耗散修正KdV方程的行波解及数值计算

-23.Σ埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2012）20，134原创文章一类耗散修正KdV方程的行波解M.B.A. 曼苏尔埃及Qena南谷大学理学院数学系2009年8月16日收到; 2010年2012年9月29日在线发布本文考虑一个色散-耗散非线性方程，它可以看作是耗散扰动的修正KdV方程，它控制着粘弹性介质中弹性杆中长波的演化。利用几何奇摄动理论，构造了该方程的行波解.这也说明了目前的一些数值计算。2012年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍当试图描述小-在非线性色散介质中的振幅长波，常常需要考虑耗散机制波和扭结形波。 本文考虑（1.1）为耗散扰动的修正KdV方程。我们假设（1.1）中耗散项的所有系数都很小相对到的其他系数，也就是说，b/sb;s/sr，d/ss s;s1.则（1.1）可以写成准确反映真实情况。在这种情况下，人们可以继续@u2@u@3u.@2u@。@u@4u考虑以下等式@tau@xc@x3sb@x2r@xu@xx4的最大值20：00：00@u2@u@u@@u@@tau@xb@x2c@x3s@xu@x@4ux4¼0时的最大直径;直径1：1 mm与 的 方法 的 几何 奇异摄动理论作为有吸引力的方法，在[7，8]中发展并在[9作为非线性介质中长波传播的模型扩散、耗散和后向二次扩散。这里，a、b、c、s和d是常数。这个模型方程出现在许多物理系统中，描述了具有一定耗散效应的弱波式（1.1）中的系数取决于系统的参数。本文用渐近展开法和精确解研究了方程（1.1）的类似方程[1电子邮件地址：hotmail.com同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier方程（1.2）的孤立波解。本文的结构如下。在第2节中，我们提出了一个问题。在第三节中，我们描述了如何利用几何奇摄动理论来构造当s >0时行波方程的局部不变流形。在第四节中，我们利用这个流形得到了一个孤立波行波解。在第5节中，我们给出了一些数值计算。第6节是一个简短的结论。2. 预赛在行波形式中，u（x，t）=u（z），z=xct和c P0，不失一般性，等式（1.2），在一次积分并将积分常数设置为零后，读取1110- 256 X？ 2012埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.08.002关键词摄动修正KdV方程奇异摄动;行波一类耗散修正KdV方程的行波解135！@一1C-¼其中，uSCþ3-是的3301CDZs ss@A- cu一u3c3d2udz2迪兹公司杜达鲁花赤d3u东风DZ31/2：2：1秒杜df¼sv;DV这里，描述行进孤波的所施加的边界条件u，du/dz，d2u/dz2，d3u/dz3fi0为zfi1，df¼sw;dwA3：10这意味着积分常数为零。显然，为了实际应用中，我们只对实有界解感兴趣3sdf¼ cu- u- bs v- rs uv-c w：式（2.1）的u（z）可以写成一阶方程组杜dz¼v;DV虽然这两个系统在s>0时是等效的，但不同的是-不同的时间尺度产生不同的限制系统。让s！0，则得到：杜dz¼v;dz<$w;ssdw¼cu-au3-bsv-rsuv-cw：12：20DVdz<$w;0¼cu-一u3-c w：2013年12月3日注意，如果s1/40，则公式2.2简化为：杜dz¼v;;3因此，系统（3.2）的流程被限定为集合Mnu;v;w2R3：cu-au3-cw0o3：30dv1.a303它的动力学由前两个方程它是修正KdV方程孤立波解的常微分方程动力系统。当s不为零时，等式（2.2）定义了一个常微分方程的动力系统，其解在三维（u，v，w）中演化只. 另一方面，在公式3.1中设置s0，则系统杜df¼0;相空间在这个相空间中，存在临界点，u;v;w=0; 0;0pDVdf¼0;DW1/4铜，一u3-cw：2013年3月4日如果在（2.2）的解中存在同宿（异宿）轨道，则原方程的行波解将存在。通过对临界点（0，0，0）的稳定流形和不稳定流形的维数的初步计算，可以看出这一点的可拓性。