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14450Hierarchically-structured Interacting Segments(HINTS)的高效优化0Hossam Isack 1 Olga Veksler 1 Ipek Oguz 2 Milan Sonka 3 Yuri Boykov 10西安大略大学1 宾夕法尼亚大学2 爱荷华大学30摘要0我们提出了一种有效的优化算法,用于具有分割之间几何交互的通用分层分割模型。任何给定的树都可以指定对象标签的部分顺序,从而定义一个层次结构。众所周知,分割之间的相互作用,如包含/排除和边界约束,使模型具有更强的区分能力。然而,现有的优化方法不允许充分利用这样的模型。通用的a-expansion会导致弱局部最小值,而常见的二进制多层公式会导致非次模性、复杂的高阶势能或极坐标域展开和形状偏差。在实践中,将这些方法应用于任意树除了简单情况外并不起作用。我们的主要贡献是一种用于具有任意树的分层交互分割模型的优化方法。我们的Path-Moves算法基于多标签MRF公式,可以看作是著名的a-expansion和Ishikawa技术的结合。我们展示了许多复杂树的最先进的生物医学分割结果。01. 引言0基本线索,如平滑边界和外观模型,通常不足以规范复杂的分割问题。这在医学应用中尤为明显,因为对象具有边界弱、外观重叠的特点。因此,需要额外的先验知识,例如形状先验[29]、体积约束[3]或分割交互[31,8]。后一种约束是HINTS模型[8,31]的核心,该模型已成功应用于许多分割问题,例如细胞[23]、关节软骨[31]以及皮层[24]或管状[21]表面。0HINTS模型概述:任何分层结构10分割可以表示为一个标签树T,参见图1。树T定义了分割之间的拓扑关系,如下所示:(a)子父关系表示子分割位于其父分割内,(b)兄弟关系表示相应的分割互斥。01 我们将分层结构和部分排序互换使用。0(a)子节点与父节点的关系表示子节点位于其父节点的分割内,(b)兄弟节点的关系表示相应的分割互斥。例如,在图1中,A位于R内,E位于B内,而B、C和D在A中互斥。最小边界是区域之间的一种相互作用形式。如果区域X具有δX的最小边界,则其外边界将使其父节点和兄弟节点的外边界至少与δ X 相距,如图1(b)。0(a)树T和边界δ(b)可行分割0图1. (a) 具有6个标签的树,δ B 和 δ C分别是标签B和C的最小边界。没有显示的边界意味着最小边界为零。(b)满足分层结构(即部分排序)和由T和δ定义的边界的可行分割。注意B的外边界将其父节点和兄弟节点的外边界推开,使其至少与其相距δ B 个像素。0真值 a-exp[7, 8] QPBO[26, 8] 我们的0图2.使用不同优化方法进行的HINTS脑部分割,其中白质(黄色)、灰质(绿色)和背景是嵌套区域,脑脊液(红色)和亚皮质灰质(蓝色)是白质内互斥的区域。从一个平凡的解开始,a-exp收敛到一个糟糕的局部最小值,而Path-Moves则探索更多的解。由于非次模能量和模糊的颜色模型,QPBO无法标记一些像素(显示为白色)。E(f) =++14460先前算法的限制:我们扩展了[8],该论文介绍了适用于任意树的HINTS。在[8]中,使用a-exp[7]来优化HINTS的多标签公式,但由于交互约束的复杂性,它经常导致不良的局部最小值,例如图2。[8]的贡献是一个二进制的多层HINTS公式。他们使用高阶数据项,这些数据项不容易转换为任意树的一元和二元势。他们的算法的全局最优性保证取决于所涉及的树。只有不产生挫败循环[26]的树才具有这种保证,但对于任何给定的树来说,这并不是显而易见的。在[8]中,由挫败循环引起的非次模二元能量通过QPBO[26]得到解决。在实践中,QPBO对大多数树只产生部分解决方案,参见图2、10和12。作为QPBO的替代方案,[28]将HINTS制定为约束优化问题。他们使用图割的迭代序列求解这个NP-hard问题的Lagrangian对偶。然而,对偶间隙可能是任意大的,HINTS的最优解不能保证。