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可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报5（2018）243最小变差对数美学曲面及其在自由曲面光顺中的应用铃木翔，日本，R.U.Gobithaasanb，Péter Salvic，Shin Jingkid，Kenjiro T.三浦da静冈大学信息科学与技术系，地址：日本静冈县滨松市中区城北3-5-1，邮编：432-8561b马来西亚登嘉楼大学信息学与应用数学学院，21030 Kuala Terengganu，Terengganu，Malaysiac布达佩斯技术和经济大学控制工程和信息技术系，Muegyetem rkp。布达佩斯，匈牙利d日本静冈县滨松市中区城北3-5-1静冈大学机械工程系，邮编432-8561阿提奇莱因福奥文章历史记录：2016年11月30日收到2017年8月16日收到修订版，2017年2017年8月18日在线提供关键词：美学设计对数美学曲线对数美学曲面变分原理A B S T R A C T对数美学曲线包括对数（等角）螺线、回旋线和圆的渐开线，通过将其形状定义为其曲率的积分形式来实现对曲率分布的控制，并且它们被期望用于设计领域然而，它是非常困难的扩展到曲面和现有的公式有一些问题，他们不能使用任意的边界曲线。本文提出了该方法基于变分原理，对给定的任意边界曲线，通过最小化本文提出的目标函数生成曲面©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个开放在CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）下访问文章1. 介绍由于设计对产品的质量和吸引力以及功能有着重要的影响，因此对设计的各种研究一直在积极进行。设计中使用的表面最好是高质量的。然而，在当前的CAD系统中，CAD操作员必须通过试错来移动控制点，以获得高质量的曲线和曲面。这需要大量的成本和专业知识。因此，需要一种有效的方法来生成光顺曲线和曲面，以实现高质量，满足客户作为满足这些要求的曲线，提出了对数美学曲线（Harada，Yoshimoto，Moriyama，1999）。它的曲率分布是可控的，它包括对数（等角）螺旋线，回旋线，圆渐开线以及尼尔森螺旋线。预计将用于设计领域（Ziatdinov，Yoshida，Kim，2012）。虽然对数美学曲线具有一些良好的性质，但由于其公式通常由弧长参数定义，因此其公式具有一般参数是复杂的。因此，很难将其扩展到定义具有类似良好性质的新表面。由计算设计与工程学会负责进行同行评审。*通讯作者。电 子 邮 件 地 址 ： shizuoka.ac.jp （ S.Suzuki ） ， gr@umt.edu.my（ R.U.Gobithaasan ） ，salvi@iit.bme.hu（ P.Salvi ） ，dsusuki@ipc.shizuoka.ac.jp（美国）shizuoka.ac.jp（K.T. Miura）。对数美学曲线为了解决这个问题，已经提出了几个新的曲面公式，它们通过扫描对数美学曲线来生成自由曲面（Inoue，Harada，Hagihara，2009; Shikanom，Saito，Yoshida，2013）。Shikanom等人（2013年）通过沿另一条对数美学曲线扫描参数化对数美学曲线来保证等参曲线是对数美学曲线。但是，它们不能为任意指定的边界曲线生成曲面。本文提出了最小变差对数美学曲面作为使本文新定义的目标函数最小化的曲面。我们采用对数美学曲线的变分公式（Miura，Gobithaasan，2012），并将其扩展到曲面。我们的方法可以允许使用任意的边界曲线，并生成一个自由曲面定义为log-美学表面，最小化我们的目标函数。2. 相关工作在这一部分中，我们回顾了对数美学曲线的相关研究，以及对数美学曲面作为对数美学曲线在曲面上的推广。