测度论和Daniel-Stone定理的可计算形式

R→实函数f的格F：<$R存在一个测度μ使得在本文中我们证明了这个定理的一个可计算版本理论计算机科学电子笔记120（2005）217-230www.elsevier.com/locate/entcs关于积分和线性泛函的Daniel-Stone定理的可计算形式永城五一南京大学数学系中国南京Klaus Weihrauch2ComputerScieneceFernuniversitüatHagen，德国摘要对于一个简单的算法，I：f→fd是一个简单的函数，可以将领域的选择作为一个简单的函数。通过Daniell-Stoneererem，对于整数ΛR：F→R的全局跟踪，保留字：可计算分析，测度论，Daniel-Stone定理1导论与数学概论在本节中，我们总结了一些符号，定义和事实，从测量理论和可计算分析。作为测度理论的参考，我们使用这本书[1]。一个环在一个集合R中是一个集合R的子集，使得A\B∈ R，A\B∈ R，1电子邮件地址：victorwu@cer.net2电子邮件：Klaus. fernuni-hagen.de1571-0661 © 2005 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2004.06.046fdμ= Λ（f），对所有f∈F。218Y. Wu，K.Weihrauch/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120（2005）217A R{|} ∈ A∈i=1nn∫∫f：n→R且b∈R，i=1i=1我若A，B∈ R.一个σ-代数是σ的子集的集合A，使得σ∈ A，A∈A，如果A∈ A，∞i=1Ai∈A，ifA1，A2， . . ∈A。如果有一个系统，A（E）的子集是包含E的A中的最小σ-代数.环R上的预测度是函数μ：R →R=R <${−∞，∞}，使得对于A∈R，μ（A）≥0，且∞ ∞µ（An）=µ（An）如果A1，A2， . . . ∈Aarepairwisedjointandd∞i=1An∈A. 一个代数上的一个测度称为测度.一个环R上的预测度μ称为σ-有限，如果存在序列A1<$A2<$A3<$.在R中使得A1<$A2<$. i = 0，且μ（A i）<∞对于所有i。定理1.1（[1]）环R上的每个σ-有限预测度μ都有一个对（）上测度的唯一扩张，（为了方便）我们也用μ表示。设（A，A，μ）为测度空间。一个函数f：f →R称为可测的，如果Xf（x）> a，对所有的aR.以下条件是等效的：（x∈D）{x|f（x）>a 对于R中稠密的集合D。（一）像往常一样，我们将计算{f> a}：={x∈ N} |f（x）> a}。在（1）中，关系式函数f：f→R为简单地说，如果有非负实数a1，...，a n和成对不相交集合A1，.，An∈ A，使得f（x）=<$nai χ A，其中χ A我是A的特征函数。对于一个简单的函数，积分定义为：∫Σi=1aiXAi：=i=1a i µ（A i）。（二）对于函数u，u0，u1，. n →R，u i3u表示：对所有x∈ω，u0（x）≤u1（x）≤. 且sup iu i（x）=<$u（x）。 对于一个非负的可测实函数，（ui）i∈N的简单函数，使得u i3f和 （3）第一个问题[1]的文件。特别地，fdµ不存在（在R中），如果序列（ui dµ）i是无界的。对于任意的实函数f：n→R，令f+：= sup（0，f）（f的正部分）和f−：= sup（0，−f）（f的负部分）。通过fdµ=b，i存在某种递增序列Y. Wu，K.Weihrauch/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120（2005）217219→∫∫∗ω定义，可测函数f是可积的，如果f+dµ和f−dµ存在，并且其积分定义为：f dµ：=（四）关于可计算分析的以下概念，请参见[4]。令N：={0，1，2，.. . }是自然数的集合。从X到Y的部分函数记为f：<$X→Y，多函数记为f：<$X<$Y。设是一个足够大的有限字母表，使得{0， 1}。