6003利用两个仿射对应估计两视焦距的最小解Daniel Barath、Tekla Toth和Levente Hajder机器感知研究实验室MTA SZTAKI，匈牙利{barath.daniel，hajder.levente}@sztaki.mta.hu摘要提出了一种利用两个仿射对应的最小解来估计两个半标定相机之间的公共焦距和基本矩阵据我们所知，这个问题还没有解决。所提出的方法扩展了基于点对应的技术与来自局部仿射变换的线性约束所得到的多元多项式系统是有效地解决了隐变量技术。观察局部仿射的几何，我们引入新的条件消除无效根。为了从剩余的候选者中选择最好的一个，提出了一种根选择技术，特别是在高电平噪声的情况下，该技术提出的两点算法在合成数据和104个公开可用的真实图像对上进行了验证。文中给出了该方案的Matlab实现1. 介绍摄像机参数和场景结构的恢复已经研究了二十多年，因为几个应用，例如来自多个视图的3D视觉[13]，在很大程度上取决于摄像机校准的质量。特别是，可以考虑两种主要的校准类型：其目的在于确定内在和/或外在参数。前者包括焦距、主点、长宽比和非透视畸变参数，而外部参数是相对位姿。假设两个相机具有未知的外部和先验内部参数，除了共同的焦距之外，称为半校准情况[19]。这就引出了一个未知焦距的问题：同时估计相对运动和共焦距。半校准的情况是现实的，因为（1）纵横比由传感器上的像素的形状确定，其通常为1：1;（2）主点靠近图像的中心，因此这是合理的近似，以及（3）如果应用窄视场透镜，则可以省略畸变。仅考虑点对的位置使问题可以使用至少六个点对来解决[19，30，31]。本文的目的是利用两个局部仿射变换来。通常，3D视觉方法[13]（包括现有技术的从运动恢复结构的流水线[1，7，11，24]）应用鲁棒估计器，例如，RANSAC [10]，用最小方法增强，例如五点[25]或六点[19]算法作为引擎。选择利用尽可能少的点对的方法可以提高精度并大大减少处理时间。受益于使用较少输入数据的估计器，对低纹理环境的理解变得更加容易[28]。此外，从理论观点来看，最小方法是有利的，从而导致更深入的理解。局部仿射变换表示对应点对的无限接近邻域之间的翘曲[15]，并且已经研究了十年。它们的应用领域包括单应性[4]和表面法线[15，5]估计;核线的恢复[6]; 3D中点的三角测量[15];相机姿态估计[16];运动恢复结构[28]。 在实践中，局部亲和力可以准确地检索[3，22]，例如，仿射协变特征检测器，如仿射SIFT [23]和Hessian-Affine [21]。据我们所知，还没有文献用局部仿射变换来处理未知焦距问题。本文提出了两个新的线性约束描述局部仿射和极线几何之间的关系。形成一个多元多项式系统并通过隐变量技术[9]求解它，所提出的方法是有效的，并且仅使用两个仿射来估计焦距为了消除无效根，通过研究局部仿射几何，引入了一个新的条件。为了从剩余的候选者中选择最佳候选者，我们提出了一个根6004ΣΣ2选择技术，其对于小噪声与最先进的技术一样精确，并且对于高电平噪声优于它。2. 预备和符号对极几何学。 假设已知具有公共固有相机矩阵K的两个透视相机。基础和基本矩阵[13]如下：1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000F= f4f5f6，E = e4e5e6。F7F8F9第七季第八集第九集仿射对应（p1，p2，A）由对应的点对和将点p1附近变换为p2附近的相关局部仿射A组成。在本文的其余部分，A被认为是它的左2×2子矩阵A =a1a2a3a4因为第三列我们使用隐变量技术在建议法它是代数几何中的一种结式技巧如果相机被校准（K是已知的），则矩阵F可以被变换为基本矩阵E，如下所示：E= KTFK。（一）对应点对p1的核线关系和p2被F描述为pTFp 1= 0。（二）一个有效的基本矩阵必须满足奇异性约束det（F）=0.考虑到这一立方约束和一个基本矩阵被定义到任意尺度的事实，它的自由度减少到7。 因此，七个点对对于估计是足够的。由于基本矩阵封装了整个摄像机运动、平移的方位和方向，因此它具有五个自由度。这两个附加约束由众所周知的跟踪约束[19]描述为：2EETE − tr（EET）E = 0。（三）虽然Eq。