工程科学与技术，国际期刊21（2018）408完整文章变曲率活动边界Sushanta Ghuku，Kashi NathSahaJadavpur大学机械工程系，加尔各答700032，印度阿提奇莱因福奥文章历史记录：2017年12月4日收到2018年3月21日修订2018年4月11日接受2018年4月26日在线提供保留字：初始曲梁大挠度几何非线性弯拉剪复合动边界更新的拉格朗日方法A B S T R A C T本文对弹性域内静载荷作用下动边界变截面曲梁的大挠度问题进行了实验和理论分析以主板簧作为曲梁问题的物理模型，在专门设计的试验台上对主板簧的载荷-挠度特性进行了实验除了在试样域内的一些离散点上直接测量挠度外，还使用图像处理技术来获得加载条件下的完整挠度分布。在AutoCAD®中通过加载的主叶片的后处理照片手动执行间接挠度测量。物理系统的挠度行为涉及来自非均匀初始曲率的强几何非线性、移动边界、由于弯曲、拉伸、剪切变形和大挠度之间的耦合而引起的非线性运动学、梁几何形状的不对称以及载荷施加点相对于几何中心的偏心。所有这些复杂的影响都在物理系统的数学模型中考虑由于大挠度涉及大的刚体运动，而变形位移引起的应变很小，因此本文的分析是在材料本构关系保持线性的弹性范围内进行的。在几何非线性和小应变假设的框架内，采用基于能量原理的变分法，推导了系统的控制方程。非线性控制方程，与复杂的移动边界条件，通过增量加载迭代求解，使用更新的拉格朗日方法。在每一个增量载荷步之后，通过剪切力平衡也满足动力学关系。数值结果产生相同的加载条件下的实验工作和理论和实验结果之间的比较是相当不错的。然而，比较研究导致识别的物理系统的几个几何参数，其中包括可以提供更真实的模拟。©2018 Karabuk University. Elsevier B.V.的出版服务。这是CCBY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍在民用、航空航天和机械工程领域中，各种结构和机械元件一般都采用梁模型。大多数这样的实际构件最初是弯曲的，并且在它们的变形行为中显示出非线性。因此，这种结构元件的精确设计需要非线性分析。梁弯曲问题中的非线性通常通过非线性运动学和材料本构模型表现出来，称为几何非线性和材料非线性。柔性构件的大变形引起大的刚体运动和小的应变。因此，线性材料建模通常用于大型*通讯作者。电子邮件地址：kashinathsaha@gmail.com（K.N.Saha）。由Karabuk大学负责进行同行审查在弹性极限范围内对这种细长结构进行挠度分析。目前的大挠度问题只关注与非线性运动学和动力学关系相关的非线性，材料非线性不在本文讨论范围之内。因此，关于梁和等效结构（如板簧、拱、柔顺机构等）的几何非线性分析的相关研究论文，对这些问题进行了严格审查，并在以下各段提出了一些意见。梁弯曲问题的简单解一般是在假定小挠度的情况下将欧拉-伯努利弯矩-曲率关系线性化，因此不能用于大挠度梁。这就产生了小挠度分析和大挠度分析之间的基本区别。椭圆积分法是求解大挠度梁弯曲问题的经典方法之一，它用椭圆积分来求解非线性位移场[1这种分析方法https://doi.org/10.1016/j.jestch.2018.04.0072215-0986/©2018 Karabuk University.出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表工程科学与技术国际期刊杂志主页：www.elsevier.com/locate/jestchS. Ghuku，K.N.Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）408409eee当考虑广义载荷条件时，即使对于初始直的均匀梁[4，5]，也变得不一致。此外，梁刚度沿长度方向的空间变化也增加了计算难度。在这种情况下，基于经典力学的系统控制方程通过未知场的级数近似[6-9]或使用一些迭代射击过程[3，10 -12]来求解，这对于不可伸长梁，迭代过程一般是在梁长不变的情况下收敛的梁长度的恒定性对于随动载荷下的变形仍然有效[13，14]。然而，保守加载会导致一些中心线拉伸，此外，多个解决方案的存在使得迭代方法不适合处理更复杂的问题[15]。高长细比梁的拉伸效应较大，而短梁的剪切变形较大剪切变形梁一般是在考虑梁截面翘曲的Reynshenko梁模型和高阶剪切变形理论的框架下进行分析的[16，17]。