可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记315（2015）47-60www.elsevier.com/locate/entcs关于C1的Mauricio Osorio1我记得有一天我会去一家餐馆-CatarinaM'artir，Cholula，Puebla，M'exicoJos'eLuisCarballido2Benem'eritaUneversidadAut'onomadePueblaPuebla，Puebla，M'exico克劳迪娅·塞佩达3Benem'eritaUneversidadAut'onomadePueblaPuebla，Puebla，M'exico摘要我们证明了逻辑C1不能推广到次协调逻辑，其中替换定理是有效的。我们表明，C1可以扩展到更大的次协调逻辑，通过添加一些理想的属性作为公理。我们使用三值逻辑来支持我们的主张。关键词：多值逻辑，替换定理，逻辑C1，次协调逻辑。1介绍定义逻辑的两种主要方法是希尔伯特公理系统和使用多值表来定义逻辑的连接词。在第一种方法中，公式的有效性由一组公理和一组推理规则确定，即如果公式可以从这些公理和推理规则的使用中一般来说，有许多方法可以选择公理族来定义逻辑，而前件式是逻辑定义中最常见的推理规则之一在第二种方法中，用于定义逻辑的表被称为真值1电子邮件地址：osoriomauri@gmail.com2电子邮件地址：jlcarballido7@gmail.com3 电子邮件地址：czepedac@gmail.comhttp://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2015.06.0051571-0661/© 2015作者。出版社：Elsevier B.V.这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。48M. Osorio等人/理论计算机科学电子笔记315（2015）47表中，每个连接符被视为一个函数，它取一组从一开始就指定的数字（通常是整数）中的值，称为真值。选择其中一些值作为指定值。 任何计算为指定值之一的公式，无论公式中出现的原子所取的真值如何，都被认为是有效的。在本文中，我们结合这两种方法。在逻辑学中，如同在任何其他数学领域一样，当选择一个公理族来定义一个逻辑时，最好具有公理的独立性，也就是说，任何被选作公理的公式都应该独立于其他公理。多值逻辑可以用于此目的（参见[14]中的一个例子）。这种方法有时会有局限性（见[10]），但它对对逻辑研究感兴趣的研究人员很有用，比如我们的情况。我 们 特 别 感 兴 趣 的 一 个 性 质 是 次 协 调 。 对 于 B′eziau[2] ，alogicisparaconsistenifitha ni，在公式a，an ib是无效的意义上，aicispaconi st e n if ith a n i s a n i s t i f i t h an i s i 超协调逻辑具有非-重要的应用，特别是[7]提到了三个不同领域的应用：数学，人工智能和哲学。关于第二个，作者提到，在某些领域，如专家系统的构建，不一致的存在几乎是不可避免的（例如，见[9]）。一个尚未被充分认识的应用是在非单调推理中使用次协调逻辑。在这个意义上[21，20]说明了这种新的应用。一个例子，直觉表明，次协调逻辑将被使用-Birkho和Von Neumann的量子逻辑方法[ 5 ]提供了描述抽象结构的方法我们通过提及明斯基的评论4 [ 15 ]来强调接受局部不一致性的便利性：“但我不相信一致性在发展中的智能系统中是必要的，甚至是可取的。没有人是完全稳定的. 重要的是如何处理矛盾或冲突，如何从错误中学习，如何避开可疑的不一致。我们认为-一致的逻辑可能有助于对明斯基提出的这一重要问题作出回答。事实上，在[16]中提出了一种有趣的知识表示（KR）方法这种方法可以由任何强于或等于Cω的次协调逻辑支持，C ω是Da Costa [8]引入的最弱次协调逻辑因此，我们必须把次协调逻辑看作是对经典逻辑的补充，后者只在某些原则上（主要是不矛盾原则）偏离了经典逻辑，但它可能适用于矛盾或不一致的系统，如由公理或经验理论引起的系统，这些系统的公设或基本假设是矛盾的。