2.1. 对数美学曲线‘‘Aesthetic curves” were proposed by Miura（2006）推导出一个https://doi.org/10.1016/j.jcde.2017.08.0032288-4300/©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。南纬244号Suzuki et al./Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）243-248Fig. 1.对数美学曲线与各种a图二. 对数美学曲面的概念。解析公式的曲线，其对数曲率图（LCG）的解析版本的LDDC是严格的直线和美学曲线的一般方程定义1（对数美学曲线）。对于给定的曲线，我们假设曲线的弧长和曲率半径分别用s和q对数美学曲线由满足以下方程的曲线给出：qa¼ csd1这里a、c和d是实常数参数。特别地，a是LCG的斜率和曲线的形状参数我们把满足上述方程的曲线称为对数美学曲线。Fig. 1.示出了各种α值的对数美学曲线。2.2. 原木美学表面到目前为止，已经提出了两种对数美学曲面的公式，重点它们是“对数美学曲面”（Inoue等人，2009）和“完整的原木美学表面”（Shikanom等人，2013年）。对数美学曲面（Inoue等人， 2009年），在图。 二、定义为由两条对数曲线和一条非对数曲线组成的导向线组成的扫掠具体地，首先，生成其次，定义最后，基于GLH对两条轮廓曲线进行在该公式中，平行于两条剖面曲线的等参曲线成为对数美学曲线，并保证了该方向的质量。与此相反，平行于引导线的等参曲线通常不会成为对数美学曲线，并且不能保证在该方向上的高质量。作为该问题的解决方案，Saito等人提出了完整的对数美学表面（Shikanom等人，2013年）。完整的日志美学表面图中所描述的。3.第三章。被定义为具有两条对数美学曲线的纯扫描曲面该制剂还图三. 一个完整的原木美学表面的例子。使用对数美学曲线作为基准线，并保证所有参数曲线都是对数美学曲线。然而，对于这两个公式，至少有一个边界曲线不能指定。因此，使用这些制剂的情况受到严格限制。此外，Kineri，Endo和Maekawa（2014）提出了一种方法，其中B样条曲面的等参曲线成为对数美学曲线。 然而，他们的方法只关注一条等参曲线的优化。它只能应用于NURBS曲面，而且他们没有提出任何类型的对数美学曲面。本 文 利 用 变 分 原 理 定 义 了 一 类 新 的 对 数 美 学 曲 面 。 Miura ，Shirahata，Agari，Gobithaasan（2012）利用变分原理建立了一种对数美学曲面。他们将对数美学曲面定义为最小化目标函数以及我们的方法。但我们的方法是不同的，他们的等参曲线，我们的曲面收敛到对数美学曲线。3. 变分公式本文提出为了达到这一目的，在这一节中，我们讨论了对数美学曲线曲面的变分公式首先，利用变分原理对对数美学曲线进行了其次，通过推广这一结果，我们制定了最小变异对数美学曲面。3.1. 对数曲线的变分公式化（Miura等人，2012年;三浦，铃木，Gobithaasan，萨尔维，木，2017年）本文用变分原理将对数美学曲线转化为曲面。从等式（1），当我们假设r^qa时，对数美学曲线由一条连接-up！吉吉DCKKG拉丁美洲和加勒比Sð Þ拉丁美洲和加勒比kdt k-不ð ÞS. Suzuki等人 /计算设计与工程学报5（2018）243-248245图四、在s-r平面（审美空间）上，由一条直线连接两个给定的点s1; r1和s2; r2.s中的两个给定点（s1; r1）和（s2; r2）r平面（美学空间），如图4所示。其中水平轴和垂直轴积分后的等参曲线成为对数美学曲线，我们提出的最小变差对数美学曲面类似于完全对数美学曲面。然而，就我们的公式通过最小化目标函数来定义表面这一事实而言，最小变差表面与完整的对数美学表面完全不同。