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176理论计算机科学电子笔记65第1期(2002)网址:http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume65.html21页走向共代数行为主义Dragan Ma sulovi c1诺维萨德大学数学研究所。Obradovi ca 4,21000 Novi Sad,Yugoslavia电子邮件:masul@im.ns.ac.yuInstitutfurAlgebra,FachrichtungMathematik,TU-DresdenD-01062 Dresden,Germany电子邮件地址:guest12@math.tu-dresden.de摘要在本文中,我们表明,它是可能的可观察的行为的余代数独立于其内部动力学建模,但在一般框架内表示的行为映射到一个\ nal”余代数。本文的第一部分利用F-余代数的元素的双相似性与具有相同的可观察性相一致的性质,证明了集闭函子F我们表明,这样的函子有一个相当简单的性质的nal余代数,并保持一些弱拉回。我们还表明,这是当且仅当F-双相似对应于逻辑等价的情况下,共代数逻辑的基本片断。在论文的第二部分,我们给出了一个\ nal\“余代数的构造,它捕捉了F-余代数的可观察行为。我们保持单词“nal”的引用,因为我们要构造的对象不需要属于原始的category。构造是对任意的Set-endofunctorF进行的,在整个构造过程中我们保持在Set中,但代价是引入新的态射。本文的结论与暗示可能的应用建模弱双相似的余代数。关键词和短语:余代数,可观察行为,nal余代数AMS Subj.分类(2000):68Q051由德国研究共同体(Deutsche Forschungsgemeinschaft)研究生课程“用操作模型和逻辑规范离散过程和过程系统c2002年由Elsevier Science B出版。V.CC BY-NC-ND许可下的开放访问。Masulovic1771介绍nal F -余代数的不存在表明语言无法捕捉系统的内部动力学,即使对于具有非常简单的可观察行为的系统在本文中,我们想表明,它是可能的模型可观察的行为余代数独立于他们的内部动力学,但在一般的框架内表示的行为映射到一个\ nal”余代数。在本文中,通过余代数A= hA; i 的 元 素 的 可 观 察 行 为 ,我们指的是映射Obs A:A!1 F(1)F2(1)F3(1)::观察结果A= h!A.0;F(!A)1;F2(!A)2;F3(!A)第3条;:i:在这里,!A表示唯一映射A! 1(其中,像往常一样,1 = f g),而是以自然的方式定义的:0:= id,1:= 、2:= F(),3:= F2()<$F()<$,依此类推。状态的可观察行为只是从该状态开始的计算的展开树。我们称之为可观察的,因为它描述了用户(或观察者)在有限但任意大的离散时间部分。 显然,如果一个2A和b 2 B是双相似的,则ObsA(a)= ObsB(b)。如果逆蕴涵为真,即如果ObsA(a)=ObsB(b)对所有F-余代数A和B以及所有a2 A和b2B蕴涵a和b的双相似性,我们就说F -双相似性是可观察的。本文的第一部分证明了函子F具有F -双相似可观测的性质。毫不奇怪,这样的函子有一个相当简单的nal余代数,并保持一些弱拉回(但不一定是所有)。这也可以理解为朝着回答[6]中提出的以下问题迈出的一步:\[. 我们不知道一个先验的理由,为什么有人会不考虑保持弱回调的性质,除了说它应用广泛,有很多后果。“看来,要求型函子保持弱拉回连同nal余代数的存在源于一个未拼写但强烈的直觉,即两个状态的双相似性应该对应于具有相同的可观察行为。本文第一部分的结论是:双相似性是可观察的当且仅当它对应于由nite合取的nite公式组成的余代数逻辑[6]的一个片段中的逻辑等价。在本文的第二部分中,我们试图从余代数的结构性质中抽象出来,只考虑行为方面。其主要目标是用某个范畴中的一个最终对象来表示余代数的可观察行为。很明显,最终对象的载体应该由我们已经掌握的可观察行为的代表组成,棘手的部分是如何将其转化为余代数。Masulovic178互模拟和同态与F -余代数的结构性质密切相关,并传递结构信息而不是纯粹的概念信息。因此,我们将考虑映射的更广泛的概念,逐点同态,它们强大到足以表示一步转移的行为。