负非对合剩余格中的一致拓扑空间性质研究

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记345（2019）113-124www.elsevier.com/locate/entcs负非对合剩余格中基于BF-理想的一致拓扑空间Chunhui Liu刘春辉1，2赤峰学院Chifeng，P.R. 中国摘要在负非对合剩余格中，利用BF-理想诱导的同余建立了一致拓扑空间，并讨论了它们的一些性质。证明了以下结论：（i）一致拓扑空间是一次可数的、零维的、不连通的、局部紧的、完全正则的。（ii）一致拓扑空间是T1空间，若它是T2空间.(iii)负非对合剩余格中的格和伴随运算关于一致拓扑是连续的，这使得负非对合剩余格成为拓扑负非对合剩余格.同时，得到了一致拓扑空间是紧的和离散的充要条件。本文的结果对于在拓扑水平上揭示负非对合剩余格的内在特征具有积极的作用关键词：非经典逻辑，负非对合剩余格，BF-理想，一致拓扑空间1引言众所周知，非经典数理逻辑[1]已经成为计算机科学处理模糊信息和不确定信息的一种形式化的有用作为非经典数理逻辑系统的语义系统，人们提出了各种逻辑代数。在这些逻辑代数中，Ward和Dilworth[2]引入的剩余格是非常基本和重要的代数结构。其他一些逻辑代数如MTL-代数、BL-代数、MV-代数[3]和NM-代数（又称R0-代数[4]）都可以看作是特殊的剩余格类过滤器和理想是两个1本课题得到内蒙古自治区高等学校科研基金（批准号：NJZY18206）的资助。2电子邮件：chunhuiliu1982@163.comhttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2019.07.0201571-0661/© 2019作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。114C. Liu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）113研究逻辑代数结构的重要概念相关的研究工作引起了学者们的广泛关注[5，6]。值得注意的是，在具有负对合（正则）性质的对数代数中，考虑到滤波器和理想相互对偶，大多数人将注意力集中在滤波器问题上。然而，当逻辑代数中的否定运算失去对合时，理想与滤波器之间的对偶关系也被打破。因此，在负非对合逻辑代数框架下研究理想及其应用是一项有意义的工作。鉴于此，文献[7，8，9]在BL-代数和负非对合剩余格中引入了理想和模糊理想的概念，得到了一些有理论意义和应用前景的结果。模糊集的概念是由Zadeh于1965年提出的，是数学中一个引人注目的思想。目前，模糊集在应用数学、控制工程、信息科学、专家系统和自动机理论等领域中已得到广泛的应用，但在传统的模糊集中，元素的隶属度都被限制在区间[0，1]内，这就给模糊集中无关元素与相反元素的区别的表达带来了很大的困难。如果一个集合表示能够表达这种差异，它将比传统的模糊集合表示提供更多的信息。基于这些观察，Lee[11]引入了双极值模糊集的概念，简称为BF-集，这是传统模糊集的扩展。在过去的几十年里，越来越多的研究者致力于将BF-集理论应用于各种代数结构[12，13，14]。最近，我们在[15]和[16]中引入了负非对合剩余格中BF-理想的概念，并讨论了一些相关性质。作为上述工作的继续，本文考虑了BF-理想的集合得到了一些有趣的结果2预赛在本节中，我们回顾了关于负非对合剩余格[2，3，8，9]和BF-集[11，15，16]的一些概念和性质。关于拓扑的概念，请参考[17]和[18]。定义2.1剩余格是（2，2，2，2，0，0）型的代数（L，n，n，n，→，0，1），使得：(R1)（L，n，n，0， 1）是一个有界格，其中最大元素为1，最小元素为0，(R2)（L，n，1）是一个交换幺半群，（R3）（R，→）是L上的伴随对，即，对所有的x，y，z∈L，x∈y≤z当且仅当x≤y→z.