他们的Lagrange乘子的超梯度优化猜测初始解和时间步参数。此外,根据[28]中的引理5,他们的超梯度对应于HINTS的硬排除约束,其值为{0,∞}。他们没有讨论这对算法的影响。在[31]中,作者推广了他们早期的方法[21],用于分割多个嵌套表面,即T是一个链。在[31]中,目标是分割具有一组嵌套表面的多个互斥对象,即T是一个spider2。但是,所提出的方法只能处理给定图像区域中两个互斥对象的单个对。因此,[31]需要对两个排除对象的相互作用区域有先验知识,或者使用问题特定的训练分类器来计算它。我们的方法不需要这样的先验知识。与我们的方法相比,[31]隐含地施加了类似星形的形状先验[29]并使用非均匀各向异性极坐标网格。如果放弃交互性(最小边缘)约束,HINTS退化为树度量标记。[10]中使用DP解决了某些树度量标记问题,以找到全局最优解,如果数据项也是树度量的话。最近,[1]使用凸松弛来近似标记问题,其中标签是DAG的叶子。这个问题可以归约为一般的度量标记[18]。由于段之间缺乏交互,这些标记问题与HINTS显著不同。0Path-Moves的动机:在多标签HINTS公式的背景下,我们提出了一种有效的移动方法02个节点的度≥3,其他节点的度≤2的树。3与[1]的作者进行的个人交流。0算法适用于任意标签树T,避免了先前优化方法的限制。与a-exp[7]相比,我们的Path-Moves是非二进制的:当扩展标签α时,任何像素都可以将其当前标签更改为树中其当前标签和α之间路径上的任何标签。注意,路径对每个像素都是特定的。优化使用我们对严格有序标签上的凸势的众所周知的多层Ishikawa技术[16]的推广。从本质上讲,Path-Moves结合了a-exp和Ishikawa。实际上,在链树(嵌套段)的特殊情况下,我们的算法简化为[8,16]中的Ishikawa-like构造,在一步中找到全局最小值。相反,当T是单层星形时,我们的算法简化为a-exp。请注意,密切相关的多标签范围移动[30]也将a-exp和Ishikawa结合在严格有序标签(链)上的非凸二元势。与Path-Moves相比,范围移动中的所有像素都具有相同的可行标签集。我们的贡献总结如下:•我们提出了Path-Moves-适用于HINTS的近似优化方法。与[8,31]不同,Path-Moves适用于任意树,避免了在HINTS的上下文中a-exp[7]的弱局部最小值。•我们展示了如何将星形先验的推广,例如[29,12,14],整合到多标签HINTS模型中,如果需要的话。Path-Moves也可以解决这个问题。0•我们展示了复杂树的最先进的生物医学分割结果。本文的组织如下。第2节定义了HINTS的多标签公式。第3节介绍了我们的多标签扩展移动,我们称之为Path-Move。另外,在第4节中,我们讨论了形状先验,因为在使用Path-Move时,它们对于HINTS来说不是必需的,不像[31,21]。我们在第5节中对多个医学分割应用进行了验证和比较,与[26, 7,8]进行了对比。第6节讨论了我们方法的空间复杂性和局限性。最后,第7节总结了本文。02. 分层结构相互作用分割0给定像素集Ω,邻域系统N和标签(区域)L,HINTS模型可以被表述为0数据项 � �� 0平滑项 � �� � λ �0交互约束 � �� � T ( f) (1)0其中,f p是分配给p的标签,f=[fp∈L|�p∈Ω]是所有像素的标签。数据项和平滑项在分割中被广泛使用,例如[6, 4]。数据项D p ( f p)是当像素p被分配给标签f p 时产生的代价。通常,Dp是标签概率模型的负对数似然,例如使用标注[4,25]或已知的先验进行拟合。Vpq(α, β) =T(f) = w∞�ℓ∈L�p∈Ωfp∈T (ℓ)�q∈Ω∥p−q∥<δℓ[fq ̸∈ {T (ℓ)∪P(ℓ)}] (3)14470平滑项正则化分割的不连续性。当两个相邻的像素(p,q)∈N被分配给不同的标签时,就会出现不连续性。参数λ权衡了平滑项的重要性。最常用的平滑势函数是Potts模型[7]。