解析函数的广义积分算子及其次子类

n22Xfωgzabgωfz： 1：3P.. dh6kpJournal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，11埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章某些子类与广义积分算子T.M. Seoudya，*， M.K. AoufbaFayoum大学理学院数学系，Fayoum 63514，埃及b埃及曼苏拉35516，理学院数学系收稿日期：2012年4月26日;接受日期：2012年2012年12月14日在线提供本文引入了几个用广义积分算子定义的解析函数子类，并研究了这些子类的各种包含性质。一些有趣的应用，包括这些和其他家庭的积分运算，还考虑了其他因素。2000数学次级分类：30C452012年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍设A表示函数f（z）的类，其形式为：fzzX1azn;1：1n¼2这是 解析在 开放单元磁盘U¼ fz：z21 （z U），使得f（z）=g（x（z））（z U）。特别地，如果函数g在U中是单叶的，则上述从属等价于f（0）=g（0）和f（U）c g（U）。对于两个函数f（z）由（1.1）给出，g（z）由下式给出X1gzzn¼2C和jzj1g。<如果f和g在U中是解析的，我们说f是次解析的。纵坐标g，写作fpg或f（z）pg（z），如果存在一个Schwarz函数x，在U中解析且x（0）=0且<$x（z）<$<*通讯作者。电子邮件地址：tms00@fayoum.edu.eg（T.M.Seoudy），mkaouf127@yahoo.com（M.K. Aouf）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier它们的Hadamard乘积（或卷积）定义为：1Nn nn¼2对于06a1，我们用S*（a）和C（a）表示A的子类，它们分别由U中的a阶星形和a阶凸解析函数组成.<设ka是满足性质p（0）=1的在U中解析的函数类p（z），Z2p。Ffifpzg-a.01110- 256 X？ 2012埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.09.004关键词解析函数;星形函数;凸函数;积分算子;Hadamard积;从属bn znn 1：21-a12T.M. Seoudy，M.K.Aoufð ÞAPnf0kzðþÞ ð-Þ2;1ðþÞq;s¼ ð2Þð Þ2 2019年12月22日q;s1NSn1Q1Sq;s其中z=reih，kP2和06a 1。< 这类课程由Padmanabhan 和Parvatham介绍[4]。 对于a=0，类PkPk由Pinchuk[3]引入。我们还注意到，P2是函数类，对应于函数h（al，. . ，a q; b1，. ，b s; z），由（1.10）定义，我们引入函数h l（a1，. . ，a q; b1，. . ，b s; z）由下式给出：h a;. ; a; b;. ; b; z ω h a;.. . ; a; b;. ; b; z大于a的正实部，且P2= 0.001/P，其中P为1Q1sl1q1s具有正实部的函数类。由式（1.4），我们有p<$z <$2Pk<$a<$当且仅当存在p1;p22 P<$a<$使得z公司简介粤ICP备16018888号-1的pz. k 1pz. k 1pz2019年12月25日星期二上午10：00-12：00类似于H（a1，. ，a q; b1，. . ，bs），Kwon和Cho[18]引入了线性算子Þ ¼4þ 21 - 4-22Hla1;. . . ;aq;b1;. . . ;bs：A！一已知[6]Pka是一个凸集。利用ka类， 我们 引入了 它的子 类Sωka 和 Ck （ a ），06a1，其定义如下：如下所示Hla1;.. . ;aq;b1;.. . ;bsfzhla1;.. . ;aq;b1;.. . ;bs;z< $ωf <$z<$1.zf0z<$zX ln-1b1n-1···bsn-1aznSωkf2A：fz2PkainU; 2011年1月6日n¼2a1Cka。f2A：我们注意到zf0：101：700[0028][0029][029][02. ;s;j1;. . . ;q;l>0;f2A;z2U：2019 -01- 1300：00：00对于q = s +1和a2= b1，. . ，a q= b s，我们注意到，SωaSωa和CaCa：Hll;. . . ;aq;b1;. . . ;bsf zfz和22对于复杂参数a1;。 . . ;aq;b1;.. . ;bsbjRZ-0½f 0; -1; -2;.. .g;j¼ 1;. ;s≠ 0，广义超几何函数qFs（a1，. ，a q; b1，. ，bs;z）由下式给出：H21;. . . ;aq;b1;. . . ;bsfzzf0z：为了方便起见，我们写Hla1Hla1;. . . ;aq;b1;. . . ;bs ss s：X1 a1n¼0 你好. bq;s p从定义（1.13）中可以很容易地证明：q6sz.Hla1fz01H11a1fz-l-1H1a1fz1：14¼N[f0g;N1; 2;.. . g;z2U/min;101：80和q;sÞ1/4q;sq;szHla11fz 0a1Hla1fz-a1-1Hla11fz：其中（x）n是Pochhammer符号（或移位阶乘），定义（根据Gamma函数）q;sq;sLq;s1：15分联系我们CxnCx1升/升;xx 1... x 第二代仙女：11：00 -12：00特别地，算子H2; 1k1; 1; 1 l>0;k> 1由Choi et al.”[12]《明史》：其他的东西）几个包含性质涉及各种子类的解析和单叶函数。为对应于函数h（ai，. ，a q; b1，. . ，b s; z）定义为：h a 1;.. . ; a q; b 1;. ; b s; z z q F s a 1;. ; a q; b 1;.. . ; b s; z n：1： 10分Dziok和Srivastava[8]考虑线性算子Ha1;.. . ; a q; b1;. ; b s：A！ A定义为Ha;.. . ; a; b;. ; b fz1;.. . ; a q; b1;. ; b s; z <$ω f <$z <$knnN0且l=2，我们还注意到Choi-Sago[9]努尔萨和努尔萨。其次，利用算子H1a1，我们引入了如下几类解析函数，其中kP2，l>0，aiC i1;. . . ;q;bjCZ-0 J1;.. . ;s和 06a1如下：Sωk;q;sl;a1;anf2A：Hla1fz2Sωkao;1：16C k; q; s l; a 1; a n f 2 A：H l a 1 f z 2 C k a o：1：1 71/4zX1a1时间：2019-01-0100：00：00我们还注意到n¼2b1n-1··b s n-1n-1！n¼.q F s a 1;.. . ; a q; b 1;··· ; b s;z;你好！解析函数某些子类的包含性质13我们注意到，与Dziok-Srivastava算子和许多特殊算子相关的解析函数的许多子类fz2Ck;q;sl;a1;a（）zf0z2Sωk;q;sl;a1;a：1：18特别是，我们设置Aghalary和Azadi[17]、Dziok和Srivastava[13，14]、Liu[15]、Liu和Srivastava[16]其他的。Sω2;q;sl;a1;a和 C2;q;sl;a1;a¼Cq;sl;a1;a：14T.M. Seoudy，M.K.Aoufq;sq;sfg22ðþÞð Þ þq;s.zH.ΣþzHðaÞfðzÞ1¼ ð Þ þ我iipzl-1ð ¼Þq;sq;s1-Zk; q;s11我在本文中，我们研究了一些包含性质，波兹. k 1pz. k 1pz;类Sωk;q;sl;a1;a和Ck，q，s（l，a1;a）与广义积分算子Hl∈a1∈. 一些应用Þ ¼4þ 21-4- 22涉及积分算子也被认为是。2. 主要结果则p<$z<$2Pk<$a<$，即f2Sωk;q;s<$l;a1;a<$。为了证明第二部分，设f2Sωk;q;s<$l;a1;a<$，z.Hla11fz0qz我们的调查需要以下结果Hla1引理15. 设f（z）是U中的凸单叶，且f（0）=1，且f_b/z_ c> 0 b;cC. 如果p（z）在U中解析，且p（0）=1，则其中q（z）是解析函数，q（0）=1。 然后，通过使用类似于上面在公式1.15中详述的那些论证，可以得出q2 Pk∈a∈ U，这意味着 FSωk;q;sl;a11;a.这完成 的 证明的定理1. Hpzzp0zbpzc<2019- 02-12 00：00：00定理2. 设kP2和a1，l> 1. 然后，意味pz/z：2：2定理1. 设kP2和a1，l> 1. 然后，Ck;q;sl1;a1;aCk;q;sl;a1;aCk;q;sl;a11;a06a1：证据 应用（1.18）和定理1，我们观察到，Sωll;a;al;afz2Ck;q;sl1;a1;a（）Hl1a1fzk; q;s1k;q;s1k;q;s1q;s2Cka（）z.Hl1a1fz0证据 首先，我们将展示2 Sωa（）Hl1a1zf0z2Sωa（）zf0zSωk;q;sl1;a1;aSωk;q;sl;a1;a：K2Sωk;q;sq;s kl设f2Sωk;q;s<$l<$1;a1;an且集合2Sωk;q;sl;a1;a由定理1证明，Lp;q;sa12Ck;q;sl;a1;a通过Eq：22：7计算;22：7计算pzHlap; q;s1f<$z<$2C<$l;a;a<$（）zf0<$z<$2Sω一个;一个;一个2019-02 - 2200：00：00其中p（z）在U中解析，p（0）=1。