二维和三维时间分数阶电报方程的约化微分变换解析

制作和主办：Elsevier埃及生物多样性和生物多样性科学杂志1（2014）60e66可在www.sciencedirect.com在线获取ScienceDirect杂志主页：http://ees.elsevier.com/ejbas/default.asp二维和三维时间分数阶电报方程的约化微分变换解析维尼特湾Srivastavaa，*，Mukesh K.Awasthib，Sunil Kumarca印度空间研究组织遥测、跟踪和指挥网络，班加罗尔，560058卡纳塔克邦，印度b印度北阿坎德邦德拉敦247008石油和能源研究大学c印度贾坎德邦贾姆谢德普尔国家技术学院数学系，邮编：831014。A R T I C L E I N F O文章历史记录：收到日期：2013年10月28日收到日期：2013年2014年1月2日接受2014年2月5日在线发布保留字：二维和三维TFTEs分数阶微积分简化微分变换法解析解A B S T R A C T本文提出了一种基于级数展开法的解析解，并利用一种新近出现的可靠的半近似方法，即约化微分变换法（RDTM），在适当的初始条件下求解二维和三维时间分数阶电报方程（TFTE）。使用RDTM，可以找到微分方程的精确解或封闭近似解。通过四个算例验证了该方法的精度、效率和收敛性。版权所有？2013，曼苏拉大学.制作和主办Elsevier B.V.所有权利reserved.1.介绍工程和科学领域中出现的一些真实现象可以通过使用分数阶微积分理论开发模型来成功地证明分数阶微分理论由于分数阶系统的响应最终收敛于整数阶方程而受到越来越多的关注分数阶微分的应用对于诸如地震建模、具有分数导数的交通流模型、粘弹性材料特性的测量等的真实世界物理问题的数学建模在当今时代已经广泛传播在十九世纪以前，这类方程甚至线性分数阶微分方程都没有解析最近，Keskin和Oturanc[1]发展了约化微分变换* 通讯作者。联系电话/传真：091- 8050682145。电子邮件地址：vineetsriiitm@gmail.com，vsrivastava107@gmail.com（V.K.Srivastava）。由曼苏拉大学负责进行同行审查。2314- 808 X/$e见前页版权所有2013年，曼苏拉大学。由爱思唯尔公司制作和主持All rightsreserved.http://dx.doi.org/10.1016/j.ejbas.2014.01.002M>;-1Mvt2a2a： -Þ ;>;vta一vx22vy221vtavtavx2vy2vt2a2avta一vx22vy2vz21;x;y;z;t≤U;p>0;q> 0（3）vtavtavx2vy2vz2（一）加瓦什eGYPTI anJOURNALof b asI c and aPPlI e dSCIENCES 1（2014）60e6661方法（RDTM）的研究，并表明RDTM是一种易于使用的半解析方法，并给出了线性和非线性微分方程的精确解。假设u（x，y，t）和i（x，y，t）分别表示双导体中的电压和电流，则二维时间分数电报方程（TFTE）为v2au2pvauq2uv2uv2ufx;y;t;9=方程，而不使用线性化，变换，离散化或限制性假设。同时，RDTM格式对于工程和科学各个领域中出现的多维时间分数阶物理问题是非常容易实现的。2.分数阶微积分v2i2pviq2ivivif2x;y;t;;其中U^[a，b]×[c，d]×[t> 0]。初始条件假设为ux;y;0f1x;y;9>=这一理论在文献中已有二十多年的历史。分数阶积分和导数的几个定义已经提出，但第一个主要贡献，以给予适当的定义是由于刘维如下。utx;y;0f2x;y;ix;y;0c1x;y;itx;y;0c2x;y;;x;yu（2）;>定义2.1. 一个实函数f（x），x>0被称为在空间Cm，m≠0中，如果存在一个实数q（>m），使得f（x）^lxqg（x），类似地，三维（3D）时间分数阶其中g（x）<$C[0，N），如果电报方程（TFTE）可以给出为v2au2pvauq2uv2uv2uv2ufx;y;z;t;9>=22f（m）<$Cm，m<$C.v2i2pviq2ivivivif2x;y;z;t;>;其中U^[a，b]×[c，d]×[e，f]×[t>0]，初始条件ux;y;z;0xx;y;z;9定义2.2. 