拟度量空间的幂等元Yoneda完备化及其显式构造

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记333（2017）103-121www.elsevier.com/locate/entcs形式球偏序集的DCPO完备化吴国敏1，2翁健豪3新加坡南洋理工大学国立教育学院摘要本文证明了如何利用Kostanek-Waszkiewicz定理和拟度量空间的形式球偏序集的dcpo完备化得到拟度量空间的幂等元Yoneda完备化。这填补了目前文献中关于缺乏幂等Yoneda完成的空白关键词：Yoneda完备化，Yoneda完备化拟度量空间，拟度量空间，dcpo完备化，形式球的偏序集，Scott拓扑，d-拓扑，g-拓扑，Yoneda拓扑1介绍拟度量空间（Yoneda complete quasi-metric space）统一了度量空间（完备度量空间）和偏序集（有向完备偏序集）的概念。类似于度量空间的经典完备化和偏序集的dcpo完备化，已经提出了几种获得这种完备化的方法;例如，[3，13，20]。在拟度量空间的研究中，Smyth完备性和Yoneda完备性的概念都是基本的.因此，它是远远不能满足的，虽然存在一个幂等Smyth完成每个拟度量空间（[19]），“事实上，米田完备化[对于迄今为止提出的准度量空间]一般不是幂等的。（[13]p. 193]）本文给出了拟度量空间的幂等元Yoneda完备化的显式构造，从而肯定地回答了上述公开问题。[1]作者获得新加坡南洋理工大学颁发的南洋校长研究生奖学金。2电子邮件：ngkokmin@gmail.com3电子邮件：wengkin. nie.edu.sghttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2017.08.0091571-0661/© 2017作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。104K.M. 吴伟光Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）1030将军进一步证明了Yoneda完备拟度量空间范畴是拟度量空间范畴的一个相对满子范畴实际上，这里的情况类似于熟悉的域理论设置。通常，偏序集P的dcpo-完备化被认为是由P的所有理想组成的理想完备化Id（P），但众所周知理想完备化不是幂等的（[5，15]）。这不是一个简单的类比--在Yoneda完备化的早期版本（[3，13，20]）不能是幂等的部分原因可以直接或间接地归因于在一般情况下缺乏理想完备化的幂等性虽然理想完备化一般不是幂等的，但有一个概念是dcpo完备化。最近[23]给出了偏序集的幂等dcpo完备化的一个显式构造，这给我们带来了希望，通过Kostanek-Waszkiewicz定理创建的通道，我们很可能能够通过调用其相应的形式球偏序集的幂等dcpo完备化来执行拟度量空间的幂等Yoneda完备化。然而，这种方法并不像我们发现的那样简单，因为有一个基本问题困扰着形式球的偏序集：有向集的收敛行为与柯西网的收敛行为之间存在固有的不匹配。更精确地说，给定一个拟度量空间（X，d），在正规球偏序集中的一个有向族（xi，ri）i∈I可以有上确界（x，r），但（xi）i∈I不一定有d-极限.在在这篇文章中，我们展示了如何通过限制我们的注意力到有向族的某个子集（称为平移完全有向族），这个问题可以被绕过，以产生所需的幂等元Yoneda完成。本文件的结构如下。我们将在第2节中介绍这两个概念。在第3节中，我们描述了我们需要克服的上述问题，并引入必要的机械，这将有助于我们实现预期的建设。在本文中，我们假设读者在拟度量空间，域理论和范畴理论方面有基本的知识。我们建议读者详细处理准度量空间和域理论[8，1，6]和范畴理论[14]。在本文中，我们使用以下符号：• R表示实数的集合。• R+= [0，∞]是一个扩展为正无穷大的非负实数集。• （x i）i∈I，±表示一个网，即，一个函数，它给给定集合X中的有向前序I中的每个索引i分配一个元素x i。当没有混淆时，前序±被省略。• 上确界（分别为，下确界）在偏序集上取为（分别为，），而在（扩展的）实数线中由sup（分别为inf）取K.M. 