使用（1.14）和（2.3），我们有）zf0<$z<$2Sωk;q;s<$l;a1<$1;a<$通过定理1，f∈z∈2Ck;q;s∈l;a1∈1;an;l10pHl1afzpzzp0zpzl-12 Pk克这显然证明了定理2。Hp1P2; 06a 1;z2U：2：4<备注1.分别取定理1和定理2中的k = 2，我们得到了Kwon和Cho [18，Theorems我们的目的是证明pz2 Pka。如果02.3和2.4，分别）。pzzpz2Pka，然后那里存在两功能h1zpzl-1;h2z 2 P一个这样的人，3. 积分算子pzzp0z1/4。k1hz. k 1hz：在这一节中，我们考虑广义Libera积分pzl-1现在让4 21-4-22算子Fc（cf. [1，2，7]）定义为Fcfzc1Zzt c-1ft 2.2A;c>-1：3：1hzp zz p0iz<1小时1- 2小时我1; 2; 0 6 a<1;1-Zzc0由于l>1，我们可以看到，FF岛1个月1-2个月2 -3个月1-1个月>0个 06a<1;z2 U12：50我们首先证明以下定理。定理3. 若f2Sωk;q;s<$l;a1;an，则Fc<$f <$<$z<$2Sωk;q;s<$l;a1;an<$kP 2; c P 0 <$。证据设f2Sωk;q;s<$l;a1;an且集合将引理1应用于（2.5），可以得出：1k; q;s解析函数某些子类的包含性质15z.Hla1Fcfz0pz11-2az1; 2; 06a10： 10月3日：9日FFI1年1- 2年a1-Z>0个 06a<1;z2 U属于类Sωk;q;sl;a1;al或Ck;q;sl;a1;al。证据 从公式3.9，我们有将引理1应用于（3.6），可以得出：a1fza1-1rzzr0z：3：10pz11-2azi¼1; 2; 06a 1;z2U<利用公式1.15和公式3.10，我们可以写出：1-Z这意味着，i=1，2。现在如果a1Hla11Fza1-1Hla11Rz. k 1. k 1q;sq;s你好Hla11rz0a1Hla11rz：pz4þ2p1z-四比二p2=z2;因此q;sÞ1/4q;s则p<$z<$2Pk<$a<$，即Fc<$f<$z<$2Sωk;q;s<$l;a1;a<$。 H接下来，我们导出涉及F（f）（z）的包含性质，Hla11fzHla1rz;由以下定理给出。定理4. 若fCk，q，s（1，a1; a），则Fc（f）（z）Ck，q，s（1，a1;a) （kP2，cP0）。证据 通过应用定理3，可以得出：这证明了定理6。 H引用[1] R.J. Libera，几类正则单叶函数，Proc. Am. Math.Soc.16（1965）658f<$z<$2C<$l;a;a<$（）zf0<$z<$2Sω l;a;a[2] A.E.李文斯顿，关于某些解析函数，Proc.Am. 数学Soc. 17（1966）3522Sωk;q;sl;a1;a定理3z02Sωk;q;sl;a1;a（）Fcfz2Ck;q;sl;a1;a;这证明了定理4。 H备注2. 在定理3和定理4中分别取k = 2，我们得到Kwon和Cho [18，Theorems3.1 3.2分）。kP2; 06a 1;z2U<<Σ我0解析函数某些子类的包含性质17[3] B. Pinchuk，有界边界旋转函数，Isr。J. Math.10（1971）7[4] K.S.帕德马纳班河一类具有有界边界旋转的函数的性质，Ann.Polon。Math.31（1975）311[5] P. Eenigenburg，S.S. P.T.米勒Mocanu，M.O. Reade，On aBriot-Bouquet differential subordination，in：General Inequalities，3（Oberwolfach，1981），Internationale Schriftenreihe zur N u meri sche n M athematik ， vol. 64 ， Birkhaüuser ， Basel ，Switzerland，1983，pp.339-348.18T.M. Seoudy，M.K.Aouf[6] K.I. Noor，关于高阶近于凸函数的子类，Int. J. Math. Math.Sci. 15（1992）279[7] S.D. Bernardi ， 凸 函 数 和 单 叶 函 数 ， Trans. Am.Math.Soc.135（1996）429[8] J. Dziok，H.M.张文，等.广义超几何函数的解析函数类.应用数学与计算，2000 ，24 （1）：100 - 101. 103 （1）（1999）1[9] K.I.张文，等.一类新的积分算子.北京：高等数学出版社[10] K.I. Noor，文学硕士Noor，关于积分算子，J. Math. Anal.238（2）（1999）341[11] J. - L. Liu，Noor积分与强星形函数，J. Math. 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