有限词的集合上的无穷序列的集合用表示，无穷序列的集合用表示。 计算性 函数的定义是由图灵机定义的，图灵机可以分别读取和写入有限序列和无限序列。标准的配对函数在上的配对函数记为： 对于w∈，设w：→为词由图灵机计算的函数，其规范码为w∈N。 像the“P（1）的局部递归函数该符号简化了UTM定理和SMN定理。其他集合上的可计算性是通过使用符号的有限或无限序列作为“名称”来引入的。对于自然数，设νN：→N是二进制数的记法，设bni是i∈N的二进制名。设νQ：→Q是有理数的某种标准符号。对于实数，我们使用标准柯西表示ρ：ρω→R，其中ρ（p）=x，ip编码有理数序列（ai）i，使得|≤ 2 − i。| ≤ 2 −i.对于命名系统δi：<$Yi→Mi，Yi<${<$$>，<$ω}，i= 1， 2，一个函数f：<$M1<$M2是（δ1，δ2）-可计算的，i ∈存在一个可计算函数h：<$Y1→Y2使得δ2<$h（p）∈f（δ1（p）），对所有p∈dom（δ1），使得f（δ1（p）） ≠ 0。本文考虑几个伪度量空间的因子分解的可计算性[2]。我们将[4]中具有柯西表示的可计算度量空间的定义直接推广如下：可计算伪度量空间是四元组M=（M，d，A，α），使得（M，d）是伪度量空间，A<$M是稠密的，α：<$M→A是记法使得dom（α）是递归的，并且伪距离d对A的限制是（α，α，ρ）-可计算的.(In[4]，dom（α）被假定为r.e.注意，对于每个带有r.e.的符号，域有一个等价的递归域）。在我们的应用中，M是一个线性空间，伪度量是从一个矩阵导出的||. ||x-y||.||.伪度量空间（M，d）的因子分解（M，d）是一个度量空间，其标准定义如下：x：={y ∈ M |d（x，y）= 0}，M：={x |x ∈ M}，d（x，y）：=d（x，y）.我们定义可计算伪距离空间的因子分解的柯西表示δM如下：δM（p）=x，如果p∈ω编码220Y. Wu，K.Weihrauch/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120（2005）217一F一FFA的元素的序列（ai）i，使得d（ai，x）≤2−i，对于所有I. 如果M是一个线性空间，||. ||,by ax:= ax and x + y:= x + y因子空间成为具有范数的线性空间||X||：= ||X||. 在这种情况下，d（x，y）= ||x-y||.2可计算测度空间在这一节中，让（A，A，μ）成为一个测度空间。对于任何D ∈A，令Df：={A ∈ D |µ（A）<∞}。在可计算测度论中，我们想要识别两个集合A，B∈ A，如果它们的对称差A<$B：=（A\B）<$（B\A）具有测度0，否则区分它们 由于A <$B <$A <$C<$C<$B，在集合A上映射d：（A，B）<$→ μ（A <$B）是伪距离。引理2.1设R是环，使得A（R）= A，μ是R上的σ-有限预则（A，d），d：（A，B）<$→μ（A <$B），是完备的伪度量空间，其中Rf是稠密子集。证明：直截了当。Q为了包含具有无限测度的集合，考虑映射d∞：（A，B）<$$> →μ（A<$B）/（1+μ（A <$B）），它是A上的伪度量（注意：∞/（1+ ∞）=1）。它的限制等于d。为了将可计算性引入在伪度量空间中，我们需要一个可数稠密子集[4，3]。不幸的是，有一些重要的测度空间使得伪度量空间（，d∞）是不可分的。例子：考虑测度空间（R，B，λ），其中B是实数的Borel子集的集合，λ是Lebesgue-Borel测度。设（Ei）i∈N是B中的任意可数序列.定义B：=i（i;i+ 1）\Ei.则对所有i，λ（B<$Ei）≥1，因此d∞（B，Ei）≥1/ 2。 因此，所有Ei的集合不可能是稠密的。由于这对每个序列（Ei）i∈N都成立，所以伪度量空间（B，d∞）是不可分的。我们将考虑由有限测度集合组成的可数环上的σ-有限预测度的完备化的测度。我们假设环上的运算和预测度是可计算的。定义2.2可计算测度空间是一个五元组M=（λ，A，μ，R，α），(i) A是一个σ-代数，μ是它的测度，(ii) R是可数环，使得A=A（R），(iii) <对于所有A∈ R，Y. Wu，K.Weihrauch/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120（2005）217221M ARI M根据第（四）项，R. 