3给出了E的九个多项式方程，其中只有两个是代数独立的。本文假设半校准的情况下，只有公共焦距f被认为是 未 知 的 。 不 失 一 般 性 ， 固 有 相 机 矩 阵 为 K=KT=diag（f，f，1），其中f是未知焦距。为了在等式中用F代替E。我们定义矩阵Q如下：Q=diag（1，1，τ），τ=f−2。（四）由于K是非奇异的，并且迹（EET）标识标量值的事实，等式（1）3可以通过从左侧和右侧乘以K−T和K−1来简化，re-k。此外，迹在循环遍历下是不变的站。因此，Eq。3写成[17，27]2 FTQF − tr（FTQ）F = 0。（五）这种关系将帮助我们使用两个仿射对应来恢复焦距6005−−用于从多变量多项式系统中消除变量[9]。假设给定m个n元多项式方程。简而言之，可以假设未知变量作为参数并且将方程系统重写为C（ y1 ）x=0，其中C是取决于未知y1（隐藏变量）的系数矩阵，并且向量x是n1个未知量的向量。如果方程的个数等于x中未知单项式的个数，即 矩阵C为正方形，非线性求解可按det（C（y1））=0进行。解出y 1的合成方程，并将其反向代入，整个系统就解出了。3. 使用两个对应关系本节旨在使用两个仿射对应来恢复未知的焦距和基本矩阵。首先介绍了基本矩阵与局部仿射矩阵之间的关系，然后讨论了局部仿射矩阵的估计技术。3.1. 利用局部仿射变换设仿射对应（p1，p2，A）和基本矩阵F是已知的.这是平凡的，每个仿射变换保持的方向线去，ING通过点P1和P2的第一和第二图像。因此，对极线的方向v1和v2之间的联系可以通过仿射变换A描述为[ 3 ]：Av1和Av 2。（六）重新制定方程 6使用计算机图形学[33]中的众所周知的事实导致A−TR90 v1= βR90 v2，其中矩阵R90是以90度旋转的2D正交（旋转）矩阵，β是未知尺度。 向量R90 v1和R90 v2是线法线n1和n2，A−Tn1= βn2。（七）在附录A中，证明了如果n1和n2是由基本矩阵利用关系Fn1和FTn2计算的，并且它们没有归一化，则β等于1。简而言之，它被给出为相邻核线的距离比两个图像上的线条。对于法线为6006联系我们9ΣΣ×−8联系我们12ΣΣ未标准化β只是一个方向相反的尺度。法线由F表示为极线的前两个坐标：n 1 =（l1）（1：2）=（FTp 2）（1：2）和n 2=（l 2）（1：2）=（F p 1）（1：2）[13]，其中较低的索引选择子向量。因此，Eq。7写为A−T（FTp2）（1：2）=−（Fp1）（1：2）（8）并形成由如下两个方程组成的线性方程组：（u2+a1u1）f1+a1v1f2+a1f3+（v2+a3u1）f4+a3v1f5+a3f6+f7=0（9）a2u1f1+（u2+a2v1）f2+a2f3+a4u1f4+（v2+ a4v1）f5+ a4f6+ f8=0。（十）因此，每个局部仿射变换将自由度减少两个。3.2. 两点解算器设给定两个仿射对应（p1，p1，A1）和（p2，p2，A2）系数矩阵y=[α3α2β α2γ αβ2αβγ αγ2β3β2γ βγ2γ3]T。 表1显示了系数矩阵。由于单项向量x的尺度尚未固定，方程C（τ）y=0的非平凡解是当行列式为零时，det（C（τ））= 0。（十三）因此，隐变量的结果由于当前问题与[19]中的问题非常相似，因此我们采用所提出的算法。证明了det（C（τ））实际上是一个15次多项式，并得到了τ的候选值。然后，α、β、γ和τ的解被给出为y=null（C（τ））。最后，关于每个获得的焦距的基本矩阵F可以使用等式（1）直接估计12个。C（τ）1α32α2β3α2γ4αβ25αβγ6αγ27β38β2γ9βγ210γ31C1C2C3C4C5C6颈7C8C9C10...........10c91c92约93C94c95C96教约97c98c99C100表1：与10个聚乙烯相关的系数矩阵C（τ）12迹约束的范数方程u2+a1u1a1v1a1v2+a3u1a3v1a3100Ci =0a2u1u2+ a2v1a2a4u1v2+a4v1a4010u1u2v1u2u2u1v2v1v2v2u1v1114. 根的排除和选择相关 到 第i个（i1，2）对应关系形成为等式1和等式2的组合。