吴伟光Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）1031050.02预赛拟度量空间几乎是度量空间，除了距离测量函数缺乏对称性，即，定义2.1（拟度量）非空集X上的拟度量d是一个映射d：X×X−→R+使得对于每个x，y，z∈X：QM1。（x，x）= 0;QM2。d（x，y）=d（y，x）= 0 =nx=y;QM3. d（x，y）≤d（x，z）+d（z，y）.对（X，d）称为拟度量空间。例2.2（i）显然，每个度量空间都是拟度量空间。(ii) 任何偏序集（P，≤）都可以被赋予以下拟度量：D（x，y）：=0 ifx≤y;否则≤∞。(iii) （R，dR），其中对任意x，y∈R，dR（x，y）= max（x−y，0），是一个拟度量空间。如例2.2（i）和（ii）所示，拟度量空间是次度量空间和偏序集。定 义 2.3 （ Cauchy net ， d-limit ， Yoneda complete quasi-metric space ） 设（X，d）是一个拟度量空间。一个网（xi）i∈I，±是柯西网，如果对任意的i>0，存在i<$∈I使得当i，iJ∈I使得i<$±i±iJ时，有d（xi，xi′）<≠ 0.点x∈X是（xi）i∈I，±的d-极限，如果对所有y∈X，有d（x，y）=lim supi∈I，±d（xi，y）（：= infi∈ Isupj∈I，i±jd（xj，y））.拟度量空间（X，d）是Yoneda完备的，如果每个Cauchy网都有d-极限.例2.4（i）度量空间（X，d）的每个柯西序列都是柯西网，极限和d-极限的概念一致。因此，每个完备度量空间都是米田完备拟度量空间。(ii) 设（P，≤）是偏序集，D∈P是有向集.我们可以把D看作一个网，定义为xd=d，对于每个d∈D。显然，被看作这个网的有向集D总是由有向性的定义来柯西的因此x∈P是有向集D的d≤-极限当且仅当D=x。因此，每个dcpo都是关于拟度量d≤的米田完备的。(iii) （R，dR）不是Yoneda完备的，但（R<${∞}，dR）（其中dR正则扩张到R<${∞}）是Yoneda完备的.定义2.5（柯西加权网，柯西加权网）设（X，d）是一个拟度量空间。一个网（xi，ri）i∈I在X×R+中是在（X，d）中的柯西加权网，(i) inti = 0;(ii) 对每个i，IJ∈I，当i±ij时，d（xi，xi′）≤ri−ri′.106K.M. 吴伟光Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）1030×++给定一个柯西网（xi）i∈I，±在（X，d）中，若存在（ri）i∈I，±使得（xi，ri）i∈I，±是柯西加权的，则称（xi）i∈I，±为柯西加权网。引理2.6设（X，d）是一个拟度量空间。(i) （[8]，引理7.4.9）对（X，d）中的任一柯西加权网（xi，ri）i∈I，（xi）i∈I是柯西网.进一步地，x∈X是柯西网（xi）i∈I ，±i的一个d -极限，对每个y∈X，有d（x，y）= sup i∈I（d（xi，y）−ri）.(ii) （[8]，引理7.2.8）虽然不是每个柯西网都是柯西可赋权的，但每个柯西网都有一个柯西可赋权的子网。(iii) （[8]，引理7.4.6和练习7.4.7）设（xi）i∈I是柯西网，（xj）j∈J是它的子网.则（xj）j∈J是柯西网。此外，（xi）i∈I有d-极限x当且仅当（xj）j∈J有d-极限x.定义2.7（形式球）设（X，d）是一个拟度量空间。 定义B（X，d）：=XR+.我们称B（X，d）的元素为形式球。 在B（X，d）上，我们可以定义一个拟度量d+如下：d+（（x，r），（y，s））：=dR（d（x，y），r-s），（x，r），（y，s）∈B（X，d），并由此得到了由y定义的诱导阶≤d+（x，r）≤d+（y，s）d（x，y）≤r−s，（x，r），（y，s）∈B（X，d），使（B（X，d），≤d+）成为（X，d）的形式子集的一个子集。注2.8注意，根据定义2.5（ii），每个柯西加权网（xi，ri）i∈I在（X，d）中是在（B（X，d），≤d+）中的有向族.形式球的概念首先由Weihrauch和Schreiber在1981年（[22]）在度量空间的背景下引入，后来由Edalat和Heckmann（[4]）重新定义，他们证明了所有完备度量空间都有域模型，因为定理2.9（[4，定理6]）度量空间（X，d）是完备的当且仅当（B（X，d），≤d ）是一个域。