如果R是R的一个伪子集，则f或得到一个IM→F(iv) 而对于R的限制是σ-有限的，(v) α：R→ R是R的递归定义域表示法，(vi) （A，B）<$→A<$B和（A，B）<$→A\B是（α，α，α）-可计算的，(vii) μ在R上是（α，ρ）-可计算的。σ-有限测度，或者限制R或添加集合\r1至r8及r29定义µ（\R）=0。定理2.3设（R，A，μ，R，α）是可计算测度空间。 则四元组（Af，d，R，α）是可计算的完备伪度量空间，其中A ={A∈ A|（A）<（B）（C）（D）（B）（C）（D）（B）（D）（C）（D）（B）（D）（证明：通过引理2.1，（Af，d）是完备的伪度量空间，R为稠密子集。根据定义式2.2（v）-（vii），符号α具有递归域，距离d是（α，α，ρ）-可计算的。Q可计算测度空间上的可计算性可以通过连接伪度量空间的柯西表示来定义。例2.4 [R上的Lebesgue-Borel测度]设R = R，D <$R在R中稠密，ν D：R<$R→ D是一个记法，使得dom（ν D）是递归的，且ν≤ρ。 设I∈D是所有i（a;b）∈R的集合，其中a，b∈D且0. fdµ=f+dµ−f−dµ。BY（3）这里有一个简单的函数u≤f+sucht tt0≤f+dμ−udμε/4，因此而R在Af中是稠密的。2.3，存在一个有理阶跃函数v，即dM（u，v）ε/4。<我们得到dM（f+，v）≤dM（f+，u）+dM（u，v）≤ε/2.相应地，存在一个有理阶跃函数w使得dM（f−，w）≤ε/2。 我们得到dM（f，v −w）= ||f+−f−−（v −w）||≤ ||f+−v|| + ||f−−w||<ε。因此，v−w是一个有理阶跃函数，ε-接近f。Y. Wu，K.Weihrauch/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120（2005）217223I（f）=fdµ，对于所有f∈ F。此外，如果存在序列（f i）i，nn在RSF上，距离dM是（β，β，ρ）-可计算的。这是由引理3.2得出的。Q用tδM：εω→I（M）/ε表示等价类的可积函数（见第二节）。①的人。4可计算的Daniel-Stone定理对于两个实值函数，令（f<$g）（x）：= inf（f（x），g（x））。实函数的Stone向量格是函数f：x →R的向量空间F，使得函数x →R |f（x）|且x<$→ inf（f（x），1）（表示为|F|和f = 1）在F中，如果f∈ F。设F+是F中非负函数的集合。设F是完备的，如果f∈ F，只要ui∈F+且f：u→R，u i 3f.实函数的Stone向量格F上的抽象积分是线性泛函I：F →R使得对所有f，f0，f1，. ∈ F+，I（f）≥0 且I（f）= I（sup fn）= sup I（fn），如果fi3 f.（六）设A（F）是F中的最小σ-代数，使得每个函数f∈ F是可以衡量的。定理4.1（Daniell-Stone [1]）设F是Stone向量格，其ab-积分为I. 然后在A（F）上有一个测度μ，使得f是μ-可积的如果（x∈）（i）fi（x）> 0，则测度μ是唯一定义的。一个证明看Thms。39.4和Cor。39.6在[1]中。具有抽象积分的Stone向量格||. ||Sand a pseudometric dScan be defined by||S：= I（||F|）|) 和 dS（f，g）：||f−g||S= I（|f −g|）的。（7）对于有效版本的Thm。4.1我们考虑稠密子集的符号γD使得（F，dS，D，γ）是可计算伪度量空间。