线性化矩阵J系统（2.2）M0中的任何点都是系统（3.4）的平衡点.通常，系统（2.2）被称为慢系统，因为时标z是慢的，并且（3.1）被称为快系统，因为时标f是快的。M0是慢流形.如果M0是正规双曲的，则Fenichel[7]的微扰理论适用并为我们提供了Ju;v;p;qSs0对于一个二维不变流形Ms1：当s > 0时。我们的想法是研究（2.2）式中限制在这个流形上的流，得到的系统将是Ss二维的这本身并不能证明在稳定状态（0，0，0），该矩阵的特征值k满足sk3rk2sbk-c¼0：对于足够小的s，很容易看出这个方程有两个实负根和一个实正根。因此，稳定状态（0，0，0）的稳定流形的维数是2，而不稳定流形的维数是1。然而，这并没有严格地建立一个同宿（异宿）轨道的存在，但它确实提供了合理性的想法，两个流形可能相交沿一维曲线在R3。现在，通过证明（2.2）的二维不变流形的存在性并分析简化为该流形的系统，可以确认同宿（异宿）轨道的存在性。3. 不变流形我们注意到，当s0时，系统（2.2）在R3中不定义动力系统。这个问题可以通过变换z/sf来克服，在该变换下，系统变为对于行波，我们仍然需要研究简化为Ms的系统，并证明它具有同宿（异宿）轨道。由Fenichel[7]可知，若限制于M0的快系统（3.1）的线性化恰好有实部为零的dimM0特征值，则M0线性化-限制于M0的快速系统的作用具有矩阵 0 0 00 0 0c-au 0-c其特征值为0，0，c。因此，M0是正常的双曲和几何奇异摄动理论暗示，存在一个二维流形Ms，s >0。为了明确地确定Ms，我们有M¼.u;v;wcu-au3β-dichloroacetate;3：5分其中函数h被确定并满足hu;v;0020：03：60通过代入慢系统（2.2），我们看到h必须满足Σdz¼ccu-3u3c=a，这些均衡与s无关。Df3Bb0的01001 布拉奇-au2 -rsv1Þ- ðbsrsuCÞ-SS136M.B.A. 曼苏尔þð¼一-1c2-1c2.-- þÞðÞ-C-3C2C2 捷克共和国b、c、sc苏丹省@u@vc3c2ssv@h@h。h1.1.c u-au31c-au2v-bsv-rsu v-ch：由于s很小，我们试图以s中的正则摄动展开的形式来解这个偏微分方程。由于当s为1/4时h为0，我们设hu;v;ssh1u;vss：3：7将h（u，v，s）代入上述方程，并将s的系数设为零，我们得到5. 数值结果在本节中，我们通过一些数值计算来说明上述分析。我们把（2.2）式作为初值问题来求解。初始条件近似为（2.2）的稳态（0，0，0）的不稳定流形上的一个点。采用四阶自适应步长Runge-Kutta格式的数值解结果示于图1和图2。 一比四 图图1示出了对应于a=c= 2.0的孤波解的同宿轨道的投影图，h u; v1asu-cr u- bcsc v：3：8b=-1.0，r = s = 1.0，c = 1.0，s = 0.001; 21张图片2张图片因此，限制为Ms的慢系统（2.2）由下式给出：杜显示了同宿轨道的投影图，大s¼0： 1，其值与图1中的值相同。显然，两者dz¼v;dv¼1。cu-au3个字母。1asu-cru-bcscvos2：1DZC3C22013年3月9日0.80.64. 流形Ms上的微分流注意，当s0时，这个系统减少到相应的-用于mKdV的测试系统方程 我们现在显示，当s >0足够小时，存在（3.9）式的同宿轨道。为此，我们使用Melnikov函数的参数[13，14]。对于s^0，同宿轨道qh（z）由下式给出：0.40.2v0−0.2-0.4uzlsechkz;l和杜第6鲁杰罗C-0.6-0.8−1电话：+86-021 - 8888888传真：+86-021 -8888888uvzdz-lksechkztanhkz;因此，Melnikov函数被描述为Z1M = 0-1 fqhz^gqhz;zz0dz图1孤立波的动力学。三维相空间中的同宿轨道在u-v孤立波1.-1v1 .一、cu-au3！^.0ððasu-crÞu-ðbcþscÞÞv！DZ1/4Z 11。a苏2比2-c鲁夫2比b、c塞奇2比兹1/4Z11。asl4k2sech4kztanh2kz-crl3k2sech3kztanh2kz0.80.60.4Z11。