主办方：工程科学与技术，国际期刊18（2015）738e745全文具有非均匀热源/热汇N.桑迪普角Sulochana*印度卡纳塔克邦古尔巴加大学数学系，邮编585106我的天啊N F O文章历史记录：接收日期：2015年3月19日接收日期：2015年2015年5月8日接受2015年6月6日在线发布保留字：MHD耗散单极扩张/收缩抽吸/注射非均匀热源/散热器化学反应A B S T R A C T本文研究了非均匀热源/热汇、质量传递和化学反应对磁微极流体在有粘性耗散和抽吸/喷射的情况下通过拉伸/收缩板时的非定常混合对流边界层流动的影响。利用相似变换将对流、热、质传递的控制方程转化为非线性常微分方程组，然后利用Matlab软件包中的Shooting技术进行数值求解。讨论了无量纲控制参数对速度、微旋转、温度和浓度分布的影响，并给出了它们的图形表示。此外，摩擦系数，传热和传质速率已计算并通过表格。在某些特定条件下，将本文结果与已有结果进行了比较，以检验本文研究的准确性和有效性。与已有的结果有很好的一致性©2015 Karabuk University.由爱思唯尔公司制作和主持这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍由于在应用科学中的重要性，在拉伸或收缩片材上的对流和热传递中的发现数量已经大大增加。微极流体的运动方程除了定义的速度矢量场外，还包含了微转动矢量和回转参数，因此引起了许多研究者的兴趣。这些参数在工程和相关领域起着重要的作用微极流体是微极流体理论的一个研究课题Eringen[1]首先介绍了微极双流体的详细描述和建模。Hayat等人讨论了微极磁流体向非线性拉伸薄片的MHD驻点流动[2]的文件。Lok等人[3]考虑了收缩表面上的类似研究。Papautsky等人[4]美国*通讯作者。电子邮件地址：math. gmail.com（C. Sulochana）。由Karabuk大学负责进行同行审查。讨论了矩形微通道内微极流体的流动，分析了微极流体的动量和传热行为。Chen等人[5]解释了微极流体动力学的理论和建模。Ibrahim等分析了存在粘性耗散和辐射的微极流体的非定常MHD混合对流[6]的文件。Aman等人[7]研究了具有对流边界条件的垂直板上微极流体的MHD边界层湍流。文[8]在考虑滑移效应的情况下，给出了微极流体对收缩垂直片的MHD混合对流运动Zaimi和Ishak[9]示出了微极性流体在非线性拉伸/收缩片材上的驻点流动和传热行为。最近，Gupta等人[10]通过使用有限元分析讨论了微极流体在可渗透收缩片上的非定常混合对流。Ashraf和Batool [11]分析了可拉伸圆盘上微极流体的MHD流动和传热行为。Nazar等人[12]讨论了微极流体向拉伸片的驻点流动。Mostafa等人[13]分析了微极的MHD流和传热行为，http://dx.doi.org/10.1016/j.jestch.2015.05.0062215-0986/©2015 Karabuk University.由爱思唯尔公司制作和主持这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表工程科学与技术国际期刊杂志主页：http://www.elsevier.com/locate/jestchN. 桑迪普角 Sulochana/工程科学与技术，国际期刊18（2015）738e745739≥ð - Þ联系我们-联系我们*Xv000好吧第二章存在热源或热汇和滑移速度时的流体Jat等人[14]研究了考虑生热/吸热的微极磁流体的磁流体滞止点流。Ishak等人[15]讨论了微极流体在收缩片上的驻点流动Srinivasacharya和Ram Reddy [16]提出了在存在Soret和Dufour效应的情况下微极流体的混合对流。Shaw等人[17]分析了多孔介质中可渗透拉伸或收缩片材的微极微流体流中的均相、非均相反应。Aziz [18]在考虑粘性耗散效应的情况下讨论了微极流体在拉伸薄片上的混合对流流动。Rashidi等人[19]提出了一种传热行为的解析解，在辐射存在下多孔介质中的微极流体。Bhattacharyya等人[20]讨论了热辐射对通过多孔收缩片的微极流体的影响。