2Journalof the Egyptian Mathematical Society（2012）20，53埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章关于容许Banach A1-代数上BanachA1-模的上同调Y.啊。豪达部埃及阿斯旺南谷大学阿斯旺科学学院数学系2010年6月20日收到; 2011年2012年10月31日可在线查阅本文研究了容许BanachA1-代数A上的BanachA1-模M.给出了容许模和容许代数的一些性质。研究了复形C1（A，M）的同调性.我们证明了该复形的上同调在某些维数上的消失意味着A1-模结构的存在2012年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍Kadeishvili[3]定义了A1-代数上的A1在[4]Simirnov和其他人描述了利用Stasheff[1]的A1-结构证明了Banach代数与赋半范代数的上同证明了若A是容许微分Banach代数，则它的同调H*（A）具有分次A1-代数的结构.洛多什基[6]研究了域上的where代数[8]第八话利用谱序列研究了乘法结构。本文研究了环上的BanachA1-模 可受理 BanachA1-代数 和 其上同调电子邮件地址：yasiengouda@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier组首先，我们回顾一些必要的定义和事实，关于容许Banach模，容许Banach代数和三个性质的后续有用。主要参考文献为[4，5，7，2]。定义1. 对于给定的Banach代数A，A上的微分Banach模M是一对（M，d），其中M ={Mn}，n Z是Banach代数A上的Banach模族，具有微分d ={dn}：Mn fim Mn-1使得d2= 0.定义2.称Banach代数A上的Banach模M是容许的，如果存 在 一 族 连 续 算 子 d={Sn} ： Mn-1fimMn ， 满 足 关 系d∈s∈d=d.3号提案容许Banach模的张量积是容许的。证据1. 设可容许Banach模（M0，d0，S0），（M00，d00，S00）. 定义算子S：M0M00文件0M00，这样，S¼S01 1S00-d0S0S0d0 S00直接计算表明dsd=d。H1110- 256 X？ 2012埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.08.006关键词BanachA1-模容许Banach上同调群A1-代数;XeMX-1P2001年。 . . 1名P- 40名P-1 ij jP我X轴-轴◦ ◦1. . . paiai1an]：1我an与乘法BanachA- 模块（M，P）和M; PiBanachA_1-代数（A，pi）上 A;pi ，分别为-是态射族{fi：AfiA0}，{gi：AiΣ0不54岁。啊。豪达定义4.设A是Banach代数，则复形BA=（（BA）n，d）称为A上的B-构造，其中（BA）n=An，如果nP1，（BA）n=0，如果n<1，An=A A（n次），微分d由下式给出：n-1...pn-i...1千分之十;enkikk1/4Xn-11............... an12.第对于给定的BanachA-代数（A，p），1/1BanachA1-代数（A，pi）上的BanachA1-模（M，Pi）是分级模块M，配备乘法第五章. Banach代数是可容许的，如果复BA是可容许的。{P i：A iMfiM}，iP 1使得：M= 0;iP 1，X-1kj1iPij11. . . 1pj1p.....................................................q请注意：● 任何有限Banach代数都是可容许的。● 无限容许Banach代数的一个例子是A=--Ji--的 关系式（1）为 叫斯塔谢夫 Banach关系Banach A1-代数上的1 -模[1].X1X1一 ·X1. Xn-1！n·b：¼一.00Σ1 .一 、0in1n1n¼2k¼1MfM}，iP0，其中f是A- 代数和gAiI1MqM0q-i.第六章.一个微分容许Banach代数是满足以下恒等式：三元组（M，d，p），使得（M，d）是容许Banach模Banach代数A上的M和p：AAfia这样，1kj-1igi-j1Jð1... 1pj.............1p（1p）=p（p1）.X1 1Pj注意，[5]如果A是可容许Banach代数，则其同调H*（A）是分次Banach代数。X普夫......这是什么？FKt-1 gfKtÞ¼0 ð2Þ定义7.微分容许Banach代数的两个映射f，g：AfB称为同伦的（记为f.g），如果存在一个1维映射h：AfB，满足关系dh+hd=g-f。很容易看出同伦关系是一个等价关系。微分Banach代数A和B称为同伦等价物（用A.B）若存在链映射f：A f B，g：B f A使得gf = id A，fg = id B。