大挠度分析一般然而，柔性构件的实际变形过程是极其复杂的，它包括弯曲、拉伸、剪切变形、扭转、梁截面翘曲等多种复杂现象的综合此外，大多数自然和人造结构在空间中是任意弯曲的，这增加了问题的复杂性[18]。广义自然弯曲梁状结构的这种三维变形特性的严格分析倾向于几何精确梁理论，通常称为Simo-Reissner梁理论[19]。最近发表的一篇综述论文[20]对几何非线性梁理论的发展进行了广泛的综述。拱[39]等，来验证理论模型在大多数实验工作中，挠度仅在物理范围内的某些指定点处测量，通常在载荷施加点处，使用几种精密仪器[31，35]和位移传感器[9，21，37，40]。然而，在一篇研究论文[11]中也报道了完整挠度剖面的测量，其中挠度测量涉及图像处理技术。在经典边界条件下，具有初始直截面的细长梁的大挠度分析已有大量的报道。具有初始均匀曲率的细长梁的分析也有中等数量的报道，其中一部分是圆形的。然而，对于具有广义非均匀初曲率、几何非对称、偏心加载和移动边界的大挠度可伸长剪切变形梁的几何非线性分析却很少。因此，在实验和理论上模拟了主板簧的大挠度行为，因为它涉及所有提到的复杂效应。实验是在一个专门设计的三点弯曲装置中进行的。辨识了系统的几个物理参数，并将其纳入数学模型中，利用基于能量原理的几何修正技术进行了分析。2. 实验如前所述，本工作模拟了偏心静载荷作用下具有移动边界的非对称非均匀曲梁的载荷-挠度行为。主板簧被认为是本实验工作的样本，其在空载条件下的几何形状如图1所示，以及一些主要尺寸。物种的完整轮廓在笛卡尔坐标系（X0;Y0）中，通过测量坐标，复杂的影响，通常会遇到大挠度ee梁问题，由几个问题参数如加载条件，边界条件，初始几何形状等引起。与加载模式相关的复杂性通常包括大变形过程中分布载荷强度的变化和问题域内奇异点的存在[4，5，11，21]。主要来自边界条件的非线性效应包括简支摩擦力的发展[2]和边界的弹性约束[3，22]。在支撑处产生的摩擦力以及梁几何形状的初始曲率和耦合的横向平面内位移场增加了非线性系统响应的复杂性[6，11，23，24]。当考虑这些复杂的影响时，即使在某种程度上，基于经典力学的方法也变得不合适，在变分力学的框架下进行[5，21，2521个点，沿X0轴等距分布（图1中标记为2至22）。测量域的两个端点标记为点1和23。曲梁域（A1;B1）的这些端点被定义为切线交点主叶片中心线与眼端节圆的距离。连接眼睛中心（跨度）的直线的中点被认为是作为笛卡尔坐标系（X0;Y0）的原点，在本几何测量中，主叶片的完整轮廓在表1中以数字表示。从图1和表1中的列表值可以明显看出，主叶片的空载轮廓是不对称的，并且在整个区域内具有不均匀的曲率。此外，样本中存在的孔的中心线（孔的放大图参见补充图S1）相对于原点（X0;Y0）的偏心率为1.6 mm，ee在这种方法中，通过使力[5，25，26，30]或能量[21，27考虑整个问题域的变分方程的解导致半解析方法[5，21]，而通过区域分解的解导致纯数值方法，例如，有限元法[23，27由于系统响应对变形状态的强烈依赖性，几何形状的变化极大地影响了具有复杂几何形状的梁的变形特性，经历非常大的旋转和平移。有时，几何更新是以初始构形为参考来实现的，这导致了总的拉格朗日方法[31然而，在增量加载过程中使用最后计算的几何形状作为参考的解决方案提供了更真实的系统行为预测，称为更新的拉格朗日方法[33，34]。尽管对梁的大挠度问题进行了大量的理论研究，但实验研究却很少报道。大多数报告的实验工作是用几个梁[31，35，36]和等效结构如板簧[11，37，38]进行的，这将产生偏心载荷，如后面段落中所述。为了获得上述规定的质量钢板弹簧在静载荷下的变形特性，在专门设计的实验装置上进行了实验装置的照片和示意图分别见图2（a）和（b）。该装置的主要部件分为两类，即支撑结构（第3、5、6、10、11项）和载荷传递部件。载荷传递部件主要由载荷连接器（部件7）、垂直导杆（部件1）和衬套（部件2）组成。为了保持文件的紧凑性，没有单独提供组件的详细图纸主板簧的眼端与滚子支撑子组件（项目9）组装在负载连接器下方的试验装置底座（项目10）。但是，在将主板簧放置在试验台上之前，使用刺孔冲头在主板簧上沿其中心线标记21个等距点（参见补充图S1，以清楚地了解标记）。这些标记点上的410S. Ghuku，K.N.Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）408eeeeFig. 1. 主板簧在自由状态下的外形（所有尺寸单位为mm）。表1自由状态下主叶片轮廓的数字表示：（X0;Y0）23个标记点的坐标（单位：mm），相对于中跨原点eeLoc.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12电话：+86-21 - 88888888传真：+86-21 - 88888888电话：+86-10 - 8888888传真：+86-10 - 8888888Loc.13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23电话：021 - 88888888传真：021 - 888888880128 125 121 115 106.5 97 84 68.5 52 32.5 11.5在加载条件下的几何测量中使用物理试样作为参考将负载连接器的突出部分插入主叶片的孔中，并将开槽盘（项目4）放置在负载连接器上，以在叶片弹簧上施加静负载垂直导杆通过加载盘的槽安装到负载连接器上，并通过安装在导盘（部件3）上的衬套（部件2）沿垂直方向平稳移动因此，导杆只允许加载点的垂直运动，并限制载荷施加线的水平运动因此，所施加静载荷的中心线始终沿孔中心作用，并在主板簧上产生相对于中跨垂直线的偏心载荷 由于滚柱支架中存在滚珠轴承（项目13）（参见图 2（b）），静载荷的施加导致主叶片的每一半围绕垂直载荷线的无摩擦水平运动，这在实验上模拟了具有移动边界的梁模型。试验过程中，静荷载按七步递增至极限荷载，极限荷载按Winkler-Bach梁理论的解析表达式计算。在极限载荷计算中，钢板弹簧材料屈服应力值的75%作为许用载荷。第一个载荷步骤来自垂直导杆和载荷连接器的重量，没有施加任何外部自重，因此该步骤被称为预载荷（8.5N）。其他六个载荷阶跃为84.1、159.6、235.2、310.7、385.2和470.6（N）。加载条件下主叶片挠度曲线的实验测量不像空载曲线那样直接，并在以下小节中给出2.1. 偏转轮廓加载条件下主板簧的挠度曲线通过两种不同的技术确定测量技术和图像处理技术。在加载条件下直接测量几何形状所需的基本仪器包括：直尺（C项）、铅锤（A项）和游标高度规（B项）。固定铅锤指针（项目12）通过垫片连接到每个滚轮支架的销上和螺纹紧固（参见图2（b））。为了测量这些固定铅锤指针的水平运动，将两把钢尺放置在铸铁底座的凹槽中。这两条钢铁规则直角坐标系（Xe;Ye），Ye轴沿垂直载荷线，Xe轴为两滚子中心在中平面处的虚直线。在一个特定的负载步骤，位置的固定铅锤指针在（Xe;Ye）框架给出跨度的主叶，而拱度是测量使用游标高度计。使用通用铅锤和高度规（补充表S1）测量标记点的横坐标和纵坐标，从而给出主叶片在负载条件下的挠度曲线。在图3中用点表示在七个载荷阶跃中的每一个阶跃下直接测量得到的主叶片的挠度曲线。由于存在箱形结构，无法对一些中间点（1、6-8、15、16和21）进行直接轮廓测量。该图还包括从照片中获得的相应挠度曲线，并在下面的段落中简要讨论间接测量技术的后处理。在实验过程中，主板簧的照片是使用数码相机在每个加载步骤捕获并存储（补充图S2）。每张照片都作为AutoCAD®的背景，并通过将刺孔标记点连接为样条拟合曲线来绘制加载主板簧的中心线。与直接测量挠度曲线的情况一样，笛卡尔坐标系的原点（Xe;Ye）被认为是在垂直载荷线和滚子中心之间的水平线的交点处。现在，AutoCAD®图形已缩放XYXYS. Ghuku，K.N.Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）408411图二. (a)照片和（b）实验装置示意图。图三. 主板簧在七个载荷阶跃下的挠度曲线。412S. Ghuku，K.N.Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）408¼-LXLyL]01以（Xe;Ye）原点为基点，使图纸中受载钢板弹簧的跨距和拱度与该特定载荷阶下实测跨距和拱度相匹配。对应于七个载荷级的主叶片配置的AutoCAD®图纸如补充图S3所示。导出对应于沿Xe轴的23个等距点的中心线坐标（Xe;Ye）（补充表S2），并通过实线绘制如图3所示。