我们使用更符合某些情况下标签的物理结构的树度量平滑性[10,11],特别是医学分割,我们稍后会解释。如果存在一棵具有非负边权重的树,并且V(u,w)等于树中从节点u到节点w的唯一路径上的边权重之和,则函数V是树度量的。在我们的设置中,T就是这样一棵树,Vpq完全由为T中的每条边分配非负权重来定义。因此,对于任意的α、β在L中0ij ∈ Γ(α,β) V pq (i, j), (2)0在无向树T中,Γ(α,β)是连接α和β之间的有序标签的集合。在公式(2)中的求和是在路径Γ(α,β)上相邻标签对之间进行的。为了说明树度量平滑性的动机,考虑图1(a)中的树T。该树意味着区域R、A和D是嵌套的。例如,R、A和D可以分别表示背景、细胞和细胞核。在物理世界中,嵌套区域的边界永远不会合并成一个单一的边界。也就是说,如果在图像中观察到D和R之间的边界,这对应于物理世界中的两个边界,即D/A和A/R。因此,D/R边界的代价应该是D/A和A/R边界代价的总和。嵌套边界的求和属性可以建模为树度量平滑性。相比之下,Potts模型将多个嵌套边界惩罚为单个边界。公式(1)中的交互项确保在每个像素处满足最小间隔约束,参见图3。0其中,w∞是一个无穷大的标量,T(X)是以X为根的子树的节点,P(X)是T中X的父节点,[]是Iverson括号4。该项保证任何违反最小间隔约束的标签都具有无穷大的能量。一般来说,交互项不仅可以模拟最小间隔,还可以模拟区域吸引力[8]、场景解析[22,8]或这些约束的组合。然而,本文的重点是开发一种对能量(1)进行组合优化的有效移动。因此,为了简化阐述,我们只涵盖最小间隔。现在我们将我们的公式与[8]中的公式进行比较。包含性是两种公式都容易实施的约束,因为它可以简化为使用树度量平滑性。在我们的公式中04 [True]=1和[False]=00(a)树(b)在像素p上的最小边界约束0图3.(a)树T具有6个标签,T(B)是以B为根的子树,P(B)是B的父节点。(b)直观地说明了在任意像素p上的最小边界约束δB。对于标签f对于最小边界δB而言是有效的;如果fp∈T(B),那么在距离pδB个像素之内的任何相邻像素q必须被分配给B、其后代之一或其父节点,即fq∈{T(B)∪P(B)}。注意,如果q被分配给A的任何祖先或B的兄弟姐妹之一,这意味着我们在δB边界之外遇到了A或B的兄弟姐妹的边界。0(a)树T和边界(b)当前标签0(c)在C上进行最大扩展[7] (d)在C上进行最大Path-Move0图4.(a)显示了树和边界。(b)显示了当前标签。(c)和(d)分别显示了使用二进制扩展移动[7]和我们的多标签扩展移动(Path-Move)对标签C进行的最大可能扩展。与[7]不同,Path-Move能够在扩展C时推动所有区域的边界而不违反交互约束。通过多标签形式,排除性在定义上是满足的,因为每个像素只分配给一个标签。相反,在[8]中,像素的标签由多个二进制变量表示。因此,[8]需要明确强制执行排除性以维护这些二进制变量相对于树T的有效性。通常,这会导致难以优化的非次模项。03. 优化0[8]中的作者表明HINTS对于一般树T是非次模的,并且他们使用QPBO或a-exp进行优化。不幸的是,QPBO不能保证对所有像素进行标记,我们在实验中观察到了这一点,参见图2。a-exp算法[7]保证对所有像素进行标记,但容易陷入坏的局部最小值,参见图2。̸14480我们基于a-exp算法[7],该算法维护一个有效的当前标签f′,并通过从当前标签切换到附近的标签来迭代地尝试降低能量。在二进制扩展中,随机选择一个标签α∈L并允许其扩展。每个像素都可以选择保持为f′p或切换到α,即fp∈{f′p,α}。当无法再降低能量时,算法停止。0A-EXPANSION ALGORITHM [7]01 f′ :=初始有效标签02重复04 fα := arg min f E(f)其中f是f′的a-expansion0如果E(fα) < E(f′)06 f′ := fα07直到收敛0由于扩展移动的“二进制”性质,交互约束导致a-exp对初始化非常敏感,并且更容易收敛到坏的局部最小值,即使对于简单的树也是如此,参见图4。