基于邻域系统的广义粗糙集理论研究

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，603埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章基于邻域系统和拓扑空间的广义粗糙集R. MareayDepartment of Mathematics，Faculty of Science，Kafrelsheikh University，Kafr El-Sheikh 33516，Egypt接收日期：2015年11月14日;修订日期：2016年2月21日;接受日期：2016年2月27日2016年4月13日在线发布摘要粗糙集理论是处理不确定性、模糊性和未知对象的重要方法。本文提出了一种新的基于任意二元关系诱导的邻域系统的广义粗糙集方法由邻域系的核生成了四对对偶逼近算子给出了不同近似算子之间的关系我们利用这些邻域系的核生成不同的拓扑空间讨论了不同生成拓扑之间的关系2010年数学学科分类： 54A05; 06D72; 97R20; 03E20，版权所有2016，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍在信息系统中有许多数学工具来处理不精确或不确定的知识 ， 如 概 率 论 、 模 糊 集 [1] 和 粗 糙 集 [2] 。 粗 糙 集 是 由Pawlak[3]提出的一种处理不确定性和不完全信息的有效工具。粗糙集及其应用引起了众多领域研究者的兴趣*通讯作者。联系电话：+201009776766。电子邮 件 地 址 ： roshdeymareay@yahoo.com ，roshdeymareay@sci.kfs.edu.eg同行评审由埃及数学学会负责[4-17]。Pawlak粗糙集的出发点是不相容关系，而Pawlak粗糙集的出发点是等价关系。然而，等价关系的要求，如不相容性，在许多应用中的限制和局限性。在此基础上，等价关系被推广到相似关系[18]、容差关系[19]、模糊关系[20]、任意关系[17，21拓扑学被认为是数学的一个重要而有意义的分支。近年来，许多学者将拓扑方法用于粗糙集及其应用的研究。拓扑空间与粗糙集的结合以及拓扑粗糙空间的性质由Wu等[32]讨论。Lin[12，13，33]在逼近的研究中使用了邻域系和拓扑概念二元关系还等价关系中每个元素的等价类S1110-256X（16）30009-8 Copyright 2016，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2016.02.002制作和主办：Elsevier关键词粗糙集;邻域系统;核;拓扑604R. 马雷萨尔河=∅ ∈∪∈∈=∈∈⊆ ∈∈联系我们J=∈JJ{\fnSimHei\bord1\shad1\pos（200，288）}{\fnSimHei\bord1\shad1\pos（200，288）}= {∈= {∈可以看作是这个元素的邻域[34，35]。Yao[23，36]引入了任意二元关系中任意元素的后继元素作为其右邻域。Hung[8]给出了一般拓扑的邻域配置概念.左明等[30]使用了相同的概念，称为在本文中，我们介绍了一种新的方法，广义粗糙集的任意二元关系的基础上，通过概念的核心的邻域。定义了四类新的粗糙集。建立了新粗糙集的性质，并与其他方法的性质进行了比较。讨论了四种近似之间的关系。我们声称，我们的方法是经典粗糙集的扩展我们生成四个不同的拓扑结构的核心。讨论了四种不同拓扑之间的关系本文的研究为拓扑学与粗糙集理论的关系提供了重要的证据。2. 预赛定义2.1. [2]设U是一个非空集，称之为论的酉集，R是U上的一个等价关系。因此，K（ U， R）对称为近似空间。对于任何子集X，U，（X），（X）分别称为下近似和上近似，定义如下：R（X）= {x∈U：[x]R<$X}，R（X）= {x∈U：[x]R<$X/=<$}其中[x]R是x关于R的等价类。提案2.1.[2]设K =（U，R）是一个近似空间。然后，对于X，Y<$U，以下属性成立：（1L）R（U）=U;（1H）R（U）=U;（2L）R（λ）=λ;（2H）R（n）=1;（3L）R（X）<$X;.（3H）X= R（X）.