二、9、10和满足式 Cix=0，哪里 X为不f1f2f3f4f5f6f7f f 是向量基本矩阵的未知元素我们表示两个对应关系的级联系数矩阵如下：在本节中，提出了一种新的技术，以忽略根的基础上的几何形状。在此基础上，提出了一种考虑数码相机特性的消除无效焦距的算法。最后介绍了一个根选择算法。4.1. 无效局灶性黄疸的消除C1C =C2 .（十一）在此提出了一种基于底层通用电气的解决方案，测量以消除无效焦距。假设一个点对（p1，p2），相关的局部亲和度A，有趣的-它是6 号的9，因此，它的左零空间是3-维度该解决方案的实施如下：x=αa+βb+γc，（12）其中a、b和c是奇异向量，α、β、γ是未知的非零标量值。请记住，只有公共焦距是未知的内部参数，因此，我们能够利用跟踪约束。 当量5产生10立方equa-四个未知数α、β、γ和τ的解，其中τ=f−2封装了未知的焦距 我们认为τ作为隐变量，并形成系数矩阵C（τ）w.r.t.其他三个- 尽管α，β和γ被定义到一个共同的尺度，我们不固定该比例以保持系统的均匀性。该多项式系统的单项式为并给出了一个求取的焦距f。由于假设了半校准的情况，F和f精确地确定了两个摄像头[13]。分别表示由点对（p1，p2）、局部仿射矩阵A和投影矩阵q=[xyz]T和n =[nxnynz]T诱导的三维坐标和表面法线。 根据我们的经验，线性三角剖分[13]是估计q的合适且有效的选择。利用[5]中提出的方法，利用亲和度A估计曲面法线n1在不失一般性的情况下，我们假设，从后面无法观察到3D表面因此，向量ciq和n之间的角度必须为两台摄像机均小于90μ m，其中ci为位置第i个摄像机（i1，2）。 这可以解释为如下：每个摄像机选择一个围绕1http://web.eee.sztaki.hu/6007242ΣΣΣ Σ∈−ΣΣ观察点Q。表面法线n必须位于这些半球的相交处。这些半球在球坐标系中由矩形描述如下：rect i=θi−πσi−π，其中θi，σi是相应的球面坐标，recti的格式为角θ角σ宽高度。相交区域由两个摄像头引起的它所应用的域中的元素。特别是，Tukey-[32]和Weisz-中位数[34]的结果没有显著差异，但是，前者的计算速度略快。最后，为了克服Median-Shift的离散性-因为它不添加新实例，只对给定实例进行操作-rect=\雷克特岛f（x）=0κ（xi-x），（14）i∈[1，2]当且仅当由球面坐标Θ和θ表示的表面法线n位于相交区域中时，点q可从两个相机观察到：Θ 由焦距f引起的设置不满足该标准是无效的，可以省略。请注意，这种约束可以直接扩展到多视图的情况下，使交叉区域更受限制。4.2. 相机的物理特性我们引入的限制，考虑到相机的物理限制的估计根相机矩阵K中的焦距不等于镜头的焦距，因为它是光学焦距和像素大小的比值[13]。特别地，后者是几微米，而光学焦距在间隔[1]内。. . 500] mm。因此，真实相机的粗略下限和上限为100和500。000超出此间隔的焦距将自动丢弃。请注意，考虑到具有不同属性的相机，这些限制可以轻松更改。4.3. 根选择为了解决多根信号的模糊性，减小噪声的影响，经典的方法是利用多个观测值消除不一致的观测值。由于Eq. 13是高次多项式，它对噪声敏感RANSAC [10]是解决该问题的成功技术，例如：五是坚持以人为本[25]。最近的方法，即核投票，利用根在实数解周围形成峰值的特性[20，19，18]。核投票像最大似然决策者一样最大化核密度函数。根据我们的经验，如果坐标系中的噪声平均不超过12个像素。 在此之上，根可能形成几个强有力的支持峰，并且不能保证找到真正的解决方案。因此，我们将问题公式化为一维域中的模式搜索：实际焦距表现为最受支持的模式。在几种模式搜索技术中[14]，最强大的一种是Median-Shift [29]Hi=1其中n是焦距的数量，κ是核函数-5. 实验结果对于合成测试，我们使用了Alg. 1.一、对于现实世界的测试，我们使用我们的C++实现2，这是一个修改的求解器的哈特利等人。[12 ]第10段。5.1. 综合测试对于合成测试，通过投影矩阵P1和P2生成两个透视相机。第一个摄像机位于朝向原点的位置[0 0 1]T，第二个摄像机与第一个摄像机的距离为0。15在一个随机的方向生成五个经过原点的随机平面，每个平面在五十个随机位置采样将获得的3D点投影到相机上。