通过“展开”函子,我们得到了一个范畴,原范畴忠实地嵌入到这个范畴中,并且具有这样的性质:环境范畴的余代数的一步转移对应于原范畴中的计算。有了这些工具,我们就能够用一个nal余代数来表示任意函子的余代数的可观察行为,这与构造有界函子的通常nal余代数非常相似。我们把“nal”这个词引起来,因为我们要构造的对象不需要属于原始的范畴。在这一点上,我们要强调以下几点:(1) 对任意函子F进行构造。(2) 在整个建设过程中,我们都在坚持。(3) 到\nal\”余代数的唯一逐点同态精确地标识了具有相同可观察行为的元素。(4) 然而,付出的代价是引入新的态射。2在本文的第三部分,我们讨论了一种可能性,应用信息的本地行为编码的nal余代数关于逐点同态模型弱互模拟一个简单的函子。我们所使用的泛余代数的基本概念(余代数、同态、同构、子余代数、nal余代数、互模拟等)与[11]中的概念相同。在大多数情况下,余代数将被表示为A,B,. . . A、B、. . .,和过渡结构,,。. .,分别。如果不是这种情况,将明确提到载体和过渡结构。到nal对象的唯一同态将被称为nal同态。2可观测双相似性在这一节中,我们考虑具有F -双相似性可观察性质的集-闭函子F.我们首先提出了函子的一个特征,其性质是到步骤的双相似性(稍后定义)意味着双相似性。2 让我们也注意到,与提出绕过不存在的nal余代数问题的方法相反,其中包括切换到类的范畴和它们之间基于集合的映射,反基础公理的引入,重新定义基本的集合论概念,如有序对和函数[12,1,8]或假设存在不可访问的基数,沿着相同的指导方针(即,使用到适当范畴的nal对象的唯一映射),可以在Set内执行,以引入新的态射为代价。Masulovic179存在互模拟A和B之间的ab,使得ha; bi2ab。然后ilarity,其中是任意极限序数。 我们对这个案子很感兴趣=!,但决定考虑一般情况,因为它是在没有额外费用的情况下获得的。让我们从一个引理开始,它的各种形式似乎都存在于民间传说中。[6],命题3.10]),并追溯到[1]。引理2.1设F是一个集-闭函子,S是一个集,对每个F -余代数A,我们有一个可区别映射fA:A!S在Set中。则以下是等价的:(1) 族ff A g在同态下是稳定的(即,如果h是A和B之间的同态,则fA=fB <$h),并且对每对F -余代数A和B,a2 A与b2B双相似当且仅当fA(a)=fB(b)。(2) 存在集合F中的nal余代数Z,使得对每个F-余代数A,映射fA是A到Z的唯一同态,且F保持nal同态的非空弱拉回.证 据 (草 图)(2 ))(1 )是 显而易见的,所以 让我们证明(1))(2)。 由于我们有双相似类型的代表,nal余代数的构造是简单的。 设Z:=ffA(a):A是F -余代数,a2Ag.显然,Z是一个集合,因为它包含在S中。定义过渡结构:Z!F(Z)如下。对于z2Z,存在余代数A及其元素a2A使得fA(a)= z.现在设(z):= F(fA)<$(a)。从映射fA在同态下的稳定性可以立即得出一个定义良好的结论。的构造意味着映射f A:A! Z(即其余域约束,我们用同一符号表示)是同态,由此得出F-余代数Z:= hZ; i在集合F中是弱nal的. 要知道Z是集合F中的最终余代数,必须注意fZ = idZ,这又是从同态下的稳定性得出的。这证明了(2)中列出的前两项。现在让我们证明F保持nal同态的非空弱拉回根据[5,引理5.2],它表明任何一对nal同态的拉回是它们的域之间的互模拟。让f A:A!Z和F B:B!Z是两个同态使得它们的拉回P = fha; bi 2AB:fA(a)=fB(b)g在Set中是非空的。每个人都有:=Sha;bi2Pab是A和B之间的互模拟,而P. 看到P =,取任意hu; vi 2。 存在ha; bi 2 P使得hu; vi 2ab.现在,1和2是同态,所以fA(u)=fab(hu; vi)= fB(v),因此hu;vi 2 P。2在我们继续讨论主要语句之前,让我们简要回顾一下函子的nal序列的概念[4]。集合闭函子F的nal序列是集合和箭头fW的有序索引族; w g2Ord; 6使得Masulovic180!hW!;w!+1i. 特别是,如果W!+1是内射的,函子是半连续的引理2.1的推论提供了s A:A!Z(Codomain Restrictions)B以下是满意的:W= F(W) ),w+1 = F(w),w = id,w= ww+1个+1个如果是极限序数,则W是fW的极限; w g 6<,而连接态射w是极限的投影我们说序列稳定在如果w+1是双射的如果存在正则基数使得w+1是单射的,则nal序列在某点稳定,函子存在nal余代数[3,14].