对于函数f，阶为a≥0的RiemanneLiouville分数次积分算子[23]定义为：1utx;y;z;0x2x;y;z;>=;x;y;zU（4）8>Zxix;y;z;0j1x;y;z;ix;y;z;0jx;y;z>Jafx1x-t（五）t2在方程式中，（1）和（3）p和q表示常数。对于p>0，q<0，0>：J0fxfx（一）和(3)表示时间分数阶阻尼波动二维和三维的方程。电报方程比一般的扩散方程更适合于模拟反应扩散。双曲型偏微分方程模拟结构（例如机器，建筑物和梁）的振动，它们是原子物理学基本方程的基础。电报方程是工程和科学中若干相关问题如波的传播[2]、随机游走理论[3]、信号分析[4]等建模的重要方程。近年来，从文献中可以看出，人们对RiemanneLiouville导数有一定的缺点，试图用分数阶微分方程来模拟现实世界的问题。为了克服这种差异，Caputo和Mainardi[24]在他关于粘弹性理论的提出了一种修改的分数微分算子Da。Caputo分数阶导数允许利用包含整数阶导数，这些条件具有明确的物理解释。定义2.3. f在Caputo意义下的分数阶导数[25]可以定义为1Zxð Þ ¼ ð Þ ¼0的分析和数值方案的发展，一维和二维双曲分式DafxJm-aDmfx甘姆阿托x-t和非分数TFTE[5e22]。据我们所知至今还没有人应用RDTM来求解时间裂缝，二维和三维的阶次电报方程。本文提出了一种基于级数解法的既约微分变换方法，用于求解时间分数阶电报方程（TFTE）的二维和三维解析解。建议的准确性和效率对m-1 0，f ≠Cm.Caputo分数阶导数的基本性质如下。引理若m-1a≤m，m≠0且f≠Cm;m≥-1，则<8>DaJafxfx;x>0;方法通过四个测试实例来证明的该方法的主要优点是它解决了电报>DaJafxfxPmfk0xkx0（七）;x;y;t=0;p>0;q> 0在本节中，我们演示了一些符号和定义-将在研究中进一步使用分数阶微积分k¼0k！X“KaX“XX x XXZ>;X格奥尔格河格奥尔格河Kvx2Kvy2KD1U1x;yf2x;y;Kvx2kvy2kD262eGYPTI anJOURNALof b asI c and aPPlI edSCI en nces 1（2014）60e66表1e简化微分变换方法的基本运算原函数约化微分变换函数RD[u（x，y，z，t）v（x，y，z，t）]Ukx;y;z5Vkx;y;z¼PkUrx;y;zVk-rx;y;zr¼0RD[au（x，y，z，t）bv（x，y，z，t）]aUk（x，y，z）bVk（x，y，z）RD[vNa/vtNau（x，y，z，t）]G（ka<$Na<$1）/G（ka<$1）Uk<$N（x，y，z）RD[vmnps/vxmvynvzpvtsu（x，y，z，t）]（ks）！/ k！vmnp/vxmvynvzpUks（x，y，z）RD[xmynzptq]{xmynzp，k<$q 0，否则RD[elt]lk/k！KRD[sin（axbygzut）]w/k！sin（pk/2！（axbyz）KRD[cos（axbygzut）]w/k！cos（pk/2！（axbyz）在这项研究，Caputo分数阶导数，因为它允许传统的初始和边界条件，以包括在N1vkwx;y;z;twx;y;z;t#中文（简体）问题的推导。在[25，26]中可以找到分数导数的一些其他性质。k¼0 Gogkka1000vtkt¼t0当t 1/4 0时，方程（11）减少到3.约化微分变换法（RDTM）N1vkwx;y;z;twx;y;z;t#（12）第一章在这一节中，我们介绍约化微分变换的基本定义。k¼0 Gogkka1000vtkt¼t0考虑一个包含四个变量w（x，y，z，t）的函数，并假设它可以表示为乘积w（x，y，z，t）<$F（x，y，z）G（t）。在扩展一维微分变换[26，27]的性质的基础上，函数w（x，y，z，t）可以表示为：从等式（11）、可以看出，概念的减少微分变换是从函数的幂级数展开式导出的。定义2.2. 如果u=x;y;z;t=RD-1½U[k=x;y;z]，则v=x;y;z;t=RD11/2Vk<$x;y;z<$];卷积5表示约化微分Nwx;y;z;tXN XNNFi1;i2;i3xi1yi2zi3Gjj乘法的变换版本，那么基本的1 2 3 4 5 6 78 910 11 1213141516 17 18 19j¼0简化的差分变换的操作示于NNNN1/4Wi1;i2;i3xi1yi2zi3tj;（8）i1<$0i 2<$0i 3<$0j<$0其中W（i1，i2，i3）/AF（i1，i2，i3）G（j）表示w（x，y，z，t）的空间。