（4L）R（X<$Y）=R（X）<$R（Y）;（4H）R（X<$Y）=R（X）<$R（Y）;（5）R（−X）= −R（X），其中（−X）是X的补数;（6L）R（R（X））=R（X）;（6H）R（R（X））= R（X）;（7L）X<$Y<$R（X）<$R（Y）;（7H）X<$Y<$R（X）<$R（Y）;（8L）R（−R（X））= −R（X）;（8H）R（−R（X））= −R（X）;（9L）R（X）<$R（Y）<$R（X<$Y）;（9H）R（X）<$R（X）<$R（Y）;定义2.2.[ 36]设R是论域U上的一个二元关系，x，y ∈ U。如果（x，y）∈R，则我们说y通过R和类RN（ x）= {y∈U：xRy}（LN（ x）= {y∈U：yRx}）与x相关被称为x定义2.4. [37]设U是一个非空集，τ是U的一个子集族，以下性质成立：(i) U，τ;(ii) τ在任意并下是闭的(iii) τ在有限交下是闭的。则τ称为U上的拓扑，而对（U，τ）称为拓扑空间。U的元素称为空间的点。属于τ的U的子集称为开集，开子集的补集称为闭集。3. 基于邻域系统的在这一节中，我们介绍了一种基于由任意二元关系导出的邻域系统的核的粗糙集的研究我们定义了四对不同的对偶近似算子。此外，我们之间的比较，我们的方法和其他一些方法。定义3.1. 设U是一个非空集，R是U上的任意二元关系. 然后，我们可以定义由R诱导的四种类型的邻域系统的核心如下：(i) 右邻域的核（CNr（x））：CNr（ x） y U：RN（ x） RN（ y）。(ii) 左邻域（CN 1（x））的核心：CN 1（x）yU：LN（x）LN（y）。(iii) 联合邻域的核心（CNu（x））：CNu（ x） CNr（ x） CNl（ x）。(iv) 交叉邻域的核心（CNi（x））：CNi（ x）=CNr（ x）<$CNl（ x）。定义3.2. 设U是一个非空集，R是U上的任意二元关系，CN j（x）是邻域系统的核，其中j {r，l，u，i}和x U.则称（U，R，CNj）是由二元关系R诱导的基于邻域的近似空间（简称CNj-近似空间）。注3.1. 设（U，R，CN j）是CN j-逼近空间. 如果R是一个等价关系，那么对于U的每个元素，右邻域和左邻域是相同的。因此，对于所有j{r，l，u，i}，CNj（ x）[x]R，其中[x]R是x的等价类由R诱导的U。因此，我们的方法被认为是Pawlak近似空间的推广引理3.1. 设（U，R，CN j）是CN j-逼近空间.然后又道：(i) x∈CN j（x），对所有x∈U和j∈ {r，l，u，i}.(ii) 如果y∈CN j（x）.则CN j（x）=CN j（y），对所有x，y∈U和j∈ {r，l，u，i}.证据 从定义3.1中可以明显看出这一点。Q定义3.3. 设（U，R，CNj）是CNj-逼近空间，XU.对于每个j{r，l，u，i}和x U，我们分别定义X的CNj-下近似和CNj-上近似，如下所示：（i）n（X）={CN（ x）：CN（ x）<$X}.R，分别。定义2.3.[8，30]设R是论域U和x，y U上的二元关系。然后，集合y U：N（y）N（x）称为由R诱导的x的邻域的核，记为CN（x）。（ii）CNj（X）={CNj（ x）：CNj（ x）<$X/=<$}。定义3.4. 设（U，R，CN j）是CN j-逼近空间，X<$U.则称子集X为CN_j-正合集，如果对于所有的j{r，l，u，i}，j（X）X否则，子集X被称为CNJ-粗糙。=基于邻域系统和拓扑空间的605⊆∈×−ℵ ⊆ℵ −ℵ∈j0j0}{\fn黑体\fs22\bord1\shad0\3aHBE\4aH00\fscx67\fscy66\2cHFFFFFF\3cH8080}ℵ∪ ℵ∩ ℵ但X<$Y<$y∈{CNj（ x）：CNj（ x）<$（Y）}<$y∈（1）A（ x）=A（x）（JJJJℵ∪ℵ ℵ∩{CNj（ x）：CNj（ x）}定义3.5. 设（U，R，CNj）是CNj-逼近空间，XU.对于所有j{r，l，u，i}，CNj-边界区域、CNj-正区域和CNj-负区域可以分别定义如下：（i）BND（ X）=（X）−（X）。J(ii) 位置j（XJJ）= j（X）。(iii) NEGj（ X）= U−j（ X）定义3.6. （准确度测量）设（U，R，CN）是CN-逼近空间，X<$U.然后，J JCNj- 子集X的近似精度定义如下：δ（X）=|吉吉（十）|| 吉吉（十）|哪里|（X）|f = 0，|X|是X的基数，对于所有j ∈ {r，Jl，u，i}注3.2. 