从图中可以明显看出，通过软件（AutoCAD®）直接测量和图像处理技术获得的挠度曲线在每个载荷步骤中匹配得非常好。因此，在双向缩放过程中，照片的距离失真的固有误差得到了校正，在可接受的范围内。间接测量技术是有利的，因为它给出了完整域的连续偏转结果，而直接测量给出了在一些有限点处的偏转测量。3. 数学公式任何特定的公式化方法都需要（i）识别问题参数，（ii）识别动力学和运动学本构关系，以及（iii）识别边界条件;或者换句话说，需要识别正在开发的数学模型的相关问题。为了确定主钢板弹簧的载荷-挠度特性，我们重点关注系统不同组件的自由体图自由体图是在平衡位置上画的，在特定的载荷步骤中施加载荷后获得平衡状态在这种平衡状态下获得的结构位置是其初始几何形状和初始锁定两个支撑辊之间的距离为L0，这是众所周知的作为板簧的“跨度”。钢板弹簧的另一个重要规格是对于对称弹簧几何形状和同心载荷，拱点将位于跨中垂线上，但这不是目前广义曲梁模型的条件。点A、B是滚轮中心，而点A0、B0是滚轮与地面的接触点。在负载步骤（i-1），我们具有已知的配置，在该配置上施加增量负载DW因此在加载步骤i，已知施加的负载W（1/4Wi-1\f25W-1\f6），但未知新的配置。为求出变形构形和L0，在已知W和eW值的情况下，将所有力绕左辊接触点的力矩（A0）平衡屈服，RyRL0¼WL0WFH0W1由方程式（1），（L0W;H0W）是荷载作用点在OX0Y0Z0 坐标系因此，L0W1/4L01-eW。现在，为了探索运动学和动力学细节，图5（a）中示出了左辊支撑件和右辊支撑件的示意图，图5（b）中示出了左辊的自由体图。 附图示出了两个同心辊，一个虚拟眼辊具有半径eL，另一个物理支撑辊具有半径RRoller。点A1是滚轮和片簧之间的虚拟接触点，弯曲梁的中心线与眼滚轮的节圆相交。假设在该点处，梁的斜率与辊的节圆相切，因此径向线AA1垂直于梁中心线。作用在接触点A0处的分力和作用在点A1处的分力也分别示出合成反应的方向1=2力R½¼R2R2，沿直线A作用，A由角度应力场然而，在加载开始时，梁中没有锁定应力。3.1. 动力学和运动学本构关系加载的主板簧在垂直和水平外力W和F作用下的自由体图如图所示。4在OX0Y 0Z0中，局部笛卡尔坐标系。注释的详细列表见附录A。垂直荷载W在所有的应用中都是明显的，但在许多情况下F是不存在的，即使它存在，它的存在也不是直接表现出来的。左、右滚轮支架的反作用力分别为R xL;R yL和R xR;R yR分别从力平衡条件，W<$R yL<$R yR，忽略接触点F R xL处的摩擦力 R xR。全局笛卡尔坐标系OXYZ，如在轮廓测量中使用的，也被使用，其原点是在水平轴上的OX 0Y 0Z0，其中弯曲梁的几何中心为了模拟钢板弹簧的实际工作条件，载荷作用线W不假定与OXYZ的原点同心，它们之间的偏心率用eW表示（朝向正X轴为正）。中心w0L.应该注意的是，RL的方向不一定是每一个。与A1点处的挠度曲线近似。曲梁剖面在A1点处的法线AA1与负X0轴成一夹角wL这个反作用角wL产生曲梁在左端A1处的斜率（hL由WL给出 1/4p=2-hL。w0L之间的运动关系建立了ωL=ωLRxL=RyL1/4 coswL=101 sinwL102：102a1类似地，在曲梁的右端的情况下，反作用力角由在B1处的wR¼p=2hR给出。因此，类似的运动学关系式[ipcotw0ReRcoswR=1/2eR1sinwR]得出：RxR=RyR¼coswR=1 sinwR：2b点A1被认为是两个不同的局部坐标系的原点：一个是笛卡尔坐标系Oxyz，另一个是曲线坐标系Osnz，如图所示。 六、在贴体在“x-y”坐标中指示通过P× L和PyL，哪里P yL¼R yL和图四、板簧的自由体示意图S. Ghuku，K.N.Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）408413LR0图五. (a)左、右滚轮示意图及（b）左滚轮支架自由体示意图。本研究的对象模型如图7所示，其中问题域的水平长度从L0修改为L.在O snz系统中，问题域由弧长S定义曲梁A1B1的截面中域的跨度之间的关系的两不同坐标系是给出L¼L0e Lcos we Rcos w¼RSdscos h.跨度L重新定义为每一个载荷步和相应的拉伸效应重新定义了弧长S也是如此。