Yacob等人[21]讨论了微极性流体朝向拉伸/收缩片材的熔融传热滞流。Bakr[22]研究了磁流体微极上的化学反应流体在具有恒定热源的振荡板上流动Kim和Fedorov[23]提出了混合对流辐射MHD这证明了本文结果的有效性以及我们在本研究中所使用的数值方法。2. 数学公式考虑磁微极流体不可压缩边界层的非定常二维混合对流换热流在可渗透的伸缩薄板上的流动。在t0<时，流体处于稳定状态，在t0时，流体、热量和质量流处于不稳定状态。我们考虑拉伸/收缩速度uwx;ttvax=1-e tv，薄板的厚度和浓度为分别Twx; tT∞bx= 1et和Cwx;t C∞bx=1et，其中a、b和e是常数。拉伸/收缩片沿x轴截取，y轴垂直于它。沿y方向施加强度为B的磁场（Gireesha等人[29]）。考虑了非均匀热源/热汇、粘性耗散以及化学反应效应。在上述假设条件下，控制流方程为：连续性方程微极流体流过半无限移动的垂直多孔vuvv0;（1）板Mohan Krishna等人[24]讨论了Kuvshinshiki流体通过具有热源的垂直多孔板[25]《易经》：vxvy¼动量方程连续微极流场瞬态对流vuvuvvmSv2uSvN在辐射存在下移动垂直多孔板。边界讨论了多孔介质中微极流体的层流问题，vtuvxvvyrvy2rvygebT-T∞的B2Raptis [26]. Bhargava等人[27]讨论了混合对流微极流体通过多孔拉伸片的有限元素解。Desseaux和Kelson [28]分析了微极流体在拉伸片上的流动行为。磁流 体 动力学和热传递的一个尘土飞扬的流体在拉伸片是geb角动量方程vNvNvNgv 2NS.v u由Gireesha等人研究[29]。萧[30]讨论了热，黏弹性流体电阻耗散的拉伸薄片上。考虑共轭混合介质物理特性的纳米流体流动vtuvxvvy<$rjvy2-rj能量方程2个N（三）Hsiao [31]分析了对流和辐射。Hsiao[32]举例说明了在非线性拉伸片材上存在辐射的情况下微极微流体流的传热和传质。粘弹性流体通过多孔介质时的MHD混合对流换热vTvTvT kv2Tvtuvxvvyrcpvy2物种方程S u2 B2rcpvyrcpu（4）[33]这是一个很好的例子。vCvCvCv2C目前的问题是Gupta等人的扩展研究。[10]。本文分析了微极流体通过拉伸或收缩薄片时的非定常混合对流流动，vtuvxvvy<$Dmvy2-k1C-C∞;（5）与边界条件u<$lUwx;t;v<$Vw;N1vu1/4 -2vy;T<$Twx;t;C<$Cwx;t;y<$09>=（六）u/0;N/0;T/T∞;C/C∞;asy/∞>;额外的假设，如磁场、拉伸片、注入、扩散、化学反应和空间和温度相关的热产生/吸收（非均匀热源/散热器）以及不同的数值技术。我们提出了双重解决方案的吸引和注射的情况下，本研究的结果与Gupta等人的现有结果进行了比较。[10]第10段。在某些特殊条件下，本文的结果与Gupta等人的结果有很好的一致性[10]第10段。其中l是拉伸/收缩参数，l>0表示拉伸，l0表示收缩，Vw是抽吸/注射参数，Vw>0表示注射，Vw0表示抽吸，;9>p;1β 1-etβ123141;=W>¼-D;a其中A*和B*是空间和温度相关的内部热生成/吸收的参数。的积极和Cf<$2tw;Nux<$qwxShx<$qmx;（15）A*和B*的负值分别代表热产生和吸收rU2kTw-T∞kCw-C∞我们现在引入下面的相似性变量，以得到方程（1）e（5）在边界条件（6）下raavvrax9h¼h;ðhÞ;¼当壁面剪应力tw，热负荷qw和质量负荷qw时，qm由下式给出：tw<$4-msvuN S;qw<$4-k。vT;伏尔巴河 y;j¼xf N3β 1-etββ 1-etβpv>=qw1/4-k。vC;y¼0y¼0（十六）q<$T-T∞C-C∞pB0; k1¼k0>>;（八）vy¼0其中j是应力函数，定义为u^vj=vy，C Re1= 22K F000NuRe-1=20 0Sh Re-1=20 0v1/4-vj=vx，其恒等式满足连续性方程（1）。