一个类似的概念稍后考虑准度量空间。 实际上，对于拟度量空间的情形，也有几个漂亮的刻画对于其中的一些结果，我们请读者参考[2，12，10]和[17]特别地，我们用著名的Kostanek-Waszkiewicz定理来结束这一节，在获得我们的主要结果中至关重要;它为我们提供了在形式球的子集上实现dc po完备化`alaZha o andFan[23]的选择，而不是直接在拟度量空间的环境中实现Yoneda完备化。定理2.10（Kostanek-Waszkiewicz定理[12，定理7.1]）一个拟度量空间（X，d）是Yoneda完备的当且仅当（B（X，d），≤d）是有向完备的。K.M. 吴伟光Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）103107我 i i∈I我 i i∈I3主要结果在本节中，我们将开始构造拟度量空间的幂等元Yoneda完备化我们将在随后的小节中逐步进行1. 我们描述了困扰正式球空间的内在问题，即，有向集和柯西网的收敛行为之间的不匹配。为了解决这个问题，我们在形式球空间中引入了平移完备有向族2. 我们确定了拟度量空间范畴的显态射，从而得到了拟度量空间Yoneda完备化的一个合适的范畴定义。3. 使用在（1）中定义的平移完备有向族，我们通过形式球的偏序集来模拟在赵和范的dcpo-完备化之后的米田完备化的构造在这里，我们使用至关重要的Konstanek-Warskiewicz定理。特别是，我们验证我们建议的米田竣工满足（2）中给出的定义的要求从这一点开始，（X，d）总是表示一个拟度量空间，除非另有说明。3.1引进平移完全有向族+一般来说，如果（B（X，d），≤d）中的有向族（x，r）上确界，则（xi，ri+ a）i∈I对所有a∈ [−inf i∈Iri，∞）都有上确界。这这个问题在[10]中得到了强调，因此考虑了一类特殊的拟度量空间，称为标准拟度量空间。 我们说（X，d）+是标准的 ，如果（B（X，d），≤d）中的每个有向族（x，r）都有一个 确界当且仅当对所有a∈[0，∞），（xi，ri+a）i∈I有上确界.对于标准在拟度量空间中，可以证明：对于每个Cauchy加权网（xi，ri）i∈I，点x∈X是（xi）i∈I的d-极限，当且仅当（x，0）是B（X，d）中有向族（xi，ri）i∈I的上确界（[10，引理5.15]）。通过对上述证明的进一步考察，我们可以很清楚地看到，在（B（X，d），≤d+）中有向族的特殊情况下，如何刻画柯西加权网的d -极限为该网的上确界。命题3.2给出了这一特征，但它需要一个新的概念：定义3.1（平移完备有向族）B（X，d）中的有向族（xi，ri）i∈I是平移完备的，如果对所有a∈[−infi∈Iri，∞），存在supi∈I（xi，ri+a）。命题3.2设（xi，ri）i∈I是（X，d）中的柯西加权网。 则（xi）i∈I有d-极限x当且仅当（xi，ri）i∈I是具有上确界（x，inf i∈Iri）的平移完备有向族.证据以来 的 证明 为 的 匡威 使用 完全 的 相同 论点108K.M. 吴伟光Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）103我−→我我 我我 我我我i∈I我 我与[8，引理7.4.26]一样，我们只需要证明蕴涵。利用[8，引理7.4.25]，证明了（xi，ri）i∈I是平移完备的.为此，设（xi，ri）i∈I是一个柯西加权网，其中（xi）i∈I有d-极限x.证明了对任意a∈[0，∞），（xi，ri+a）i∈I有上确界（x，r+a），其中r=infi∈Iri.对任意i，j∈I且i±j，d（xi，x）≤d（xi，xj）+d（xj，x）≤ri−rj+d（xj，x）≤（ri+a）−（r+a）+d（xj，x）.取lim sup over j，有d（xi，x）≤（ri + a）−（r + a）+lim supj∈I d（xj，x）=（r+a）−（r+a） +d（x，x）=（r+a）−（r+a）。 则us（x，r+a）≤d+（x，r+a）。没有对eachi∈I，（x， r+a）≤d+（y，s），有一个超命题. 则d（x，y）≤r+a-s。