初始弯曲悬臂梁挠度研究

工程科学与技术，国际期刊19（2016）135全长文章初始弯曲悬臂梁Sushanta Ghuku，Kashi Nath Saha*Jadavpur University，Kolkata 700032，IndiaA R T I C L E I N F OA B S不 R 一C T文章历史记录：收到日期：2015年6月5日收到日期：2015年7月9日2015年7月10日接受2015年8月14日在线发布关键词：悬臂梁钢板弹簧大挠度几何非线性数值解本文对初始弯曲悬臂梁在各种载荷作用下的大挠度性能进行了理论和试验研究本研究考虑的物理系统为受尖端集中载荷作用的直悬臂得到了这种直悬臂梁的大挠度分析的非线性微分方程组，已知该问题涉及几何非线性。借助MATLAB ®计算平台对方程组进行数值求解，以获得相关问题的解析解。然后将这些结果为了验证理论模型，进行了实验与主叶片的钢板弹簧束建模为初始弯曲的悬臂梁。从实验研究中观察到眼区的初始夹持和几何变化的影响，这在数学公式中通常被理论结果与实验结果的比较是相当不错的，但进一步改进的途径也报告。将所提出的方法进一步推广到研究初始弯曲悬臂梁在分布载荷和组合载荷作用下的大挠度行为。这些结果成功地验证了现有的结果为直梁和一些新的结果提供了初步弯曲悬臂梁。© 2015，Karabuk University.制作和主办：Elsevier B.V.这是一篇开放获取的文章，CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍在结构分析中，两种类型的非线性是最常见的：几何和材料。材料非线性与非线性应力-应变关系有关，而曲率-斜率和应变-位移关系的非线性引起几何非线性。根据问题的性质，任何一个或两个非线性都包括在分析中。为了简化分析，早期研究悬臂梁在不同载荷作用下的变形行为时，都是基于线性模型一些研究人员[1-Bisshopp和Drucker[1]经典地解决了弹性悬臂梁在端部集中竖向荷载作用下的几何非线性大挠度问题，后来许多研究者对这一理论进行了推广。Wang[2，3]提出了一种简单的数值方法来分析梁的非线性弯曲，* 通讯作者。联系电话：+91 3324146908，传真：+91 3324146890。电子邮件地址：kashinathsaha@gmail.com（K. NathSaha）。由Karabuk大学负责进行同行审查。分别为端部集中载荷和均布载荷。Beléndez等人[4，5]也从理论和实验上研究了同样的问题。Kumar等人[6]提出了基于遗传算法的搜索策略，其背景是控制微分方程的直接数值解和平衡态能量泛函的平稳性原理。Dado和Al-sadder [7]开发了一种通过多项式函数近似旋转角的方法，并将该方法有效地应用于具有非常大截面的非棱柱形梁上的复杂载荷。Banerjee等人[8]提出了非线性打靶法和Adomian分解法来确定任意载荷条件下悬臂梁的大变形。陈[9] 提出了一种研究复杂载荷和变梁特性的悬臂梁大挠度问题的积分方法Roy和Saha[10]通过使用变分法应用几何更新技术来找出各种载荷条件下的非均匀梁的变形轮廓。Almeida等人研究了功能梯度材料梁的大挠度问题。[11]使用量身定制的拉格朗日公式，也由其他几位研究人员[12，13]。Xiao-Ting He等[14]提出了一种新的双参数摄动法，用于求解两种不同边界条件下初始曲梁的非线性大变形问题，该方法描述了载荷和几何形状的影响。初始直线的大挠度问题http://dx.doi.org/10.1016/j.jestch.2015.07.0062215-0986/© 2015，Karabuk University.由Elsevier B. V.制作和托管。这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http：creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。