Onfx1/4 -2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 -10x1/2-q1/2; xx1/2 -f=0;应用变换，等式（2）e（5）简化为00000000-t.f01hf00-f02Kh0dqd1f-Mf0¼0式中，Rex¼Uwx=v为局部雷诺数。（十七）.1 公里 00fh0f0 h. 3小时1小时0分钟K.2小时f000（九）3. 求解方法方程组（9）e（12）服从边界条件2012年 2月 --t22012年12月（十）（13）用打靶法数值求解。我们考虑f<$f1;f0<$f2;f00<$f3;h<$f4;h0<$f5;q<$f6;q0<$f7;ff8;f0f9：E方程（9）e（12）在一阶微分方程系统中转换如下：q00P rfq0-f0q1KPrEcf002-P rt.q1hq0PrMEcf02f0½f29>A*f0（十一）f20¼f3f30¼ -1别担心。f1hf-f2Kfdfdf-Mf>f00S cf0-f0f-S ct.f1hf0-ScKrf¼0（12）1f40¼f5>2f02fffft。3F1hfK2ff>变换边界条件5¼-102Kf60¼f715-24-24þ25- -4þ3 Þ=>f0;f0;h 01f000;q01;f01;9=f0¼-P rf-ff1KPrEcf 2-Prt.F2*1hf公司简介71 7 2 63627>f0无∞0;h无∞0;q无∞0;f无∞0;（十三）PrMEcf2B*f6>其中撇号表示关于h的微分。K是微极参数，d是热浮力参数，d1是f80¼f9f0¼-Sc f f-ff -Sct.F1hf浓度浮力参数t是不稳定性9参数，M是磁场参数，Pr是普朗特数，Ec是Eckert数，A*，B*是非均匀热1 9 2 882 98（十八）给出了源/汇参数，Sc是施密特数，Kr是化学反应参数，fw是吸入/注入参数，fw>0表示吸入，fw0表示注入<通过但须符合下列初始条件f0fw;f0l;f0s;f0-1=2s;9=K¼S ; d¼Grx二、d1¼GCX2;t¼一e; M¼ 的B2a0; 产品介绍RMCPKx510000s2;f610000s1;f710000s3;f810000s1;f910000s4;;（十九）mRexECU2c T TRexfw¼v0; Sc¼vKr¼k0;在打靶法中，我们假设未指定的初始条件，在等式（19）中的s1、s2、s3和s4，则等式（18）是整数。在 数值上作为一个初始值的问题，以给定的终端pw-∞avm（十四）点我们可以通过比较不同变量的计算值来;f¼;B¼Tw-T∞Cw-C∞使用（8）中给出的相似性变换，我们得到以下结果y>N. 桑迪普角 Sulochana/工程科学与技术，国际期刊18（2015）738e745739为了工程上的考虑，局部表面摩擦系数、Nus-selt数和Sherwood数由下式给出：能够在终点处通过与给定值存在的差值改进初始值，使缺失N. 桑迪普角 Sulochana/工程科学与技术，国际期刊18（2015）738e745741¼ ¼¼¼必须具备条件。利用MATLAB编程进行计算。4. 结果和讨论已经使用Shooting技术数值求解了具有边界条件（13）的方程（9）和（12）对于数值结果，我们认为无量纲参数值为K<$$>t<$$> M<$$>d<$$> 1 <$$>1，Pr<$0. 71，Ec<$0. 75，A*<$$>B*<$0.1，Kr<$0. 2，L1，fw±1和Sc0.2.这些值在整个研究中，除图5和图6所示的不同参数外，tables.结果表明，无量纲控制参数，即磁场参数、微极参数、不稳定性参数、非均匀热源/热汇参数和化学反应参数对速度、微磁、温度和浓度分布以及摩擦因子、Nusselt数和Sherwood数的影响。图1e 4分别描述了磁场参数对吸入和注入情况下的速度、微旋转、温度和浓度分布的影响。从图中可以明显看出。结果表明，磁场参数的增加使边界附近的速度分布变小，微旋转增强，在h∞2水平微旋转发生逆转动作，并遵循的速度曲线的湍流。但增强-磁场参数的增加增加了温度和浓度分布，如图2和图3所示。3和4这是由于磁场的增强导致产生了与电磁流相反的力，称为洛伦兹力。这种力的作用与湍流相反，它降低了速度分布，同时有助于增加热量和浓度边界层。结果表明，磁场参数的影响在注入情况下比在反射情况下更有效。