从准确度测量的定义，我们推断：(i)0≤δj（X）≤1，<$X<$U.(ii) 如果 δj（X）= 1，然后 的 子集 X 是 CNj-精确和BNDj（ X）=0。否则，X是CNj-粗集.CNj（ x）<$ X=<$}=j（−X）。{CNj（ x）：CNj（ x）<$（−X）}=（7L） 让 y∈ <$j（X）<$ y∈{CN j（x）：CN j（x）<$（X）}。3.1号提案设（U，R，CNj）是CNj-逼近空间⊆ℵ ℵ⊆ℵ和X，Y，U。然后，CNj-下近似和上近似具有以下属性：（1L）n（U）=U;j（Y）。那么，j（X）j（Y）。 同样，（7H）。（8L）由于<$j（− <$j（X））<$− <$j（X）。反之，设y∈j（− <$j（X））<$y∈（−(2L)（i）=i;{CNj（ x）：CNj（ x）<$（X）}）（1H）n（U）=U;（{CN j（x）：CN j（x）<$X=<$}）01-02{CNj（ x）：（2H）j（）=;（3L）<$j（X）<$X;（3H）X（X）.（4L）<$j（X<$Y）=<$j（X）<$<$j（Y）;（4H）<$j（X<$Y）=<$j（X）<$<$j（Y）;(5) j（−X）=−（6L）<$j（<$j（X））=<$j（X）（6H）<$j（<$j（X））=<$j（X）（7L）Xj（X）j（Y）;（7 H）X<$Y<$$>j（X）<$<$j（Y）;（8L）j（−j（X））=−j（X）;（8H）j（−j（X））= −j（X）;（9L）j（X）j（Y）j（XY）;（9H）j（X<$Y）j（X）j（Y）;证据 证明了（1 L），（1 H），（2 L），（2 H），（3L），（3 H），（6 L），（6H）、（9L）和（9H）的差异明显。对于每个x∈U，我们将证明：（4L）设yj（XY）。则y CNj（ x）：CNj（ x）（ XY）。因此，至少存在CN j0，使得y CN （XY）的 y CN X和y CNj0Y。 因此，我们认为，y∈{CNj（ x）：CNj（ x）<$X}，（X）{\displaystyle{\frac{X}）。这意味着，y∈<$j（−<$j（X））。因此，j（X）j（j（X））。 同样地， 证明（8H）。Q注3.3. 我们从命题3.1中注意到，我们的方法满足与Pawlak粗糙集模型相同的性质。 因为在我们的方法中R是一个任意关系。因此，我们认为，我们的方法是一个理想的推广粗糙集。尽管粗糙集理论有很多推广，但其中很多都不满足粗糙集的所有性质。在表1中，我们的方法和粗糙集近似的其他方法之间的比较表明，该属性保持。推论3.1。（十）（Y）和（十）Y）是j（XY）的真子集，j（X），j（ Y），但一般不成立。下面的例子说明了这个推论。实施例3.1. 设U ={a，b，c，d}是一个非空集，R ={（a， a），（ a， c），（ b， b），（ b， d），（ c，c），（ c， a），（ d， c），}是任意关系。则RN（ a）= {a， c}，RN（ b）= {b， d}，RN（ c）={a， c}，RN（ d）={c}和LN（ a）={a， c}，LN（ b）={a，c}因此，在本发明中，j（X<$Y）相反地， 我们可以证明（j（X）j（Y））⊆j（X 然后，j（X<$Y）=同样，{b，d}，LN（c）={a，c}，LN（d）={D}。因此，CNr（ a）={a， c}，CNr（ b）={b}，CNr（ c）={a， c}，CNr（ d）={c}，CNl（ a）={{a， c}，CN1（ b）={b， d}，CN1（ c）={a， c}，CN1（ d）={b， d}。从表1不同方法的性能比较粗糙集。Pawlak模型 姚明1L1小时2L2小时3L3小时4L4小时××××××Yu等人[30]我们的方法×××××××××××××××××××××××××9H× × ××××X的;y∈{CNj（ x）：CNj（ x）<$Y}<$y∈（<$j（X）<$j（Y））.606R. 马雷（4H）;（5） 由于− <$j（X）= − {CNj（ x）：CNj（ x）<$X/=<$}表2，如果X ={a}，Y ={c，d}并且X = Y ={a，c，d}。