因此，对次协调逻辑的研究还远未结束，本文主要研究文献[12]中研究过的次协调逻辑C1[4M. Osorio等人/理论计算机科学电子笔记315（2015）4749如前所述，次协调逻辑的应用可以通过使用任何比Cω更强的次协调逻辑来完成。有许多这样的逻辑，它们的特定属性取决于它们保留了哪些在经典逻辑中有效的属性。研究C1不仅是因为它的次协调性的应用，更重要的是它在研究如何在保持次协调性的前提下接近经典逻辑方面的理论价值。本文给出了两个结果：第一，我们证明了不存在扩张C1的次协调逻辑，且置换定理对它成立。其次，我们通过在定义C1的公理族中增加不同的公理，将C1推广到更大的次协调逻辑，每个这样的公理都是经典逻辑中有效的公式，因此通过增加它们，我们得到的逻辑是次协调的，同时更接近经典逻辑。对于每一个这些扩展，我们提出了一个或多个三值逻辑表，保证每个公理增加是独立的公理的C1和得到的逻辑是次协调的。我们的论文结构如下。在第二节中，我们总结了一些基本概念和定义。在第3节中，我们展示了我们的结果。最后，在第四节中，我们提出了一些结论。1.1贡献我们可以想到经典逻辑的某些性质或定理，它们将丰富任何次协调逻辑的范围。其中一些属性是：德摩根定律，必然性规则（如果α是定理，则α是定理），弱爆炸原理：α→β），弱逆命题：（β→α），以及双重否定等价：α参与α。在这项工作中，我们研究了逻辑C1的关系与这些属性后，表明C1不能扩展到次协调逻辑的替代性质举行。2背景定义逻辑有两种方法：给出一组公理并指定一组推理规则;使用真值和解释。在本节中，我们将对它们进行总结，并提出一些有助于理解本文的基本概念和定义从这里开始，当我们提到任何逻辑时，我们明白唯一的原始连接词是，，→，<$，而双连词Participthat是（A→B）（B→A）的缩写。2.1希尔伯特式在希尔伯特式证明系统中，也称为公理系统，通过给出一组公理和一组推理规则来指定逻辑。 在这些系统中，通常使用非整数XF来为逻辑X中的多个F提供逻辑能力。In在这种情况下，我们说F是X的定理。我们说逻辑X是次协调的，如果公式（AA）→B不是a50M. Osorio等人/理论计算机科学电子笔记315（2015）47Pos1：A→（B→A）Cω1：A→APos2：（A→（B→C））→（（A→B）→（A→C））Cω2：A→A位置3：A→B→A位置4：A→B→B位置5：A→（B→（A<$B））Pos6：A→（A→B）Pos7：B→（A→B）位置8：（A→C）→（（B→C）→（A→B→C））表1 C ω的公理化定理5.公式（AA）→B不是定理的逻辑的相关性在于，它们有助于定义可应用于非单调推理研究的替代语义，正如我们在引言中提到许多逻辑所满足的一个非常重要的性质是我们现在提出的替换定理。定 义 2.1 逻 辑 X 满 足 以 下 条 件 ： 如 果 满 足 以 下 条 件 ， 则 满 足 以 下 条 件 ：ΓXαParticipateβtenΓX[α/p]Participateβ[β/p]foranyformulasα，β，anddndanyatappapa pp的值被式α取代。作为公理系统的例子，我们提出了两个逻辑：正逻辑[17]和Cω逻辑，这是由daCosta [8]定义的次协调逻辑。在表1中，我们给出了一个公理列表，其中前八个公理定义了正逻辑。Cω逻辑是由正逻辑的公理加上公理Cω 1和Cω 2定义的。2.2多值逻辑定义逻辑的另一种方法是使用真值和解释。多值逻辑推广了经典逻辑中使用真值表来确定公式有效性的思想多值逻辑的核心是其值域D，其中一些值是特殊的，并被识别为指定或选择值。逻辑连接词（例如，→，<$）然后根据逻辑的特定定义被引入作为D上的运算符，参见[14]。解释是一个函数I：L → D，它将原子映射到定义域中的元素。然后，I的应用被扩展到任意公式，首先将原子映射到D中的值，然后根据逻辑的连接词（定义在D上）来评估结果表达式一般来说，如果I是一个定义在给定程序P，则I（P）被定义为函数I应用于P中所有公式的合取。公式F被称为重言式，通常表示为|= F，如果对于每一种可能的解释，公式F的计算结果都是一个指定的值。多值逻辑最简单的例子是经典逻辑，其中：D={ 0， 1}，1[5]对于任何逻辑X，如果它的公理中包含Pos 1和Pos 2（表1中定义的正逻辑公理），并且其唯一的推理规则是前件式，则公式（A <$A）→ B是定理当且仅当A，<$A<$XB。