在a-exp算法的第4步中,我们提出了一种更强大的“多标签”移动,即Path-Move。图4(d)显示了Path-Move相对于二进制移动[7]的鲁棒性。03.1. Path-Move0在α的Path-Move中,每个像素p可以选择有序集合Γ(f′p,α)中的任何标签,其中f′p是p的当前标签。因此,p的可行标签集合是Γ(f′p, α),参见图5的示例。0图5显示了对于一些T,当在D上对当前标签为B(绿色)、F(红色)、E(蓝色)和G(棕色)的像素进行扩展时,可行标签的集合。与Path-Move不同,在[16,30]中,扩展过程中可行标签的集合对于所有像素都是相同的。0给定任意T,当前标签f'和标签α,我们现在展示如何构建一个图,使得该图上的最小割对应于最优路径移动。我们使用s和t来表示最小割问题的源节点和汇节点,分别。我们的构建受到[16, 7, 30]的启发。0数据项:对于每个像素p,我们生成一个节点链Cp,其大小为|Γ(f'p, α)|-1。让我们将Γ(f'p, α)重命名为(u1, u2, ...,uh),其中u1=f'p且uh=α。注意,ui和h取决于p,但为了清晰起见,我们在符号中省略了对p的显式依赖。图6(a)说明了链Cp及其如何与s和t相连。沿着0(a)数据编码 (b)平滑编码0图6.(a)显示了编码像素p的数据项的图的一部分。黑色节点表示Cp。在沿着(s, Cp,t)的每条边旁边,我们用浅灰色显示了如果切断该边,像素p将被分配给的标签。(b)显示了编码相邻像素p和q的平滑项的图的一部分,其中当前标签为f'p和f'q。在(b)中,灰色边是(a)中的边,但为了清晰起见,在(b)中重新绘制时没有显示它们的权重。0沿着有向路径(s, Cp, t)编码像素p的数据项,而沿着相反方向的权重为w∞。如果第i个0如果沿着(s, Cp,t)的边被切断,那么像素p将被分配给标签ui。w∞边缘确保任何最小割只会切断(s, Cp,t)路径上的一条边,正如[16]所提出的。因此,对于所有像素p上的路径(s, Cp, t)上的切断边的总和将添加到(1)中的数据项中。0平滑性:设p和q是一对相邻的像素。注意Γ(f'p, α)和Γ(f'q,α)之间的重叠至少有一个标签,参见图5。我们的图构建将路径Γ(f'p, α)和Γ(f'q,α)的重叠标签序列与非重叠部分区分对待。因此,我们将Γ(f'p, α)=(b1, ..., bm, a1, ..., ak)和Γ(f'q, α)=(c1, ..., cn, a1, ...,ak)重命名以强调重叠部分。图6(b)显示了新增的加权边,用于编码平滑惩罚Vpq。重叠部分(a1, ...,ak)形成一个线性排序,平滑成本按照[16]的建议进行编码。非重叠部分(b1, ..., bm, a1)和(c1, ..., cm,a1)各自形成一个与另一个独立的线性排序,但扩展了(a1,...,ak)的线性排序。在这种情况下,平滑惩罚通过从源节点添加附加链接来处理。有关正确性的证明,请参见[13]。0交互约束:设p和q是δA>0的两个相互之间的点。根据能量(3),为了在p和q之间强制实施δA边界约束,我们需要向图中添加边缘,以确保只要fp∈T(A)且fq�{T(A)∪P(A)}̸̸̸̸̸̸̸̸̸̸̸̸̸14490(a)α∈T(A) (b)α�T(A) f'p, f'q�T(A) f'p, f'q∈T(A)0图7.(a)和(b)展示了在强制δA时两种主要情况下所需的w∞边缘。红色虚线曲线说明了违反δA约束的代价过高的切割。为了清晰起见,我们只显示了图中新增的边缘。0对应的能量是无穷大的。为了施加这样的约束,需要考虑几种情况,具体取决于α、f'p和f'q是否在T(A)中。情景I当α∈T(A)时:情况1,f'p�T(A)且f'q�T(A):在这种情况下,我们可以推断出A和P(A)都在Γ(f'p, α)和Γ(f'q,α)中。因此,存在禁止配置的可能性,我们通过添加w∞边来处理,如图7(a)所示。情况2,f'q∈T(A):在这种情况下,我们可以推断出Γ(f'q,α)�T(A)。因此,不需要额外的边,因为fq保证在T(A)中。