此外，委员会认为，我们假设|F|，f <$1 ∈ D如果f ∈ D且D在有理线性组合定义4.2具有抽象积分的可计算Stone向量格是一个元组S=（F，F，I，D，γ），使得(i) F是Stone向量格，具有抽象积分I，(ii) DF对于伪距离dS是稠密的：（f，g）›→ I（|f − g|），224Y. Wu，K.Weihrauch/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120（2005）217(iii) γ是具有递归域的DY. Wu，K.Weihrauch/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120（2005）217225FDD M AR∫则（f，I（M），（f→(iv) 若a∈Q且f，g∈ D，则{af，f + g，|F|，f 1} D，(v) 对于a ∈ Q和f，g ∈ D，函数（a，f）<$→ af，（f，g）<$→ f + g，f<$→ |F|和f<$→f<$1是可计算的。νQ，γ和ρ。(vi) I对D的限制是（γ，ρ）-可计算的。设δS：εεω→ F/ε是可计算伪距离空间（F，dS，D，γ）的因子化的标准柯西表示.可以很容易地证明（，dS，，γ）是可计算的伪度量空间。对于可计算测度空间，给出了具有内-外可积函数的可积函数，积分作为线性算子与抽象积分构成可计算Stone向量格。命题4.3设M=（M，A，μ，R，α）是可计算测度空间。用抽象积分填充Stone向量格证明：直截了当。Q对两个度量空间（Mi，di）（i=0，1），称m：M0→M1为度量嵌入，对所有x，y∈M0，i ∈d1（m（x），m（y））=d0（x，y）.显然，度量嵌入矩阵是单射的，即，（M0，d0）是（M1，d1）的一个子空间对于具有Cauchy表示δi（i= 0， 1）的可计算度量空间（Mi，di，Ai，αi）（i = 0，1），若M：M0→M1是（δ0，δ1）-可计算嵌入，则它的逆矩阵M−1：M1→M0是（δ1，δ0）-可计算的.在这种情况下，第一个空间，直到重命名，是第二个空间的一个非常好的子空间现在我们可以公式化并证明丹尼尔-斯通定理的计算版本(We使用可积函数的分解伪度量空间的柯西表示δM，见Thm。3.4和第二节的结束3.）第三章定理4.4（可计算Daniel-Stone）设S=（f，F，I，D，γ）是一个可计算Stone向量格，具有抽象积分，使得（f，x∈f）（f，f∈）f（x）> 0。 则存在一个可计算测度空间=（μ，μ，α）和一个函数，(i) δS是一个（δS，δM）可积的数学模型，它满足：F/δ→I（M）/δ;(ii) I（f）=gd µ，对所有f∈ F和g∈φ（f/φ）;其中δS是由S（Def. 4.2），δM是由M（Thm. 3.4）。对于主要的证明，我们需要一些辅助命题。因为fdµ），RSF，β）（参见Def.（二）是一种可计算的组合，226Y. Wu，K.Weihrauch/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120（2005）217∫{f > a}={}∈a b∈Q{f>b}，则对于所有的∈ D ∈ {}∈他们的证明被省略了。首先，必须定义环R。考虑f∈ D。由于f必须是可被（i）μ -积的，因此A-可测的，我们必须有{f> a} ∈ A= A（R），对所有a∈R。以来F和bQ.不幸的是，有些值μ（f >b），bQ（其中将被规范地定义）可能变得不可计算。为了避免这个问题，对于每个函数f∈ D+（来自D的非负函数），我们构造一个新的可计算实数的可数稠密集Cf（见（1）），使得μ（{f>c}）对于每个c∈Cf都是可计算的。R将是包含所有集合{f >c}（f∈ D+，c∈Cf）的最小环，其中我们定义μ{f >c}：= sup {I（h）|h∈ D+，h≤χ{f>c}}. 此外，我们定义了一个符号α：α→R，使得满足定义式2.2中的（v）-（vii）。进一步的关键步骤是证明对于每个函数f∈ D+和每个n∈N是M=（λ，A，μ，R，α）中的一个有理阶跃函数t，其系数为非负. 符号γ、νN和β（来自Def. 3.1）使得t≤f且0≤I（f）−t dµ≤2 −n。定义D+：= D <$F+的符号γ +，由γ+（v）：= |γ（v）|.从定义4.2我们可以得出结论，γ+可约化为γ（γ+≤γ）。定义D+中可计算序列的符号ν→，v→（s）=（f0，f1，. . ）fνN（w） =γ+fνN（w），（8）即i fνN（w）是i<$→fi的一个（νN，γ+）-实现（见第1节）。