为：2 2F FC∈RkN×kM一个，记为RM1，M2与H0内积有关H1（S）=L2（S）.这两个算子VM1，M2 和RM1，M2分别被称为基于面积的和共形形状差异，因为如果底层映射分别为保面积保形[35]。利用大小为k1和k2的谱基将F编码为C∈Rk2×k1，形状差算子可直接计算为k1×k1矩阵VM，N=CC（3）其中F是Frobenius范数。这里，第一项确保描述符保留，而第二项有利于等距映射，µl∈R是手动设置的缩放因子。RM，N=. ∆MΣ†C∆NC（4）其中†表示Moore-Penrose伪逆。p3796i=0时i=0时≃M N MN联系我们NN∈ΣMNE（C）+αC∆−∆Ci∥ ∥我我我F我我{N} MMF{M}图2.网格的DWKS描述符示例。左侧部分显示源网格及其变形版本。右侧部分显示每个网格的DWKS描述符，其处于底部所示的3个固定能级（视为网格的函数）。请注意，即使在偏爱情况下，描述符也保持一定程度的一致性。3.4. 用形状差算子进行虽然最初形状差异算子被引入用于形状分析，但它们也被用于解决交叉集合形状对应问题[39，5]。具体地，给定两个形状集合in和in，其中 0和i之间的变形类似于0和i之间的变形。. . ，n，目标是计算0和0之间的交叉集合映射，我们将其表示为和 。在这些形状对之间具有类似差异的情况下，我们期望它们的相关联的形状差异算子DMi和DNi其中，D表示面积或共形形状差算子的y，并且索引指示算子与形状〇和形状i之间的变形相关联。在功能图框架中，这相当于期望所寻找的功能图与这些运算符进行交换，即CDMiDNiC。这导致在[5]的最近方法中解决的优化问题（其扩展了[39]中的方法）：n算法一：计算DWKS描述符输入：以约化基表示的形状差异算子D，源形状上的拉普拉斯算子的本征向量作为Φ的列，pene值（ej）j的列表，尺度参数σ输出：每个能量值对应一个DWKS描述符。(1) 计算特征向量U和特征值（λi）iofD(2) 计算Ψ=ΦU在正则基中D(3) 使用Ψ，（λ i）i和σ来使用等式（7）计算每个e，j的DWKS描述符。目标（5）的第二项在近似等距形状的情况下充当强大的正则化器，但在更有挑战性的设置（包括偏心）中失败。在这项工作中，我们建立在这个管道，并使用本地逐点描述符提取的形状差异argminCRkN×kMC=12Fi=1（五）运营商这允许两者使用标准优化技术，从而避免与C其中，α∈R是比例因子，并且E（C）=CRM−RNC2+CVM−VNC2（六）等距正则化最终，我们的框架既更高效，又带来了显著的改进，尤其是-特别是在局部形状的情况下。注意，与标准功能匹配流水线（1）不同，优化目标（5）不依赖于相干描述符的存在。此外，在没有约束CF= 1的情况下，平凡解C= 0将给出零误差。[39，5]的作者在Eq.（5）奇异值分解（SVD）方法，不仅会导致解的符号模糊性，而且在实际应用中会导致不稳定性。而且4. 我们的方法4.1. 动机和概述第3.2节中描述的标准函数对应流水线依赖于与拉普拉斯算子的交换性和局部描述符的对齐。3797i=0时--j=1←j=1算法2：聚合用于一个实例的DWKS描述符收集输入：函数映射{Ci}n基本形状和形状i，基本形状上的拉普拉斯算子的特征向量Φ，拉普拉斯算子的特征值的对角矩阵的列表∆i对于每个形状，每个值（ej）p，一个刻度参数σ输出：完整集合对于i1到n做使用等式2计算Vi和Ri（3）和方程（4）有Ci，∆0和∆i。计算Vi和Ri的DWKS描述符使用具有σ、Φ和（ej）p的算法1图3.我们的管道将两个集合作为输入，并具有给定的基础形状。每个变形的DWKS描述符被aggre-gated平滑噪声，然后用于逐点地图计算。端有趣的是，HKS或WKS [43，4，2]等谱描述符是从相同的拉普拉斯算子中提取的。然而，它们在Eq.（1）这两者都有助于防止琐碎的解决方案和不必要的局部信息进入过程。我们的主要目标是模仿这种结构的交叉集合匹配，但使用形状差异运算符。有趣的是，在[39，5]中已经提倡了具有形状差异的交换性。我们寻求扩展这种建设，也提取- ING逐点描述符的形状差异运营商，类似的方式WKS是从拉普拉斯算子中提取。