出版社：Karabuk University，PressUnit ISSN （印刷版）：1302-0056 ISSN（在线）：2215-0986 ISSN（电子邮件）：1308-2043主 办可 在 www.sciencedirect.com上 在 线ScienceDirect可在ScienceDirect上获得目录列表工程科学与技术国际期刊杂志主页：http://www.elsevier.com/locate/jestch136S. Ghuku，K.Nath Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 19（2016）135d2 ydx2尖J2，L(a)（b）第（1）款XL -xyA（x，y）FyNL尖端LL -xNLyA（x，y）yNL尖端Fs = L（x（y）LA处的小变形弯矩M（x）= F（L-x）A处的大变形弯矩M（s）= F（l-x）Fig. 1. 悬臂梁的（a）小变形和（b）大变形。一些研究人员已经用数值方法求解了悬臂梁在从动载荷作用下的问题[15，16]。Shvartsman[17]通过直接数值方法研究了随动力作用下弯曲悬臂梁的大变形，而Nallathambi等人[17]通过直接数值方法研究了随动力作用下弯曲悬臂梁的大变形。[18]用四阶R-K法研究了常曲率悬臂梁的同样问题几位研究人员已经解决了使用功能梯度和复合材料的汽车钢板弹簧的设计和制造[19申华等[24]对汽车用精密辊锻锥形钢板弹簧进行了试验研究，其结果已用于辊锻工艺设计，锥形板簧成型模具Osipenko等人[25]第二十五话在非线性问题中，曲率近似为1d2y， DX因此，x的域变为0 <$x<$L，即，如图所示，梁随载荷的增加而伸长。 1（a）. 另一方面，在悬臂梁的大挠度弯曲分析中，假定梁的长度不随载荷变化。因此， s保持不变，范围从0到L（0sL）。为了保持梁长恒定，x的范围随载荷变化，从0到投影长度l梁，如图所示。1（b）. 方程（1）关于s的一阶导数产生提出了板簧弯曲理论中的接触问题EId2dM（二）Sugiyama等人[26]报告了多体车辆系统非线性弹性板簧模型的开发。Rahman等人[27]对抛物线钢板弹簧进行了非线性几何分析。Charde等人[28]用应变片法计算了钢板弹簧主片的应力场，并与有限元法进行了比较。对初始直悬臂梁在不同载荷作用下的大挠度问题的研究一直是人们关注的问题，文献中已有大量的研究报道然而，对初始弯曲悬臂梁在不同加载条件下的几何非线性分析本文着重从理论和实验两方面研究了初始弯曲悬臂梁在不同载荷条件下的几何非线性行为。为了DS2DS弯矩 M在位置 s是，Mx。（三）对方程（3）关于s进行微分，并与方程（2）比较，得到以下非线性微分方程：考虑到几何关系cosωdx和DS我很高兴。DS在实验中，将板簧束的主片看作具有初始曲率的悬臂梁。EIdF0DS2（四）等式（4）乘以d，得到EIdd2Fcosd02. 数学公式悬臂梁的大挠度问题一般在曲线坐标系下分析。欧拉-伯努利梁理论DS DS2DS在进行了一些数学运算之后，它被表示为：在曲线坐标系（s，n）中，ε = 1，ε ∈M EI [1]，其中曲率1 ∈d∈ d。所以欧拉伯努利弯矩曲率关系如下给出，EI2 Fsin0（五）EIM ds（一）对方程（5）进行积分，并通过使用边界条件（i）计算积分常数，（ii）在 soul. 卢塞恩湖 表示斜率dy，对应于在等式（1）中，Δ x是位置s处的斜率dy dx，也是ds提示dx法线方向n的测度。 为了计算的目的，将N指定为Ni，其中iNi是在载荷步数N L下的载荷F。因此，等式（5）变为负载和j，，N gN f对应于位置，其中 埃里西斯2012年2月2日2FNL（六）在x s坐标系中测量。当大偏差分析时，sis在笛卡尔坐标系（x，y）中进行，曲率3 2dsEIsintipsinFL1周后，您将看到2周后，使用规范化的负载参数因此，上述等式-是由李明博给. 然而，在分析小2个EI解释表示为S. Ghuku，K.Nath Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 19（2016）1351372辛辛阿森松岛NL尖端辛辛NL尖辛辛阿森松岛NL尖辛辛阿森松岛NL尖端舌尖尖尖尖尖尖尖尖DX2梁自由端的坐标（xNL，yNL）提供了尖端尖端梁缩短（x0NL）或拉伸（xNLx0）对应-舌尖x线探头尖端响应于载荷F在载荷阶跃N L处。