一个负的非对合剩余格是一个剩余格（L，n，n，n，→，0， 1）满足：存在x∈L，使得x对所有的x∈L。xJ，其中xJ=x→ 0C. Liu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）113115一、Aλ.Aλ.- 是的..（x），μ- 是的.μAλ..（x），μμ N|μ N：X→[−1，0].对于每μP∈J[0，1] μN∈J[-1，0]，我们称A=（μ N）|λ∈ΛB一B一（x，μA（x），μA（x））|x ∈ XX上的一个双极值模糊集，并且A是BFS（X）.让Aλ=（μPAλAλ接下来，一个剩余格（L，n，n，n，→，0， 1）将简称为L。引理2.2设L是一个负非对合剩余格，则对所有x，y，z∈L，（P1）x≤y当且仅当x→y=1，（P2）x→x= 1和x→ 1 = 1和 1→x =x，（P3）x≤y蕴涵x <$z ≤y<$z和z→x≤z→y和y→z≤x→z，（P4）y→z≤（x→y）→（x→z）≤x→（y→z）和x→y≤（y→z）→（x→z），（P5）x→（y<$z）=（x→y）<$（x→z）和（y<$z）→x=（y→x）<$（z→x），（P6）（x→y）<$（y→z）≤x→z和x→（y→z）=（x<$y）→z=y→（x→z），（P7）x≤y=<$yj≤xJ=<$xJJ≤yJJ和x≤xJJ=xJ和x<$xJ=0，（P8）x→yJ=y→xJ=（x<$y）J和（x→yJ）JJ=x→yJ和（x→yJJ）JJ=x→yJJ，（P9）（x <$y）J= xJ<$yJ和（x <$y）JxJ<$yJ和x → y ≤ yJ→ xJ。.设X是一个非线性集合。 表示J[0，1]=。μP|μP：X→[0，1]且J[−1，0]=.PN AA一X上的BF-集，其中μP（x）称为正隶属度，注意到一个元素x对某个特定属性的满足程度，BF-集A，μN（x）被称为负隶属度，它表示x对BF-集A的某些反性质的满足程度。为了简单起见，我们将使用符号A=（μP，μN）表示BF。.PNAA设置A=（x，μ，A（x），μA（x））|x∈X。X上所有BF-集的集合记为yλ。∈ΛAλ与BF-并的Aλ，Aλ=（μP（μN）|λ∈Λ，如下：•.λ∈ΛX∈X;Aλ（x）=μPAλ∈Λ.Nλ∈ΛAλ（x）=λ∈ΛΣP（x），λλ∈Λμ一μN（x），•.λ。∈ΛAλ（x）=PAλλ∈ΛNλ∈ΛAλ（x）=λ∈ΛP（x），λλ∈ΛμN（x），x∈ X。特别地，如果A=（μP，μN），B=（μP，μN）∈BFS（X），我们定义AHB，A A B BAHB如下：•（AHB）（x）=（min{μP（x），μP（x）}，max{μN（x），μN（x）}）=（μP（x））A B A B AμP（x），μN（x）<$μN（x）），<$x∈X;AλμBFS（X），我们定义BF-交集λ116C. Liu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）113B一B一B一B•（AHB）（x）=（max{μP（x），μP（x）}，min{μN（x），μN（x）}）=（μP（x）A B A B AμP（x），μN（x）<$μN（x）），<$x∈X，并在BFS（X）上定义一个偏序关系±，使得•A±B当且仅当μP（x）≤μP（x）且μN（x）μ N（x），对于每个x∈ X。定义2.3[15]设L是一个负非对合剩余格。一个男朋友-C. Liu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）113117一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一集合A=（μP，μN）∈BFS（L）称为L的BF-理想，如果它满足以下条件：对于所有的x，y∈L，（BFI1）μP（0）μP（x）且μN（0）≤μN（x），A a a A（BFI 2）μP（y）μP（x）<$μP（（xJ→yJ）J）和μN（y）≤μN（x）<$μN（（xJ→yJ）J）。