塔金lim sup overi给出lim supi∈Id（xi，y）=d（x，y）≤lim supi∈Iri +a−s=r+a−s且（x，r+a）≤d+（y，s）. 需要sup（x， r+a）=（x，r+a）。Q注3.3拟度量空间（X，d）是标准的当且仅当（B（X，d），≤d+）中每个有超空间的有向族是平移完备的.3.2拟度量空间范畴中态射的识别与Yoneda完备化的定义回想一下，在拟度量空间（X，d）和（XJ，dJ）之间的映射f：（X，d）−→（X j，dJ）是连续的，如果对所有x∈X，通常的π-η条件成立：最大值>0。 最大值>0。<$xJ∈X。 （d（x，xJ）<η=<$DJ（f（x）， f（xJ））<<$）.我们说映射f是一致连续的，如果最大值> 0。 最大值> 0。x∈x，xJ∈ X. （d（x，xJ）<η =<$DJ（f（x），f（xJ））<<$）.注意，对于一致连续的情况，η的选择与x无关。拟度量空间之间的连续映射与度量空间中的连续映射略有不同，因为它们通常不能保持柯西网的极限。这就引出了以下定义。定义3.4（极限连续映射，Yoneda连续映射，Y连续映射，等距）设（X，d）和（XJ，dJ）是拟度量空间，f：（X，d）（XJ，dJ）是映射。我们说f是(i) 极限连续的，如果它保持柯西网和它们现有的d-极限;(ii) Yoneda连续的，如果它是极限连续的和一致连续的;(iii) Y-连续的，如果它是极限连续的和非扩张的，即，对所有x，y∈X，DJ（f（x），f（y））≤d（x，y）;(iv) 一个等距如果对所有x，y∈X，DJ（f（x），f（y））=d（x，y）.K.M. 吴伟光Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）103109+′+一个映射g：（B（X，d），≤d）−→（B（XJ，dJ），≤d）是Y-Scott-连续的，如果它保持平移完备有向族的上确界.命题3.5设（X，d）和（XJ，DJ）是拟度量空间。对于任何给定的地图110K.M. 吴伟光Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）103我 我i∈Ii i∈If：（X，d）−→（XJ，dJ），定义B（f）：（B（X，d），≤d+）−→（B（X J，dJ），≤d′+），（x，r）›→（f（x），r）.则f是Y-连续的当且仅当B（f）是Y-Scott-连续的。证据 设f：（X，d）-→（XJ，DJ）是Y-连续映射，（xi，ri）i∈I是（B（X，d），≤d+）中的平移完全有向族. 则（x， r−infr）是一个柯西加权网，并且有如下结论：（xi）i∈I是一个具有d-极限的x在（X，d）中，命题3.2。 通过Y-连续映射的定义，（f（xi））i∈I是在（Xj，dj）中具有DJ-极限f（x）的柯西网. 此外，由于f是Y-连续的，因此是非扩张的，（f（xi），ri−infi∈Iri）i∈I是柯西加权网：对任意i，j∈I且i±j，dJ（f（xi），f（xj））≤d（xi，xj）≤（ri−infi∈I）−（rj−infi∈I）。再次应用命题3.2，则直接的是（B（f）（xi，ri））i∈I=（f（xi），ri）i∈I是具有上确界B（f）（x，r）=（f（x），r）的平移有向族，并且B（f）如所要求的是Y-Scott设（ xi） i∈I是Cauchy网，x在（X，d）中有d-极限B（f） ：（B（X，d），≤d+）−→（B（XJ，DJ），≤d′+）是 一个Y-Scott连续映射.根据引理2.6（ii），（xi）i∈I有一个柯西加权子网（x j）j∈J，即，在[0，∞）中存在一个网（rj）j∈J，使得（xj，rj）j∈J是Cauchy权的.我们证明了f是非扩张的。可以直接证明，如果B（f）是Y-Scott-连续的，则它是单调的。设x，y∈X.如果d（x，y）=∞，则DJ（f（x），f（y））≤d（x，y）是直接的。现在假设d（x，y）<∞。则d（x，y）≤d（x，y）i mp满足t（x，d（x，y））≤d+（y，0）和（f（x），d（x，y））≤d′+（f（y），0）. 使得DJ（f（x），f（y））≤ d（x，y）且f是非扩张的.现在我们继续证明f是极限连续的。由引理2.6（iii），（xj）j∈J有d-极限x. 利用命题3.2得到了（xj，rj）j∈J是（B（X，d），≤d+）中的平移完备有向族，其超元为（x，0）. 