此外，尖端坐标还提供尖端偏转，其可以是垂直向上或向下的方向。2.1. 检测轮廓图二. L-vs.-L-vs.-L-vs.如前所述，钢板弹簧的主片被建模为遵循大挠度理论的悬臂梁。在前一节中，给出了长度为L的悬臂梁在自由端承受垂直集中荷载F时的挠度曲线方程。为了获得更高的收益， 根据对于不同的Δ N L值，方程（9）在0和ΔNLmax之间积分。 结果提供了L-N与L-N之间的关系。 如图所示，舌尖德萨奇ds（七）图二、现在从方程（10）和（11）中得到了微分轮廓，对于不同的载荷参数值，它们的曲线如图3所示。如本节所述在积分时，该方程通过以下关系式提供弧长s作为弧长的函数：属于初始直梁（即， 000）。据悉对于给定的λ x值，根据尖端坐标确定尖端的轴向伸展（或缩短）λx xNL，但对于其他s1dL0（八）坐标值x，轴向拉伸有其他值<$xs。类似地，Sy是在s L处的特定值，并且一般来说，它也是 S. 坐标xs容易从注意到在梁的自由端s L 1，方程（8）通过以下关系式的迭代解来求解对应于载荷参数ε的未知斜率εNL。方程（10），但是从方程（11）求出y的值需要求出另一个椭圆积分，称为第二类不完全积分。然而，板簧具有初始曲率，因此自由边界处的边界条件为卢塞恩湖提示d20（九）在这里无效。这样一个初始弯曲悬臂梁的偏转行为是由一个棘手的方法分析，如在下一节。通过使用关系式dcosd和dsind获得的方程（7）和（8）的适当变换，得到ds dx ds dy任何位置的（x，y）坐标 s，如下所示。2.2. 具有初曲率的曲梁的截面轮廓可表示为：x，y以及s，n坐标系中，如点的突出显示图1（b）中的x 1 A。这两个系统之间的相关性是建立的-中国 （10）S X年12月日我被关系所迷惑s1你好 笛卡尔0 0DX和2011年1月1日L20（十一）记录了所研究钢板弹簧在空载状态下的坐标，并建立了曲线轮廓yf x的最佳拟合多项式方程。该方程提供斜率dy，因此获得弧长s作为x的函数。通过使用反向图三. 不同载荷参数θ值的确定曲线。 阿森松岛阿森松岛NL尖端辛辛阿森松岛NL尖端138S. Ghuku，K.Nath Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 19（2016）135我见图4。具有初始曲率的悬臂梁在不同载荷参数φ值关系x，x坐标是由许多等距点确定的 N f 沿着弧长。显然对于这些观点，s iL N f，其中i1，，N f.如前一节所述，初始直梁的荷载偏转特性是现在，在具有初始直线轮廓的悬臂梁上取Nf个点有一个坐标为N ×NL，0 ，i1，n，N f。这些点之间的距离它们也是其弧长的量度。在这些点中的每一个点处，轴向缩短量ΔxΔsΔ和垂直方向变形量ΔyΔsΔ 均针对载荷阶跃NL进行计算。相同的Nf个点也位于初始弯曲的板簧上，并且x，y计算这些点的坐标。为了得到板簧在当前载荷阶跃NL下的弹性曲线，将X坐标加上X X，并从板簧的y坐标减去X。弹性曲线在其以前的配置。考虑具有已知初始曲率的悬臂梁，计算了不同曲率值下的偏转轮廓，结果如图所示。 四、3. 实验装置和观察试验是在一个由弹簧钢制成的汽车钢板弹簧主片上进行的，主片是一个具有初始曲率的悬臂梁。实验装置的照片如图5（a）所示，详细部件如图5（b）中的示意图所示。弹簧横截面的尺寸（mm）为宽度=38.5，厚度=6.25。钢板弹簧的跨度、拱度和沿周边的弧长为图五. （a）照片和（b）实验装置的示意图。S. Ghuku，K.Nath Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 19（2016）135139见图6。不同载荷下的测量剖面图。在其自由状态下测量，并且这些测量值（以mm计）分别为864、133和921.8弹簧在液压缸的帮助下以一吨的压力夹紧在中心据观察，夹紧产生弹簧的初始变形，并将弹簧分成两半。此后，通过在两端的配重盘上放置相等的配重来对称地加载弹簧。实验观察仅在弹簧的一半，这是作为一个初始弯曲的悬臂梁在理论分析建模。