也就是说，最小变差对数美学曲面可以指定任意的边界曲线，因此通过使用一个目标函数来生成曲面。对于各种边界，不能生成等参曲线完全成为对数美学曲线的曲面。在这些情况下，最小变差对数美学曲面表示其等参曲线变得更接近对数美学曲线的曲面。此外，特别地，当a/4b=-1时，根据q/41=j和qt/4d=dt/41= j t/41-jt=j2，当量（6）成为下列各项分别是弧长s和r。因此，从变分原理，我们得到以下能量JLAC，它是JLASjaZu2Zv2。ðjuÞ2u1v1Ev2pvdvdu7700被模拟为使该能量JLAC最小化的曲线。如果我们假设等温参数（E<$G<$1;F< $0，JZS21R2DS1在u和v方向上的2条等参线是正交的），拉丁美洲和加勒比Sðþs最小值的目标函数是局部等价的。变异曲面（Moreton Séquin，1992）。Eq.的Euler方程（2）如下。rss¼03当然，Eq。（3）等价于等式2的二阶导数。（一）.此外，Eq. 公式（2）的公式与下面的公式KLAC的公式等价。4. 程序在本文中，我们采用Eq.（6）B样条曲面的最小变差对数美学曲面KZS2R2DSS1最小化它们的价值。我们展示了我们的方法4最后，方程公式（4）由弧长参数s表示，我们重写公式（4）。（4）利用一个通用参数t，得到如下表达式：1. 输入曲面参数。我们在B样条曲面a和b的每个参数方向上输入控制点的度数和数量。此外，我们对形状施加约束，KZt21a2q2a2q2dtt1和边界曲线上的切向量。因此我们修复5这里，dC=dt表示具有一般参数t的曲线C的一阶导数的范数。我们使用方程式（5）作为对数美学曲线的函数或目标函数。3.2.对数坐标曲面我们扩展了对数美学曲线KLAC的目标函数表面的。定义2（对数叶氏曲面的变分公式）。我们定义目标函数，使得最小化目标函数将等参曲线变换为对数美学曲线。我们通过应用等式（1）获得以下目标函数JLAS（五）到曲面的u和v的两个参数方向，并定义最小变化对数美学表面作为最小化该函数。vector向量across横过them.2. 在保持B样条曲面的边界条件的同时，选择优化参数（即B样条曲面的一些控制点的位置）。3. 通过最小化方程中的目标函数来优化控制点的位置（六）、我们使 用 下 坡 单 纯 形 法 （ Press ， Flannery ， Teukolsky ，Vetterling，1987）进行优化。JZu2 Zv2。 1A2QU 2a-2qu21 2qv2 b-2qv 200dvdu11bLAS¼uvpEÞ乌鲁河þpffiGffiffiÞ吉夫茨ð6Þ这里，E和G是第一基本形式的元素，分别由E^S=@u·@S=@u和G^S=@v·@S=@vqu和qv是等参曲线u和v方向的曲率半径第一项是等参曲线的优化项，u方向的优化项和v方向的优化项。 事实上，图五. 我们方法的流程图。两点之间的距离，和对数美学曲线是refor-公司简介图 5，并详细解释其程序如下。每两个控制点的位置不改变边界曲线和切线的形状1¼þB@CAB@×¼×南纬246号Suzuki et al./Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）243-2484. 输出选定控制点的位置，0x100h;/1000trebphcosh1优化.5. 结果yh;/Rz/Scebg/zh;/0TZebphsinhCA8在本节中，我们将应用我们的方法并生成曲面。对于以下所有示例，我们使用了配备Core i7 3.40 GHz CPU的PC。5.1. 完整原木美学表面我们将我们的方法应用到一个加噪声的完整的对数美学表面。我们使用由以下等式给出的完整对数美学表面：其中hi f是表面参数，b p和b g i是形状参数，trtz是偏移参数rs，Rzk/k是关于z轴的旋转函数，并且S ck/k分别是缩放函数。首先，我们生成一个完整的对数美学曲面，其中b p<$4：2;b g<$4：2;t r<$5和t z3。