不幸的是，这样的适应不是直接的，主要是因为不像Laplace-Beltrami算子，其光谱性质被很好地理解并且具有直观的物理解释，形状差异算子被研究得少得多，因此不清楚是否可以以相同的方式提取逐点光谱描述符。因此，我们从以下关键观察开始（在补充材料中给出了证明）：定理1给定一个非退化的泛函映射F，只要其Laplacian的面积矩阵和刚度矩阵是正（半）定的，则基于面积的和共形的形差算子都是正（半）定的.有趣的是，这个定理在最初的形状差工作[35]中没有得到证明，它提供了对将谱方法应用于形状差算子的可能性的第一个洞察，因为类似于拉普拉斯算子，它们的本征值被保证是非负的。此外，我们注意到，形差算子既具有局部性，又具有复合性或函性（分别见[7]中的命题4.2.3和4.2.4）。前一个评论与[35]中的形状差算子的更一般的性质产生共鸣，其中陈述了这两个运算符根据局部变形作用于函数由底层对应映射引起的。虽然Laplace-Beltrami算子的本征函数捕获了表面上“最平滑”的可能函数，但形状差异算子的本征函数直观地捕获了由形状差异Df=f保持的更多函数（并且因此对应于特征值1）对应于无失真的区域（参见[7]中的定理4.2.1人们可以画一个平行的常数函数，对应于拉普拉斯算子的零特征值此外，形状差异自然地享受乘法代数[35]（参见[7]中的命题4.2.4），这意味着，例如，DN，M=（DM，N）−1和DM，N=DM，PDP，N对于任何形状差算子D和形状M、N和P（根据适当的变化）。上面的两个观察结果表明，形状差异算子的谱使用对数尺度更自然地表示。这样，未变形区域对应于log（1）= 0个对数特征值。此外，捕获逆变形的算子的对数特征值仅仅是直接变形的对数特征值的负值。最后，在某些情况下（例如，当变形相同时），差分算子的合成导致对数本征值是各个差分算子的和。我们在这些观察的基础上进行了扩展，并在补充材料中提供了更最后但重要的一点是，我们在实践中使用的形状差算子都表示使用拉普拉斯-贝尔特拉米本征函数的截断的基础，使用方程。（3）和（4）。因此，形状差异的本征函数只能表示非常平滑的函数，特别是不能表示网格上的狄拉克δ函数，而是以点为中心的热核。3798Σ∫i=0时i=0时NNMMMNnnMNMN图4.拟合管道的可视化。从描述符开始，计算第一逐点映射，然后将其投影到忽略一些离群点顶点的低维函数映射中。然后使用ZoomOut算法[25]细化该功能图。4.2. 定义使用这些评论并受WKS描述符的定义[2]的启发，我们将作用于形状M的给定形状差异算子D的DWKS描述符定义为DWKS（D）：M ×R→R4.3. 描述符的稳定性如从图2所见，DWKS描述符似乎即使在部分形状的情况下也保持稳定，但原因可能不清楚。当比较两个完全和两个部分形状之间的DWKS描述符时，发生两种现象。一方面，形状差算子（x，e）›→CKMek=1λk>0（e−log（λk））22σ2k（x）第二章（七）因此，如[33]中所示，由于频谱基可以表示更精确的元素，因此在部分情况下，相关的DWKS描述符更加另一方面，在完全情况下，只有一小部分局部化程度较低的本征函数位于由其中（λk）k和（λk）k分别是特征值，算子D的特征向量，σa手动设置参数-te r，且C确保RDWKS（D）（·，e）Mde=1。DWKS可以被解释为算子的谱的高斯模糊，其中参数σ定义对数尺度上的特征向量的扩展。第4.1节的注释激发了在所有能级上选择常数σ请注意，为了计算DWKS描述符，我们假设给定一对或一组形状，它们之间具有功能映射。函数映射表示在截断拉普拉斯特征基，这导致小尺寸的形状差算子矩阵。注意，DWKS还为每个（基于面积的和共形的）形状差异算子产生单独的逐点描述符，并且可以通过应用算法1中描述的构造来扩展到任何形状差异算子。区域形状差异算子的DWKS描述符的示例，被视为给定能级处的形状的函数，如图2所示。每条线都显示猫和狮子的相似变形的描述符，它们不共享相似的几何体或顶点数。注意，描述符看起来非常相似，直到一些噪声，如e= log 1。二、底线表明，描述符保持稳定，即使在偏袒的情况下，因为它们捕获本地信息。部分形状。