表1.在表1中，G表示伽马函数，其被定义为N设RD表示可约化的差分变换算子或R-D1是逆约化微分变换算子。RDTM方法的基本定义和操作如下所述。GðgÞ:¼e-ttg-1dt;g˛ℂ(13)0定义2.1. 如果w（x，y，z，t）是解析的，并且关于感兴趣区域中的空间变量x，y和时间变量t是连续可分解的，那么谱函数[28，29]4.用于二维TFT的将RDTM应用于二维TFTE（1），我们具有以下关系式1“vk#RD½wx;y;z;t]zWkx;y;zGka1vtkwx;y;z;tt¼t0（九）现在将该方法应用于初始条件（2），我们得到2012年8月2日，2008年，在2008年，x;y2012年8月2日，格奥尔格河2012年2月22日，格奥尔格河x;y是w（x，y，z，t）的约化变换函数。在本文中，（n）w（x，y，z，t）表示原始函数，而（X）Wk（x，y，z）代表约化的trans-k（x，y，z）U0x;yf1x;y;9>=;x;yu：（15）形成的功能。 的微分逆约化变换Wk（x，y，z）定义为：I0x;yc1x;y;I1x;yc2x;y;NR-D1½Wkx;y;z]zwx;y;z;t¼Wkx;y;zt-t0ka（10）从上述两方程我们得到的值Uk（x，y），Ik（x，y），k1/2，3，4，. 使用微分逆k¼0Uk（x，y）; Ik（x，y），k1/4 0，1，2，3，.. ，我们得到合并等式（9）和（10），我们得到u（x，y，t）和i（x，y，t）的近似解为：k 2k1：（十四）k 2k1XÞ ¼=Þ ¼KLÞ ¼Þ ¼=（c）Þ ¼;k¼0k;Þ0分;1公斤;Þþ2分;Þ3分;Þ：：;：（16）（c）;k¼0k;Þ1/4;1 0 0 万美元;Þ2002年;Þ103公斤;Þ中文（简体）;格奥尔格河格奥尔格河Kvx2Kvy2Kvz2KD1格奥尔格河U1x;y;zx2x;y;z;3D打印机l1（c）; ;k¼0k;;Þ;0分;1公斤;Þ;þ2分;Þ;：：;*（19）（c）;k¼0k;Þ1/4;Þ1 0 0 万美元;2002年;Þ中文（简体）;（c）;k¼0k;Þk;Þ012y t3不LG213不G-1布里尔二号！三个！k！（c）; Þ ¼;Kvx2kvy2kvz2kD2Gk1L;;eGYPTI anJOURNALof b asI c and aPPlI e dSCIENCES 1（2014）60e6663u x y tPNUx ytkaUx yUx ytaU x yt2aUxyt3a9>i x y tPNIx ytka我x yIx ytaI x yt2aIx yt3a>5.用于三维TFT的RDTM将RDTM应用于三维TFTE（4），我们具有以下关系使用RDTM的初始条件（21），我们有U0x;y1x;y1-3xy：（23）2012年8月2日，x;y;zx;y;z2012年8月2日，格奥尔格河x;y;zx;y;z现在将该方法应用于初始条件（4），我们得到U0x;y;zx1x;y;z;9>=x yz（十八）从等式（23）在Eq.（22），我们依次得到以下Uk x;y值.Σ;U：X射线U kx; y。Ge;k ≥ 2：（24）应用与2D TFTE的情况相同的过程，我们得到u（x，y，z，t）和i（x，y，z，t）的近似解为：其中a 1/4/l，l> 0。使用微分逆约化变换u x y z t;PNUx y ztka;Ux y z;UxyztaUxyzt2a9>i x y z tPNIx y ztkaIx y zIx y ztaI x y zt2a>6.数值算例u x y tPNUx y tkaPNUk¼0xytk.L在本节中，我们将描述第4节和第5节通过四个线性和¼Ux;yUx;yt1.lUx;2.3.我的朋友联系我们（二十五）非线性2D和3D TFTE，以验证效率和RDTM方案的可靠性。1/4 ex1/3y1。我很高兴。我是101岁。-32t2.l-333 .第三章。联系我们：客服：实施例6.1. 考虑2D线性TFT当量（25）表示TFTE（20）的溶液。当l1时，i.e.v2auvauv2uv2ua1，我们得到vt2a2vtauvx2vy2（20）根据初始条件ux;y;texy.1-3t-32-33t3：-3kk：：u x y0exy1/4ex1/3t：ut=x;y;0= 1 - 3ex=y;将RDTM应用于Eq. （20），我们得到以下递归关系式实施例6.2. 