将零均值高斯噪声添加到点坐标中。局部仿射变换是通过推导由噪声点对应处的切平面引起的单应性来计算的，类似于[2]。图1报告了具有高斯核宽度10的核密度函数，其被绘制为相对误差（以百分比计）的函数。候选焦距估计如下：1. 选择两个仿射对应。2. 采用建议的两点法。3. 重复步骤1。迭代限制选择为100。蓝色水平线报告中位数偏移的结果，绿色的是内核投票的结果。添加到点位置和亲和力的零均值高斯噪声的σ值为（a）0。01像素，（b）0. 1个像素，（c）1. 0像素，（d）3. 0个像素，（e）3. 0像素，并且存在10%的离群值，（f）1. 0像素，纵横比存在一些错误：真实的是1。00但是0。95使用实际焦距是600。为了证明所提出的理论的有效性，峰值在地面真实焦距上：0%的相对误差。的根据大量的实验。 中位偏移亲-viding Tukey-medians [32]as modes does not generate new2http://web.eee.sztaki.hu/见 Tukey-medians [32]作为模式不会n6008ǁ=[n111表2：104个真实图像对上估计焦距的平均（Avg）和中值（Med）相对误差（百分比）以及相对误差的扩展（σ）。Corr #表示所需的通信编号。方法更正编号AvgMedσ提出29.623.8814.08Perdoch等人[26日]244.6645.8926.43Hartley等人[12个]621.798.6127.48所提出的根选择比核投票方法更鲁棒，因为即使噪声很高，蓝线也更接近于零图2报告了估计的基本矩阵的平均（顶部）和中位数（底部）误差绘制为噪声σ的函数，并与Hartley等人的结果进行了比较[12] Perdoch et al. [26]第10段。误差是估计的和地面真实基本矩阵的Frobe- nious范数。在每个噪声水平下进行100次运行。可以看出，估计的基本矩阵的精度类似于Hartley等人。[12 ]第10段。5.2. 真实图像测试3为了在真实世界的照片上测试所提出的方法，下载了104个图像对，每个图像对都包含EXIF数据中的地面真实焦距（见图4）。4为例）。仿射对应由ASIFT [23]检测，并且应用与合成测试相同的过程。图3a报告了所有104对焦距估计的相对误差（百分比）的直方图。可以看出，在大多数情况下，所得结果是准确的，相对误差接近于零。图3b示出了示例对的第一图像和点对应。在表2中，将所提出的方法与6点算法[12]和从两个局部仿射度创建点对应的算法[26]进行了比较报告的相对误差计算为估计误差和地面真实焦距为|fest−fgt|/fgt. 可以表3：在不同离群值水平（行）上具有95%概率的最小方法（列）增强的RANSAC的所需迭代次数Outl.所需点数25 6 7 8百分之五十1195191383766百分之八十743∼104∼105∼106∼106. 结论提出了一种仅利用两个仿射对应来估计未知焦距和基本矩阵的理论和有效方法两点法的合成和真实世界的数据进行与现有方法相比，该方法获得了最精确的焦距，其基本矩阵具有与现有算法相似的质量。将最小解算器与鲁棒统计相结合，例如RANSAC，允许显着减少计算。特别是，它的时间需求是大约几毫秒，因此它比提供输入的仿射协变检测器快得多。所提出的算法也可以应用于重构或多视图流水线，例如。Bujnak et al.[8]，如果至少有两个固定焦距的同一相机的图像可用。A. 线性仿射约束的证明引理1（对极线法线的约束）。给定一个局部仿射变换A，变换相关点对的相邻邻域。 相应的核线的法线是n 1和n 2。矩阵A是一个有效的局部a f当且仅当A −Tn1=−n2。证据亲和力A将对应的对极线的方向彼此变换为Av是微不足道的v′，其中v和v′是两条线的方向。图 像 . 从 计 算 机 图 形 学 [33] 中众所周知， 这 等 于A−Tn=βn′，其中n=（FTp′）1：2和n′=（Fp）1：2是极线的法线可以看出，2点技术在平均值和中位数准确度以及扩散方面优于其他技术。5.3. 时间需求使用以下增强RANSAC或其他鲁棒统计（β0）。注意，较低的索引（1：2）表示第一个两个向量的元素我们在这里证明，A−Tn=−n′。