最终我们在实践中观察到这两种效果被高斯模糊在实践中，DWKS描述符提供关于形状变形的部分信息，因此使用额外的正则化来获得更有意义的点对点对应。在下文中，我们提出了一个可能的流水线，如图3所示，以从DWKS描述符获得逐点映射。4.4. 匹配管道我们假设给定形状（i）和（i）的两个相似集合，在0和i之间的变形类似于0和i之间的变形的意义上对齐，对于所有i。请注意，可以使用[5]中的管道从不同大小的未对齐集合中自动检索此信息。 我们还假设可以访问近似的集合内映射，其可以使用已知的近等距形状匹配技术来计算。为了简单起见，我们等价地写（分别）或1（分别①的人。我们的匹配流水线按图4所示的四个步骤进行：1. 计算k维M的形差算子和kN对于每个集合，并且聚合DWKS de-−3799FFΣ∥ −∥∥∥−NN → M×N×RNiC2×和CViM−ViNC其中Ri是第i个F我F矩阵A∈RnM×np中的每一个的脚本且B∈RnN×np.2. 使用DWKS描述符计算近似逐点映射。3. 仅使用顶点的子集将逐点映射投影到低维函数映射中4. 使用以下方法细化功能图ZoomOut算法[25在第一步中，我们使用p个均匀间隔的能量值（e1，. . . ，ep），并使用算法2计算描述符。在第二步中，我们首先将第3.2节中描述的标准函数映射管道与[39，5]中引入的交换性项相结合：图5.Sumner数据集上使用完整形状的结果C*=argminC∈RkN×kM Ed（C）+µdc Edc（C）+µlEl（C）+ µc Ec（C）+µa Ea（C）（八）在这种情况下，我们证明了我们的方法得到了与[5其中Ed（C）=CA−B2，描述符保留项，其中A和B是投影到谱基中的矩阵A和B，Edc（C）促进了与由第3.2节中描述的各个描述符构建的算子的交换性，E l（C）是与拉普拉斯-贝尔特拉米算子C<$M<$NC2的标准交换性，Ec和Ea分别与共形和面积基d形差算子即iCRMi −保形形差算子和第i个区域的Vi一个.然后使用[28]中的标准方法将问题（8）的结果C*转换为逐点映射TF：在步骤3中，我们试图将逐点映射T投影到低维函数映射中。为此，我们首先将具有为顶点j定义的最大描述符距离的顶点的分数α丢弃为d（j）=lTF（j）（A）lj（B）2，其中lm表示矩阵的第m行。 这通常会忽略描述符不太精确的切口和孔附近的顶点，如图4所示。在步骤4中，我们使用ZoomOut算法[25]来细化低维功能图。注意，缺少针对部分匹配定制的细化算法使得结果对细化参数特别敏感。在第一次迭代期间，我们忽略属于先前子样本的顶点，并在最后几次迭代中使用顶点的完整集合。5. 实验参数除非另有说明，否则DWKS的参数在所有实验中是固定的。能量值设置为200个值，线性间隔值在−log3图6. Sumner数据集的结果。虽然我们的方法没有达到视觉上完美的结果，由于缺乏tailored细化，它优于通常的方法。末端的数字表示每种方法的平均测地误差.和log 3。 标准偏差参数σ被设置为1。占整个范围的2% 计 算 的 形 状 差 异 算 子 的 大 小 被 设 置 为kM=kN=50，并且用于计算它们的功 能图的 大小为3kMkM在[ 5 ]中提出。优化问题（8）的参数为µdc= 10，µl= 0，µa=µc= 10−4。 方程（8）的所有项已经在以前的著作[28，27，5]中分别介绍过，我们建议读者参考这些文章或补充材料，以更深入地讨论它们的效果。低维函数图是一个1515用于完整形状的矩阵，以及其中λ是所描述的函数图的倾斜对角线3800在[33]中。我们在部分形状的情况下设置α= 20%，并且在完整形状的情况下设置α= 5%，以减少噪声量。有关参数值的更多详细信息，请参见补充材料。我们的方法和基线的实现可在https://github.com/RobinMagnet/DWKS获得。猫和狮子第一个实验使用合成数据来评估我们的方法在[5]中使用的标准设置中的稳定性，并显示我们的管道如何处理[5]中的匹配技术可能会出现问题的部分。这两个集合由10个与图2中显示的猫和狮子网格相似的版本组成。我们还手动创建了一个切成两半的狮子集合，如图6所示。使用标准参数和子采样3个描述符中的1个以实现更快的计算，图5显示我们的方法在完整形状上实现了与[5]相似的精度，而无需昂贵的SVD求解器。