L的所有BF-理想的集合记为BFI（L）。引理2.4 [15]设L是负非对合剩余格，A =（μ P，μ N）∈ BFI（L）. 则对所有x，y，z ∈ L，（BFI 3）x≤y意味着μP（y）≤μP（x）和μN（y）μN（x），A a a A（BFI4）μP（（x→y）J）μP（（x→z）J）μP（（z→y）J）和μN（（x→y）J）≤A a a Aμ N（（x → z）J）<$μ N（（z → y）J）.3基于BF-理想的一致性与一致拓扑空间在这一节中，我们首先利用一个BF-理想导出一个同余关系，然后在负非对合剩余格中给出了基于BF-理想的一致性和一致拓扑空间的定义3.1设L是一个负非对合剩余格。一个二元关系R<$L×L被称为L上的同余关系，如果它满足以下条件：(CR1)R是L上的一个等价关系，i。例如，R满足自反性、对称性和传递性，(CR2)对所有的x，y，z∈L，（x，y）∈R蕴含（x<$z，y<$z）∈R和（z<$x，z<$y）∈R，其中<$∈ {<$，→}.定理3.2设L是负非对合剩余格，A=（μ P，μ N）∈BFI（L）. 一个二元关系AL × L定义如下：A A.μP（（x→y）J）=μP（（y→x）J）=μP（0），μ N（（x → y）J）= μ N（（y → x）J）= μ N（0）。则λ A是L上的一个同余关系。我们称之为L上BF-理想A诱导的同余关系。证据首先，很明显，A满足自反性和对称性。对于传递性，假设x<$Ay和y<$Az，我们有μP（（x→y）J）=μP（（y→x）J）=μP（0）并且μN（（x→y）J）=μN（（y→x）J）=μN（0），μP（（y→z）J）=μP（（z→y）J）=μP（0）和μN（（y→z）J） =μ N（（z→y）J） =μ N（0）。对任意的x，y，z∈L，由于y→z≤（x→y）→（x→z）≤（x→z）J→（x→y）J≤（x→y）JJ→（x→z）JJ，由（P4）和（P9），我们有（y→z）J（（x→y）JJ→（x→z）JJ）J由（P7）。根据A∈BFI（L）和引理2.4，我们有μP（（y→z）J）≤μP（x→ z）j），y) JJ→（x→z）JJ）J）和μN（（y→z）J）μN（x→y）JJ→（x→z）JJ）J），因此，定义2.3我们可以得到μP（（x→z）J）μP（（x→y）J）<$μP（x→y）JJ→对所有x，y∈L， x118C. Liu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）113一一一一一（x→z）JJ）J）μ P（（x → y）J）<$μ P（（y → z）J）= μ P（0）且μ N（（x→ z）J）≤ μ N（（x → z）j）C. Liu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）113119.（（x→′Hy））=μ一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一BB一B一B一一BB一B一B一一一BBB一一一BBB一B一B一B一y）J）<$μN（x→y）JJ→（x→z）JJ）J）≤μN（（x→y）J）<$μN（（y→z）J）=μN（0），以及因此μP（（x→z）J）=μP（0）和μN（（x→z）J）=μN（0）。同样，我们也可以得到μP（（z→x）J）=μP（0），μN（（z→x）J）=μN（0）.因此，x<$Az，i。例如，一A a a A满足传递性。其次，假设x<$Ay，我们有μP（（x→y）J）=μP（（y→x）J）=μP（0）并且μN（（x→y）J）=μN（（y→x）J）=μN（0）。因为（x<$z）→（y<$z）=（（x<$z）→y）<$（（x <$z）→z）=（x<$z）→yx→y由（P4）和（P5），我们有（x→y） J（（x<$z）→（y<$z）） J由（P7）。