因此,如果nal序列稳定在!把代数中的箭头倒过来!;w!+ 1给出了nal余代数,函子称为连续的. 我们将说函子是半连续的,如果存在 一个nal余代数hZ;i,其\inverse algebra”hZ; 1 i是!!(see[14])。显然,每个连续函子也是半连续的。的nite幂集函子是不连续的半连续函子的示例(参见例如,[3])。在[4]中,证明了对于每个余代数A:= hA;i,存在唯一的视锥fA; s g2Ord超过fW ; w g2Ord; 6使得w+1 F(s)= s,2,它的结构如下。对于后继序数+1集s+1 = F(s),对于极限序数德内斯关于W= s,<.如果我们想强调锥是为余代数A构造的我们将把它作为一个上索引,就像在sA中一样。 我们称s为A的 - 行为A的元素。对于=!,这就是我们所说的A的元素的可观察行为。上面构造的锥在同态下是稳定的,因此在互模拟下是稳定的。 更确切地说,如果存在一个同态,A到B发送a 2 A到b 2 B,则对于每个序数,sA(a)= sB.因此,如果a2A和b2B是双相似的,那么sA(a)=sB(b)对于每一个序数如果后一种含义的反面成立,那就是如果sA(a)= sB(b)意味着a和b的双相似性,我们将说F -双相似性是可观察的。定理2.2设F是集闭函子,是一个极限序数,令fW; w g是 最终序列为F . F -双相似性- 可观察,如果和仅当存在F的nal余代数hZ; i,代数hZ;1 i同构于hW; w+1 i的子代数,且F保持nal同态的非空弱拉回。是的。设Z=hZ,i是F的nal余代数.的pr o是asA的)是同态。为了证明这一点,设i是代数hZ的包含;1i进入hW; w+1i(see图1(a))。 余代数Z在nal序列上生成锥,在W处截断。 由于W是一个极限,i是由Z生成的圆锥和极限圆锥之间的唯一中介映射,W位于极限圆锥的顶端。设A是Masulovic1811,,,、、W,。,,。zz(......,,AF(A)F()ZF(Z)F()f!F(f)JF(!)!JJF(!)JZF(Z)F()!我,F(1)F(!)s A!F(!)、、、F(i)JRJzz,,i1,,!F(1)F(!)W,,F(W):. . . . ¸ 、、......+1个. . . .,,,,,,,W,,(一)(b)第(1)款Fig. 1. 定理2.2证明中的图表a余代数和f:A!Z是唯一同态。通过f在上面迭代,我们得到一个在nal序列的同一部分上的圆锥,A作为其尖端。 因此,if是从A到W的唯一映射,使得图通勤。但是,s A:A!W是另一个地图,图交换,由此得到sA = i<$f。因此,f= sA,且sA本身就是一同态B b第一项和第三项的前序是从引理2.1开始的。 证明了在引理2.1中构造的hZ; 1 i是hW; w +1 i的子代数。余代数Z在nal序列上形成一个锥,我们在W处截断它。包含i:Z! W是唯一的映射,使图可交换。通过W的极限性质,可以得到w +1<$F(i)<$= i从何而来w+1<$F(i)= i<$1(见图1)1(b))。2定理2.2可以理解为[13]中关于有界双相似性结果的推广.在文献[13,Satz 5.59]中,作者证明了在F是有界的假设下,可通过互模拟来推导同一余代数的两个态的互相似性。 当取非空子集的函子P+满足定理2.2的条件时,我们看到结论不需要有界性很自然地会问满足Theo- rem 2.2要求的函子是否必须保持弱回调。如下面的例子所示,情况并非如此。例2.3设F是由F(X)=f给出的集闭函子?g [fSX:jSj =2g on objects and byF(f)(Y)=f(Y);fjY是单射的?;否则在地图上。首先指出F有nal余代数,并且它是平凡的一元余代数,具有明显的转移结构。现在让我们证明任何两个nal同态的拉回Masulovic182是互模拟。设hA; iMasulovic183=a1a2a3 ,=b1b2和=(c).f a 2;a 3g?什么????和hB;i是两个非空F -余代数。最终同态fA和fB是常数映射,所以P = AB是它们在Set中的拉回。拿任何一个哈哈;比2 P和德内普:P!F(P)如下:如果(a)=(b)=?,设n(ha;bi)=?;如果(a)=?