图6显示了我们在细化步骤之前和之后的部分情况下的结果，与[5]中的结果进行了比较，其中由于近等距假设失败，我们在其公平性目标（5）中设置µl=0我们还显示了使用WKS描述符通过标准功能映射管道[27]获得的结果，如第3.2节所述。合成人脸数据集。我们在另一个合成数据集[35]上使用类似的设置，该数据集由两个集合组成，其中包含10个具有多种表情的面孔。由于我们希望在下面的实验中关注真实的噪声扫描，因此我们请读者参考补充材料以了解该数据集上的结果的说明。浮士德最后，我们在DFaust数据集上测试了我们的流水线[3]，该数据集由多个类似的人体形状真实扫描集合组成该数据集尤其具有挑战性，因为真实数据包含显著的孔和离群顶点，这迫使我们使用近似的集合内映射。使用点云的拉普拉斯算子的最新公式[41]，我们将完整的管道应用于完整和部分形状的集合。请注意，[5]中的方法可以类似地适用于点云，并且仍然用作基线。在部分形状的情况下，为了公平起见，我们再次不将ICP细化应用于[5]的结果。图1中示出了当匹配跳跃运动中的两个人类集合时获得的逐点图。在图7中，我们提供了定性和定量评估。我们的流水线在完全和部分设置中都对[5]进行了显着改进，即使没有细化步骤，这也证明了其对噪声的鲁棒性和对真实场景的适用性与文献[5]的结果相比，即使在等距情形下，也没有得到令人满意的结果。这方面的其他定量和定性结果图7. DFaust数据集上的结果。我们匹配两个collec- tions的6个网格代表人类在跳跃运动。底行表示完全（左）和部分（右）情况下的逐点映射的精度曲线图例中的数字表示平均精度乘以103。数据集以及与其他基线的比较在补充材料中是可用的。6. 结论和今后的工作在这项工作中，我们介绍了一个逐点描述的表面之间的变形，能够有效地编码信息的局部失真内的集合在顶点级别。我们的流水线能够利用网格和点云的常见变形来计算具有挑战性的场景中的地图，包括对称性和局部性。然而，我们的方法受到一些限制，因为它只关注形状的内在变形。此外，在局部形状的情况下，缺乏鲁棒的细化算法，最后，虽然参数在我们的实验中被设置为常数，但是它们仍然可能必须由用户手动设置。在未来，在[19]的静脉中利用有意义的外部形状差异算子将是有趣的，并且通过引入一致的潜在空间[16]来潜在地克服基础形状的选择。致谢作者感谢匿名审稿人的宝贵意见和建议。这项工作 的 一 部 分 得 到 了 ERC 启 动 赠 款 第 758800 号（EXPROTEA）和ANR AI主席AIGRETTE的支持3801引用[1] Noam Aigerman和Yaron Lipman。双曲眶褶管嵌入。ACM Transactions on Graphics，35（6）：1- 14，Nov.2016. 1[2] Mathieu Aubry，Ulrich Schlickewei，and Daniel Cremers.波核签名：形状分析的量子力学在2011年IEEE计算机视觉研讨会国际会议（ICCV研讨会），第1626-1633页，西班牙巴塞罗那，11月11日。2011.美国电气与电子工程师协会。 二三五 6[3] Federica Bogo，Javier Romero，Gerard Pons-Moll，andMichael J.黑色.动态FAUST：登记运动中的人体。在2017年IEEE计算机视觉和模式识别会议（CVPR），第5573檀香山，HI，2017年7月。美国电气与电子工程师协会。8[4] Michael M.布朗斯坦和伊索纳斯·科基诺斯。用于非刚性形状识别的尺度不变热核特征。在2010年IEEE计算机协会计算机视觉和模式识别会议，第1704-1711页，美国加利福尼亚州旧金山，2010年6月。美国电气与电子工程师协会。5[5] Aharon Cohen和Mirela Ben-Chen。鲁棒形状集合匹配和形状差异对应。计算机图形论坛，39（2）：555一二三四五六七八[6] 艾 蒂 安 · 科 曼 内 禀 和 外 禀 几 何 的 泛 函 刻 画 。 ACMTransactions on Graphics，第17页，2016年。