液压缸顶杆与钢板弹簧的啮合改变了液压缸的有效跨距，每个悬臂的有效跨距为433.3mm。加载逐渐增加，直到达到实验的极限载荷根据曲梁的弯曲应力理论方程，取弹簧钢材料屈服应力值的75%，在加载的每个步骤中，通过使用数码相机捕获并记录测量轮廓，并且观察到在最大载荷下梁几乎变成水平的。3.1. 实验检测曲线在不同载荷下的变形曲线的照片仅为弹簧左侧拍摄，如图6所示。弹簧在每种加载条件下的描述都是从照片中进行后在图形处理软件（AutoCAD）的编辑器中拍摄每张照片作为背景测量曲率线的长度，并缩放图形以使该长度等于初始梁长度。现在这条线的投影长度被分成相等的十部分并且在每个分割点处测量x，y坐标图7中给出了其中一些曲率线，此外，该图还附加了弹簧在自由状态下的轮廓。图7中还示出了每条曲率线的十个分割点的x，y坐标。利用MS-Excel软件得到了图8所示六种加载条件下的最佳拟合曲线及其解析式。7.第一次会议。3.2. 实验载荷-位移特性的后处理如表1所示，在尖端观察到由于施加载荷而导致的板簧变形。从图中可以明显看出。图7和表1显示，尽管没有施加自重形式的外部载荷，但弹簧已被检测到处于夹紧位置。夹持位置的尖端相对于初始空载配置的偏移为4.7 mm。该偏移是由于作用在液压缸头和板簧接触表面上的夹持力的弯曲效应。夹持效应通过尖端处的等效力来建模，该等效力在该阶段是未知的，但需要计算以获得实际的实验载荷-偏转行为。最佳拟合线性载荷-位移曲线由表1的数据点获得，如图1所示。 9、它不经过原点。使用MATLAB®软件，移动载荷-位移曲线，使其通过原点，最佳拟合线的方程为y=0.2242x，如图9中带点的实线所示。现在，对应于尖端位移4.7 mm，计算夹紧力为20.9634 N。因此，该附加的尖端载荷被认为是捕获初始夹紧的效果，尽管在实际情况下，弹簧140S. Ghuku，K.Nath Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 19（2016）135（438.5，122.6）（394.65，98.3）（350.8，76.3）（306.95，57.5）（263.1，41.8）（219.25，29.2）（175.4，18.8）（131.55，10.5）(87.7（见第（440.01，117.9）（396.09，（352.08，73.1）（308.07，55.1）（264.06，40.4）（176.04，17.7）（132.03，10.1）（88.02，4.4）（454.7，60.4）（409.23，（363.76，33.7）（318.29，24.2）（272.82，16.7）（227.35，11）（181.88，6.6）（136.41，3.9）（90.94，2.2）（45.47，尖尖尖空载条件夹紧状态10987 6 5 4 321 0109 8 7 6543 20北纬138.321北纬211.896（447，91.62）（402.3，71.51）（357.6，55.11）（312.9，41.12）（268.2，30.89）（223.5，21.16）（178.8，13.84）（134.1，8.27）(89.4（见第4.31段）(44.7（第1.1段）（0，0）（451.3，77.5）（406.17，59.7）（361.04，45.2）（315.91，33.5）（270.78，23.9）（225.65，16.7）（180.52，10.6）（135.39，5.9）（90.26，2.8）（45.13，1）（0，0）10 98765 4320109 87 6543 20北纬287.433北纬460.089（459.4，19.6）（413.46，10.7）（367.52，4.5）（321.58，0.4）（275.64，-1.3）（229.7，-2.8）（183.76，-2.1）（137.82，-1.3）（91.88，-0.3）（45.94，0.1）（0，0）109 8 7 6 54 3 20109876543 20见图7。某些应用载荷下弹簧的曲率线。一个被锁住的时刻。还应注意的是，该锁定力矩的大小和方向随着不同载荷水平下的外部载荷的施加而改变。