基于模糊软矩阵的群决策算法研究

沙特国王大学学报基于模糊软矩阵的群决策算法Sujit Dasa， Mr. Saurabh Kumarb，Samarjit Karc，Tandra Karba部。计算机科学与工程博士C.罗伊工程学院，Durgapur-6，印度b系计算机科学与工程系，国家理工学院，Durgapur-9，印度c 印度，Durgapur-9，国家技术研究所，阿提奇莱因福奥文章历史记录：2016年9月10日收到2017年4月9日修订2017年5月1日接受2017年5月5日在线发布保留字：群决策中性软矩阵选择矩阵相对重量A B S T R A C T本文提出了一种利用中性软矩阵和专家相对权重求解群决策问题的算法。NSM是中性软集的矩阵表示，其中中性软集是中性集和软集的组合。我们提出了一种新的思想来分配相对权重的专家基数的基础上。根据专家的偏好属性和意见为每个专家分配相对首先，我们引入了选择矩阵和组合选择矩阵的概念。将组合选择矩阵与个体NSM相乘，得到产品NSM，并将其聚合得到集体NSM。然后利用神经网络交叉熵测度对方案进行排序，选出最优方案。这项研究还提供了一个比较分析的建议重量为基础的方法与正常的程序，其中重量不考虑。最后，通过一个案例说明了该方法的适用性.©2017作者。制作和主办：Elsevier B.V.代表沙特国王大学这是一CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍模糊集（Zadeh，1965a）使用隶属度lAx2½0;1]求一个元素在集合中的位置。 当lΔxλ本身变得不确定时，就很难用一个明确的值来定义它。Turksen（1986）使用区间值模糊集（IVFS）解决了这个问题。在实际应用中，不仅要考虑证据支持的真隶属度，还要考虑证据支持的假隶属 度 ， 这 超 出 了 模 糊 集 和 IVFS 的 范 围 。 直 觉 模 糊 集 （ IFS ）（Atanassov，1986）被引入作为模糊集的推广，以考虑真隶属度和假隶属度。后来IFS被扩展到区间值直觉模糊集（IVIFS）（Atanassov，1989）的推广目的。一个书目-*通讯作者。电子邮件地址：sujit_cse@yahoo.com（S.Das），saurabh14oct@gmail.com（美国）Kumar），kar_s_k@yahoo.com（S. Kar），tandra. gmail.com（T. ）。沙特国王大学负责同行审查关于模糊决策相关研究的理论分析和IFS研究的科学计量学综述分别见Liu and Liao（2017）和Yu and Liao（2016）。模糊集及其扩展集由于对隶属度的真假值有一定的限制，只能处理不确定信息，而不能处理现实中可能存在的不确定和不一致信息例如，当我们询问专家对某项陈述的意见时，他/她可能会告诉我们，该陈述为真的可能性在0.5至0.7之间，为假的可能性在0.2至0.4之间，而他/她不确定的程度在0.1至0.3之间。考虑另一个例子，其中10个选民参与投票过程。在时间t1，三票在代数符号中，它表示为（0.3，0.5，0.2）。在时间t2上，三票这类情况可以通过语义集合（NS）很好地管理，其中不确定性被明确量化，并且真、不确定性和假成员关系彼此独立NS为处理不确定和不一致的信息提供了一个更合理的数学框架在过去的十年中，NS和区间统计集（INS）的概念已经被用于各种应用，如医疗诊断，数据库，http://dx.doi.org/10.1016/j.jksuci.2017.05.0011319-1578/©2017作者。制作和主办：Elsevier B.V.代表沙特国王大学这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。制作和主办：Elsevier可在ScienceDirect上获得目录列表沙特国王大学学报杂志首页：www.sciencedirect.com460S. Das等人/Journal of King Saud University半]]½拓扑，图像处理（Guo和Sengur，2014）和决策问题（Ye，2013，2014 a ， b; Broumi 和 Smarandache ， 2013 b; Peng 等 人 ， 2014;Zhang等人，2014; Ye，2013）。