根据A∈BFI（L ）和引理 2.4 ，我们有μ P （0 ）= μ P （（ x→y ） J ）≤μ P（x<$z）→（y <$z））J）且μN（0）=μN（（x→y）J）μN（x<$z）→（y<$z））J），因此μP（x<$z）→（y<$z））J）=μP（0）和μN（x<$z）→（y<$z））J）=μN（0）。同样，我们也可以得到μP（y<$z）→（x<$z））J）=μP（0）和μN（y<$z）→（x<$z））J）=μN（0）。在那里-前（x<$z）A（y<$z）。使用类似的方法，我们可以证明（x<$z）<$A（y<$z），（x<$z）<$A（y<$z）、（x→z）<$A（y→z）和（z→x）<$A（z→y）。证据已经完成。Q定理3.3设L是负非对合剩余格，A=（μ P，μ N），B=（μ P，μ N）∈BFI（L），μ P（0）=μ P（0），μ N（0）=μN（0）.然后A证据设A=（μP，μN），B=（μP，μN）∈BFI（L），μP（0）=μP（0），μ N（0）= μ N（0）。对于每个x，y∈L，它遵循（x，y）∈ <$A<$$>B<$$>x<$Ay和x<$ByμP（（x→y）′）=μP（（y→x）′）=μP（0）=μP（0）=μP（（x→y）′）=μP（（y→x）′）μN（（x→y）′）=μN（（y→x）′）=μN（0）=μN（0）=μN（（x→y）′）=μN（（y→x）′）好吧μP（（x→y）′）<$μP（（x→y）′）=μP（0）<$μP（0）=μP（（y→x）′）<$μP（（y→x）′）μN（（x→y）′）<$μN（（x→y）′）=μN（0）<$μN（0）=μN（（y→x）′）<$μN（（y→x）′）N好吧μPB（（x→y）′）=μP一（0）=μPB A B（（y→x）′）μAHBAHBA BNAHB（0）=μAHAHB（（y→x）′）⇐⇒(x, y)∈≡AHB,根据定理3.2，因此<$A<$$>B=<$AHB。QN⇐⇒120C. Liu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）113设X是一个非空集，U，V<$X×X，合成，逆和对角线定义如下(1) U <$V ={（x，y）∈ X× X| <$z ∈ X，（x，z）∈ V，（z，y）∈ U}，（2）U −1={（x，y）∈ X × X|（y，x）∈U}，(3) Δ ={（x，x）∈ X × X|x ∈ X}。定义3.4[17，18]设X是一个非空集。X上的一致性是X×X的子集的非空集合Ω，满足以下条件：(U1)对于所有U∈Ω， Δ<$U，(U2)对于所有U∈Ω，U−1∈ Ω，(U3)对于所有U∈Ω，存在V∈Ω使得V<$V<$U，（U4）对于所有U，V∈Ω，U<$V∈ Ω，(U5)U∈Ω和U<$V<$X×X意味着V∈Ω。对（X，Ω）称为一致空间。C. Liu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）113121一一一一设Ω是X上的一致性，x∈X，U∈ Ω且U [x]：={y∈X|（x，y）∈U}，Ω可以自然地在X上导出一个拓扑τ，使得τ ={O <$X| <$x ∈ O，<$U∈ Ω，s.t.U[x]<$O}，我们称它为X上由Ω诱导的一致拓扑空间和X上由Ω诱导的（X，τ）一致拓扑空间.本文在负非对合剩余格L中定义了一致性概念，并基于BF-理想导出了一致拓扑。 因此，在下一个续文中，我们假设I是L的BF-理想的非空族，它在BF-交下是闭的，并且对所有A=（μP，μN），B=（μP，μN）∈I，μP（0）=μP（0），μN（0）=μN（0）。A A B B A BA B命题3.5设L是一个负的非对合剩余格，UA={（x，y）∈ L × L|x <$Ay}，其中A =（μ P，μ N）∈ I.然后子集族ωω={UA|L × L的A∈I}满足条件（U1）-（U4）.