如图3所示，还观察到温度曲线的过冲。这可能是由于注入效应。一般情况下，注入允许流体进入系统，因此磁场参数有效地增加了注入情况下的热边界层厚度。图5e 7分别说明了抽吸和喷射情况下微极参数对速度、微旋转和温度分布的影响。从图中观察到，微极参数的增强增加了抽吸和喷射情况下的速度、微旋转和温度分布。这是由于微极的增加图二、 不同磁场参数M值的微旋分布。图3.第三章。 不同磁场参数M值的温度分布。图1.一、 不同磁场参数M值的速度分布。见图4。 不同磁场参数M值的浓度分布。742N. 桑迪普角 Sulochana/工程科学与技术，国际期刊18（2015）738e745图五. 不同微极参数K值的速度分布。图八、 不同化学反应参数Kr值的速度分布。见图6。 不同微极参数K值的微旋分布。图第九章 不同化学反应参数值的浓度分布克朗见图7。 不同微极参数K值的温度分布。图10. 不同非定常参数t值下的速度分布。N. 桑迪普角 Sulochana/工程科学与技术，国际期刊18（2015）738e745743见图11。 不同非定常参数t值下的温度分布。图十三. 不同非均匀热源/热沉参数A * 值的温度分布。参数增大了速度、热边界层厚度。化学反应参数对速度和浓度分布的影响见图11和图12。 8和9。从图中可以看出，化学反应参数的增加会导致速度和浓度分布的降低。这与化学反应参数的一般物理行为相一致，即化学反应的增加使浓度和速度边界层厚度减小。图图10和图11分别给出了吸入和喷射情况下非定常参数对速度和温度分布的影响。我们注意到一个有趣的结果，即非定常参数值的增加增加了抽吸情况下的速度和温度分布。在注射情况下，它采取相反的行动，并显示在速度和温度分布下降。这与Gupta等人[10]的结果一致。物理上，非定常参数的增加增加了喷射情况下板的热损失。由于这个原因，我们看到注射情况下的温度曲线下降。图图12e 15分别显示了吸入和喷射情况下非均匀热源或散热器对速度和温度分布的影响。从《古兰经》中可以看出，见图14。不同非均匀热源/热汇参数B*值的速度分布。见图12。不同非均匀热源/热汇参数A*值的速度分布。图15. 不同非均匀热源/热沉参数B * 值的温度分布。744N. 桑迪普角 Sulochana/工程科学与技术，国际期刊18（2015）738e745表1在收缩情况下，通过FEM[10]获得的约化努塞尔数与M<$Kr<$A*<$B*<$d1<$$>0、K<$2和Pr<$0.733的fwt1;d13;Ec 0： 75;-q00当前研究tfw13;d1 3;Ec 0： 75;-q00当前研究dfw13;t1;Ec0： 75;-q0 0当前研究3-0.24924-0.249251 1-0.24924-0.249251 0 0.88895 0.8889542019 - 06 - 25 0.12914 0.129153 2 0.14660 0.146607 1 0.54444 0.5444442019年12月31日星期一2019 - 05 - 25 11：00：002019 - 05 - 21 10：00：00非均匀热源或热沉参数的增加增强了速度和温度分布。这与热源/散热器的一般物理行为一致，即A*和B*的正值就像热发生器，负值则是热吸收器。一般来说，热源的增加会增加热边界层和速度边界层的厚度。表1显示了当前结果与Gupta等人[10]的现有结果的一致性。目前的结果表明，与现有的结果很好的协议。这表明了本文结果的有效性。表2显示了各种无量纲控制参数对表面摩擦系数、努塞尔数和舍伍德数的影响。从表中可以明显看出，微极参数的增加提高了吸入和喷射情况下的摩擦系数以及舍伍德数，但它降低了传热速率。磁场参数的增加降低了表面摩擦系数、传热和传质速率。非稳态参数的增大使摩擦系数和传质速率减小。但它有助于提高传热速率。化学反应参数值的提高降低了摩擦因子和努塞尔数，表2对于抽吸和喷射情况，M;K;t;Kr;A*;B*的不同值的f 00 0、- q 0 0和- f 0 0的变化。