Smarandache（Smarandache，1999，2003）首先介绍了作为研究中性的起源、性质和范围的哲学分支的新超哲学。中性集是推广经典集、模糊集、区间值模糊集、直觉模糊集、区间值直觉模糊集、次协调集、辩证集、悖论集和重言集（Smarandache，1999）概念的重要工具。Smarandache（1999）明确定义了不确定性，并指出真、不确定性和假隶属度是独立的，并且位于0-; 1π（这是非标准单位区间）和一个标准区间0的扩展;1. Wang等人03 The Fantasy（2010）从科学和工程的角度提出了单值拓扑集合（SVNS）。SVNS是考虑到在现实生活问题中应用NS的困难而开发的一个实例。SVNS的熵测度由Majumdar和Samant（2014）引入。Ye（2014 a）定义了SVNS的交叉熵测度，作为模糊集交叉熵的推广，称为单值模糊交叉熵。在此基础上，提出了一种基于单值叉熵的多准则决策方法。 Ye（2014 b）还引入了简化的拓扑集合（SNSs）的概念，并提出了一种使用SNSs聚合算子的MCDM方法。Peng et al.（2015）定义了简化神经数（SNN）的一些运算，并利用直觉模糊数的相关研究开发了一种比较方法。基于这些运算和比较方法，提出了SNN集结算子，并将其应用于多准则群决策问题。 Zhanget al.（2014）在INS上定义了一些新的运算，并开发了区间代数数的聚合算子。Broumi和Smarandache（2013 b）讨论了INS的相关系数。Ye（2013）提出了基于Hamming和Euclidean距离的INS之间的相似性度量，并开发了基于相似度的多准则决策方法。Ye（2016）还引入了新的指数运算律，其中基是清晰值或区间数，指数是区间对数（INN）。作者提出了几个聚合算子。也就是说，基于这些指数运算律，构造了一个区间仿射加权指数聚集（INWEA）算子和一个对偶区间仿射加权指数聚集（DINWEA）算子.最后，将INWEA和DINWEA算子应用于决策问题.Zhao等人（2015）研究了许多类型的不完整或完整信息可以表示为区间值概率集（IVNS），并提出了改进的聚合IVNS的操作规则。他们还在IVNS的背景下扩展了广义加权聚合（GWA）算子。Peng et al.（2014）在基于ELECTRE方法的简化决策环境将数学集合与其它数学模型相结合，已发表了许多研究成果。Maji（2012）引入了一种基于语义的软集（NSS），它是NS和软集（Molodtsov，1999）的结合，并提出了一种用于多观察者对象识别问题的基于语义的软集理论方法。Broumi（2013）将广义自同构集（Salama，2012）和软集（Molodtsov，1999）结合起来，引入了广义自同构软集的概念。Broumi和Smarandache（2013 a）将直觉集和软集结合起来，发展了直觉软集。Deli（2014）发展了区间值仿射软集，它是区间值仿射集和软集的结合。Broumi等人（2014 a）定义了参数化软集，并研究了它的一些性质。他们引入了中性参数化集结算子，并将其应用于决策问题. Broumi et al.（2014b）在2014年对广义区间代数软集进行了扩展，提出了广义区间代数软集的思想。Deli和Broumi（2014）引入了自同构软矩阵的概念，并重新定义了Maji（2012）给出的自同构软集的一些运算。Deli等人（2014）引入了模糊软多集理论的概念，并研究了它们的性质和运算。Rivieccio（2008）对哲学逻辑进行了批判性的介绍。作者定义了合适的仿形命题连接词，并讨论了仿形逻辑与其他著名框架的关系。Deli等人（2015）介绍了双极神经集并研究了其部分操作。为了比较双极概率集，他们研究了得分函数和准确度函数。Deli et al.（2016）提出了区间值双极模糊加权模糊集（IVBFWN-set）作为模糊集、双极模糊集、模糊集和双极中性集的推广。Liu和Luo（2017）在简化的代数集合（SNS）上开发了一系列幂聚集算子，称为简化的代数数幂加权平均（SNNPWA）算子、简化的代数数幂加权几何（SNNPWG）算子、简化的代数数幂有序加权平均 （ SNNPOWA ） 算 子 和 简 化 的 代 数 数 幂 有 序 加 权 几 何（SNNPOWG）算子。此外，他们还提出了一种在神经网络框架下利用聚合算子进行多属性群决策的方法。在Ye（2015）中，Ye提出了一种用于在不确定信息下进行群体决策的数字工具。