作为第一步，对于每个f= γ+（v）∈ D+ ，我们计算某个稠密集DvR+，使得μ（f> a）对于所有a D v都是可计算的实数（并展示如何计算这些值）。命题4.5对任意f ∈ D+和任意a0，b0∈ Q，<0a0b0<，D +中的一个实数c和两个序列（gn）n和（hn）n可以用w.r.t. 记法γ、νQ、ν→和ρ，使得a0c}≤χ{f≥c}≤. ≤g1≤ g0（10）supI（hn）= infI（gn）.（十一）注意，对于每个固定的v∈dom（γ）= dom（γ+），常数c的集合，D v：={ρ∈H0（v，ul，ur）|0 <νQ（u l）<νQ（u r）} 在R +中是稠密的。（12）我们定义了测度空间M的环和σ -代数。定义4.6R0：={{γ+（v）>ρ <$H0（v，ul，ur）} |v ∈ dom（γ+），0 <νQ（ul）<νQ（ur）}R：=包含R0的最小环A：=A（R）Y. Wu，K.Weihrauch/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120（2005）217227=A（R0）228Y. Wu，K.Weihrauch/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120（2005）217\◦⟨⟩注意R0一般不是环.由Prop.4.8对每个集合A∈ R0在D+中存在序列（hi）和（gi），使得0≤ h0≤ h1≤. ≤ χ A≤. ≤ g1≤ g0，sup I（h n）= inf I（g n）。（十三）下面我们证明这对所有A∈ R也成立。 另外我们引入了R的一个记法α，使得序列（hi）和（gi）可以由A∈ R计算出来.命题4.7函数shn，gn，hJn，gnJ0≤ h0≤ h1≤. ≤ χ A≤. ≤ g1≤ g0，supI（hn）= infI（gn），0≤hJ0 ≤hJ1 ≤. . . ≤χAJ≤. . . ≤G1J≤G0J，supI（hJn）=i nfI（gnJ）。∈ D+与A，AJ∈D+那么对于 h+：= sup（hn，hJ），g+ ：= sup（gn，gJ），h−：=（hn−gJ）+和n n ngn−：=（gn−hJn）+，n n n关于我们0≤h0 ≤h1 ≤... ≤χ AAJ≤. ≤g1 ≤g0，supI（h+）= infI（g+），n n0≤h−0 ≤h−1 ≤. . . ≤χA\AJ≤. . . ≤g1−≤g0−，supI（h−n）=i nfI（gn−）。通过下一个命题，命题4.7中的构造是可计算的。 让我们说t = s-，s+s包含一个集合A，如果（13）对于序列（h0，h1，.）. ）：= ν→（s-）和（g0，g1，. . ）：=ν→（s+）。命题4.8存在可计算函数G1和G2使得G1（t，tJ）包围A AJ且G2（t，tJ）包围A AJ，如果t包围A且tJ包围AJ。命题4.9存在一个可计算函数L，使得ρ L（s-，s+）= sup I（h n），如果ν→（s-）=（h i）i且ν→（s+）=（gi）i使得（13）.证明：这遵循定义4.2（vi）中的标准论证。Q（第4.9条）我们归纳地定义R的符号α如下。 第4.5章有 可计算函数H0，使得c;ρ−09v，ul，ur）若f=γ+（v），则a0=νQ（ul），b0=νQ（ur）.(For为了方便起见，我们假设dom（γ），dom（νQ）\{0， 1}，其中νJ：={（，），ν，\}。Y. Wu，K.Weihrauch/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120（2005）217229A R定义4.11设μJ是A（F）上的唯一测度，使得f是μJ，xA dµJ= µJ（A）= µ（A）。Q（Prop.4.12）α（v，ul，ur）：={γ+（v）> ρ<$H0（v，ul，ur）} ∈R0，（14）α（（w<$wJ））：=α（w）<$α（wJ），（15）α（（w\wJ））：=α（w）\α（wJ）（16）设v∈dom（γ）=dom（γ+），ul，ur∈dom（νQ）使得0νQ（ul）νQ（ur）且w，WJ∈dom（α）.