然后r（X）因此，我们认为，= −{CNj（ x）：CNj（ x）<$X/=<$}={CNj（ x）：r（X） 如果Z= {a， b}，E= {c， d}基于邻域系统和拓扑空间的607∈<$∈{（）（）<$uu uℵℵ/=}（）=（）（）∈url{b}=i{a， b}。此外，我们还发现，t=r{b}/={b， d}= t =u{b}并且Ui{c， d}={a， c， d}/=U=Ui{c， d}。推论3.2。设（U，R，CN j）是CN j-逼近空间，X<$U. 然后，以下属性成立：(i) BNi BNr BNu(ii) BNi BNl BNu推论3.3。 设（U，R，CN）是CN -逼近空间J J，Z= Z。 当u（Z）u（E）= U且u（Z<$E）= u时，因此，u（Z）u（E）/=u（Z <$E）。备注3.4. 我们从表2中注意到，通过使用我们的方法，许多子集都是CNj-精确的。另一方面，对于U的某些子集，Yao3.1. CN j-逼近算子不同类型之间的关系在这一节中，我们介绍了不同类型的CNj-近似算子之间的比较。此外，还介绍了不同类型CNj-近似精度的比较.提案3.2. 设（U，R，CN j）是CN j-逼近空间，X<$U. 然后，以下属性成立：（一）u（X）（二）u（X）(iii) i（X）(iv) i（X）证据我们将证明部分（i）和（iii）。其他部分的证明与此类似：（i）设y（X）.然后yCN X ：CN xX}。但是，CNu（ x）=CNr（ x）<$CNl（ x）<$y∈{CNr（ x）：CNr（ x）<$X}。 因此，y∈R（X）。 因此，u（X）你好。然后，以下属性成立：(i) δu（X）≤δr（X）≤δi（X）(ii) δu（X）≤δl（X）≤δi（X）3.3号提案设（U，R，CN j）是CN j-逼近空间，X<$U. 然后，以下属性成立：(i) 如果X是CNu-正合的.则X是CNr-正合的，这意味着X是CNi-正合的.(ii) 如果X是CNu-正合的.则X是CNl-正合的，这意味着X是CNi-正合的.证据 我们将证明部分（i）。第（二）部分的证明是类似的：(i)根据推论3.2，设X是CNu-正合的. 则BNu=BNr=。因此，X是CNr-正合的。现在，X是CNr精确的.那么，BNr=BNi=。因此，X是CNi-正合的Q备注3.6. 由例3.1可知，Corolla ry 3.2和推论3.3的逆命题一般不成立。还有，i（X）和i（X）是近似空间（U，R，CN j）中更精确的近似算子。4. 邻域核诱导的拓扑空间拓扑是纯数学中一个重要而有趣的话题。生成拓扑空间的方法有很多，如内部算子和闭包算子。由二元关系导出的拓扑学引起了许多研究者的兴趣。在这一部分中，一些类型的拓扑是由二元关系导出的邻域的核心生成的。（X）.设y∈R（X）. 则y∈{CNr（ x）：CNr（ x）}4.1号提案 设（U，R，CN j）是CN j-逼近空间.然后，可以从X}。但是，CNi（ x）=CNr（ x）<$CNl（ x）<$y∈{CNi（ x）：CNi（ x）<$X}。 因此，y∈i（X）。 因此，r（X）由二元关系R导出的邻域的核可以定义为：i（X）.（iii）设y∈ ψi（X）.则y∈{CN i（x）：CN i（x）<$X/=<$}。τj= {G<$U：CNj（ x）<$G， x∈G}但是，CNi（ x）=CNr（ x）<$CNl（ x）<$y∈ {CNr（ x）：CNr（ x）<$X/=<$}。因此，y∈R（X）。因此，我们认为，证据i（X）设y∈R（X）. 则y∈{CNr（ x）：CNr（ x）}(i) 显然，U∈τj(ii) 设G1，G2，G3，.Gin. ∈τj，i∈I和x∈G i.然后，X.但是，CN x CN x CN x Y{CNu（ x）：CNu（ x）<$X/=<$}。因此，y∈u（X）。至少存在G i0使得x∈G i0∈Gi0∈τ。这意味着，CNj（x）<$Gi0。因此，CNj（ x）因此，r（X）u（X）。G i和G i∈ τ j。Q备注3.5. 等式关系在命题3.2中不成立，梗概.下面的例子说明了这一点。实施例3.2. 从例子3.1继续，我们发现，u{a， b， c}={a， c}/={a，b，c}=(iii) 设G1，G2∈τj，x∈G1<$G2.则x∈G1，x∈G2<$CNj（x）<$G1，CNj（x）<$G2.因此，CNj（x）<$G1<$G2。因此，G1<$G2∈τjQ实施例4.1. 