-122 4 2Σ0.2v0132 as l4k15pcr l3k80bc scl2k4： 1120C其 中 楔 形 算 子 x 被 定 义 为 fxg=f1g2f2g1 。当 量 证 明 了melnikov函数M（c）有一个唯一的零点，因此也是s足够小时存在同宿轨道的可解性条件。这个同宿轨道对应于方程（1.2）的孤波解。因此，我们得出以下定理。−0.2-0.4-0.6-0.8−10 0.2 0.4 0.6 0.811.2 1.4 1.6 1.8 2u定理4.1. 对于e> 0足够小，等式（1.2）存在一个孤立波行波解u（x，t）=u（z），z=x ct，c> 0。图2三维相空间中的同宿轨道在u-v很明显，当s变大时，同宿轨道破裂11-一类耗散修正KdV方程的行波解1372 21.8 1.81.6 1.61.4 1.41.2u11.2u10.8 0.80.6 0.60.4 0.40.200 2 4 6 81012 14 16 18 20z0.200 50z100 150图3与图3所示同宿轨道对应的孤立波解的示意图。1.一、图5振荡扭折型波的示意图21.81.61.41.2u10.8方程的解。为此，我们已经证明了行波存在于所得高维系统内的二维慢流形上。证明了慢流形在扰动下的持久性，并在慢流形中构造了相应的稳定流形和不稳定流形的横交上的同宿（或异宿）轨道.此外，我们还通过解一个初值问题给出了一些数值计算，给出了这种孤立波和振荡扭折波的近似解。0.60.40.200 2 4 6 81012 14 16 1820z引用[1] S.卢，G. Huang，H.阮，对流介质中的精确孤波，J。Phys. A24（11）（1991）L587[2] 张文，张文，等离子体中非线性波的传播与传播，北京大学学报，2000（1）图4该图显示了当s变大时，与图2图图1和图2显示了孤立波的动力学。图图3和图4示出了相应的行波孤波解的图。此外，我们注意到，对于b正，扭结（振荡扭结）型波也存在于三维相空间内的二维流形上。这些波对应于连接临界点（0，0，0）和（ue，0，0）的异宿轨道，见图5，不存在其他波。6. 结论本文考虑了一个色散-耗散非线性模型方程，它可以看作是一个耗散扰动的修正KdV方程。利用动力系统理论，特别是几何奇异摄动理论，我们构造了行波解，[3] V.I. M. G.内科尔金张文，张文，等，等.《混沌》4（5）（1994）1135[4] M.G. Velarde ， V.I. Nekorkin ， A.G. Maksimov ， 耗 散Korteweg-de Vries方程孤立波及其束缚态演化的进一步结果J. 分叉混沌5（3）（1995）831[5] A.V. Porubov，M.G.陈晓，李晓，等.非线性固体中的[6] I.L. Kliakhandler，A.V. Porubov，M.G. Velarde，局部有限振幅扰动和孤立波的选择，Phys.Rev.E62（4）（2000）4959[7] N.陈晓，常微分方程的几何奇异摄动理论，北京：清华大学出版社.等式31（1979）53- 98。[8] C.K.R.T. Jones ，几何奇异摄动理论， 在：R 。 Johnson（Ed.），动态系统，Springer-Verlag，柏林海德堡，1995年。[9] S.A.李文，等，具有分布时滞的扩散方程的波前解，数学计算，2000。莫德尔。32（2000）843[10] P. Ashwin，M.V. Bartucclli，T.J. Bridges，S.A. Gourley，时 空 时 滞 KPP-Fisher 方 程 的 行 波 波 前 ， Z 。 Angew.Math.Phys.53（2002）103138M.B.A. 曼苏尔[11] R.阮氏D. Xiao，媒介疾病模型中稳态的稳定性和行波的存在性，Proc. Roy。Soc. A 134（2004）991[12] 阴号Ktrychko，M.V. Bartuccelli，K.B. Blyuss，四阶扩散方程组行波解的持久性，J. Comput. 176（2005）433[13] J. Guckenheimer，P.李文，非线性动力学系统的动力学分析，北京大学出版社，1998。[14] X.范湖，澳-地田，奇摄动mKdV-KS方程孤立波的存在性，混沌，孤子分形26（2005）1111