然而，根据本建议，表2中给出了尖端的校正载荷偏转行为。实际实验载荷（单位：N）通过将夹紧力与每个施加的载荷相加来计算，其新值在表2中给出。同样，由于夹紧引起的尖端变形也与实验期间观察到的尖端变形相加。3.3. 实验结果与理论结果的比较根据实际实验载荷计算载荷参数ε，根据ε与ε N L的相关性计算每个载荷参数在梁自由端的斜率εNL。当如果已知λ和λNL，则很容易获得如图10所示的加载弹簧的检测曲线。该图还显示了载荷159.2844、232.8594和308.3964（N）的理论和实验测量曲线之间的比较。梁端部的挠度可从挠度剖面图中获得，该理论荷载-挠度特性如图11所示。该图还显示了尖端的实验和理论载荷偏转行为之间的比较。理论和实验结果吻合得很好，它们之间在递进和逆推性质上的细微差别可能是由于以下原因。(1) 物理系统被建模为整个长度上具有均匀横截面的悬臂梁，但是板簧在尖端部分具有几何变化(2) 对梁尖集中荷载进行了理论分析，但实际荷载作用点相对于梁的中心线有偏心，如图7所示。同样，弹簧的长度假定为常数，但由于偏心率，弹簧的有效长度在每个负载条件下都在变化。(3) 理想的夹紧需要线负载，但在实际的实验设置中，液压缸头的接触尺寸有限。由于这种夹紧缺陷，所示弹簧的轮廓在较高的施加载荷值下显示出一个干涉点。目前的分析没有适当考虑实际的锁定力矩，其大小在实验过程中是变化的。4. 均布及组合荷载作用下的曲梁为了验证所提出的理论方法的稳健性，对分布载荷和组合载荷作用下悬臂梁的大挠度分析进行了进一步的分析。这些问题不易用椭圆积分求解，因此采用了Chen[9]提出的大的缺陷S. Ghuku，K.Nath Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 19（2016）135141表1观察头端的载荷-偏转行为。见图8。 最佳拟合检测曲线及其方程。施加载荷（自重）（N）尖端偏转（mm）62.784 8.8138.321 26.28211.896 40.4287.433 57.5361.989 74.6438.507 93460.089 98.3首先求解初始直梁的行为，在适当验证之后，获得初始曲梁的新结果。本问题的示意图如图1A和1B所示。 12（a）和（b）的均匀和组合载荷。本文对直接积分法作了简要介绍，以供参考.为了在笛卡尔坐标系（x，y）中进行大变形分析，见图9。 尖端的实验和修改的最佳拟合线性载荷检测142S. Ghuku，K.Nath Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 19（2016）135123 L表2头端的实际载荷偏转行为。载荷（N）尖端切割（mm）0020.96344.783.747413.5159.284430.98232.859445.1308.396462.2382.954279.3459.470497.7481.05241031天 DX3 12，是usedd，其中r是斜率dy在位置s处。DX见图11。尖端的理论和实验载荷偏转特性。从矩曲率关系 1、以下为相关内容：成立了4.1. 均布荷载和组合荷载的分析当悬臂梁承受均布荷载时，122MxEIDX.（十二）在位置s处的最佳终止时刻是M2 二、应当L应注意，均匀分布载荷的大小是当前梁配置的函数，因为总横向上述微分关系在域“0到s”上的积分 从夹紧端到图中的A点。 1（b），产生在任何时候和任何配置下，载荷Pqsl都是守恒的。因此，x，l被发现是[9]。dxMGx，ll 2 x x 2 l x 33 lx x2x。（十六）3 中文（简体）2个EI2Ei3l铝合金01220使用等式（16），等式（14）和（15）被转换为很容易将左手边积分为P2x迪迪ds1lxx2电子邮件*（十七）将dx替换为λ，LHS最终被评估为 DS.的皇家园艺学会用Chen[9]的符号表示，方程的形式记为Gx，l。最后，一些数学运算导致以下结果-P2个EIx33x推导出如等式（14）和（15）中给出的两个微分等式。