（十五）（证明）给定对应点对p =[x，y，1]T所提出的方法显著地减少了处理时间表3报告了所需的迭代次数[13]且p′=[x′，y′，1]T.设n1=[n1，xn1，y]T和的RANSAC收敛使用不同的最小方法′ ′11，x′1年T是核线的法线方向（列）作为发动机。图中显示了异常值的比例。线l1=FTp′=[l1，al1，b l1，c]T和l′= Fp =′1中的一种′1生产线b′1所述]的T. 则A−Tn1=βn′3试验数据作为补充材料提供。4 http://www2c.airnet.ne.jp/kawa/photo/ste-idxe。htm由于Av<$v′，其中β是比例因子r。首先，任务是确定亲和度A如何转换n 1的长度，如果|n1|为|n′|=1时。引入点q=nn[lLL6009噪音：0.01 px噪音：0.10 px噪音：3.00 px噪音：3.00 px离群值：10%2中用′x + sy + s|伊什1中的一种一个一个1，b1，b2˜ ˜˜1 1 10.90.90.90.80.80.80.70.70.70.60.60.60.50.50.50.40.40.40.30.30.30.20.20.20.10.10.10−1-0.8−0.6-0.4-0.200.20.40.60.810−1-0.8−0.6-0.4-0.200.20.40.60.810−1-0.8−0.6-0.4-0.200.20.40.60.81相对误差（%）相对误差（%）相对误差（%）（一）（b）第（1）款（c）第（1）款1 1 10.90.90.90.80.80.80.70.70.70.60.60.60.50.50.50.40.40.40.30.30.30.20.20.20.10.10.10−1-0.8−0.6-0.4-0.200.20.40.60.810−1-0.8−0.6-0.4-0.200.20.40.60.810−1-0.8−0.6-0.4-0.200.20.40.60.81相对误差（%）相对误差（%）相对误差（%）（d）其他事项（e）（f）第（1）款图1：高斯核宽度为10的核密度函数（垂直轴）绘制为相对误差（%）的函数。生成五个平面，每个平面在20个位置蓝色的水平线是中位数偏移的结果，绿色的是内核投票的结果添加到点位置和亲和力的零均值高斯噪声的σ值为（a）0。01像素，（b）0. 1个像素，（c）1. 0像素，（d）3. 0个像素，（e）3. 0像素，并且存在10%的离群值，（f）1. 0像素，纵横比中存在一些错误：真实值为1。00但是0。95使用Ground truth focal length是600。最好用彩色观看。p+δn1，其中δ是任意标量值。该新点确定第二图像上的核线，LLL是β=。01 - 02 - 2016刘晓波（|s1x′+s2y′+s3|），在哪里si=fi1n 1，x+fi2n 1，y，i∈ {1，2，3}. 因此我们可以′=Fq=F（p+δn1）=[l′′2、b2′2所述 ]的T. 尺度βc计算单位长度法线s的β。由线l′和点p′之间的距离d′确定（参见图（见第5a段）。距离d′的计算如下：考虑法线保持原始状态的情况形式和不规范（|n1|为|n1|=1）的值。正常的′|s1，a ′2，b ′3，c化表示以下公式D=21中的一种22、b、（十六）si，k′1，k +δfi1 n1，x+δfi2 n1，y，A−Tn=βn′。（十八）i∈ {1，2，3}，k∈{a，b，c}点p′落在l′上，可以写成l′。x′+l′y′+|n|对应于点p的核线被参数化1l′=0。 这一事实减少了Eq。16至1中的一种1生产线b作为[l′′1生产线b′1所述噪音：1.00 px噪声：3.00 px宽高比为0.95密度密度密度密度密度密度+s=L，l，l60101中的一种联系我们在Eq。 将用于计算β的公式18改写为：|n|为δ2′˜1˜2˜3]=F[x，y，1]T。 因此，它的正常是1所述′ 2如下：n′=nl′′1生产线bΣT =（F<$x′ y′1<$T）（1：2）。′|s1u+s2v+s3|s2+s2（十七）类似地，n=（FT<$x′y′1<$T）. 名称-d=0，（1：2）1 2L2+L2.分子如下：其中si=δfi1n1，x+δfi2n1，y，i1，2，3。