K1：：Kt<$i 113. history若Banach分次模是可容许的，则称BanachA1-代数A14. history[4]BanachA1-代数A上的BanachA1-模M的B-构造子BM由张量积Ai M给出，使得：度1...一个kb升半度a升半度.最后一个问题是：微分Banach模是可收缩的，如果它是同伦等价于零容许Banach代数的一些性质[4]：8号提案 设A是可容许的Banach复形，则同调H*（A），即零微分的Banach复形，满足以下同构H*（A）。A.9号提案 对于可容许的Banach复形A和B，则以下成立H*（AB）。H*（A）H*（B）。10号提案 设A是可容许的Banach复形，则BanachA1-代数A上的BanachA1-模M的B-构造子BM由张量积Ai M给出，使得：度1...一个kb升半度a升半度.最后一个问题是：复形C=（Hom（BM，M），d）是BanachA1-代数A上的BanachA1-模M的Hochschild复形，记为C1（A，M），使得：d¼X-1。. . 1pj 1p.....................................................我同调H（A）是分次Banach代数，且下列n n*X-1i1p1。. . 1fXf1. . . 1p1p2p3p乘法保持p*=H*（A）H*（A）fiH*（A），其中p*=g p（n n），n：H*（A）fA， g：AfH*（A），p：AAfia.我1/1哪里J1/12. 容许Banach A ' -代数上的Banach Ad：Hom nBM; M！ Hom n-1BBM; M;Hochschild上同调f2HomnBM;M;f<$fg：AiM！ Mqni-1！Ain：11.第十一章一个BanachA1-代数（A， pi，d）是一个Banach分次模（A，d），其乘法为pi：Ai+2fiA，使得：请注意：● （3）中的第一个求和是在pi的所有可能位置给出的。I- J1n¼1Bnnn-k个QK1Q2M[[ -][[]1[●[X我f[1g：Xf1. . . 1g1.. . 1C;f;g2CmA;A11我我11我1ii1Xn m-2 m-1n m-3 m-1n m-1 m-1nmn m-3 m-1n m-2 m-1 ni;k-1f1............g1关于容许BanachA_1-代数上Banach A_1-模的上同调● 若模M是平凡的，则对代数上的模，在Hochschild复形C1（A，M）中有一个常微分d的定理15.（3）中的映射d是微分的，即d（df）= 0。证据2.ddfX-1 in1df 1. . . 1p 1p................................20号提案设映射f，g，h为C1（A，M），则下列成立[g][1h][g][1h][g][1h] [g][7 h]证据3.根据关系式（5）和（6），关系式（7）的左侧由下式给出：XJ我XnXn1/11/1[g][1h]i;k-1.. .H...þ ð-1Þiþ1pið1... 1dfdf 1.. .Xin-1mkn-1mk-11pj 1 2014年4月16. baby注意，（4）中的求和是在pj的所有可能位置和映射f的所有分量上给出的。利用关系式（3）和A1-代数的Stasheff关系式[1]对（4）的直接计算表明，d（df）=0，因而算子d是可微的.17. baby Hochschild复形 C1（A，M）的同调是可容许BanachA1-代数A上的BanachA1-模M的Hochschild同调，记为H（C1（A，M））.定理18.[5]设A是可容许的Banach A1-代数，则同调群A*= H*（A）具有分次A1-代数的结构和A1-代数A的同伦等价.A*诱导微分余代数BA的同伦等价。BA*。19.第[2]在Hochschild复形C（A，A）上，下面的算子[，[1]可以定义如下：......你好。.H...100000021.第二十一章通过（5）和（6）给出关系式（7）的RHS：[10][11][12][13][14][15][16][17][18][19][1. .i;kg1.. . h1和[1g][h][1g] [ . . hg.......................................................i;k因此（fg）1h=（1）mf（g1h）+（f1h）g。下面的断言给出了算子和微分d之间的关系。定理22. 算子[1]满足莱布尼茨条件：伊因[：CA; A CA; A！C[：CA; A CA; A！Cdf[1g]-df[1g]-1f[1dg8]证据4.（8）的左边，考虑到，使得：f[g：pf g（6）可以写成以下形式：df[gX-1inm1fg1p1Þk-1nm1p1. . . fgf[g1...........................................p类似地，对于Hochschild复形C1（A，M），我们有[：C1A;MCA;A！ C1C1度（-1），使得：f[g：pfg：-1f 1...1g5f[g：X-1in-1mn-3f1. . 1克 . 1Þð6Þ我请注意：若1-模是平凡的，则1在Hochschild复形上的作用与模在Hochschild复形上的作用一致.