M. Osorio等人/理论计算机科学电子笔记315（2015）47511∧012∨012→012Xx000000220222021022122210221120222222202220表2.P中连接词、、→和<$的真值表。是唯一的指定值，连接词通过通常的基本真值表定义。注意，在多值逻辑中，为了使它能够真正成为逻辑，蕴涵连接符必须满足以下性质：对于任何给定值x∈ D，并且对于每个指定值y∈ D使得y→x被指定，则x也必须是指定值。这一限制加强了前件式的有效性，逻辑作为多值逻辑的一个例子，我们提出了著名的次协调逻辑 P2[4]（也称为Cive）。逻辑P2的真值在域D={ 0， 1， 2}中，其中1和2是指定值。根据表2中给出的真值表，可以定义连接词“”、“”、“→”和“<$”。2.3C1逻辑C1是一个由B'eziau[12]定义的部分。这是由以下几个方面确定的：Cω加上以下公理：1欧元： B→（（A→B）→（（A→ <$B）→<$A））<$2：AB→（AB）（AB）（A→B）其中B=B）。我们观察到，只要B满足不矛盾原理，公式1就能进行有效的归谬• 德摩根定律B）是C1[11]中的一个定理。• 是C1[11]中的一个定理。• 一个定理是C1[6]中的一个定理。• 如果我们把C 1中的公理<$2替换为下面的更强公理<$3，那么我们得到逻辑C+[12]，一个扩展C1的次协调逻辑：<$3：AB→（AB）（AB）（A→B）• 我们把强否定定义为<$=<$α<$α<$。连接词→、、和满足经典命题演算的所有模式和推理规则[6]。然后，我们可以说经典命题演算包含在C1中，同时C1是它的一个子演算正如我们所知，次协调逻辑已经被用作知识表示的工具，因为它们允许局部不一致而不会爆炸，52M. Osorio等人/理论计算机科学电子笔记315（2015）471也就是说，他们接受像α和<$α这样的公式作为定理，而不是在每个公式都成为定理的意义上成为爆炸性的，也就是说，公式α<$<$α→β在次协调逻辑中是无效的根据一些作者[1]，一个次协调逻辑应该保留尽可能多的 经典逻辑，但必须允许非平凡的不一致的理论。此外，它不应该验证任何在经典逻辑中无效的推理。那么，它应该包含在经典逻辑中。根据前面提到的一些事实，我们得到了一个次协调逻辑CωC1C+Cive其中，Cive由Cω的公理加上下面三个公式作为公理定义：1欧元： B→（（A→B）→（（A→ <$B）→<$A））A→A（AB）（AB）（A→B）Cive是P2的公理化，P2的重言式是Cive的定理，反之亦然。3主要贡献在逻辑学研究中出现的一个有趣的理论问题是，给定的逻辑是否满足替换定理[22]。众所周知，有几个次协调逻辑，该定理是无效的[3]。我们证明了逻辑C1不能推广到次协调逻辑，在次协调逻辑中替换定理是有效的。然后我们将探讨C1和德摩根定律之间的关系。由于我们的目的之一是将C1推广到其他次协调逻辑，在下文中，每当我们提供一个三值逻辑时，它将使得公式（AA）→B不是重言式，并且还将具有以下性质：如果A和A→B都对指定值求值，则B必须也评估到指定的值。这两个条件保证了我们所定义的扩张对于这个三值逻辑是次协调的和可靠的此外，我们需要为我们添加的每个公理定义两个三值逻辑，其中一个新公理必须是重言式，另一个必须不是重言式，这是为了保证新公理独立于定义C1的公理族。本文的第一个结果是：C1不能被推广到一个次协调逻辑，其中置换定理成立。为了做到这一点，我们提供了一个定义和一个定理。定义3.1逻辑X满足以下条件时，可执行以下操作：参加者B。下一个定理在[18]中以稍微不同的形式给出。他们的证据是相似的。M. Osorio等人/理论计算机科学电子笔记315（2015）4753定理3.2任何强于C ω的逻辑满足弱替换性质i满足替换性质。定理3.3逻辑C1到置换定理成立的逻辑的任何扩张都不是次协调的。证据很容易看出，a，<$a，a根据替换定理，我们有a，（aa）Participatea，故a，<$a<$（a<$a）。我们还通过公理1的一个例子知道，► a）→（（b），然后通过使用前一行a，<$a<$（（<$b→a）→（（<$b→<$a）→ <$$>b），现在我们使用Pos 1来获得a，<$a<$（<$b→a），和肯定前件得到<$（<$b→<$a）→ <$$>b，我们也有a，<$a<$（<$b→a）。然后a，<$a<$$>b，使用Cω2，<$$>b<$b。