3.2. 坐标系及其变换见图6。 两个不同的坐标系在点A1.PxL¼RLcosw0L。右滚轮的自由体图与左滚轮的自由体图类似，因此未示出，但示出了点B、B0和B1的位置以及相应的角度wR和w0R图 5（a）. 如果是右辊，则法向和切向com-B0处的反作用力RR的分量分别用NR和TR表示。曲线梁的轮廓，在无负载条件下，以及在加载条件下表示在全球欧拉坐标系（GCS）O XYZ，如图所示。4和7。主要的计算，如力平衡，能量平衡等，在贴体拉格朗日坐标系Osnz中进行曲梁的运动分析，其原点位于左滚轮的虚切点（A1）。还使用了另一个贴体笛卡尔拉格朗日框架Oxyz，其原点与Osnz的原点重合。 为了实现整体欧拉标架与贴体拉格朗日标架之间的转换，本文还提出了另一局部欧拉标架OX0Y0Z0 安装在左滚轮中心（参见图6）。由于随着载荷的变化，域的长度发生变化，因此在每个增量载荷步骤之后计算拉格朗日坐标，从而将求解过程呈现为更新的拉格朗日分析。局部欧拉坐标系和全局欧拉坐标系之间的转换关系由下式给出：很好同样，RR的水平和垂直分量为由PXR和PyR表示，其中PyR¼RyR和PXR¼Rcosw0R。X0¼XL01和Y 0¼Y100物理系统的滚子支撑被消除，以获得简单的曲梁模型，局部欧拉标架OX0Y0Z0拉格朗日坐标系Oxyz由下式给出：辊-梁界面施加在曲梁模型的两个端点处。此曲梁的自由体图x¼X0eLcoswL和y<$Y0-e Lsin wLð4Þ414S. Ghuku，K.N.Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）408秒/秒W¼F þð=布吕格ð Þ储存在梁上的电位（U）和工作的外载荷（V）。沿x轴的梁跨度（06x6L）。另一方面，如果2v党卫2vSN SN1-jn2@sS2S2BB@s1-jn@sU¼224小时0秒24小时0小时-nw0b0þðu0sÞðw0bÞw0bu0s-2nu0sw0b0SB@s200万美元BSBSB@sBBB@sBB@sS0b0S0秒@sð.Σ. - 是的Σn20003N000见图7。 在更新的笛卡尔坐标系和贴体曲线坐标系中初始曲梁的自由体图。利用上述关系，OXYZ之间的转换关系和Oxyz坐标被建立为x¼XL01eLcoswL¼XL1和 y<$Y-eLsinwL50一旦光束轮廓在Oxyz坐标系中变换，从GCS，拉格朗日坐标系Osnz中的坐标测量由下式给出：3.4.控制方程图7中所示的曲梁模型的控制方程是通过最小化总势能泛函（p）在拉格朗日坐标系Osnz中导出的，其通过下式实现：dp¼0：180sZsds0Zxq1dydx2dx06总势能（p）由两部分组成：应变能在Oxyz系统中，问题域被归一化（06x应变能U由应力-应变n61）与产品U1Rredv.轴向应变在Osnz系统中分析，用弧长（06s6S）进行归一化（06ns61然而，随着跨度和弧长的变化，随着荷载的变化，对梁的跨度和弧长进行更新，进行上述规范化处理。由于本梁问题的控制方程的推导及其求解是在O_（snz）系统中进行的，因此从这里开始n_s将用n3.3.边界条件曲梁的边界条件（参见图1）。 7），在两端预先规定，涉及位移条件和力条件。由于目前的理论分析是通过基于位移的方法进行的，因此在本节中确定并提出了位移场在Osnz坐标系中，表示为：（ess）和剪应变（esn）的位移场，根据几何精确梁理论[18]在贴体曲线框架中获得。在贴体曲线坐标系中定义未变形梁几何形状的两个基向量沿梁中心线的切线方向和法线方向取得。允许基向量随物体变形，这种共变基向量的变形给出应变-位移关系作为ess¼11@un 2u01u021w02-n w00w0b@un g和esn¼1@un .这两个方程对于主要的梁几何形状对应于特定的载荷阶跃，因此当几何形状在载荷增量之后被更新时，方程也保持有效。用应变这里，wbs是横向物体位移，uss是平面内梁中心线分别因弯曲和拉伸而产生的位移，这些位移分量仅为函数，EbZS Zh=21（1.@un40-h=2 @s4 1-jn21414s的关系。 另一方面，uns;n是变形位移223二、@un2.@un21 .一、@un22梁在（s;n）平面内剪切变形引起的场和这个函数，横截面的翘曲边界控制n2012年12月0日联系我们ðu0sÞ þ2@su0s.