且(b)=fs;tg,设n(ha;bi)=fha;si;ha;tig;如果(a)=fu; vg且(b)=?,设n(ha;bi)=fhu;bi;hv;big;设(a)=fu; vg且(b)=fs; tg,则设(ha;bi)=fhu;si;hv;tig.一个简单的计算表明,1:P!A和2:P!B是同态,因此hP;i是hA;i和hB;i之间的二进制化。为了证明F不保持弱回调,我们使用[5,例5.9]的思想。 考虑余代数A= hA; i,B = hB; i和C = hC; i其中地图':A!B:17号!B1,A27!B2,A37!b2和C!B:c 7!B1是同态。然而,'和的拉回不是互模拟:由于两个映射的拉回是单元素集合P = fha 1; cig,我们有一个Ve,F(P)=f?g上唯一可能的跃迁结构是y_(?):ha1;ci7!什么?. 另一个简单的计算表明,1:P! A不是同态。虽然下面的一些结果仍然有效的任意极限序数,在其余的文件中,我们只考虑可观察到的行为。通过将定理2.2实例化为:=! 回顾几个定义,我们得出以下推论。推论2.4设F是集闭函子.F-互模拟是可观测的当且仅当F是半连续的,并且保持态射到由F的半连续性而存在的nal余代数中的非空弱拉回。那么,nal语义在我们的意义上对于一个相当有限的类是可观察的类型函子这与普遍认为nal语义应该始终被理解为系统的可观察行为[11]。我们现在将指出一种可能性,即通过逻辑手段来描述可观察到双相似性的情况。特别是,我们将看到,这恰好发生在双相似性可以由一个由nite合取nitary公式组成的余代数逻辑片段[6]表示的情况下设Ln是1 + F(1)+F2(1)+:的所有非空nite子集的集合. 一个单例f'g与对应于mula的集合f'1; :;'n g对应于单例合取'1^:^'n。 1 = f g的唯一元素被理解为真。 注意,所有这些公式都出现在[6]中提出的余代数逻辑语言中;特别地,对于F-余代数A的某个元素a,Fn(1)的元素对应于jn(a)。(To精确地说,j n(a)= inr <$F( inr)<$ :: <$F n 1(inr)<$F n(!A)n(a),其中,inr:Masulovic184B不并且忠实地进入集合T,对于T = IDFF2F3* 显而易见F(LF),! LF=P(LF)+F(LF)是伴随着余代数逻辑语言的定义而来的规范包含[6]。 我们称L n元公式中的元素。我们以[13]的方式引入了满意度关系。设2Ln是一个三元公式,A = hA ,i 是 F - 余 代数 , a2 A. 若“=1^ :^n , 则 A; aj=n” 表 示A; aj=nk,对于所有k2f1; :;ng. 若'不是合取,则' 2 Fn(1)对于某个n,我们说A; aj = n'给出Fn(!A)n(a)='。 注意,j=n是[6]中提出的满意度关系的一个严重限制。 这样的限制是必要的,因为根据推论2.4,我们不能期望函子具有[6]中假设的所有性质。然而,人们可以很容易地证明,如果类型函子足够好,j= n包含在[6]的满足关系中。 我们将说hL n; j= ni是余代数逻辑的nitary片断。状态a2 A和b2B在hLn; j=ni中逻辑等价,如果它们满足同一组Ln-公式.我们应该说,F -双相似对应于逻辑等价在hLn; j=ni,如果F-双相似的两个国家意味着他们的逻辑等价,反之亦然。有了这一切,现在可以很容易地表明以下几点。命题2.5设F是集合闭函子. F -双相似性是可观察的当且仅当它对应于hLn中的逻辑等价; j=n i。是的。 F或余代数A和a2A,设ThA(a)=f'2Ln:A; aj=n'g. 显然,a2A和b 2B在逻辑上是等价的,当且仅当Th A(a)= Th B(b)。现在的证明是从ThA(a)和ObsA(a)唯一地相互确定这一事实得出的。若ObsA(a)= h 0; 1;2;::i,则ThA(a)包含公式n,n>0,它们的nite合取,除此之外没有别的. 另一方面,给定Th A(a),根据满足能力的定义,对于所有n>0,wehavej T hA(a)\Fn(1)j =1. 若we表示ThA(a)\Fn(1)中的唯一的正解通过n,则ObsA(a)= h0的整数;1;2;:i.23模拟可观察的行为我们现在想把定理2.2的证明提升到纯粹的行为水平。我们将收集所有可能的行为,并在此集合上强加该结构有三个基本组成部分。