To确定β，引入的点q必须向内移动接近p（δ→0）。那么β的平方就是记作βD′2= lim δ→0|s1u+s2v′+s3|二、=limδ→021中的一种n1，u（f1生产线bu′+f 21v′+fsu′+sv′+s=）+n1，v）=的u′+f 22v′+f 32 （f12经过初步修改，21，u21，v为|n1|二、Ln+ns2+s2121131.6011L1、L1pp'D'QCee'C'|−|、1.4建议Hartleyet al.1.2Perdoch等人10.80.60.40.2000.10.20.30.40.50.60.70.80.91噪声（像素）0.06建议Hartleyet al.Perdochet al.0.040.030.020.01000.10.20.30.40.50.60.70.80.91噪声（像素）图2：估计的和真实基础矩阵的均值（上）和中值（下）Frobenious范数绘制为噪声σ的函数。在每个噪声水平下进行100次运行。图4：示例对的第一个图像。第一个图像（绿点）、第二个图像（红点）和点移动（红线）上的点坐标。地面真实焦距、6点[12]的结果和提出的方法以灰色矩形表示。252015L102l250−40−30−20−10010203040相对误差（%）(a)（b）第（1）款图3：（a）104对图像的焦距估计直方图。水平轴是作为焦距中的相对误差（%，垂直轴）的函数(b)示例对的第一个图像。第一个图像上的点坐标（绿点），第二个图像上的点坐标（红点）和点移动（红线）。因此，β=±|n1|/|n1|2=±1/|n1|. 因此，Eq。 18被修改为A-Tn=±n′。由于两个IM上的核线的方向年龄必须彼此相反，正解被省略。最后的公式是：A−Tn=−n′。(a) 相邻核线之间的比例。图5：一个贴片的两个投影。规模的限制规定，p的比率q和d′决定了向量A-Tn和n′之 间 的 比 例。引用[1] S.阿加瓦尔湾古鲁卡河，加-地斯内夫利岛西蒙湾没有卷发S. M. Seitz和R. 塞利斯基一天建成罗马。通讯员。ACM，54（10）：105-112，2011. 1[2] D. Barath和L.海德尔从局部仿射变换估计同态的新方法。在计算机视觉、成像和计算机图形学理论与应用国际联合会议论文集中，误差对的数量误差6012%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2− p t for a a l l e n g h a l g ori t h m. 使用Matlab- 7。0（6.5）符号数学（Symbolic Math）%% I n p u t：的 “火柴”I s一 2个x8矩阵C O N T A I N I N G两a f i n e通信。%%每个 行外来资产“比赛“：（U1，v1，u2，v2，a1，a2，a3、a4）。%%示例 （T H E） 地面t r u t h福加L e n g t hi s 600）：%% 匹配=[ 12 . 0527134 0870-263.1743679 72121 .一、6376-0.3952-0.1925二、2532 ;%%-67.9281-42.4639-313.5657三六二34551 .一、3758-0.38450的情况。01501 .一、四八零六]%%输出： 福加 我在这里。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%f unc t i o nF =两点焦距（匹配）syms F f x y z w equRes Q Cequ = sym（' equ '， [ 1个10]）;C = sym（“C”， [ 1010]）;Q = w <$（−1）<$ [ 1， 0， 0的整数; 0， 1、 0的整数; 0，0，w ] ;M = 0（s i z e（p t s 1，1）， 9）;为 我 = 1 ：s i z e（p t s 1，1）u1 =Matches（i，1）;v1 =Matches（i）;u2 =Matches（i）;v2 =Matches（i，4）;A1 =Matches（i，5）;A2 =Matches（i，6）;A3 =Matches（i，7）;A4 =Matches（i，8）;M（3个） + 