表1对《圣经》集的一些重要贡献。工具和方法Smarandache（1999年，2003年）提出的概念引入了哲学，明确定义了不确定性，真理、不确定性和虚假-隶属关系是独立的Wang等人（2010）提出的概念引入SVNS作为一个实例的集合Maji（2012）提出概念引入NSS并提出了一种抽象的软集合理论方法Ye（2013）开发方法提出了INS Broumi和Smarandache之间的相似性度量（2013）提出了概念开发了直觉主义的语义软集Majumdar和Samant（2014）提出了概念引入了SVNSYe（2014a，b）提出的概念提出的SVNS的交叉熵和相关系数Zhang et al. （2014） 开发的方法开发的聚合运算符的区间代数数Broumi等人。（2014年a）提出的概念 定义的语义参数化软集Peng等人（2014）建议的方法提出了一个新的排名高于MCDM问题的方法Peng等人（2015年）提出概念开发SNN聚合运营商Zhao等人（2015）提出概念改进IVNS的聚合操作规则Ye（2016）提出的概念提出了几个聚合运算符Liu和Luo（2017）提出的概念在简化的代数集合上开发了一系列功率聚合算子S. Das等人/Journal of King Saud University461]-½1/4fg>！] -半fAg223数字环境。表1中给出了一些重要的贡献。据我们所知，没有发表在neutrosophic集及其杂交中的文章，其中专家的相对权重已经被考虑。专家的意见对任何决策过程都至关重要。当专家使用软集合规定他们的偏好时，他们只提供关于他们已知集合的意见属性/参数。由于不同专家的专业领域不同，他们可能对不同的属性子集感兴趣，而对其余属性保持沉默。更具体地，一个专家可以提供关于更多数量的意见。而其他专家可能对较少数量的属性感兴趣。在另一种方式中，一个专家可能比另一个专家更确信他/她对同一组属性的看法。在这种环境下，对不同的专家分配相同的权重可能会导致不适当的和有偏见的解决方案。先前的情况促使我们开发了相对权重分配程序，其中更有信心的意见被赋予更大的重要性。假设X先生和Y先生使用语义集合对一个属性发表意见。根据X先生的意见，该意见为（0.3，0.4，0.6），Y先生的意见为（0.9，0.1，0.2）。这里，Y先生将被赋予更多的重要性，因为他/她更自信，因为他/她的真值成员值接近1，这比X先生的真值成员值大。在这篇文章中，我们提出了一种算法的方法，GDM使用NSM和专家的相对权重。最初，专家使用NSM提供他们的意见，NSM由相应专家的相对权重归一化。相对权重是根据专家的信息分配给他们的，这减少了偏见的机会。该方法通过分析不同专家的选择参数/属性，为个体决策者/专家建立专家选择矩阵（NCM）和组合NCM。在该过程中，将组合的NCM与归一化的NSM相乘，以获得产物NSM，将其聚集以产生从哲学的角度来看，自定义集合从真实的标准或非标准的0; 1的子集中取值。为了方便应用于实际问题，我们取区间1/2;1/2]而不是] -0;1/2。对于一个给定的元素x2U，三元组;IA;FA通常被称为中性值（NV）或中性数（NN）.软集是由Molodtsov（1999）提出的一种通用的数学工具，用于处理传统数学工具无法处理的不确定性问题。有许多理论，如概率论、模糊集理论（Zadeh，1965 a）、模糊集理论（Smarandache，1999，2003）等，这可以被认为是处理不确定性。但由于参数化工具的不完善，这些理论都有其固有的困难.软集不存在这样的困难，可以不受任何限制地近似描述对象。软集合理论作为一个必然的结果，已经成为一个方便、易于应用的工具。中性集合与软集合相结合，发挥了两者的优势都有一个统一的标准定义2Maji（2012）。设U是一个论域，E是一组参数。设NS（U）表示U和A∈E的所有代数子集的集合。一个对<$NfAg;E<$称为U上的NSS，其中NfAg是由NfAg：E给出的映射！ NSU.实施例1.设U<$fc1;c2;c3g <$4 {celerio，xcent，eon}为3种车型的集合，E e1;e2;e3;e4;e5= {速度、舒适度、耐久性、昂贵性、品牌}为汽车考虑的参数集合，A<$fe1;e2;e3;e5g <$E。让NfAge1fc1=0：6;0：4;0：8;c2=0：4;0：6;0：8g;N=0： 4; 0： 9; 0： 7g;c= 0： 2; 0： 3; 0： 6g;合成NSM。