<<设α（x）对所有其他x∈N∈ N都是未定义的。则α是R的记法，使得dom（α）是递归的。显然，R上的并和差是（α，α，α）-可计算的。我曾在《易经》中，以《易经》和《易经》为2.2：命题4.10α ：R→ R是R的递归定义域的一个记法，并且（A，B ）<$→A→B和（A，B）<$→A\B是（α，α，α）-可计算的，接下来，我们定义函数μ在A=A（R）上。为了找到一个σ-可加测度，我们应用非有效性定理4.1，因为R0<$F，A（R）<$A（F）。可积，且I（f）=μJ到A（R）。fdµJ，对于所有f ∈ F（Thm. 4.1）。设μ为限制条件因为（）是σ-代数，μ是测度。因此，定义2.2中的（i）、（ii）、（v）和（vi）为真。它仍然需要证明（三）和（七）。由公式4.7，我们得到：命题4.12对于每个A∈R和D+中的序列（hi）D +中的ate序列（h i）和（g i）可以从A w.r.t. 的符号α和ν →。证明：对于所有i，我们得到：I（h i）= h idµJ≤ x AdµJ≤ g idµJ= I（gi）。利用4.8中的函数G1和G2以及4.9中的函数L，我们证明了测度μ在R上是（α，ρ）-可计算的.命题4.13测度μ在R上是（α，ρ）-可计算的，特别地，对于<所有A∈ R，μ（A）∞。我们已经证明了这一点。2.2㈢和㈦。最后，我们证明了def。2.2㈣.命题4.14 μ对R的限制是σ-有限。证明：由于R是可数的，并且对所有A∈ R都有μ（A）∞，因此证明了（λx∈λ）（λA∈ R）x∈A。<考虑x∈φ。通过假设f（x）= 0，对某个f∈D. 然后|F |= γ+（v）∈ D+，对于某些v，且|F|（x）> 0。因此有（13），χ A dµ = µ（A）= sup iI（h i）= inf iI（g i）。此外，适当-因此，supiI（hi）=230Y. Wu，K.Weihrauch/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120（2005）217∈||联系我们||} ∈ REURR3∈ F∫的prop。四点一二，χA dμ=μ（A）=Iμ（χA），因此一些cD v（见（12））使得f（x）>c。因此，xf> c。Q（Prop. 4.14）总之，我们定义了一个可计算的测度空间M=（R，A，μ，R，α）。最后，我们来谈谈整合。首先，我们推广Prop。4.12从查尔-特征函数χA，A到这种函数的有理线性组合，即，有理阶跃函数有理阶跃函数的符号β在Def中定义。3.1.命题4.15对于每个具有非负系数的有理阶跃函数t和每个m ∈ N，可以计算函数H，G ∈ D+（w.r.t. β和γ），使得H≤t≤G，t dµ − 2 −m≤ I（H）≤证明：直接从prop。四点一二分Q请注意，一个µJ-可积函数f（见定义4.11）如果是µ-可测的，可能不是µ-可积的。我们证明了逆命题。四点一刻命题4.16对每个函数f∈ D+和每个n∈N，M =（λ，A，μ，R，α）中具有非负系数的有理阶跃函数t可以用w.r.t. 符号γ、νN和β（来自Def. 3.1）这样，t≤f且0 ≤I（f）−t dµ≤ 2 −n。设F ~+是F ~+中所有函数列的f：R →R的集合。DefinneI：F+→R，I（f）：=supI（ui）ifuif .我189.第189章我是个好人supiI（ui）=supiI（vi）如果ui3f和vi3f）和tth a tI i在F上扩张si+suchth a tI i i（af）=aI i i（f）（a≥0），I ii i（f+g）=I i i i（f） +I i i i（g）（f，g，∈F+f）和t h a t I i i i（s u pifi）=supiI i i i i（fi）ifi3f在F+f中.对于每个A∈ R，在D+中存在序列（hi）i，使得hi3×A，因此Y. Wu，K.Weihrauch/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120（2005）217231∫（|f − f i|）≤ 2 −i。