情况3,f'p∈T(A)且f'q�T(A):在这种情况下,我们可以推断出P(A)∈Γ(f'q,α)。如果f'q=P(A),则不需要额外的边,因为fq∈{T(A)∪P(A)}。f'q≠P(A)的情况不可能,因为当前标签将违反边界约束。情景II当α�T(A)时:情况1,f'p∈T(A)且f'q∈T(A):这种情况与情景I的情况1相同。为了处理禁止配置,我们添加w∞边,如图7(b)所示。情况2,f'p�T(A):在这种情况下,我们可以推断出fp�T(A),不需要新的边,因为我们只关注fp∈T(A)的情况。情况3,f'p∈T(A)且f'q�T(A):在这种情况下,我们可以推断出f'q=P(A),否则当前标签将违反δA。如果f'q=P(A),则构造如图7(b)所示,除了q上方没有节点P(A)。有关上述情况的更详细讨论和示例,请参阅[13]。04. HINTS的形状先验0在本节中,我们将星形[29]、测地线星形[12]和Hedgehogs[14]先验扩展到HINTS模型,并展示如何在Path-Move期间强制执行这些先验。0(a)星形先验[29] (b)星形先验+HINTS0图8.(a)和(b)分别说明了二进制和部分有序分割中标签A的星形先验约束,cA表示星形中心。(a)和(b)展示了标签A的有效星形。0在二进制分割的背景下,标签A的星形先验[29]与星形中心cA的约束如下所示。如果像素p和q位于任何从cA起始的直线上,且q位于中间,p被标记为A,则q也必须被标记为A,参见图8(a)。Geodesic-star [12]和Hedgehogs[14]与星形先验在定义中心和生成中心(或测地线路径)的线方面有所不同。此外,Hedgehogs[14]允许对形状约束的紧致性进行控制,详见[14]。对于部分有序的分割,我们将星形先验约束推广如下。如果像素p和q位于任何从cA起始的直线上,且q位于中间,fp在T(A)中,则fq也必须在T(A)中,参见图8(b)。形状先验惩罚项为0S(f)=w∞�0ℓ∈L0�0p∈Ωfp∈T(ℓ)0pq∈Sℓ[fq�T(ℓ)],(4)0其中Sℓ是沿包含cℓ的任何线的所有有序像素对5(p,q),使得q位于p和cℓ之间。使用[12]或[14]而不是[29]会得到不同的Sℓ。0(a) α∈T(A)(b)α�T(A)f'p,f'q�T(A)f'p,f'q∈T(A)0图9.假设像素p和q位于标签A的星形中心cA起始的直线上,且q位于cA和p之间。(a)和(b)展示了需要添加w∞边以施加标签A的星形先验的两种情况。红色虚线曲线是违反星形约束的代价昂贵的割。0设像素p和q位于通过cA的一条直线上,且q位于cA和p之间。为了在Path-Move期间对标签A施加星形先验,需要考虑多种情况,具体取决于α、f'p和f'q是否在T(A)中。0实际上,只需要在Sℓ中包含连续的像素对就足够了。̸̸̸̸̸̸̸14500情景I:当α∈T(A)时:情况1,f'p�T(A)且f'q�T(A):在这种情况下,我们可以推断A和P(A)都在Γ(f'p,α)和Γ(f'q,α)中。因此,存在可能的禁止配置,为了处理它们,我们添加了一个w∞边,如图9(a)所示。情况2,f'q∈T(A):我们可以推断出Γ(f'q,α)�T(A)。因此,不需要额外的边,因为fq保证在T(A)中。情况3,f'p∈T(A)且f'q�T(A):这是不可能的情况,因为当前的标记将违反形状先验。情景II:当α�T(A)时:情况1,f'p∈T(A)且f'q∈T(A):这种情况类似于情景I,情况1,添加的边如图9(b)所示。情况2,f'p�T(A):我们可以推断出Γ(f'p,α)�T(A)。因此,不需要边,因为fp不能在T(A)中。情况3,f'p∈T(A)且f'q�T(A):参见上述情况3。05. 实验0我们的2D医学分割实验主要比较了优化能量的Path-Moves(1)或(1)+(4)与QPBO [26, 8]和a-exp [7,8]之间的差异。在所有实验中,λ被设定为1。为了定义我们的树度量,树T中的每条边(γ,β)都被赋予一个非负权重Vpq(γ,β),该权重是根据p和q的强度差异的非递增函数计算得出的,类似于[2]。