● 对 于 给 定 的 BanachA1- 代 数 上 的 BanachA1- 模 M 的Banach Hochschild复形C1（A，M），运算[，][1]是容易定义的.联系 我们-1i nmnm-3m-1f 1... 1.....................................p......你好。. 1-1pi1f1.g-1f 1. g 2011年1月1日：最后一个关系式中的求和是在映射f和g的i和所有分量的所有可能位置上给出的。通过考虑关系式（6），（8）的右手边的第一和第二部分由下式给出[1g/kg][2g/kg][1g/kg][2g][1g/kg][1g ] . .... . . 你 好。 .1p 1g×-1f1........... i1gþð-1Þð-1Þðp ð1fð1gÞÞ:ð9Þ和我g.. ....1X12~~n¼þðÞ56 Y.啊。豪达.........................................................................-1BanachA1-代数是等价的h~h0，如果存在一个元素1/4-1 nm-2m-1 in-2f1... ......这是什么？1p 1g××-1××................................þð-1Þnð-1Þðnþm-2Þmfð1................gð1......这是什么？pi价格：1000由（11）和（12）我们有d（f[1g）=-df[1g+（-1）f[1dg。对于给定的代数A上的模M，在Hochschild复形C（A，M）中的扭上链（对于容许Banach代数A上的Banach模M）定义如下：23.第 Hochschild复形C（A，M）中的扭曲上链是元素a=a3+a4+· · ·+ai+· ··，其中ai2Ci（A，M），使得da =a [1a，因为[1]是乘法‘ 2一曰：'1 ¼ ID：2：d定理29. 定义28中定义的关系是等价关系。证明5.看到[6]下列定理研究了Banach中的扭上链可容许BanachA1-代数A上的BanachA1-模M的Hochschild复形C1（A，M）及其与这些模的Banach Hochschild上的这些定理的证明类似于A1-代数上纯A1-模的上同调的情形[见[6]]。H定理30. 设h2TW（C1（A，M））是任意扭曲的上链和Hochschild复形中的一个曲名：Twisted1上链表示为TW（A，M）。24.第二十四章两条扭上链a和ai>n+1，则存在扭曲上链h使得：1：hih<$i;iK1;k>n等价，如果：存在元素P = P2+ P3+.. . + P i，P iC i（A，M），使得a-a0¼dPP[1 a a0[1P P a 0 [ 1PP a0[1P P. . .集合TW（A，M）/，其中是等价关系，记为D（A，M）.定理25. 根据[2]，Hochschild上同调 Hn （A， A）= 0（n> 0）的消失导致集合D（A，A）的消失.本文定义了容许BanachA1-代数上Banach模M的扭上链的概念，用Hochschild复形C1（A，M）代替Hochschild复形C（A，M26.第二十六章 h元素C-2A中的h元素;M 是扭曲上链，如果：1个一曰：hi¼0;如果in= 1：<2：dh1/4h[1h：111h]定理27. 其中，[1]的定义如上所述。设容许Banach代数上Banach模的Hochschild复形C1（A，M）中的所有扭上链的集合为TW（C1（A，M））.28.第二十八章容许域上Banach模M的Hochschild复形C1（A，M）的两个扭曲上链h和h02：hk1<$hk1dfk 1;h~h：12定理31. 设H-2（C1（A，M））=0，则D（A，M）=0.引用[1] J.D.张文，H-空间的同伦结合，2-转移，数学会志108（2）（1963）275[2] T.V. Kadeishvili，Mater. Razmadze学院纳克·格鲁辛SSR 91（1988）19[3] T. V. Kadeishvili，论纤维空间的同调理论，YMH T.35（3）（1980）183[4] V.A. Smirnov，S. V. Kuznetsova，I. V. Mayorova，用-结构语言数学62（4）（1998）155[5] V.A. Smirnov，Simplicial and Operad Methods in HomotopyTheory，Factorial Press，2002.[6] Y.啊。豪达股份有限公司奥姆兰，上同调与内对称的aJ. 代数5（5）（2011）223[7] S. V. Lapin，D1-微分E1-代数和纤维化谱序列，SbornikMath.198（10）（2007）1379[8] S.V. Lapin ， MultiplicativeA1-structure in term of spectralsequences，Fundamentalnaya I prikladnia matematika 14（6）（2008）141
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