接下来，切割一部分表面，并用具有10 10控制点的双三次B样条逼近该表面。最后，添加噪声的表面和应用我们的方法（即，我们优化内部6 6控制点）。图6示出了生成的表面。在图中，左边是原始表面，中间是带有噪声的表面，右边是通过我们的方法优化的表面。见图6。 生成的曲面。左：优化前。中：添加了噪波的曲面。右：优化后。见图7。 平均曲率分布左：优化前中：添加了噪波的曲面。右：优化后。见图8。 斑马地图。左：优化前中：添加了噪波的曲面。右：优化后。见图9。 原始CAD数据。××S. Suzuki等人 /计算设计与工程学报5（2018）243-248247见图10。生成的曲面。左：优化前。右：优化后。见图11。平均曲率分布左：优化前。右：优化后。见图12。 斑马地图。左：优化前。右：优化后。优化表面的处理时间为777[s]。图图7和图8示出了这些表面的平均曲率分布和斑马图。从这些结果来看，噪声表面的平滑度严重恶化。相比之下，优化后的表面是平滑的，并且具有与原始表面几乎相同的质量。5.2. 车数据我们将我们的方法应用于从CAD数据中提取的曲面片 图 9显示了用于我们实验的汽车CAD数据。在该图中，表面的绿色部分是为了优化而提取的曲面片。 我们使用双三次B样条曲面，6 6个控制点（即我们优化了2 2个控制点）。 图图10显示了生成的曲面，左侧是原始曲面，右侧是优化后的曲面。优化该表面的处理从图中，我们认为表面变得更可取。 图图11示出了原始表面的平均曲率分布和通过平均曲率优化获得的表面的平均曲率分布。根据图11，我们发现优化后的曲面曲率分布比原曲面的曲率分布更平滑。另外，图12示出了原始和生成的表面的斑马图。优化后的曲面的斑纹图也比原始曲面平滑。我们认为，我们的方法是有用的，使表面光滑和高质量。6. 结论本文提出了因此，我们可以获得高质量的自由曲面。然而，我们不认为我们对表面的评估是足够的。因此，我们将我们的结果与例如CMC表面（Pan等人，2012），并使用有限元法和其他方法评估其物理性能。此外，相对较大的表面所需的处理时间预计将非常长。因此我们将尝试南纬248号Suzuki et al./Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）243-248使用GPU来缩短处理时间，并希望实现实时。利益冲突作者声明不存在利益冲突引用原田，T.，Yoshimoto，F.，&Moriyama，M.（1999年）。工业设计领域的一种审美曲线。视觉语言，1999年。诉讼1999年IEEE Symposium on（pp. 38-47）。美国电气与电子工程师协会。井上，J.，原田，T.，Hagihara，T.（2009年）。提出了一种生成对数美学曲面的算法，并开发了一个基于vr的曲面生成系统IASDR。在国际设计研究协会，韩国首尔（pp。2513-2522）。Kineri，Y.，Endo，S.，前川T.（2014年）。 基于直接曲率编辑的曲面设计。计算机辅助设计，55，1-12。米乌拉角T. （2006年）。审美曲线的一般方程及其自亲和性。计算机辅助设计和应用，3（1-4），457米乌拉角T.，白幡河，Agari，S.，S.K.，&戈比萨桑河（2012年）。对数美学曲面的变分公式与离散曲面滤波器的发展。计算机辅助设计和应用，9（6），901-914。米乌拉角T.，铃木，S.，戈比萨桑河，Salvi，P.，&Alzagki，S.（2017年）。由热传导方程控制的对数美学流动。计算机辅助设计和应用，14（2），227-233。米乌拉角T.，S.K.，戈比萨桑河（2012年）。对数美学曲线的变分公式。在2012年以人为中心的计算机环境联合国际会议上，215-219）。ACM。Moreton，H.P.的人，塞坎角H. （1992年）。光顺曲面设计的函数优化（第26卷）。ACM。潘，H.，崔，Y.- K.，Liu，Y.，胡伟，杜，Q. 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