通过Y-Scott-连续映射的定义，（B（f）（x j，rj））j ∈ J =（f（xj），rj）j∈J是一个平移映射。具有上确界B（f）（x，0）=（f（x），0）的阶完备有向族根据命题3.2，（f（xj））j∈J是一个具有DJ-极限f（x）的柯西网因为f是非扩张的，所以（f（xi））i∈I是柯西网。再利用（f（xj））j∈J是柯西网（f（xi））i∈I的一个子网的事实引理2.6（iii），（f（xi））i∈I在（Xj，dj）中有DJ-极限f（x），且f是Y-连续的.Q记住所有这些前面提到的映射类型，我们现在来制定一个合适的准度量空间的Yoneda完备化的范畴定义。为此，让我们梳理出[3，13，20]所采用的方法中的一些共同点。其中，它们的拟度量空间（X，d）的Yoneda完备化通常包括Yoneda完备空间（X，d）和一个同构空间（X，d）。τ：（X，d）−→（X，d）使得对任意yYoneda完备拟度量空间（Y，e）和一致连续映射f：（X，d）−→（Y，e），存在唯一的Yoneda连续映射f：（X，d）−→（Y，e）使得f=fτ.由于等距线不一定是极限连续的，因此上述方法的一个结果缺陷将是，K.M. 吴伟光Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）103111Yoneda完备的拟度量空间X可以导致一个（Yoneda完备的）拟度量空间X，度量空间X它严格地因为如此在此基础上，Künzi和Schellekens进一步证明了Yoneda完备化是幂等的最大类拟度量空间恰是每个Cauchy网是双Cauchy的拟度量空间（[13，p.181]）.一个网（xi）i∈I在（X，d）中是双柯西的，如果对每个<$0> 0，存在i <$0> I使得对所有i，j∈I，i <$0±i，j，d（xi，x j）<<$0.显然，弥补这一缺陷的第一步是确定拟度量空间范畴的显式态射，以便我们能够给出什么构成拟度量空间的米田完备的范畴定义。为了做到这一点，我们回顾一下，就保持有向上确界而言，要考虑的偏序集范畴中的突出态射是斯科特连续映射。命题3.2表明，为了通过拟度量空间（X，d）的柯西网的形式球的偏序集来捕捉其d-极限的本质，应该关注平移完备定向族形成的上确界。因此，Y-Scott连续映射是我们为形式球的偏序集范畴确定的态射在命题3.5的支持下，我们把拟度量空间范畴中的态射看作是Y-连续映射。这样的考虑导致我们定义了拟度量空间的米田完备化定义3.6（拟度量空间的Yoneda完备化）拟度量空间（X，d）的Yoneda 完备化是一个Yoneda完备拟度量空间（X，d），加上一个Y-连续映射τ：（X，d）−→（X，d），使得对于任意的Yoneda完备拟度量空间（Y，e）和Y-连续映射f：（X，d）−→（Y，e），存在唯一的Y-连续映射f：（X，d）−→（Y，e），使得f=fτ。不久前，我们考虑了保持Cauchy网的d-极限且非扩张的拟度量空间之间的映射，Y-连续映射人们可以很容易地证明，拟度量空间（分别为Yoneda完备拟度量空间）和它们之间的Y-连续映射形成一个范畴，我们用QMet（分别为YQMet）表示。 显然，YQMet是QMet的一个完整子类。现在很清楚，每个拟度量空间都有Yoneda完备当且仅当YQMet是QMet的相对子范畴，反射器（−λ）。通过一个标准的分类推理，可以证明一个约内达一个拟度量空间的完备化，如果存在的话，在同构和幂等性下是唯一的。3.3基本原理和证明草图诚然，幂等元米田完备化的构造是技术性的。因此，它有助于激发我们的方法，并提出一个证明草图，以便读者可以快速概述所涉及的基本原则和过程。希望这将使我们在下一小节中穿越茂密的技术森林的旅程更加容易。由于我们的米田完井是仿照dcpo完井，112K.M. 吴伟光Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）103≤≤赵和范在[23]，这是很自然的，我们来叙述他们的建设如下：ZF 1。 给定一个偏序集P，形成P的按包含排序的（Γ（P））。ZF 2。将原偏序集P通过prin-NR理想嵌入η嵌入到包络空间Γ（P）中，形成像η（P）：={↓x|x∈P}是Γ（P）的子集。重要的是要注意η是Scott连续的。ZF 3。