显然,集合fObsA(a):A是一个F -余代数,并且a2 Ag将是nal对象的载体。我们将通过完全嵌入集合F来展开F -余代数的计算way:a余代数A:=hA;i是p∈n到Ab:=hA;i的映射,其中bH0的整数;1个;2;:i,而态射保持不变。我们将向范畴SetT添加新的态射,并证明在新的范畴Set中,存在SetF的nal对象(或,=Masulovic185B不不不更确切地说,它在忠实嵌入下的图像)在定义3.17的意义上。同态保持可观察的行为,但是存在保持可观察的行为的映射,考虑函子F(X)= fa; bg + X的两个余代数和下面描述的映射。映射显然不是同态,但它保留了余代数元素的可观察行为,,z,,,,,,,,,,,z,,⁄,J,,,,,,,,,,,z,,⁄,J,,,,J,,⁄a(Jc,zt,/J,,, 、、、,, 、、、,, 、、、还要注意,在每一点上,人们可以用同态来近似映射,尽管映射本身不是同态。这就是为什么我们对逐点同态感兴趣。定义3.1设T是一个任意的集-闭函子,A:= hA;i,B:=hB;i是T-余代数.我们说,有f;i是一个点态同态--F物理是A和B之间的关系,用hf表示:A! B或A!B、如果'(1) f:A! B是一张地图,':T(A)(! T(B)为部分映射,dom(“)=(A),并且FA BJJT(A),,,T(B)(2) (近似性质)对于每一个a 2 A,存在一个映射g a:A!B证明了f(a)=ga(a)和T(ga)((a)).a、a、f、f(a))gaf(a)--J J--J J(一) '(f(a))(一). T(ga)(f(a)):给定一个地图f:A!B最多存在一个':T(A)(!T(B)证明了hf,i是点同态。点态 同态 的合成是点态同态,其中HidA; idT(A)j(A)i充当单位元. 因此,T-余代数和点态同态构成一个范畴,我们用Set表示.对于每个T-同态h:A!B,hh; T(h)j(A)i是一个点态同调,态射 函子G:Set T! 设置由G(A)= A在物体上给出,G(h)= hh; T(h)j(A) i是态射上的忠实嵌入.特别地,Set T中的互模拟保持Set中的互模拟,而Masulovic186不和 为2并考虑由下式=1 2 3f3;4g f4g?什么?什么?f3;4g f5g?什么?什么?h1;3i.h1;2ih1;2i例3.2设P表示协方差p的集函子,设X=f1;2;3gf2; 3g f1; 3g f1;2gX=f1;2;3;4;5 g:=12345和=12345。B由下式给出= 13,=123 .第三章。 “我说:“是集合T(如果存在)在集合中成为弱nal。点态同态缺少同态的许多性质。作为一个例子,我们提出了一个双射逐点同态,它不是同构(即,是不可逆的),不是同构的逐点同构和不是满射的逐1 2 3f1g f2g f3g设P(X)(! P(X)是满足“(f2; 3g)=f1 g,”(f1;3g)=f2 g,“(f1; 2g)=f3 g且”(Y)对X的其它子集Y成立的部分映射。 则hidXi 'i是从hXi'i到hXi 'i的双射点同态.要看到这一点,我们只需要证明'具有近似性质。对于t2 X,设ctX!X:X7!t表示常数映射。很明显,cx近似于hfi在x,x2f1;2; 3g处。设点同态hidXii是可逆的,且设hidXi i是逆同态.由于集合论的原因,必须将f1 g映射到f2; 3g。但是,这意味着它不是近似的:f的近似性将意味着映射h:X的存在!X使得(f1g)= P(h)(f1g)。然而,j(f1g)j = 2,而jP(h)(f1g)j = 1。例3.3考虑以下两个非同构的P-余代数与' :P (X )(! P (X ) 由y'( f3; 4g) =f3; 4g,'(f4g)=f5g,'( ?) =? 且对于X的所有其它子集 Y, 定 义 了“(Y)”,则本征映射idX是从hX; i到hX; i的双射逐点同态。它的逆hidX1i是从hX1i到hX1i的双射点态同态. 因此,hi dXi是两个余代数之间的点同构。例3.4考虑函子F(X)= 1 + X2和余代数A和A和B之间的点态同态:e:17!一,三十七!3和“:h1; 3i 7!h1; 2i,七! ,其中“在其他情况下被省略。 显然,e不是满射。为了证明He; i是epi,它表明对于每一个点,同态hf;i:B! B0时,f(2)的值由f(1)唯一确定.设f(1)= p,利用逼近性质,存在映射h:B! B0证明了f(1)=h(1)且'(h1;2i)=hh(1);h(2)i. 