@un2@s.2019年12月23日@s在s <$0;S<$7a1时，在s <$0时，在s <$0时，在S<$7b时，在s <$0时，n <$0;在S和n<$4时，h= 27cg你好，我很高兴。@un1u02w02-nu02w00u02w0.@un-nw0www@u-2nww.@unnndsGbZS Zh=21（.@un2）两个边界中的面内位移场为：未知，但横向位移场来自þ20-h=21-jndnds999规定了弯曲和剪切变形位移场导致在增量加载的每个阶段的曲梁的变形配置的刚体运动，这是除了变形位移。添加一些刚性考虑到锁定力矩Ms、面内力Ts和前一载荷步骤中产生的剪应力s，用外载荷W表示的V的表达式为：身体位移到坐标原点将照顾实际边界条件因此，这种类型的梁弯曲V¼-WcoshwbjsW— ðWcoshÞunjn¼0— 吴信和通过更新算法拉格朗日方法。ZSM w ds0ZST u ds0bZS Zh=2s0-h=2.@unnn nds10¼þðu0sÞ位移场的条件如下所示þþþSNÞS. Ghuku，K.N.Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）408415联系我们1/1¼þ我我我I¼我1/1我B载体，具有下列形式@si-1ni-1¼0B@si-1。ni-1¼0P PP和ffg ¼f2：6 7>>=>=D/¼0能量方程通过使用归一化参数n 1/4 s=S和g1/4n 1/4h= 2n 1/4 =h进行归一化。在这个归一化域中，未知位移场被假定为un;gnnc1a1na2g，us nns1c2bin和w bn nwc3cin。将近似位移场的归一化能量表达式代入系统控制方程（方程式（8））并对未知系数进行变分，得到本曲梁弯曲问题的控制方程组为½K]fcg¼ffgð11Þ在上述等式中，1/2K]是刚度矩阵，位移场的未知系数，ffg为载荷YiY i-1uY.然而，在加载条件下的几何计算并不那么直接，因为它需要对通过基于能量原理的迭代方法在拉格朗日框架Osnz中获得的位移场usn进行后处理。因此，首先在贴体曲线坐标系Osnz中进行几何更新，然后转换到全局坐标系中。在该身体拟合框架中，几何形状由沿着梁中心线的每个点处的弧长（s）和斜率（h）限定，并且变形由梁中心线相对于Osnz的原点的斜率和平面内位移的变化限定。的斜率变化梁剖面（si-1;hi-1），由于施加增量载荷D W，由D /1/4w0@un给出。.另一方面，来自拉伸场2K11K12 k1338c19 8f19½K]¼4k21K22k235;fcg¼c2（us）在Osnz帧中由us_us_j_s_i-1/4 0给出。然而，除了这种拉伸场之外，弯曲梁域也由于到切点的位移，如图所示。 8（c）. 这个领域的增长-k31k32k33>：c3>;>：f3>;单元沿中心线施加位移场（μm），并且校准刚度矩阵1/2K]和载荷向量ffg的元素为当06si-16si-1时，由um/eLD/计算和m/RD/，当见附录B。si-1D/¼0 6s i-16s i-1. 梁中心线的位移来自3.5.几何更新由于在第i个荷载步Wi-1上施加增量荷载DW，曲梁（Xi-1;Yi-1）将出现位移场在Osnz帧中的um由um-umjsi-1/4 0给出。因此，曲线框架中梁中心线在第i个荷载阶跃处的变形构形由下式给出：si¼si-1us-usjsi-10um-umjsi-10和uX和uY，并且占据关于全局的配置（Xi;Yi）帧OXYZ作为示在图8（a）.因此X和Xi¼Xi-1u¼ ¼hi¼hi-1w0@un。ð12Þ图8.第八条。变形和未变形的配置在（a）全球和（b）本地笛卡尔框架，和（c）域的变化，由于旋转辊。416S. Ghuku，K.N.Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）4082¼ ¼¼¼我我我现在，曲线坐标系（si;hi）中的变形几何是反式的。形成局部笛卡尔坐标系Oxyz使用关系iZh=2DMs--h=2iZh=2-h=2Ebessdn;ZSIxi¼0ZSI0iZh=2i-h=2在该局部笛卡尔坐标系Oxyz中，变形的梁几何形状将看起来像图8（b）中所示的变形配置。最后，通过使用如等式2中所描述的框架之间的变换关系来获得全局框架OXYZ中的波束配置（5）下面介绍X i¼x i-L1i和YiyieLsinwLi 144. 