赋予Γ（P）d-拓扑：偏序集Q的子集S是d-闭的，如果对每个有向集D<$S，只要D存在，则D∈S.ZF 4。通过取η（P）在包络空间Γ（P）中的d-闭包，得到P的dcpo-完备化E（P）。现在我们把注意力转向研究文献中的米田完备化。由于[3] [13]和[20]中独立提出的所有Yoneda完备化的等价性，原则上我们选择哪一个并不重要。值得注意的是，维克斯关于因此，根据我们最初的计划，即创建一个幂等的米田完备化，该完备化模仿赵和范的dcpo完备化，其对应的-在形式球的偏序集上，我们发现Vickers的方法是最合适的.然而，为了利用Kostanek-Waszkiewicz定理，我们使用Goubault-Larrecq（[8，第7.5节]），我们总结如下：GL1。给定一个拟度量空间（X，d），构造（B（X，d），≤d+）的圆化理想完备，得到连续dcpo（RI（X，d），n）.GL2。考虑（RI（X，d），n）的子集S（X，d）由那些孔径为零的圆化理想组成。GL3。 使S（X，d）具有Hausdor-Hoare拟度量d+.H+d+GL4。形式球（B（S（X，d），dH），≤H）与（RI（X，d），n）是序同构注意，（RI（X，d），RI）特别是dcpoGL5。利用Kostanek-Waszkiewicz定理，当其对应的Hl球形式的子集是dcpo时，（S（X，d），d+）是Yoneda完备的拟度量空间，并定义是（X，d）的米田完成由于（GL1）中的舍入理想完备化不一定是幂等的，因此在（GL5）中得到的米田完备化一般不是幂等的。问题的根源在于选择圆化理想的空间作为包络空间--原始空间到这个包络空间的相关嵌入甚至不是Y-Scott连续的，更不用说Scott连续的了现在，Zhao和Fan的dcpo-完备化中的（ZF 2）由于我们的目的是在形式球的偏序集P：=（B（X，d），d+）上进行dcpo-完备化，一个简单的方法是形式E（P）= E（B（X，d），d+）。但这样的移动失败了，原因有二：（1）E（P）可能不是作为某个准度量空间（X∈，d∈）的形式球的s步而上升，（2）K.M. 吴伟光Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）103113G包络空间Γ（P）涉及斯科特闭集的概念，因此涉及斯科特拓扑。斯科特拓扑是考虑有向集到其上确界的但是我们已经从3.1节的分析中了解到，在形式球空间中的有向族中，我们应该关注的是过渡性的完整的。这激励着我们在3.4.1节中，我们定义了一个新的拓扑，称为g-拓扑（见定义3.7），它涉及形式球空间中的过渡完全有向族，就像斯科特拓扑涉及偏序集空间中的有向子集有了g-拓扑，我们在3.4.2节继续模仿Goubault-Larrecq1. Embed （B（X，d），≤d+） 我在 的 完成 晶格 外来资产 g-闭合子集（Γ g（B（X，d）），n）.2. 考虑Γg（B（X，d））的子集X_n，它由那些孔径为零的g-闭子集组成。3. 使Γg（B（X，d））具有Hausdor-Hoare拟度量d+. 注意that（X，d）是（Γg（B（X，d）），d+）的拟度量子空间，其中d∈：=Hd+T∈ -是的H HX ×X4. 形式球（B（X<$ ，d<$），≤d<$+）与（Γ（B（X，d）），<$）是阶同构的. 注意，（Γ g（B（X，d）），Γ）不只是dcpo-它是一个完全格。5. 根据Kostanek-Waszkiewicz定理，（X_n，d_n）是Yoneda完备的拟度量空间，因为它对应的形式球偏序集是dcpo.在（ZF 2）的指导下，我们将拟度量空间（X，d）等距嵌入到扩展空间（X，d）中，这个嵌入反映了从（B（X，d））到（B（X，d），≤d+）的Y-Scott连续嵌入.在第3.4.3节中，我们在（ZF 3）之后建模来定义米田闭集。最后，我们在（ZF 4）之后建模，通过形成（X，d）的嵌入图像的Yoneda闭包来获得所需的Yoneda完成（在定义3.6的意义上）。在（X，d）的扩展空间内。3.4幂等Yoneda完备化我们现在准备证明，在定义3.6的意义下，每个拟度量空间都有米田完备化。3.4.1g-拓扑在给定的拟度量空间X上，我们引入了形式球的偏序集B（X，d）上的g-拓扑.定义3.7（g-闭子集）B（X，d）的子集C称为g-闭的，如果它是(i) 关于≤d+，downward闭;并且(ii) 在平移完全有向族的现有上确界下闭当（xi，ri）i∈I∈C是平移完备有向族时，114K.M. 