所以h(1)=f(1)=p,如果h(2)=q,则我们有'(h1;2i)=hp;qi. 现在考虑f(2)。 根据近似性质,存在一个映射k:B! b0的证明了f(2)=k(2)和(h1;2i)=hk(1);k(2)i. 由于'(h1;2i)=hp;qi,我们得到k(1)= p,k(2)= q,由此f(2)= q。因此,f(2)是由f(1)和(1)唯一确定的,由此得出he;“i是epi。这个例子还表明,在逐点同态下的余代数的像不一定是余代数。例3.5考虑函子F(X)=(X)3:= fhx; y; zi:jfx; y; zgj 6Masulovic187,,SP2g,其中F(f)(hx;y;zi)=hf(x); f(y); f(z)i,且设hA;i和hA;i为A = fx; yg上的下列F -余代数: 为xy和为hx;x;y i hx;x;yiX yhx;y;y i hx;y;yi. 不存在从hA; i到hA; i的逐点同态或者相反,尽管任何状态的可观察行为第一余代数与第二余代数的任何状态的可观察行为相同。定义3.6 T型是指任何映射:1!T(1)。 我们说一个T -余代数hA;i有一个类型:1!T(1)如果存在映射e:1!A使得= T(!A)。1eAJ JT(1)T(!A)T(A):设ty(A)=f:A有ty peg。 F或2A,设e:1! 答:七个! a. 那么a的类型是箭头ty A(a)= T(! A ) a. 显然,ty (A )= ftyA(a):a 2 Ag。例3.7设F(X)= P(LX),其中L=fa;bg。这个函子有四种类型:?七!什么?,a:7! fag,b:7!fbg和ab:七! fa; b g,其中a和b是Ha;i和Hb;i的缩写,分别对于余代数hfx1; x2; x3; x4 g; i,其中x1 x2 x3 x4为fha;x 1 i; ha; x 2 ig fhb; x 3 ig fha; x 1 i; hb; x 3 ig?其中ty(x1)=a,ty(x2)=b,ty(x3)=ab,ty(x4)=?.引理3.8设A,B,Bi,(i2I)是T -余代数,且a2A,b2B.(1) 令f:A!B是一个点态同态使得f(a)= b.则tyA(a)= tyB(b)。(2) 如果a和b是双相似的,那么tyA(a)= tyB(b)。(3) 若A是B的子余代数,则ty(A)ty(B).若A是B的同态像,则ty(A)= ty(B). 如果A =i2IB i,则ty(A)=i2Ity(Bi).(4) 假设B中没有两个元素具有相同的类型。则从A到B至多存在一个点态同态。证据(3)是(1)的直接结果,而(2)则由(1)和如下事实得出:如果A和B之间是互模拟,使得ha; bi 2,则1和2是同态,由此tyA(a)= ty(ha; bi)= tyB(b)。(1) 设hfi是A与B之间的一个点同态,f(a)= b.让e a:1!答:七!a和e b:1!乙:七!B.让a:= T(!A)设a是a和b的类型:= T(!B)表示B的类型。1AMasulovic188,,JT(hj)(dj))。因此,hj是从fdj g到A的(通常的)同态。然后b()= T(!B)b()= T(!B)fB)'e a()= T(!B)'((a))。根据近似近似原理eb1eaAf一个zlb存在一个映射h:A!B,则f(a)=JT(!A)、JJh(a)和'(a)=T(h)((a)),则T(!B)T(1)T(A),,,,,T(B):'((a))=T(!B)T(h)((a))=T(!Bh)(a)=T(!A)表示a()=a()。这证明了(1)。(4)设f; g:A!B是点态同态,a2A是任意的. 通过(1),我们有tyB(f(a))= tyA(a)= tyB(g(a))。因为B中没有两个元素具有相同的类型,所以我们得到f(a)= g(a)。2定义3.9我们说T -余代数D是离散的,如果每个单子fdg D是D的子余代数的一个载体,且tyD(d1)6= tyD(d2),只要d1;d2 2 D且d16=d2.显然,每个离散余代数都是两两不同类型的和离散余代数将是下面构造的主要工具引理3.10设Q是某些类型的和。那么对于每一个w2 Q,我们有tyQ(w)=w。证据余代数Q = hQ; i是余代数h1;ii, i2 I对某个指标集I的和. 类型h1;wi是一个被加数,因此有一个注入w:1!阿Q:七!W. 