0，：） = [ u1 ∗ u2，v1 ∗ u2， u2，u1 ∗ v2，v1 ∗ v2， v2， u1， v1，1 ] ;M（3个） + 1，：） = [ u2 + A1 ∗ u1， A1 ∗ v1， a1， v2 + A3 ∗ u1， A3 ∗ v1， a3，1、 0， M（3 i+ 2，：）= [a2 u1，u2 +a2 v1，a2，a4u1，v2 + a4 v1，a4，0，1，0 ] ;结束;[，，vm] = int sum（m）;N = [ vm（：，7），vm（：，8），vm（：，9）];F = x <$N（：，1） + y N（：，2） + int N = nums（n）;F = t r an s p os e（reshape（f，3，3））; FT = t r an s p os e（F）; t r =sum（diag（F <$Q <$FT <$Q））;公式（1）= return（F）;equ（2：1 0）= expand（2<$F <$Q <$FT <$Q <$F−t r <$F）;为我 = 一比十方程（i） = 枫木（“col l e c t”， 等式（i），' [ x，y，z ] '，’ d i s t r i b u t e d ’ )为J = 1 ：10奥佩尔 = maple（' op '， j，equ（i））; C（i，j） = maple（' op '， 1、 o p e r）;端端Res = maple（f o c = 1。0的情况。/s qrt（d o u b l e（[s o l v e（Res）]））; f o c = f o c（imag（f o c）== 0）;端程序1：两点算法434-445，2016年。4[3] D. Barath，J. Matas，and L.海德尔与对极几何一致的局部仿射变换的精确闭合形式估计2016年英国机器视觉会议。一、二[4] D. Barath，J.Molnar和L.海德尔从仿射变换估计曲面法线的新方法在计算机视觉，成像和计算机图形理论和应用（选定和修订的论文），第3162015. 1[5] D. Barath，J.Molnar和L.海德尔仿射变换的最优曲面在Proceedings of the International Joint Conference onComputer Vision ， Imaging and Computer GraphicsTheory and Applications，第305- 316页，2015年。第1、3条[6] J. Bentolila和J. M.弗兰克斯来自仿射对应的圆锥极线约束。计算机视觉和图像理解，122：105-114，2014。1[7] A. 波迪斯-索莫尔河。 Riemenschneide r和L. V. 好极了基于稀疏运动恢复结构和超像素的快速近似分段平面建模。CVPR，2014。1[8] M. Bujnak，Z. Kukelova和T.帕杰拉多视点场景重建中基于投票的鲁棒焦距估计。计算机5[9] D. A. Cox，J. Little，and D.奥谢利用代数几何学。2006.一、二[10] M. Fischler和R.波尔斯随机抽样共识：模型拟合的一个范例，并应用于图像分析6013分析和自动制图。 Commun. Assoc. Comp.马赫，1981年。1、4[11] J. Frahm，P.F. Georgel，D.Gallup，T.约翰逊河，巴西-地拉古兰，C. Wu，Y.Jen、E.邓恩湾Clipp和S.Lazebnik 在万里无云的日子里建造罗马。第11届欧洲计算机视觉会议，第368-381页，2010年。1[12] R. I. Hartley和H.李一种有效的隐变量最小情况摄像机运动估计方法 IEEE Trans. Pat-tern Anal.马赫内特尔，34（12）：2303-2314，2012. 四、五、七[13] R. I. Hartley和A.齐瑟曼。 计算机视觉中的多视图几何。剑桥大学出版社，ISBN：0521540518，第二版，2004。一、二、三、四、五[14] A. 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