根据Prop4.16，对于每个i，有理阶跃函数si可以是对于每个非负有理阶跃函数t，（十七）新定义的mbeddinggm：F/m→I（M）/m。第一，我们定义e（f）forrf∈F+通过一个（δS，δM）-实现在名称上如下。设δS（p）=f。则p对元素f i∈ D+进行编码，使得计算使得0≤si≤fi+2且0≤I（fi+2）−因此0≤I（|fi+2−si|）=I（fi+2）−I（si）≤2 −i−2。对于任何k > i，∫|s i− s k|01 - 02 - 03-02 |s i− s k|（17）01- 02 - 2013张国荣（|si−fi+2|） +I（|fi+2−f|）+ I（|f−fk+2|） +I（|fk+2−sk|）≤2−i−2 + 2−i−2 + 2−k−2 + 2−k−2≤2 −i。si dµ≤2−i−2，以及在[1]的Thm15.5中，有理阶跃函数序列（si）收敛于某个h∈I（M），使得dS（si，h）≤2−i.定义n（f）：=h。我们证明了在F+上，f是有好的定义的。 设f = g，δS（q）= g. 上面指定的计算给出了D+中的函数序列（gi）i和有理阶跃函数序列（ti）i，（|g−g i|）≤ 2 −i，0≤ti≤gi+2和0≤I（gi+2）−t i dµ≤ 2 −i−2和dS（ti，hJ）≤ 2 −i，其中hJ∈I（M）。因此，对于所有我，dS（h，hJ）≤dS（h，si）+dS（si，ti）+dS（ti，hJ）≤2 −i+|s i− t i|dµ +2 −i01- 02 |s i− t i|）01- 02 |s i− f i+2|+的|f i+2− f|+ |f−g|+的|g−g i+2|+的|g i+2− t i|）≤2−i+1 + 2−i−2 + 2−i−2 + 0 + 2−i−2 + 2−i−2≤2−i+2，232Y. Wu，K.Weihrauch/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120（2005）217我我因此，h=hJ。我们把f从F+/f推广到F/f。对于f = f + − f −，（f+，f − ∈ F+），定义（f）：=这个定义是合理的，因为f+和f−是唯一定义的。我们证明了该模型是保范的。 设f = f+− f−∈ F。 设f+，s+，h+和fi−，s−i，h−b是计算f∈（f+）和d∈（f−）所用的函数，分别然后||为||（f +）−||为||h + − h − ||2016- 05 - 22 00：00：00（||h+ − h −|）和所有我，|) and for all i,h+−h−=（h+−s+）+（s+−f+ ）+（f+-f+）我我+（f+−f−）i+2i+2+（f−−fi−+2） +（fi−+2−s−i） +（s−i −h−）=：（f+−f−）+v i.则I<$（vi）≤2−i+2。 因为通常|我是（|G|）−I（|G + u|）|01- 02 - 2013张国荣（|u|）我们可以缔结因此，我是（|h+−h−|）−I（|f+−f−|）|≤2−i+2||2016- 05 - 22 00：00：00（||h+ − h−|）= I（|f+ − f−|）= I（|F|）=的|F||为||F||.||.类似的考虑表明，I（f）是线性映射，并且I（f）=gdµ，对于所有f∈ F和g∈（f）。这就结束了可计算的丹尼尔-斯通定理的证明。这篇文章完整的6页长的版本可以从作者那里得到作者要感谢不知名的裁判仔细校对和宝贵的意见。引用[1] 你好啊。 WahrscheinlichkeitstheorrieundGrundzuégederMaßtheorie. deGruyter，Berlin，1974.[2] 雷沙德·恩格尔金第19卷，北荷兰数学图书馆。北荷兰阿姆斯特丹1978年[3] MattthiasSchréoder.一个Dmissiblepreresentatint a t intinuuuscomptatins。InforormatikBerichte299，FernUniversita？tHage n，Hage n，Apri l 2003. 我知道了。[4] 克劳斯·威劳奇可计算分析。施普林格，柏林，2000年。∫