然后，交叉熵测度被应用于所得到的NSM的备选方案上，以对备选方案进行排序。案例研究涉及对商业部门的投资，其中考虑了两个案例I显示了没有分配任何权重的最终结果，案例II显示了分配权重的结果。文章的其余部分组织如下。第二节介绍了熵集、NSS、NSM和熵集的交叉熵测度的基本概念和背景。第3节提出了NCM ，组合NCM，和一些NSM上的操作。第4节介绍了拟议的算法方法，第5节介绍了案例研究。然后在第6节中对结果进行简要讨论。最后，我们得出结论，第7节NfAge3fc1=100：5;0：3;0：8;c2=100：1;0：6;0：3;c3=100：4;0：1;0：7g;NfAge5μ gfc1=10：7;0：1;0：3μ g;c3=10：5;0：4;0：7μ g这里NfAge1fc1=0：6;0：4;0：8;c2=0：4;0：6;0：8g表示对象（汽车）c1;c2 {celerio，xcent}与参数e1（速度）的关联。参数e1与对象c1相关联，隶属度0.6，不确定度0.4，非隶属度0.8。该示例示出了参数e5（品牌）不与任何其它汽车相关联，即，当考虑汽车时，特别是在这个例子中，参数branded则NSSNfAg;E由下式给出：2. 预赛这一部分简要地介绍了代数集合（NS）、中性软集合（NSS）、代数软矩阵（NSM）以及代数集合的交叉熵测度.8ðNfAg;EÞ ¼1;fc1=10：6;0：4;0：8;c2=10：4;0：6;0：8;c=0：2;0：3;0：6;e3;fc1=4;f£g;：e5;fc1=0：7; 0：1; 0：3;c3= 0：5; 0：4; 0：7g9>=：>>的;2.1. 中性粒细胞集、NSS和NSMSmarandache（1999）.让你成为话语的宇宙。U中的自同构集合A表示为A^fhx：TAx;IAx;FAxi;x2Ug，其中特征函数T;I; F：U0; 1分别定义元素x 2 U对集合A的隶属度、不确定度和非隶属度，条件为：-06TAxIAxFAx6 3。定义3Deliand Broumi（2014）. 设∑NfAg;Ef是初始论域U上的一个NSS设E是一组参数，A∈E。则U × E的一个子集由关系f <$x;e<$ ：e2A;x2NfAg<$e <$g唯一定义，记为RA<$NfAg;E<$。现在关系RA由真值函数TA：U×E！ 半0;1]，不确定度IA：U×E！1/20;1]，以及伪函数FA：U×E！1/20;1]。[TAx;e是真值，IAx;e是不确定值，FAx;e是与参数e 相关的对象x 的假值。]RA 表示为：RA¼ FTAx;e;IAx;e;FAx;e：06TAIAFA6 3; ex;e2U×Eg。>><462S. Das等人/Journal of King Saud University2.2þð1-TðxÞÞ log1- ðTðxÞþTðxÞÞ2#1-Fx loggA我Bð Þ ð Þ¼ ð Þ ðÞbb参数E1; e2;. 例如，则R A可以由aE=A;B= BTAxilog21TxT xB21-1TAxiTBxiC一我-Ai21-1IAxiIBxiE=A;B= BFAxilog21FxF xTAxilog21TxT x一我FAxilog21FxFxAbxi！1-Abxi2我我2我我两个模糊集之间的判别信息测度Tijlog211T 1-Tij log21-11T和X¼ fx1;x2;. ;x ng被的宇宙的话语，其中我Iij1-Iij21-1I我我我我我.C一i-密码#2现在，如果宇宙的集合U<$fx1;x2;···;xmg和T的集合矩阵如下：Xn“的1/1TAxi2我我B一0a11a12.. .a1n1一个21一个221000- 10000-100000-10000 -1000 - 101-TAxi#2RA<$Ai jm×n<$B@.......一Xn“的我是说，1其中1/4吨/小时 eixeFxe。1/12IAxiIBxiijAi;j ;Ai;j ;一i; j1I x#实施例2. 上面描述的NSS的矩阵表示F在实施例1中，示于表2中。Xn“的1/1FAxi2我B我一2.2. 