FWKM不KrA*/B*f0000-q00-f000.5-0.50.51231231111111112111111110.20.20.20.20.20.20.20.20.10.10.10.10.10.10.10.1-0.482185-0.456953-0.434805-0.356047-0.346130-0.335726-0.482185-0.6997100.4104660.3721600.3391910.3080580.2869340.2680820.4104660.1741480.5338720.5362540.5383220.4673150.4684900.4695830.5338720.519895-0.50.51111113123111111130.20.20.20.20.20.20.10.10.10.10.10.1-0.893532-0.356047-0.552872-0.730850-0.482185-0.4907740.0330110.3080580.1045240.0778250.4104660.4432440.5084710.4673150.4543230.4435230.5338720.520035-0.50.51111111111115135110.20.20.20.200.50.10.10.10.10.10.1-0.494258-0.356047-0.427943-0.452314-0.478349-0.4873470.4603220.3080580.3928380.4250250.4120620.4083110.5141640.4673150.4752620.4810860.5017030.579045-0.50.5111111111111111100.510.20.10.10.10.10-0.494760-0.353280-0.359820-0.365328-0.4874940.4052130.3088700.3069460.3053160.4568650.6479320.4368560.5103460.5764430.5330001 1 1 0.2 0.4-0.465664 0.268815 0.5366111 1 1 0.2 0.8-0.442099 0.073611 0.540562电话：+86-0511 - 8888888传真：+86-0511 - 88888881 1 1 0.2 0.4-0.344776 0.189280 0.4694981110.2秒0.8-0.3290410.0277070.472587提高了传质速率。非均匀热源/热汇的增加降低了传热速率，提高了摩擦系数和传质速率。5. 结论本文用数值方法研究了非均匀热源/热汇、质量传递和化学反应对磁微极流体在有粘性耗散和吸/喷的情况下通过伸缩板时非定常混合对流边界层流动的影响。本报告的结论非均匀热源/热沉参数的正值就像热发生器一样起作用，这些参数有助于提高传质速率以及微旋转。微极参数有增大边界层速度和温度的趋势。磁场参数和化学反应参数值的增大使摩擦系数和传质速率增大，努塞尔数减小。非稳态参数的增加导致喷射情况下的速度、温度和浓度分布下降。但提高了传热速率。增大吸力参数和粘性耗散参数有助于加快冷却速度。致谢作者希望对非常有能力的匿名裁判表示感谢，感谢他们的宝贵意见和建议。作者感谢教资会在教资会资助下给予的财政支持。S.科塔里研究金计划（F.4-2/2006（BSR）/MA/13- 14/0026）。命名法u，vx和y方向的速度分量cp定 压 比 热 容 f无量纲速度h无量纲微旋转重力加速度j微惯性密度K微极参数N微旋转分量流体的S常数特性wi权函数x沿表面的y垂直于表面的距离纸张的uwVw壁面速度t时间Tw冷却液温度T∞自由流温度Cw的浓缩液●●●●●N. 桑迪普角 Sulochana/工程科学与技术，国际期刊18（2015）738e745745C∞自由流浓度q热中子B磁场强度分子扩散系数表面摩擦系数Nux局部努塞尔数Shx局部舍伍德数Rex局部雷诺数Pr普朗特数Sc施密特数Ec埃克特数fw吸入/喷射参数希腊符号r流体密度k热导率b因温度引起的体积膨胀系数b*因浓度引起的体积膨胀系数s电导率g自旋梯度粘度h相似变量m动态粘度n运动粘度q无因次温度f无因次浓度j流函数d，d1浮力参数测试不稳定参数壁面切应力引用[1] A.C. 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