比较与探讨未知位移场的必要起始函数选择为a1111/4n1-n，a2 11 1/4g1-g，b111/4 gn-0：5和c1<$N<$1-N<$N，满足几何边界条件如Eq. （7）。利用Gram-Schmidt格式生成高阶正交函数。坐标函数的个数取nnNSNW5、满足感--存储收敛到计算方案。作为控制方程（Eq. （11））涉及强非线性，求解过程考虑能量平衡的误差限制为l1 1/41 e- 05，通过连续松弛方案来实现。一旦未知系数的解收敛，位移场变为已知，并且使用前一节中提出的几何更新方案来更新几何。利用更新的梁几何形状和已知的应变场，增量弯矩、面内力、剪力和剪应力根据它们的基本定义计算，现在，通过将这些增量场与前一载荷步的相应场相加，计算当前载荷步的弯矩、面内力、剪力和剪切应变场：由下式给出：当前加载步骤i处的这些字段将在下一加载步骤i = 1处充当锁定字段。 如果计算的平均剪切力和施加的载荷之间的差值（定义为l21/4 jΩ aΩ-Wj=W）大于a预定义的误差限制，能量平衡的整体计算，几何以DWi 1/4DWi=2重复计算更新和力平衡。对于本计算，允许误差l2为7%.表1中所示的主板簧的空载曲线现在被转换为全局参考系OXYZ，计算了外倾角（C0<$129： 04 mm）和相对于几何中心的偏心率（eW1：74 mm）。利用实验试件的修正几何形状，使用本数值方法在不同载荷水平下生成挠度曲线，如图所示。 9（a）。图9（a）中的等值线图表明，随着载荷的增加，试样形状保持对称计算的三维挠度轮廓表面是在实验载荷值处内插的，如载荷轴上所标记的，并在图9（b）中单独显示图9（b）还示出了实验偏转轮廓，因此获得了数值和实验结果之间的比较。跨距（L）和弧长的变化（S）在不同的实验负荷值，在图中。 10图9.第九条。（a）数值获得的不同载荷下的主板簧的挠度曲线和（b）数值和实验获得的挠度曲线之间的比较Ebessndn;联系我们科索赫-伊贾兹-伊和是的新南威尔士州我的天啊Gbesndn 和DssnS. Ghuku，K.N.Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）408417见图10。 数值和实验结果（a）跨距和（b）弧长随负载的变化。（a、b）。如前所述的解决方法，目前的数值方法是通过在每个增量负载步骤的能量和力的平衡。因此，为了确保满足这些条件，还计算了对应于每个实验载荷值的应变能（U）、势能（V）和平均剪切力（Qa数值计算的能量（U和V）以及能量平衡误差（¼p-2U，即V-U）与负载的关系如图所示。图 11（a）. 另一方面，剪切力l2的误差（%），如在实验载荷值下观察到的，如图11（b）所示。这是显而易见的比较，在图。 9（b）和图图10（a，b）所示，数值和实验结果在较低载荷值下匹配得相当好。然而，差异随着载荷的增加而增加，并且与实验相比，数值获得的挠度较小，这表明随着载荷的增加，物理结构相对更弱（刚度降低）。物理系统的刚度随着载荷的增加而减小，这是由于在主板簧中存在孔，而在数值模型中没有。此外，孔引起局部应力增加，并且这种应力集中效应增加了物理结构的更弱。将这样的几何变化结合到计算机建模中可以导致对实际实验系统的更真实的模拟。然而，将这些效应实施到数值方案中需要不同的和更广泛的研究领域，因此这些效应不包括在本模型中。然而，在本模型的框架内，数值计算结果与实验结果的比较可以被认为是令人满意的验证。5. 结论本文采用修正拉格朗日方法，对弯-拉-剪复合变形下的动边界初始曲梁的大挠度特性进行了实验和理论研究将主片簧作为非线性曲梁问题的等效物理系统，在一个专门设计的三点弯曲试验台上，采用直接测量和图像处理技术，对主片簧在静载荷作用下的挠度特性进行了实验在确定了相关的物理参数和运动学、动力学本构关系后，采用最小化总势能泛函的方法，导出了几何非线性控制方程考虑几何非对称和偏心荷载作用下的非均匀曲梁，将问题的形式推广。迭代求解过程在MATLAB®的计算环境中实现。在几何更新过程中的每一个增量载荷步，除了能量平衡外，还满足力平衡条件由于理论曲梁模型除包含非线性运动学外，还包含多种复杂效应，因此可以独立分析多种复杂曲梁结构。此外，理论和实验结果可以在钢板弹簧系统的设计应用特别感兴趣最后，通过实验和理论结果的比较，讨论了物理系统的几个一些意见有关的进一步改进模拟的大挠度行为的细长的物理结构已被报道。见图11。 （a）能量与能量平衡误差的变化和（b）剪切力与载荷平衡误差的变化。418S. Ghuku，K.N.Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）408FG.X.X.X！. X.X;a01a2ia01a2jk12¼2S2c1ka01ka2k11k13¼2S3f 1-jhg-0：5g- hg-0：5Wmax外部施加的最大负载值实验中使用的笛卡尔坐标系：！.X！：k¼1附录A. 符号A梁的横截面积A;B滚子中心A0;B0左右滚轮与地面接触点A1;B1左右滚轮与横梁的虚拟接触点b梁横截面fcg未知系数C0钢板弹簧在OX0Y0Z0中的外倾角 或OXYZeL;eR左右滚轮节圆半径eW负载W的偏心率，以OXYZ为E梁材料的杨氏f载荷矢量F内生摩擦力DW负荷增量轴向应变和剪切应变g归一化n坐标h曲梁剖面j曲梁中心线曲率l1迭代能量平衡中使用的误差限l2迭代剪切力平衡误差n归一化s坐标nW加载点的归一化sp总势能q曲梁剖面的曲率半径（1/4=j）轴向应力和剪应力锁定剪应力左、右滚轮中心处的反作用力角（wL¼p=2-hLats¼ 0，wR¼p=2hR ats¼S）G梁材料w0;w0左右滚轮反作用力角度h梁截面加载点的HW纵坐标（Oxyz）H0W装载点纵坐标（OX0Y0Z0）刚度矩阵Oxyz中问题域的LL0主板簧滚子中心之间的距离，即，跨度LW加载点横坐标（单位：Oxyz）L0W装载点横坐标OX0Y0Z0Ms弯矩场LR支撑点附录B刚度矩阵XnnXnn Z1Z1212. 8<. Xnn！2ng用于计算的精度点数nn; ns; nw对于u的正交函数数 ;u;wbk11¼联系我们004f1-jhh hg-0：5h g42S3k¼1c1ka01ka2knSNL;TL;NR;TR法向和切向分量点A1和B1NWþ3k¼12c3kc0kSNSk¼1c2kb0k！þNSk¼12c2kb0kOxyz;Ox0y0z0 ;Osnz贴体Lagrangian笛卡尔和Curvedian系统-hg-0：5.XNWNWc3kc0k0þ2c3kc0k！. Xnn c1ka01a2k！）全局欧拉坐标系kkOX0Y 0Z0局部欧拉坐标系¼1. GA编号#Sk¼1k¼1点A1和B1i jQa平均剪切力Qs剪力场EAXnsXnn Z1Z1“1（。Xnn ！联系我们00f1-jhg-0：5gk¼1R滚轮左滚轮和右滚轮的外半径R xL; R yL; R xR; R yR 左 右 滚轮支座A0、B0点反力加载点的sW s坐标（单位：Osnz）NWþk¼1c3kc0k！2NS公司简介k¼1c2kb0kNWk¼1c3kc0k ！）b0ia01ja2j#dgdnS曲梁弧长（A B）拉伸产生的面内力场01 - 02 - 02 01 - 02 01 - 02 - 02 01 - 02 01 - 0101 - 02 01 - 02 01 - 0101-0201-0101-0201-0201-01 01 - 02 01 - 01-0201- 01-01联系我们00. Xnn！领域由于Osnz中的剪切和拉伸引起的位移场NW2019年01月05日星期五k¼1c3kc0k ！）c0i0a01ja2j乌锡位移场（单位：O）新南威尔士州8.第八条<。Xnnc1a01a2K2NS 公司简介c2b0k！þ1 .一、Xns2c2b0kU应变能v射束体积V外载KKk¼1. Xnw！2Kk¼1.XNWKk¼1！9=3由于在Osnzþk¼1c3kc0k-hg-0：5k¼1c3kc0k0c0ia01ja2j5dgdnW外部施加的垂直荷载（第i个荷载级WWi）.X.X.X水平和垂直分量þdgdnRL;RR点A0、A1和B0、B1处左右滚轮的反作用力c1ka01ka2k！！þ！3S. Ghuku，K.N.Saha/Engineering Science and Technology，an International Journal 21（2018）408419k21¼2S2c1ka01ka2kEAXnnXns Z1Z1“1（。Xnn ！联系我们00f1-jhg-0：5gk¼1几何测量a;b;c剪切、拉伸和弯曲位移场NWþk¼1c3kc0k！2NS公司简介k¼1c2kb0k西北k¼1c3kc0k！）a01ia2
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