dy 2个EIlxx23l铝合金1 2个EIlxx23l铝合金中国（18）ds电子游戏11G2dxdyG1千克2千克dx（十四）（十五）迭代求解方程（17）以获得投影长度l，并且一旦获得适当的l值，则通过求解方程（18）来获得光束的衍射轮廓，如前一部分所述。用假设的l值迭代地评估方程（14），直到满足条件_sL，随后用已知的l值求解方程（15）。当悬臂梁在均匀和尖端的组合作用下，浓缩 加载， 的 弯曲 一刻 在 位置s是M2 二、因此，x，LisfoundndobeS. Ghuku，K.Nath Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 19（2016）135143图10个。理论和实验检测特性。144S. Ghuku，K.Nath Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 19（2016）135x在这种情况下，也可以按照上述数值方法容易地进行求解。4.2. 验证结果图12. 均布荷载和复合荷载作用下的悬臂梁。G x， lP lx x2x3F lxx2（十九）为了利用可用结果进行验证，均匀分布载荷的强度以无量纲形式定义为：qqL3（22）EI然而，在组合载荷的情况下，2Ei3l铝合金EI2载荷参数可以规定，因此，结果在维度平面上。悬臂梁弯曲问题等式（14）和（15）现在被转换为在集中荷载和重力的同时作用下，Chen[9]验证了这一点。在这项比较研究中，ds1Plxx2EI33llxx22019年10月20日星期一的的系统参数是L=0.4 m，E=194.3 GPa，I 1.3331013m 4.梁的重量P（=0.3032 N）产生均布载荷，此外，梁在端部还受到集中载荷F的作用。F = 0的三种不同情况，Plxx2x3Flxx20.098和0.196 N，和图。 13（a）显示了de-2EI3l铝合金EIx3mm2x（二十一）这些载荷条件在空间平面上的分布它结果表明，与Chen[9]的结果比较吻合得很好。1张图片2张EI年月28日3l铝合金EIlx2019年12月日为了验证所提出的方法时，梁均布载荷下，由Dado图十三. （a）Chen[9]和（b）Dado等人结果的数值模拟。[7]的文件。S. Ghuku，K.Nath Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 19（2016）135145JJLCalMi3LF图14. 横向载荷与误差图。等[7]对一个棱柱形细长悬臂梁弯曲问题进行了模拟。对于任何给定的q值，我们都可以找到di。XG x，LEIdx（二十六）表观值q0通过使用关系式q0，QqlEI，其中0L4q0是梁在直线形时均布荷载的初始值。对上述梁的几何形状进行数值计算，计算结果在图13（b）中用实线表示，载荷强度为q≥4，10和20.从图中可以明显看出，结果与Dado的结果并不匹配[图1]。[5][7]适当地。这种差异来自于这样的假设，即对于在配置下的梁配置，载荷强度qsP l沿x轴保持恒定。考虑。然而，分布荷载的强度沿弧长是弯矩Mx和函数Gx，l的表达式将根据建议的载荷条件变化进行评估，并在下一节中报告。因此，图13（b）包含另一组结果，这些结果由其上带有点的实线表示，并且在下一节中也报告了对这些线的从方程（23）-（26）观察到，G_x，l_n的确定是从已知的载荷分布q_n开始的逐步过程。要确定q n，必须知道两个场变量n和q是先验的，其中n是q的函数。 耦合问题通过使用迭代方法数值求解，其中以增量Δ q达到最终载荷值。在加载步骤i， 负荷增量 在当前负载值iq时给出，i=1，2，N，L.相应的尺寸载荷强度q0为从关系q0iqliEI获得，其中li是当前亲，L4喷射长度。在该载荷阶跃处，总横向载荷P的增量值计算为Pi<$q0iL，其在当前投影长度li上均匀分布。因此，分布载荷由q i<$Pi给出 Ei，i.净垂直L l负荷强度的cal分量场计算如下：伊萨克岛，i1，2，n，N和j1，，N . 如所提及qn4.3. 非均布荷载如前所述，分布载荷的强度qPL沿弧长恒定，但沿投影长度不恒定在位置x（0 <$x<$l）处，q的垂直分量为早先，搜索过程开始于负载步长i的假定投影长度L1。