集的交叉熵P101-FAβxiβlog1-FAxi21-1FAxiFBxi在模糊集合论中，熵是用来度量模糊性或不确定性信息的程度本文首先介绍了模糊熵的概念，之间的单值交叉熵测度A和B被计算为三个量的总和：由Zadeh（1965 b，1968）引入，以量化呋塞米的量De Luca和Termini（1972）引入了一些公理来描述基于Shannon函数的模糊集的模糊度Xn“的1/1TAxi2我B我一Shannon（1949）在1949年定义了一个信息理论，引入了交叉熵Shang和Jiang（1997）提出了一种模糊集之间的模糊交叉熵测度，1TA xi212一i B i用来衡量两个人之间的区别信息模糊集Zhang和Jiang（2008）定义了模糊交叉熵Xn“的þ我是说，1在Vague集之间进行度量Ye（2011）扩展了模糊的概念区间直觉模糊集的交叉熵。Gou（2017）提出了犹豫模糊语言熵和交叉熵测度。Ye在Ye（2014 a）中也提出了单值仿射集的交叉熵测度，作为模糊交叉熵假设BB xB x1/1þð1-IAðxiÞÞ logXn “的þ2IAxiIBxi1-TAxi21-1TAxiTBxiFAxib <$b <$1;b <$2;. ;bn b b1; b2;1/12毫安IB我... ; Bx n是论 域 中 的 两个 模糊集X¼ fx1;x2;. ;x ng. 则A和A之间的模糊交叉熵1-FAxi21-1FxFxð5ÞBb定义为b2一IB我HAb;BbAbxilog21AbxBbx1-Abxilog21-1Ab xBbx;EA; BP 0. 这里E=A;B=0当且仅当TA=xi=TB=xi=IA=xi= IIB xi;FA xi FB xi。由于E A;B不是对称的，因此获得SVNS的对称辨别信息度量为：它描述了Ab与Bb的区分程度。以来DA;B EA;BEB;A：6H A;B关于它的论点是不对称的，Shang和DiAω;AiXn“的¼log21第二节1第二节1号Jiang（1997）asIA;B HA;BHB;A，其中IA;BP 0，j111Tij1-1Iij1 -1个Fijb b b b b b b b b2ðþ2 2“#I=Ab;Bb=0if，且仅为Ab Bb。交叉项和对称项XTij1-Tij已经扩展到SVNS的上下文。设A¼fhxi;TAxi;IAxi;FAxiixi2Xg和Bxi;TBxi;IBxi;FBxiixi2Xg是两个SVNS第1页Xn“的2IJ 1-Iij#2ij;þð1-IðxÞÞ logA我#2014年#nam1am2.. .的mnEIA;B B BIA A ABBCDDD上述矩阵称为m × n阶仿射软矩阵（NSM），它对应于U上的仿射集<$NfAg;E∈.ð3ÞE=A;B=BIA A ABBCDDDXn .E<$A;B<$也是A和B之间的区分度，其中1/1ð1ÞþþS. Das等人/Journal of King Saud University46321-1FB我一我B我一我B我TAx;IAx;FAx，TBx;IBx;FBx2 ½0;1]。现在考虑环第1页2IJ真理成员，不确定性-成员资格，和虚假-会员资格，信息歧视的TAxiXn“的 F ij1-F ij log 1-Fij编号：从Tx，Ix从Ix，Fx从Fx分别是第1页þ464S. Das等人/Journal of King Saud University2IJ使用下面给出的（2）、（3）和（4）计算表2S. Das等人/Journal of King Saud University465ð7Þ表r表示NSSNfAg;E的a tio n。U=Ee1e2e3e4e5C1(0.6、0.4、0.8）0(0.5、0.3、0.8）0(0.7、0.1、0.3）C2(0.4、0.6、0.8）(0.4、0.9、0.7）(0.1、0.6、0.3）00C30(0.2、0.3、0.6）(0.4、0.1、0.7）0(0.5、0.4、466S. Das等人/Journal of King Saud UniversityBC@A01@Að Þð ÞBCC01@ACBBCC01@一个朋友BC0B1C@Anci;jBf0： 0：5;1;0：0：5;1; 1;0：5; 0;0：0：5;1; 0：0：5;1gC01B@CACCBCX01@AB@CAijm×nm×nijm×nm×nijm×nF：GIJ国际国际国际IJ0B1C使用（5）和（6），Ye（2014 a）定义了备选方案Ai和理想备选方案Aω之间的加权代数交叉熵Di<$Aω;Ai<$，如（7）所示。这里，Di<$Aω;Ai<$的值越小，备选方案Ai越好，备选方案Ai将接近于理想的替代方案Aω。