设U= {a， b， c， d}是一个非 空 集合表2姚明的方法和我们的方法之间的比较。姚明 我们的方法述子集 Rr（X）Rr（X）<$r（X）<$r（X） <$u（X）<$u（X）{a}{二}{d}{a，b}{a，b，c}{a，b，∅∅∅{二}{二}{a，c}{二}{d}{二{b}{a，c}{a，c}{d}{b，d}{b，{a，c，d}U∅{a，b，c} {a，b，c}{a，c}{a，b，c}{二}{a，b，c}{b，d}U{b，d}{a，c，d}U{a，c，d} {a，c，d}{a，c}UUUU608R. 马雷R={（a， a），（ a， b），（ b， b），（ b， a），（ c，c），（ c， d），（ d， b），}基于邻域系统和拓扑空间的609这是一个任意的关系。 然后，RN（ a）= {a， b}，RN（ b）={a， b}，RN（ c）={c， d}，RN（ d）={b}和LN（ a）={c，d}{a， b}，LN（ b）={a， b， d}，LN（ c）={c}，LN（ d）={c}。因此，我们认为，CNr（ a）={ a， b}， CNr（ b）={ a， b}， CNr（ c）={ c}， CNr（ d）={ d}，CN1（ a）={ a}， CN1（ b）={ b}， CN1（ c）={ c， d}， CN1（ d）={ c， d}，CNu（ a）={ a， b}， CNu（ b）={ a， b}， CNu（ c）={ c，d}， CNu（ d）={c， d}且CNi（ a）={a}，CNi（ b）={b}，CN i（c）={ c }，CNi（d）={c}，CN i（a）={a}，CN i（b）={b}，CNi（c）={c}。{d}。因此，τr={U，n，{a， b}，{c}，{d}，{a， b， c}，{a，b， d}，{c， d}}，τl={U，U， {a}，{b}，{c， d}，{a， b}，{a， c， d}，{b， c，d}}，τu={U，n，{a， b}，{c， d}}和τi={U，n，{a}，{b}，{c}，{d}，{a， b}，{a， c}，{a， d}，{b， c}，{b， d}，{c， d}，{a， b， c}，{a，b， d}，，{b， c， d}，{a， c， d}，{b， c， d}}4.2号提案设（U，R，CN j）是CN j-逼近空间，τ j是由二元关系R生成的CN j诱导的拓扑.然后，以下属性成立：(i) τuτrτi;(ii) τu<$τl<$τi;(iii) 我的天证据 我们将证明部分（i）和（iii）。（二）部分的证明是类似的：(i)设G∈τu.则CNu（x）<$G，x∈G<$CNr（x）<$G，x∈G. 故 G∈τr ， τu <$τr 。 设 G∈τr. 则 CNr （ x ） <$G ，x∈G<$CNi（x）<$G，x∈G.因此，G∈τi，τr <$τi。(iii)设G∈τu.则CNu（x）<$G，x∈G<$CNi（x）<$G，x∈G.故G∈τi，τu <$τi。Q注4.1. 在命题4.2中，等式关系一般不成立。根据例4.1，τu/=τr，τu/=τl，τu/=τi。同样，τu/=τi/=τl推论4.1。设（U，R，CN j）是CN j-逼近空间，τ j是由二元关系R生成的CN j诱导的拓扑，R是对称关系. 则τr= τl= τu=τi。证据 设R是一个 对称关系。则RN（ x）=LN（ x），其中nx∈U<$CNr（ x）=CNl（ x）=CNu（ x）=CNi（ x）. 因此，根据命题4.1，τr=τl=τu=τi。Q5. 结论本文介绍了四种新的粗糙集类型我们推广了Pawlak由任意二元关系导出的邻域核概念被用来定义新的近似。建立了新的逼近空间的性质讨论了四种近似算子之间的关系通过由任意关系导出的邻域核生成四个拓扑空间.建立了四种拓扑结构之间的关系。我们认为，我们的方法是一个重要的交汇点之间的一般拓扑学和粗糙集理论。在以后的工作中，我们将讨论拓扑概念在粗糙集理论中的更多应用致谢作者感谢匿名审稿人对本文提出的宝贵意见。610R. 马雷引用[1] 洛杉矶 Zadeh，Fuzzy sets，Inf. 对照8（1965）338-353.[2] Z. 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