吴伟光Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）103（x，r），（x，r），+00有上确界，则它的上确界（x，r）属于C。一个子集U称为g-开的，如果它的补集B（X，d）−U是g-闭的。可以直接证明g-开子集的集合构成一个拓扑。我们用Γg（B（X，d））表示B引理3.8 B（X，d）的每个g-闭子集C在拟度量space（B（X，d），d+）的开球拓扑中是闭的。 因此，对任意（x，r）∈C，x ∈s> 0，使得对任意（c，s）∈C，d+（（x，r），（c，s））> 0成立.证据首先证明了C在拟度量空间（B（X，d），d+）的开球拓扑中是闭的.让（x，r）∈B（X，d）−C.一证明了（x，r+n）n>0是具有超确界（x，r）的平移有向族.因此，存在（x，r+∞）使得（x，r+ ∞）B（X，d）− C. 我们现在显示B d+<$B（X，d）−C，其中D+（x，r），：={（y，s）∈B（X，d）|d+（（x，r），（y，s））<<$}。对于每个（y，s）∈ B d+，d+（（x，r），（y，s））<<$意味着max（d（x，y）−r + s，0）<<$和d（x，y）0,那里存在（c，s）∈C，d+（（x，r），（c，s））≤- 是的然后inf（c，s）∈Cd+（（x，r），（c，s））=0.因此d+（（x，r），C）：= inf（c，r）∈Cd+（（x，r），（c，r））= 0.因此，（x，r）∈cl（C）由[8]，引理6.1.11，其中cl（C）是C关于（B（X，d），d+）的开球拓扑的闭包.因此cl（C）=C且（x，r）∈C，这就完成了证明。Q对于B（X，d）的任意子集U，我们用cl g（U）：={C∈ Γ g（B（X，d））表示U的g-闭包|CU}。3.4.2包络拟度量s_p_e（X_p，d_p）设（x，r）∈B（X，d）. 记↓（x，r）：={（y，s）∈B（X，d）|（y，s）≤d+（x，r）}。命题3.9对每个（x，r）∈ B（X，d），↓（x，r）是g-闭的。证据很明显，每个Scott闭子集都是g-闭的，并且↓（x，r）是Scott闭的。Q设C<$B（X，d）.设α：Γ g（B（X，d））−→R+，C<$→inf（x，r）∈Cr.称α（C）为C的孔径。 令C + r：={（c，s + r）|（c，s）∈C}且当r≤α（C）时， C− r：={（c，s − r）|（c，s）∈ C}.引理3.10设C∈Γ g（B（X，d））.然后 为 R∈R+，它 认为C + r∈ Γ g（B（X，d）），当r≤α（C）时，C-r∈ Γ g（B（X，d））成立.证据设r∈[−α（C），∞），（yi，si）i∈I是C+r中具有上确界（y，s）的平移BK.M. 吴伟光Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）103115完备有向族.我们观察到infi∈Isi≥ max（r，0）。因此（yi，si−116K.M. 吴伟光Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）103GHH+ HJ J+Jr) i∈I是C中的一个有向族，因为−r：（w，t）→（w，t−r）是一个序同构，其中r≤t。因此（y，s-r）∈C，因而（y，s）∈C+ r。为了证明C+r是down-w-rd闭的，设（w，t）∈C+r且满足（wJ，tJ）≤d+（w，t）。因此，（w，t-r）∈C且（wJ，T-J-r）≤d+（w，t-r），再次-r：（w，t）<$→（w，t-r）是一个序同构，其中r ≤ t。因此（wJ，tJ−r）∈C，因为C是g-闭的，因此是下闭的。最后（wJ，tJ）∈C+r.这就完成了证明。Q引理3.11定义映射η0（x，r）→↓（x，r）。(i) η0是序嵌入;(ii) η 0是Y-Scott连续的。：（B（X，d），≤d+）−→（Γ（B（X，d）），π），引理3.12定义Γg（X）上的Hausdor-Hoare拟度量d+： Hd+（C，CJ）：= supinfd+（（c，r），（cJ，rJ））.H（c，r）∈C（c′，r′）∈C′则d+（C，CJ）= 0当且仅当C <$CJ。是的。