本文将理想方案的概念引入决策环境中，在决策集中找出最佳方案理想方案通常不存在于现实世界中，但它为评价方案提供了理论框架。在代数概念中，理想替代Aω被定义为：两个NSM矩阵max xfTaij; Tbijg;avgfI a ij; Ibijg;mi nfFaij;Fbijg8i;j。实施例5. 假设NSM为ijm×n， 和b ijm×n 如下所示。0： 6; 0： 5; 0： 3ðaijÞm×n¼ ð0: 8; 0: 9; 0: 3Þ;ð 0; 0: 6; 1Þ;ð 0: 8; 0: 6; 0: 3Þ;ð 0; 0: 2; 1Þ;ð 0; 0:7; 1Þ0： 8; 0： 5; 0： 4Aω<$hTω;IωFωi <$h1; 0; 0i.3. NCM、组合NCM和NSM0： 4; 0： 5; 0： 7bij0： 2; 0： 5; 0： 6本节介绍NCM、组合NCM以及NSM上的运算，例如NSM与组合NCM的加法、补码和乘积。然后，这两个NSM的相加给出了cijm×n得双曲余切值.3.1. NCM和组合NCM本小节定义了NCM和组合NCM，并提供了必要的示例。定义4. NCM是一个正方形矩阵，其行和列都指示参数。如果n是NCM，则其元素ni;j定义为：ni;j=（1，0.5，0）当第i个和第j个参数都是决策者0： 6; 0： 5; 0： 3四分之一0： 8; 0： 5; 0： 3; 1; 0： 5; 0; 0： 8; 0： 5; 0： 3; 1; 0： 5;0; 1; 0： 5;0：0： 8; 0： 5; 0： 43.3. NSM和组合NCM如果NSM的列数等于组合的NCMnc的行数，则可以说NSM;A和nc对于产品甲硫氨酸和的乘积fN; An g变成NSM，其表示为fN; P。如果当第i个或第j个参数中的至少一个不是根据决策者的选择。一种新的生物学方法和n<$bjkk<$cik <$m×p，其中n×p、然后中文（简体）n nn实施例3.假设U和E与示例1中相同假设先生。X是cikmaxminfTaij;Tbjkg;maxminfIaij;Ibjkg;minmaxxfFaij;Fbjkg：兴趣为购买一辆车基于属性AX½ fe3;e4;e5gE。然后是NCM先生。X可以表示为：eX第1页第1页第1页0; 0： 5; 1; 0; 0： 5; 1;0; 0： 5; 1;0; 0： 5; 1; 0; 0： 5; 1g0;0： 5; 1; 0; 0： 5; 1; 0; 0： 5; 1;0; 0： 5; 1; 0; 0： 5; 1gnXi; je Xf= 0; 0：5; 1; 0; 0：5; 1; 1; 0：5 ; 0; 1; 0：5; 0; 1; 0：5; 0 g0; 0： 5; 1; 0; 0： 5; 1; 1; 0： 5; 0;1; 0： 5; 0; 1; 0：5f =0; 0： 5; 1;0; 0： 5; 1;1; 0： 5; 0;1; 0： 5; 0; 1; 0： 5; 0g在组合NCM中，表示为nc，行表示单个决策者的选择参数，列表示剩余决策者的组合选择参数（通过参数集的交集值得注意的是，在NCMn中，行和列都表示同一决策者的属性。实施例4.假设X先生和Y先生根据他们的综合意见想买一辆车。X先生偏好的属性在实施例3中提及。让Y先生展示他/她的偏好，一 我的意思是，X先生的合并NCMn如下所示。实施例6.让NSM和Mr.X分别定义如下。f 0;0; 0：3; 0： 5; 0： 6;0：6; 0：7; 0： 3; 0： 3; 0： 6; 0： 7gN;Af0; 0; 0： 7; 0： 8; 0： 4; 0： 6; 0： 1; 0： 7; 0：8; 0： 1; 0： 4g00：00：00;00：00;00：00;00：00;00：00;00： 0000：00：00;00： 00;00： 00; 00：00;00： 00;00：00;00：00X00：00：00;00：00;00：0000：00：00;00： 00;00： 00然后将产物N;P=N;A=Xn =i;j=fXgY13XeY0Bf0;0：5;1;0;0：5;1;0：6;0：5;0：3;0;0：5;1;0;0：5;1g1C0; 0： 5; 1; 0; 0： 5; 1;0; 0： 5; 1;0; 0： 5; 1; 0; 0： 5; 1g0;0： 5; 1; 0; 0： 5; 1; 0; 0： 5; 1;0; 0： 5; 1; 0; 0： 5; 1gnci;jeXBf0;0： 5; 