最后，我们有一个，一个小盒子。这最后一行表明次协调不成立。Q Q3.1德摩根定律和C1如前所述，德摩根定律是在任何逻辑中都需要的相关性质。Cω、P2和Z至少不满足其中一个定律.我们探讨这些法律的背景下，C1。首先，我们证明了德摩根定律<$A<$$>B→ <$（A<$B）在C1中是不可证明的。定理3.4德摩根定律<$A<$$>B→ <$（A<$B）在C 1中不成立。证据 如果我们把B作为<$A放入公式<$A <$$>B → <$（A <$B）中，我们得到<$A <$A→（AA），然后利用公理Cω1和肯定前件，我们得到<$（A<$$> A）=A<$，并由此和[6]中定理2.1.5得到经典逻辑。这与C1的次协调性相矛盾。Q Q因此，我们有三个简单的声明。第一个是众所周知的事实。推论3.5C1具有以下性质：(i)C1不是经典逻辑。(ii) 如果我们加上<$A <$$> B → <$（A <$B）作为C 1的公理，则所得逻辑是经典逻辑。(iii) 如果我们加上<$A <$$> B → <$（A <$B）作为C 1的公理，则次协调不再成立。54M. Osorio等人/理论计算机科学电子笔记315（2015）47∧012∨012→012Xx000000220222021022122110221120222222202220表3∧012∨012→012Xx000000220222021022122210221120222222202220表4∧012∨012→012Xx000000120222021022111110221220222222202220表53.2用德摩根公理扩展C1.我们首先用一些德摩根定律来扩展C1，这些定律在定义C1的公理的上下文中与次协调一致。定理3.6可以将下列两个公理中的任何一个或两个同时加到C1上，得到C1的三个不同的次协调扩张。D1：B），D2：（<$A <$$>B）→ <$（A <$B）。证据 我们将证明分为四个步骤：(i) 表3给出了一个以1和2为指定值的三值逻辑，其中C1的公理是重言式，而D1和D2都不是重言式。(ii) 表4给出了一个以1和2为指定值的三值逻辑，其中C1的公理是重言式，D1是重言式，而D2不是重言式。(iii) 表5给出了一个以1和2为指定值的三值逻辑，其中公理C1是重言式，公理D2也是重言式，但公理D1不是重言式。(iv) 表6示出了以1和2作为指定值的三值逻辑，其中M. Osorio等人/理论计算机科学电子笔记315（2015）47553∧012∨012→012Xx000000120222021022111210221220222222202220表6∧012∨012→012Xx000000220022021022122212221220222222202220表7C1的公理是重言式，而D1和D2的公理是重言式。Q3.3扩展C1现在，我们通过在C1中添加一些表示有趣性质的公式作为公理，并且这些公式在经典逻辑中以更一般的形式有效，来寻找C1这些公式是A1：A→（（A→B) →（A → B）和A3：（AA B）。特别是A1（周爆炸原理）等价于公式（B→A）（弱逆置），在任何次协调逻辑中，扩展Cω，就像下面的情况一样Z，GJ和P−4 [19，2]。现在我们把公理A1和A2加到C1上。定理3.7 C1可以通过添加公式A1或公式A2或两者作为公理来推广，以获得C1的三个不同的次协调扩张。证据我们给出了三个以1和2为指定值的三值逻辑联结词的真值表。(i) 在第一个，表7中，C1和A1的所有公理都是重言式，但A2不是同义反复(ii) 在第二个表8中，C1和A2的所有公理都是重言式，但A1不是同义反复。(iii) 在第三个表9中，C1以及A1和A2的所有公理都是重言式。这表明，将公理A1或公理A2或两者加到C1上，我们得到三个比C1强的不同的次协调逻辑。Q Q56M. Osorio等人/理论计算机科学电子笔记315（2015）47∧012∨012→012Xx000000120112011011121110121020112222202222表8∧012∨012→012Xx000000220222021022122210221220222222201220表9∧012∨012→012Xx000000220222021022122210221120222222202220表10∧012∨012→012Xx000000220222021022122210221220222222202220表11推论3.8在前面的定理中提出的三个扩张都不是P 2.