（f=）Foreach（c，r）∈C， inf（c′，r′）∈C′d+（（c，r），（CJ，RJ））=0，因为（c，r）∈C蕴含（c，r）∈CJ. 在f（c′，r′）∈C′d+（（c，r），（cj，RJ））=0中，h u s d +（C，Cj）= s u p（c，r）∈ C.（= n）d+（C，CJ）= 0意味着对所有（c，r）∈C，有f （c′，r′）∈C′d（（c，r），（c，r））=0，且有d（（c，r），C）=0.因此（c，r）∈cl g（C）= C，因此C <$CJ.Q因此，下面的内容可以直接验证命题3.13（Γ g（B（X，d）），d+）是一个拟度量空间。H引理3.14F或每个准度量space（X，d），表示的子卷积子X ∈X当X∈B（X，d）时，：={C∈Γ g（B（X，d））|α（C）= 0}和d：= d+T.+HX×X定义：（B（X），d），≤d序同构）− →（Γ g（B（X，d）），n）乘（C，s）→ C + s。那么，证据根据引理3.10，λ是有明确定义的。我们首先证明了当（C，r）≤d∈+K.M. 吴伟光Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）103117（CJ，RJ）时，C+r∈CJ+ RJy是单调的. 假设C+r/<$CJ+RJ。 则存在（c，s+r）∈C+r和（c，s+r）∈/CJ+RJ. 由于C+r是g-闭的，它相对于（B（X，d），d+）的开球拓扑是闭的，因此存在n>0使得对于所有（CJ，SJ+RJ）∈CJ+RJ，118K.M. 吴伟光Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）103d+（（c，s+r），（cJ，sJ+rJ））> d。因此d+（（c，s+r），（cJ，sJ+rJ））> dmax（d（c，cJ）−s−r+sJ+rJ，0）>d（c，cJ）−s+sJ−r+rJ>d（c，cJ）−s+sJ>⇐⇒max(d(c, cJ)−s+sJ,0)> ϵ+r−rJd+（（c，s），（cJ，sJ））>+J J J J= sup infd（（c，s），（c，s））≥+r−r> r−r（c，s）∈C（c′，r′）∈C′Dd则（C，r）/≤d∈+（CJ，RJ）.逆映射<$−1定义为C<$→（C−α（C），α（C））。显然，α（C−α（C））=0。此外，如果C是g-闭子集，则C−α（C）也是g-闭子集。 因此C−α（C）∈X<$且<$−1有明确的定义。 我们不能直接证明，它是一个双射。现在我们继续证明逆映射<$-1是单调的。假设CCJ.因此，α（C）≥α（CJ）。然后d<$（C−α（C），CJ−α（CJ））= supINFd+（（c，s），（cJ，sJ））（c，s）∈C−α（C）（c′，s′）∈C′−α（C′）= sup（c，s）∈C−α（C）INF（c′，s′）∈C′−α（C′）max（d（c，cJ）−s+sJ， 0）= max（sup（c，s）∈C−α（C）INF（c′，s′）∈C′−α（C′）d（c，cJ）−s+sJ， 0）若sup（c，s）∈C−α（C）in f（c′，s′）∈C′−α（C′）d（c，CJ）−s+SJ≤0，则显然有一个v e d<$（C − α（C），CJ− α（CJ））= 0 ≤ α（C）− α（CJ），证明是完备的. 假设在f（c′，s′）∈C′−α（C′）d（c，cJ）−s+sJ>0中，sup（c，s）∈ C− α（C），则d<$（C−α（C），CJ−α（CJ））= sup（c，s）∈C−α（C）INF（c′，s′）∈C′−α（C′）d（c，cJ）−s+sJ=supINF′ ′′′d（c，cJ）−s+sJ（c，s+α（C））∈C（c，s+α（C））∈C=supINF′ ′′′d（c，cJ）−（s+α（C））+（sJ+α（CJ））+α（C）−α（CJ）（c，s+α（C））∈C（c，s+α（C））∈CK.M. 吴伟光Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）103119由于C<$CJ，C中的每个（c，s+α（C））都在CJ中，并且等于某个（CJ，SJ+α（CJ）），因此，在f（c′，s′+α（C′））∈C′d（c，CJ）−（s+α（C））+（SJ+α（CJ））+α（C）− α（CJ）= 0+α（C）−α（CJ）≤α（C）−