1; 0; 0： 5; 1;1; 0： 5; 0;0; 0： 5; 1; 0; 0： 5; 1gC四分之一英尺0; 0： 5; 1磅;10; 0： 5; 1磅; 10： 8; 0： 5; 0： 3磅;10;0： 5; 1磅;10; 0： 5; 1千克00;00：50;00：500; 0： 5; 1;0; 0： 5; 1;1; 0： 5; 0; 0; 0： 5; 1;0; 0： 5;1g0; 0： 5; 1;0; 0： 5; 1;1; 0： 5; 0; 0; 0： 5; 1;0; 0： 5;1g3.4. NSM的补充补充的一个NSM一种新的生物学方法是表示为Cc3.2.增加NSM中国 ;Aaijm×n，其中a ijm×n 的矩阵表示国家安全局（NSS）矩阵表示的是说有两个NSM，N;A½a] 和N;B½b]，NSS=NcA;Ea，定义为ac/vTc;Ic;Fc/v T c1-Ta;如果它们有相同的顺序，就可以进行加法。1-I aij; 1-F aij。S. Das等人/Journal of King Saud University467XCB@CA01XXXXXXR¼IJ一CNð Þ¼j：-否ð Þj= jnj一O2UNSM一ijLL实施例7. 设NSM为ijm×n， 如下所示0分0： 6; 0： 5; 0： 3分; 0： 5; 1分; 0： 6; 0： 8; 0： 3分;0：0; 0： 8; 1分; 0： 5; 1分1N;AFcNfAgxFNfAgx=jEnj0：40：40：1=30：3x2EO2U@0： 8; 0： 5; 0： 4; 0; 0： 5; 1; 0： 8; 0： 5; 0： 4; 0; 0： 5; 1;0;0： 2;1ASXCNfAg公司简介CNfAgðx ÞþICNfAgxCNfAgx则补N ;A由下式给出：0： 4; 0： 5; 0： 7N;A0： 2; 0： 5; 0： 63.5. NSM的基数更多的基数被分配给NSM，这使得对属性集的给定意见更加强调，而不管NSM关注的属性的数量软集的基数集<$NfAg;E<$，记为<$cNfAg;E<$，定义为cNfAg;E在E.隶属度TcNfAgx，不确定度IcNfAgx和虚假隶属度值FcNfAgx分别定义为：四分之一0：5五分之一0：2-0：3五分之一=1四分之一0：4Y先生的基数得分为TcNfAgxTNfAgx=jEnj <$1=1<$1;IcNfAgxx2Eo 2U^j0：5-INfAgxj=jEnj ^j0：5-0：5j ^0;x2Eo 2UFcNfAgxFNfAgx=jEnj 0x2Eo 2UTcNfAg 公司简介x2Eo2UNfAgxCNfAg10：55-Ix2Eo2UNfAgn=jEnj;SYcNfAgTcNfAgxfAgC-FcNfAgx和FcNfAgxFNfAgx=jEnj;x2Eo2U哪里En<$fijTNfAgx;INfAgx;FNfAgx-对应于基数集的广义软集的基数得分定义为：ScNfA gTcNfAgxIcNfAgx -FcNfAgx=jUj：实施例8.让两位专家先生。X先生Y使用下文所列的国家自我描述提供其意见（见表3和表4）。先生的基数得分X在下面。ScN Þ¼ ðTðx ÞþIðx Þ-FðxÞÞ= jU j4. 一种基于NSM在这一节中，我们提出了一个算法的基础上NSM，基数得分的NSM，和NCM的专家解决多属性群决策（MAGDM）问题。假设U/fo1; o2;. 可以是一组 离散的备选方案，E1; E2;... 例如是属性或参数的集合，以及D/fd1;d2;.. . dkg是决策者或专家的集合。NSM1表示由决策者D1;L1; 2;. . ;k.以符号数形式的符号值a1表示备选项o 1;i1; 2;.的评估。;m用于属性e j;j 1; 2;. ;n由决策者d 1;l 1; 2;.给出。;k.所提出的使用NSM解决GDM问题的算法的步骤如下所示。步骤1：每个决策器d l1 2k的NCMnli;j和组合的NCMnci;jCNfAgCNfAgCNfAgl;¼;;......的人。;在上下文TcNfAgxXTNfAgx=jEnj0：30：40：8=30：5的NSS基于他们的选择参数或属性。步骤2：计算NSMRl的基数分数Sl^cNfAgf，其中x2EO2UI xX0 5I x El¼1; 2;... ;k.步骤3：将基数分数Sl_c_N_f_g_n乘以相应的NSM_R_l; l_l; 2;. ; k，以产生归一化的NSM。