2[7] 艾蒂安·科曼用于几何处理的可变形曲面的函数表示。论文，巴黎萨克雷大学（COmUE），11月。2016. 5[8] Luca Cosmo，Giorgia Minello，Michael Bronstein，LucaRossi，and Andrea Torsello.平均混合核信号。在AndreaVedaldi ， Horst Bischof ， Thomas Brox 和 Jan-MichaelFrahm，编辑，计算机视觉施普林格国际出版社. 2[9] Nicolas Donati Abhishek Sharma和Maks Ovsjanikov深度几何函数映射：形状对应的鲁棒特征学习。2020年IEEE/CVF计算机视觉和模式识别会议（CVPR），第8589-8598页美国电气与电子工程师协会。一、二[10] 丹妮尔·埃祖兹和米雷拉·本·陈形状间映射的去模糊和去噪。Computer Graphics Forum，36（5）：165-174，Aug. 2017. 2[11] Danielle Ezuz Justin Solomon和Mirela Ben-Chen。离散曲面间的可逆调和映射。ACM图形交易，38（2）：15：1-15：12，3月。2019. 一、二[12] Maol inGao，ZorahLa¨ hner，JohanThunber g，DanielCre-mers，and Florian Bernard.等距多形状匹配。arXiv预印本arXiv：2012.02689，2020。2[13] Anne Gehre ， Michael Bronstein ， Leif Kobbelt ， andJustin Solomon.交互式曲线约束功能图。在ComputerGraphics Forum，第37卷，第1-12页中。Wiley OnlineLibrary，2018. 3[14] Thibault Groueix、Matthew Fisher、Vladimir G Kim、Bryan C Russell和Mathieu Aubry。3d编码：3d cor-深变形的响应。在欧洲计算机视觉会议（ECCV）的会议记录中，第230-246页，2018年。1[15] Qixing Huang，Fan Wang，and Leonidas Guibas. 用于分析 和 探 索 大 型 形 状 集 合 的 功 能 映 射 网 络 。 ACMTransactions on Graphics，33（4）：1-11，2014年7月。2[16] Ruqi Huang，Panos Achlioptas，Leonidas Guibas，andMaks Ovsjanikov. 极 限 分 析 计 算 机 图 形 论 坛 ， 38（5）：187-202，Aug. 2019. 二、八[17] RuqiHuang，Fr e'd e'ricChazal，andMaksOvsjani kov. 关于函数映射与形差算子的稳定性。计算机图形论坛，第1- 12页，2017年。出版商：威利5[18] Ruqi Huang和Maks Ovsjanikov。用于形状分析和匹配的伴随映射表示 Computer Graphics Forum，36（5）：151-163，Aug. 2017. 2[19] RuqiHuang ，Marie-JulieRakotosaona ，PanosAchlioptas，Leonidas Guibas，and Maks Ovsjanikov.运营商网络：由差分算子重新覆盖三维空间在2019年IEEE/CVF计算机视觉国际会议（ICCV），第8587-8596页，韩国首尔（南），10月。2019年。美国电气与电子工程师协会。 二、八[20] Ruqi Huang ， Jing Ren ， Peter Wonka ， and MaksOvsjanikov.一致的缩小：高效的光谱图同步。ComputerGraphics Forum，39（5）：2652020年。2[21] A. 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