此外,每当使用Hedgehog[14]形状先验时,其紧致性参数被设定为π/9。实验评估了Path-Moves的有效性。因此,我们假设颜色模型是事先已知的。可以很容易地将Path-Moves集成到一个框架中,该框架使用用户交互来估计初始颜色模型,并在标记和重新估计颜色模型之间以EM方式交替进行,例如[25, 9, 15]。0脑分割:我们将数据集[20](T1WMRI)中的标记区域组合起来,创建了图10(a)所示的树。在这种情况下,数据项是颜色模型惩罚和基于自动提取的脑部掩模的L2形状先验[5]的总和,使用[17]进行提取。0Dp(fp) = � - ln(Pr(Ip|fp)) 背景 - ln(Pr(Ip|fp)) + DT(p)其他,(5)0其中Ip是像素p处的强度,DT是提取的脑部掩模的欧氏距离变换。图10(a)显示了最小边际。我们还为亚皮质灰质添加了Hedgehog先验[14],以帮助我们的能量区分灰质和亚皮质灰质。参见[13]了解未使用形状先验的结果。在大多数情况下,我们的方法优于QPBO,而QPBO在所有情况下优于a-exp。实际上,a-exp总是收敛到一个糟糕的局部最小值。参见图10了解结果。图2显示了使用最小边际和Hedgehog先验时主体1的结果。图11(顶部行)显示了相同主体但未使用最小边际的结果。Path-Moves在两次迭代后收敛到更低的能量。0与a-exp相比,我们的方法在六次迭代后收敛。在这种情况下,a-exp的局部最小值是由于Hedgehog先验引起的。参见图11(底部行)中未使用最小边际或Hedgehog先验的结果。0(a)树和最小边际0主体20主体30主体40真实值 a-exp [ 7 , 8 ] QPBO [ 26 , 8 ] 我们的0图10.使用(a)中的树时的样本结果。在(a)中,弧的权重表示头节点的最小边际。白色像素由QPBO标记为未标记。0无最小边际Hedgehog先验0a-exp [ 7 , 8 ] QPBO [ 26 , 8 ] 我们的0无最小边际无Hedgehog先验0a-exp [ 7 , 8 ] QPBO [ 26 , 8 ] 我们的0图11.主体1的结果(顶部)未使用最小边际,(底部)未使用最小边际或Hedgehog先验。in Table 2, all methods performed comparably due to the useof Hedgehog priors and the star-like tree of T that a-exp iswell suited for. Figure 13 shows the tree and our result forone test case. Interestingly, QPBO labeled all the pixels inall 7 test cases.F1 Score0.950.950.9314510灰质 白质 脑脊液 SGM0F1得分0.92 0.83 0.32 0.92 0.90 0.56 0.85 0.82 0.04 0.83 0.81 0.370精确度0.87 0.87 0.88 0.92 0.92 0.46 0.78 0.83 0.02 0.92 0.93 0.230召回率0.97 0.80 0.19 0.93 0.88 0.74 0.93 0.82 0.56 0.76 0.71 0.920表1.将我们的Path-Moves优化与[26]的QPBO和[7]的a-exp进行比较,这些方法是由[8]提出的。精确度和召回率是在15个示例上平均的。我们的方法和QPBO明显优于a-exp,后者对初始化和标签扩展顺序非常敏感。平均而言,QPBO使2.8%的像素未标记,在一个实例中达到7%。当不使用Hedgehog形状先验时,这些值显著上升,参见图11(底部)和[13]了解更多结果。0表1比较了每个区域的精确度、召回率和F1得分,其中F1 = 2 * 精确度 * 召回率0精确度 + 召回率。F1值越高,分割效果越好。0心脏分割:在这种情况下,我们只使用颜色模型作为数据项,没有使用形状先验。