Lx2E设1/2Abij]m×n是NSM，h是基数分数，则归一化NSM，表示nl、是定义j0：5-0：2N½Abij] ¼½hωAbl[8i;j;k.步骤4：归一化的NSMNl综合选择表3NSM先生X.U=E e1e2e3c1（0.3，0.2，0.4）（0.4，0.5，0.4）（0.8，0.2，0.1））表4NSM先生Y.U=Ee1e2e3C1（1，0.5，0）（0，0，0）（0，0，0）NSMNSMfAgfAg468S. Das等人/Journal of King Saud UniversityLNSMNSMðÞ88如第3.3节中给出的那样计算每个决策者dl的矩阵nc_i;j_i，并且用Pl; l/l; 2;. ; k.步骤5：产品NSM P1的聚合l是按照3.2节中的定义完成的，这产生了由R NSM表示的结果NSM。步骤6：计算理想备选方案和第i个备选方案之间的中性交叉熵，以对备选方案进行排名，如上文第2.2节所步骤7：选择具有最低交叉熵值的备选方案作为最期望的备选方案。S. Das等人/Journal of King Saud University469ðÞ1/4fg1/4fg1/4fgJ67S236723676767236723676475676475647566475J67JC23P67236475RS¼64f0：7;0：5;0：6;0;0：7; 0：6; 0：3;0;0g7564775一对于每个决策者d1;l1; 2; 3，LNSM一JJ在该方法中，NCM显示了个体专家的选择参数在决策过程中的影响基本上NCM和组合NCM已被用来提供更多的重要性，不同的专家的选择参数。在这里，基数得分被用来分配相对权重的专家。当专家对他/她的意见有信心时，这种方法赋予更多权重，即，更多的基数分数对应的NSM。通过对NSM进行归一化，我们为自信专家的NSM提供了更高的重要性，而为不太自信专家的NSM提供了较低的重要性。然后将归一化的NSM与组合的NCM相关联最后，我们计算我们的替代品和理想的替代品之间的交叉熵，以找到排名。5. 为例为了说明该方法的应用，我们举了一个例子，对三个可能的业务部门的投资让三位专家先生。约翰先生史密斯先生和彼得先生，集合D d1;d2;d3的成员共同想选择一个商业部门进行投资。他们建议的业务部门是旅行社、酒店和餐馆，由U o1;o2;o3给出。这些业务部门有一组共同的属性：首次投资、风险因素、利润、经营业务的地点和服务质量，由E e1;e2;e3;e4;e5给出。在三位专家中，约翰感兴趣的是利润，经营业务的地方，和质量-服务质量，即，第三，第四，第五节。史密斯先生表示他对首次投资和利润感兴趣，即，e1;e3和彼得先生感兴趣的是首次投资，利润和服务质量，即，e1;e3;e5约翰先生、史密斯先生和彼得先生的意见是有代表性的。分别在三个不同的NSM中表示，RJ;RS和RP，1;0：5;0000;0： 5; 1; 0; 0： 5; 1; 0; 0： 5; 1;0; 0： 5; 1; 0; 0： 5; 1gnSi;jf1;0：5;0; 0;0：5;1; 1;0：5;0; 0;0：5;1; 0;0：5;1g0; 0： 5; 1; 0; 0： 5; 1;0; 0： 5; 1;0; 0： 5; 1; 0; 0： 5; 1g00：5;100;100;100; 100fx1;0： 5; 0; 0; 0： 5; 1;1; 0： 5; 0;0; 0： 5; 1; 1; 0： 5; 0g00：5;100;100;100; 100nPi;j f1;0： 5; 0;0; 0： 5; 1; 1; 0： 5; 0;0; 0： 5; 1;1; 0： 5; 0g00：5;100;100;100; 100fx1; 0： 5; 0; 0; 0： 5; 1;1; 0： 5; 0;0; 0： 5; 1; 1; 0： 5; 0g00：5;100;100;100; 1000;0： 5; 1; 0; 0： 5; 1; 0; 0： 5; 1;0; 0： 5; 1; 0; 0： 5; 1gnci;jf1;0：5;0; 0;0：5;1; 1;0：5;0; 0;0：5;1; 0;0：5;1g1;0： 5; 0; 0; 0： 5; 1;1; 0： 5; 0;0; 0： 5; 1; 0; 0： 5; 1g1;0：5;000f =0; 0： 5; 1;0; 0： 5; 1; 1; 0：