则tyQ(w)()= T(!Q)w()= T(!Q)T(w)w()=T(!Q_w)_w()=T(i d1)_w()=w()。因此,yQ(w)=w。2引理3.11如果D是圆盘代数a且hf;i:D! A是满的逐点同态,则f是同构(在通常意义下)。证据证明f是单射的。设f(d1)=f(d2).于外稃3.8我们有tyD(d1)= tyD(d2),因此d1 = d2,因为D是离散的。假设对于某个索引集J,D =fdj:j2 Jg,且对于i 6 = j,di 6=dj余代数D是离散的,所以对于每个j2J,存在过渡结构fj:fdjg! T(fdj g)转动夹杂物j:fdj g!D为同态。让H德国国防部拉吉J一Jf j:= fj和'j:='jT(j),j 2 J.作为一个两个正交同态的合成,hfj;'jiT(fd g)T(hj)T(A);是对所有j的逐点同态 根据逼近性质,存在映射hj:fdj g!证明了fj(dj)=hj(dj)和'j(dj))=由于D=Pj2Jhfdjg;ji,存在唯一的同态-德国国防部、、、JMasulovic189BF、phismfb :D!证明了邻接图的一致性,,hjj,对于所有的j 2 j.族hj的构造现在表明f=f,即hf;'i=hf;T(f)j <$(D)i。因此,f是a双射同态和同构。JBD,,z一2Masulovic190P、P引理3.12设A和D是T-余代数,且D是离散的.(1) 存在一个点态同态f:A! D当且仅当ty(A)ty(D)。(2) 存在一个满射逐点同态f:A! D当且仅当ty(A)= ty(D)。是的。(1)方向)由引理3.8引出,所以我们来说明(.对 于 某 个 指 标 集 I , 设 ty ( A ) =fhfig;ii : i2Ig , 其 中 我 们 假 设i6=j=)i 6=j,并且设Q:=hQ;i:=i2Ihf i g;ii. 显然Qemed到D中,因此它可以证明存在一个逐点同态,A变成Q。F或a2A令tyA(a)=hfk g;ki.设f(a):=k和(a):=T(k)=k(k)其中k:fkg!Q是fkg包含在和中。映射f是良定的,因为余代数的一个元素的类型是唯一定义的。奈德. 为了证明'在它的定义域上定义良好,请注意,从(a)=(b)可以得出tyA(a)=tyA(b)。 通过构造,我们得到m(')=(A)。下图显示,f=' .最后,让我们展示hf;i具有近似性质,K_s在a处,它可以近似为yk!A:'((a))=T(k)k(k)= T(k)<$T(!A)((a))=T(k!A)((a)),而f(a)=k=k!A.J(一)CKJk(k)c,T(k)、、 兹河(k)= T(k)k(k)。(2)与(1)相同的论点2现在我们将证明每个T-余代数A都有我们称之为最小商的东西,它对应于\factoring”the coalgebra by\the greatest observable equivalencerelationship”fha; bi 2A2:tyA(a)= tyA(b)g.对于T-余代数A和B,我们用B4A表示存在一个满射点态同态h:A!B.设Hw(A)表示所有T -余代数B使得B4 A的类.由于\4“是一个前序,所以Hw(A)中的最小元素(如果它们存在)不一定是唯一的。我们将证明Hw(A)有最少的元素,并且它们在通常意义上都是同构的命题3.13设A是T -余代数.(1)Hw(A)有一个最小元是离散余代数.(2) Hw(A)的所有最小元同构.证据(1)如引理3.12的证明,我们构造了A所有类型的和。对于某个指标集I,设ty(A)=fhfig;ii:i2Ig,其中我们假设i6 =j=)i6 =j,并且设Q:=hQ;i:=i2Ihf i g;ii. 明确Q是一个离散余代数,ty(A)= ty(Q).利用引理3.12,证明了Q2Hw(A).为了证明Q是Hw(A)的最小元素,取任意B2Hw(A). 存在满射逐FMasulovic191点同态A! 所以ty(A)= ty(B)。于外稃Masulovic192P不不不不DD3.12我们得到存在满射点态同态B!Q.因此,Q4B。因此,Q是Hw(A)的最小元素。(2)设B是Hw(A)的最小元.由于在(1)中构造的Q属于Hw(A),存在满射点态同态f:Q!B.但是Q是离散的,所以根据引理3.11,f是同构。因此,Hw(A)的所有最小元同构于Q.2定义3.14因此,我们可以讨论Hw(A)的最小元素,我们称之为A的最小商。对于z2T(1),令z:1!T(1):7! z是相应的类型。