在“0到li”之间取N个点，并且在这些点中的每一个处，剪力、弯矩和函数f | G |x，li | i，i | i，N和j | i，i，N分别从等式（24）、（25）和（26）计算。一旦函数被...终止，黑腹脂鲤由公式（14）计算，这是dxjqq（二十三）在“0到”之间数值积分 l i' 找 到 弧 长si，ncos对于已知的载荷分布q n，剪力Vx和弯矩x由下列关系式给出，对于图中的A点。 12个。i1，，N L. l i值被调整，直到满足条件lis i l i i l i     ir。一旦从搜索过程计算出li，则从等式（26）和（15）获得Nf点处的偏差。在加载步骤i，利用已知的l i值，可以检查总数transverseloadP i 通过数值方法在非线性域中进行测试卡尔jLV qn x dxXLMV dxX因此，x，l被发现是（二十四）（二十五）0到li，i∈1，n，NL和j∈1，n，Nf，理想情况下应相等到Pi。在计算方案中，这是误差的来源，并且通过后处理在每个加载步骤中考虑到此错误被计算为 P iP i根据横向载荷的P1，如图14所示。从图中可以清楚地看出，误差范围在-8.89%至3.34%之间，一般误差随负载增加而增加。这表明，选择适当的误差极限值εerr是负载的函数。然而在目前146S. Ghuku，K.Nath Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 19（2016）135X，y，图15. 均布荷载和组合荷载作用下主扇的荷载偏载特性。工程计算误差在0.01%以内。 图13（b）显示 分离 普罗菲莱斯为 无量纲 负载 强度 q=4，10，20，这些结果与Dado的结果成功地验证了[fig. 5参考[7]]。4.4. 具有初曲率悬臂梁的新结果本文对实验中所提到的考虑板簧几何形状的初始曲梁提供了新的结果。在均布荷载和组合荷载两种情况下，观察了其荷载偏折行为在均匀载荷下，考虑了四种不同的分布载荷，总计232、308、383和460 N。在组合载荷的情况下，考虑232 N的基础分布载荷，并且在其上施加三个不同的尖端集中载荷76、151和228 N采用2.1.1节中提到的叠加法确定了上述荷载条件下的荷载偏折特性，结果如图所示。 十五岁从图15中可以清楚地看出，与组合荷载下的变形相比，均布荷载下的变形要小当总竖向荷载的大小相同时。作为一个当事人-研究人员已经成功地进行了比较，并提供了新的结果，初步弯曲悬臂梁。命名法b梁的宽度F施加在梁端的垂直保守荷载h梁的厚度I梁的面积矩l梁的投影长度（Lx）L梁长度M弯矩Nf，Ng在求解算法中用于表示物理和计算域NL加载步P来自分布荷载的恒定横向荷载（qL）qs，q<<$有因次和无因次形式qns<$q的垂直分量在一般情况下，可以注意到，对于如曲线8和4所示的均匀载荷和组合载荷的情况，总横向载荷的大小是相同的。s，nx为oh0 0尖端尖端xNL，yNL直角坐标系，标准化形式的笛卡尔坐标系x为oh 空载条件载荷阶跃NL时尖端的x，y尖端尖端5. 结论F对应的归一化载荷参数本文研究了初始弯曲悬臂梁在各种载荷作用下的大挠度行为。阿克斯阿吉以尺寸和标准化形式以量纲和规范化形式表示的光束偏转弧长理论上和实验上。直杆大变形行为，标准化笛卡尔坐标系在尖端集中载荷位置s处的斜率dy dx已经从理论上进行了研究。这种几何非线性问题的解决方案是在MATLAB®计算模拟的帮助下迭代获得的。进行了实验，0NL尖端尖端初始配置时，梁自由端在位置sL处的斜率dy dx（即，在无负载条件下）和负载阶跃N L通过将其建模为初始-固定端的斜率（0），对应于无负载ly 弯曲 悬臂 梁 理论 结果比较00和负载步长NL（应注意，<$0<$$>NL$0）成功地与实验结果一般。从比较研究的趋势的微小差异中，识别出物理系统的一些相关参数。对悬臂梁在均布载荷和组合载荷作用下的大挠度行为进行了进一步的理论研究，发现基于椭圆积分的解析解本文还介绍了一种增量加载的迭代法来研究这类问题。这里也有其他结果00曲率半径引用[1] K.E. 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