证据 在P2中，公式A → A是一个定理，它与公式A1A→（<$A→B），这与次协调的性质相矛盾。Q Q定理3.9 C1可以通过增加公理A3而推广到次协调逻辑.证据我们给出了以1和2为指定值的三值逻辑的联结词的两个真值表。(i) 在表10中，C1和A3的所有公理都是重言式。(ii) 在表11中，C1的所有公理都是重言式，但A3不是。这表明，通过将公理A3添加到C1，我们得到C1的次协调扩张。QQM. Osorio等人/理论计算机科学电子笔记315（2015）4757∧012∨012→012Xx000000120222021022111210221220222222202220表12∧012∨012→012Xx000000120111011011111110111020112212202222表13∧012∨012→012Xx000000120222021022111210221220222222201220表14定理3.10由下列公理组成的三个系统•C1加上式D1、D2和A1，•C1加上式D1、D2和A2，以及• C1加上式D1、D2、A1和A2是C1的不同次协调扩张。证据本文给出了以1和2为指定值的三值逻辑联结词的三个真值表。(i) 在第一个表12中，C1以及D1、D2和A1的所有公理都是重言式，但A2不是。(ii) 在第二个表13中，C1以及D1、D2和A2的所有公理都是重言式，但A1不是。(iii) 在第三个表14中，C1以及D1、D2、A1和A2的所有公理都是重言式。这表明我们有三个不同的C1的次协调扩张。Q Q命题3.11不存在三值逻辑，对于它，由C1+ D1、D2、A1、A2和A3的公理组成的公理系统是可靠的。接下来的结果很容易证明。58M. Osorio等人/理论计算机科学电子笔记315（2015）47命题3.12关于C1相对于公式A→A的扩张，我们可以做的其他评论是：• 把公式A → A作为公理加到系统C1上所得到的逻辑，有公式A2和A3作为定理。• 不存在三值逻辑，(i) C1、公式A2和公式A3的所有公理都是重言式，(ii) 公式A → A不是重言式。图1显示了扩展C1的两种方式，一种是导出Cive，另一种是包含以D2为定理的逻辑。我们记得D2不是Cive [19]中的定理。C1C1+ C1+D1+D2C1+D1+D2+A1 C1+D1+D2+A2 C1+D1+D2+A3C1+D1+D2+A1+A2Fig. 1. 扩展C1命题3.13 D1、A2和A3是Cive中的定理，A1不是。4结论众所周知，经典逻辑在与人工智能相关的应用中非常有用。本文分析了不同的次协调逻辑及其与经典逻辑的接近性。我们知道，替换定理是满足经典逻辑的一个命题，理想的是一个近似于经典逻辑的逻辑满足它.本文证明了任何推广了次协调逻辑C1的次协调逻辑都不满足替换定理.另一方面，我们也知道De Morgan定律是在经典逻辑中有效的相关性质，然后我们给出了 C1的不同次协调扩张，其中某些DeMorgan定律是有效的。在本文的最后，我们还给出了C1的次协调扩展，它是通过在C1上增加一些表示有趣性质的公式作为公理而得到的，这些公式在经典逻辑中以更一般的形式有效，如弱爆炸M. Osorio等人/理论计算机科学电子笔记315（2015）4759我们认为，有不同的次协调扩展，其中每一个都接近经典逻辑，将允许人工智能开发人员根据其属性选择最适合所需应用的扩展。我们使用三值逻辑来支持我们的主张。我们也给出了一个图表来展示将C1扩展到其它次协调逻辑的不同方法。除了发现新的次协调逻辑的问题外，还有判定哪一个是最大次协调逻辑的问题。探索不同的准相容逻辑并解决它们的极大性问题是我们未来工作的一部分。引用[1] Arieli，O.，A. Avron和A.Zamansky，Ideal paraconsistent logics，Studia Logica99（2011），pp.31比60网址http://dx.doi.org/10.1007/s11225-011-9346-y[2] B'eziau，J. Y. ，该paraconstentogicZ. 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