考虑以下3D线性TFTE（二十六）>;¼Þþþk 2k1：（十七）k 2k1I0x;y;zj1x;y;z;I1x;y;zj2x;y;z;¼Þþ¼LÞ*（21）Goggka2a1U2012年2月2日，异丙肾上腺素2a a2 2 2Gogkka1000k 2Gogkka1000k1vuvuvuvuvu2019年12月22日（二十七）v2 v2vt2avtavx2vy2vz21/4vx2Uk x;yvy2Uk x;y-Uk x;y：（22）以初始条件.！.！PPÞ ¼L¼U0x;yU1x;yt2016年2月20日2013年3月24日中文（简体）（c）; ;k¼0;k;Þk;; Þ0123L2不Gl1G31K64eGYPTI anJOURNALof b asI c and aPPlI edSCI en nces 1（2014）60e66ux;y;z;0xyz;utx;y;z;0-sinhxsinhysinhz;第28章：（一）将RDTM应用于Eq. （27），我们得到以下递归式Goggka2a1U2012年2月2日，异丙肾上腺素关系Gka1v2k 2v2Gogkka1000XKk1Goggka2a1Ux;y;z三羟甲基氨基甲烷1/4vx2Uk x;y vy2Uk x;y-r¼0 Ur x;yUk-rx;yGogkka1000v2k 2v2Gogkka1000v2k1e2-4k！-exy-2k！：（36）¼vx2Uk x;y; zvy2Uk x;y; zvz2Uk x;y; z-Uk x; y;z：（二十九）使用RDTM的初始条件（28），我们有U0x;y;zsinhxsinhysinhz;使用RDTM的初始条件（34），我们得到U0x;yxy;U1x;yx-2exy：（37）使用等式（37）在Eq.（36），我们依次得到以下Uk（x，y）值（三十）U1x;y;z-sinhxsinhysinhz：-200 l1LX射线U kx; yg. k1Gle;k≥2：（38）从等式（30）在Eq. （29），我们依次得到以下Uk（x，y，z）值K使用Uk（x，y）的微分逆约化变换，我们得到.-1L. l1ux;y;tNk¼0Ukx;ytka1LN公司简介KLUk;y2L L3U k x; y; zG. k1Glsinhxsinhysinhz;k≥2：（31）...利用Uk（x，y，z）的微分逆约化变换，我们1.我很高兴。我是101岁。-2l-23L3 .第三章。l得到u x y z tPNUx y z tkaPNUk¼0xyztk.LlG213不Gl1·····¼Ux;y;zU x;y;zt1.lUx;y;zt2.lUx;y;zt3.联系我们（三十二）1.一个人的生活方式1.我很高兴。我是101岁。-1二、l-13t3.联系我们：客服：当量（32）表示TFTE（27）的解。当l1时，i.e.a1，我们得到ux;y;z;te-tsinhxsinhysinhz;（33）其是TFTE（27）的非分数形式的封闭形式解。实施例6.3. 考虑以下二维非线性薄膜晶体管当l1时，我们得到TFTE的非分数形式的精确解（34）为ux;y;texy-2t：（40）实施例6.4. 考虑给出的3D非线性TFTE为v2uvx2v2u200万美元v2auvt2avau102VTAu2-e2v2uvx2v2u2012年2月v2uvz2¼v2auvt2avau102VTAu2-e2根据初始条件（三十九）¼在初始条件下ux;y;0xy;X射线（35）u=x;y;z;0=x-y-z;ut=x;y;z;0x1-ex-y-z;（42）utx;y; 0.01- 2e;将RDTM技术应用于Eq. （34），我们得到以下迭代公式：将RDTM技术应用于Eq. （41），我们得到以下迭代公式：ð Þþ.！XK（c）Þ ¼; ;k¼0k;; Þk;;0123不G213不G-1：：：kGk1leGYPTI anJOURNALof b asI c and aPPlI e dSCIENCES 1（2014）60e6665Goggka2a1UGogkka1000k 2 x;y;z2个字母Gogkka1000 k1 x;y;z[2] Weston VH，He S. 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