图12(a)显示了使用的树。为了使a-exp能够摆脱局部最小值,它需要首先扩展左心室,然后扩展左乳头肌。然而,扩展左心室会导致比当前能量更高的能量。Path-Moves通过在执行左乳头肌的Path-Move时同时允许两个标签扩展来避免这个局部最小值。0(a)心脏树0(b)真实值(c)a-exp[ 7 , 8 ]0(d) QPBO [26,8] (e) 我们的(Path-Moves)0图12.使用树进行心脏分割,如(a)所示。使用a-exp会导致局部最小值。Path-Moves通过多标签展开避免了这个最小值。QPBO会导致许多像素未标记。0腹部器官分割:我们使用了一个CT数据集,并扩展了[14]中使用刺猬进行肝脏和肾脏分割的工作。与[14]不同的是,我们使用了更详细的结构,达到了13个标签。对于每个示例,我们计算了加权精度...0ℓ ∈L | f � = ℓ |0我们的 QPBO a-exp0加权精度0.95 0.95 0.940加权召回率0.95 0.95 0.920表2.加权精度和召回率在7个测试案例上进行了平均。当使用形状先验时,所有方法的性能相当。详见[13]中没有形状先验的结果。0(a) 树0(b) 地面真值 (c) 我们的(Path-Moves)0图13. (a)腹部器官结构示例。Void是身体周围的空白区域。我们只展示了我们的结果,因为QPBO和a-exp的结果与我们的几乎相同。14520(a) 树0(b) 地面真值 (c) a-exp0(d) QPBO (e) 我们的(Path-Moves)0图14. (a)具有挑战性的腹部器官结构。Sx和Ty分别表示肝脏分割x和肿瘤y。图(a)中的肝脏标签是一个概念/人工标签,具有无限的数据项惩罚。我们的方法在性能上明显优于QPBO和a-exp。0我们追求了一个更具挑战性的结构,参见图14(a)。在这种情况下,目标是将肝脏分割成三个不同的分割区域,并分别处理其中的任何肿瘤。由于颜色模型之间存在较大的重叠和复杂的结构,仅仅使用刺猬先验对于QPBO或a-exp来说并不足以收敛到一个合适的解决方案,参见图14(c-e)。Path-Moves能够通过避免局部最小值来取得良好的结果,如图14(c)所示。此外,与QPBO相比,Path-Moves始终能够得到完整的标签,QPBO则会导致7.4%的像素未标记,参见图14(d)。06. 讨论0Path-Moves适用于可以用来近似任意度量的树度量[19,10]。即使在没有交互作用的情况下,Path-Moves也是比a-exp[7]更强大的移动算法,因为它的移动是多标签的。因此,Path-Moves更适合依赖于树度量的应用,如[19]。在存在交互约束的情况下,[7]的最优性界不再有效。[7]中的证明假设对于给定的任何标签,每个具有地面真实标签X的像素都可以通过对X进行二进制展开来切换到X。由于交互约束限制了[7]的展开域,这不再保证。0例如,参见图4(c)。我们的实验证明Path-Moves可以找到最优或接近最优的解决方案。在QPBO找到完整标签(即最优解)的情况下,Path-Moves要么找到相同的解决方案,要么找到非常接近的解决方案,参见表2和图10 Subject4。在空间复杂度方面,a-exp是最高效的,因为它只需要构建一个具有O(|Ω|)个节点的图,而QPBO则需要一个更大的图,具有O(|Ω||L|)个节点。Path-Moves的图大小取决于T。当T是平衡的时候,它需要O(|Ω|ln(|L|))个节点,在最坏的情况下,当T是链式的时候,它需要O(|Ω||L|)个节点。使用我们的Path-Moves来优化(1)与[8]相比有一个限制。在[8]中,可以明确控制两个兄弟节点之间的最小排除边界,比如A和B在T中。在我们的模型中,最小排除边界是隐含的,等于max(δA,δB)。因为兄弟节点A和B在树中没有直接连接。另一个限制是无法用Path-Moves表示的交互约束。如果存在α、β和γ∈L,其中a
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