现在形成余代数Z:= hZ;i:=z2T(1)h1;zi. 显然,:T(1)!T(T(1))。我们将证明Z是Set中的nal对象。定理3.15对每个T -余代数A,存在唯一的从A到Z的点态同态.证据A的最小商Q显然嵌入Z。根据引理3.12,存在一个满射点态同态h:A!Q和两者的合成给出一个逐点同态A!Z. Z中没有两个元素具有相同的类型,所以从A到Z至多存在一个点态同态(引理3.8)。因此,从A到Z只存在2推论3.16设A和B是T -余代数,Z是nal余代数理工和技术如上面所建。 让f A:A!Z和F B:B!Z是唯一的点态同态,设a2A和b2B是任意的。 则fA(a)=fB(b)当且仅当tyA(a)=tyB(b)。 特别地,如果a和b是双相似的,则fA(a)=fB(b)。在Set在定义3.17的意义上 让我们 首次召回a一些概念。设C是一个范畴,D是C的一个子范畴,a是C的一个对象.假设对于每个对象d2 ob(D),fdfd你好! a. 那么集合S=fd!agd2ob(D)称为汇,表示为S:DF)a. 如果S=fd!agd2ob(D)是一个水槽和h:a! B aC-箭头,然后S0赫夫=fd! b g d2o b(D)是一个汇点,用yhS表示。水槽S,epi如果g <$S = h <$S蕴涵g = h,对于所有的C-箭头g; h:a!B.定义3.17设D是某个范畴C的一个子范畴,u是C的一个对象。我们说u是D在C中的最终对象,如果满足以下条件:存在唯一的汇S:D) u;汇S是epi;并且若 S0 : D ) u0 是 epi-sink , 则 存 在 C-sinkwh : u0 !usuchchthatS=h<$S0(由于S 0的epiness,所以h的取值是唯一的)。我们通过证明Set的每个子范畴Masulovic193不不不(不S不PCS0u˛你好,¸0DD1HD2SJD3zu设C是Set的子范畴 设S =fXfX!Ag X2ob(C)'X:C)A成为一个水槽。 我们说汇S是满射的,如果对于每个a2 A,anX = hX; i 2 ob(C)使得f X(X)3 a. 类似地,我们说汇S是次满射的,如果对于每个t2(A)存在X = hX;i2ob(C)such使得'X((X))3t。从实施例3.4可以看出,不必是满射的。然而,在这方面,引理3.18集合中的每个epi-sink是次满射证据 设S = fXfX!AgX 2ob(C):C)Abeasinkthatisnotsub-'X曲面则存在一个t2(A)满足t2='X((X)),X 2 ob(C)。我们将通过构造点态同态q 0和q 00证明S不是epi,使得q 0<$S = q 00 <$S和q 06= q 00。设U =1(t)A. 由t的选择,U 6=?且f X(X)\U =?对于所有的X2ob(C). 取任意u2 U,设tyA(u)=hfu g;u i. 设Q是A的最小商,hq; i:A! Q是点态同态。进一步,设Q0:=Q+hfu g;ui,设hq0;0i:A! Q0是q与左包含合成得到的点态同态.现在,你可以说:q00(a)为q0(a);a2=Uu; a 2 U和0(s); s6=t00(s)=intn = t;其中a的范围超过A,s的范围超过(A)。利用U的所有元素具有相同类型的事实,如在引理3.12的证明中,可以证明hq0 0;0 0i是从A到Q0的逐 点同态。显然,q06 =q0 0,而q 0 <$S = q 00 <$S是由t的选择得出的。2我们现在可以证明,对于集合的每个子范畴C,存在集合中的最终余代数。设ty(C)表示C中余代数的所有类型元素的集合。稍微滥用一下符号,我们也可以说ty(C)=fty(A):A是C g中的余代数。我们强调ty(C)是T(1)的一个集合,而且是T(1)的一个子集。对于t 2ty(C),设hftg;ti是对应的余代数,其形式为1!T(1),令ZC:=t2ty(C)hft g;ti.(Masulovic194不B不不一 a0级12P? fg2不不函子 P-余代数只存在两种类型:1:7!什么?2:7! f g。定理3.19Z-C是C在集合中的最终目标.证据 通过引理3.12和3.8,对每个A2 ob(C),存在唯一的点态同态gA:A! ZC. 这些逐点同态形成唯一汇S:C)ZC. 水槽S
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