证据 对任意的U A∈ ωA，由U A的自反性、对称性和传递性可导出ω满足（U1）-（U3）.对于（U4），设U A，U B∈ωε，由定理3.3我们有U A<$U B=U AHB. 由于A，B∈ I且I在BF-交下闭，我们有AHB∈I。因此，UA<$UB∈ω<$。因此，ω也满足（U4）。Q定理3.6设L是负非对合剩余格。则ω={UL×L|U A∈ωU A<$U}是L上的一致性，因此（L，ω）是一致空间。证据根据命题3.5和ω的定义，我们知道ω满足条件（U1）-（U4）。 我们将证明ω满足条件（U5）。 的确，让U∈ω且U<$V<$L×L，则存在UA∈ω <$使得UA<$U<$V，从而V∈ω。 证据已经完成。Q结合定义3.4和定理3.6，我们给出以下定义：定义3.7设L是一个负的非对合剩余格。则τI={0}|<$x∈O，<$U∈ω，s.t. U [x]<$O}是L上的一个拓扑，称为L上由I诱导的一致拓扑，（L，τI）称为由I诱导的一致拓扑空间。特别地，如果I ={A=（μ P，μ N）}，则ω ={U <$L×L|U AU}，L上由I诱导的一致拓扑记为τA.注1设L是一个负的非对合剩余格。 根据定义3.7中一致拓扑τI的定义，对任意x ∈ L和A=（μ P，μ N）∈A A很明显，U A [x]是x的开邻域。例3.8设格L={0，a，b，c， 1}，L的Hasse图定义为图1，L的算子→和分别定义为下表：122C. Liu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）113一一一一一一一一一一一一一一一一1.. Ca/。/\。B\。/0图1：L且XJ=x→ 0，对任意x∈L，则（L，≤，n，n，n，→，0，1）是一个负非对合剩余格.设A=（μP，μN）∈BFS（L）定义如下X0一BC1μP（x）一0。80。80。30。30。3μN（x）一-0。7-0。7-0。4-0。4-0。4通过常规计算，我们知道A=（μP，μN）∈BFI（L）.取I={A=A A（μP，μN）}，则A Aωn={U A}={{（x，y）∈ L × L|{\fn黑体\fs19\bord1\shad1\1cHD8AFAF\4cHC08000\b0}}={{（0， 0），（a，a），（b，b），（c，c），（1， 1），（0，a），（a，0），（1，b），（b，1），（1，c），（c，1）}}，ω={U <$L × L|U AU}和U A [0]= U A [a]={0，a}，U A [b]={b，1}，U A [c]={c，1}，U A [1]={b，c，1}。因此，τI=τA={λ，{1}，{ 0，a}，{b， 1}，{c， 1}，{ 0，a， 1}，{b，c， 1}，{ 0，a，b， 1}，{ 0，a，c， 1}，L}。定理3.9设L是负非对合剩余格。则对于每个x∈L且A=（μP，μN）∈I，UA[x]是（L，τI）的闭子集.证据 对于任意x ∈ L和A =（μ P，μ N）∈ I，首先，可以得出U A [x]是（L，τI）的一个开子集。 其次，我们将证明UA[x]也是是（L，τI）的闭子集，它 满足（UA[x]）c∈τI. 设y∈（UA[x]）c，我们称UA[y]<$（UA [x]）c.事实上，假设z∈U A [y]，则y<$Az，因此通过定理3.2我们有μ P（（y → z）J）= μ P（（z → y）J）= μ P（0），μ N（（y→z）J）=μ N（（z→y）J）=μ N（0）。 如果z∈（U A [x]）c，则z∈U A[x]，即，x<$Az，因此我们有μP（（x→z）J）=μP（（z→x）J）=μP（0）和μN（（x→ z）j）。z) J）=μN（（z→x）J）=μN（0）。由A=（μP，μN）∈BFI（L）和引理A a a A2.4这→0一BC1⊗0一BC1011111000000一B1B11一0一0一 一B一 一111B00BBBC0一B11C0一BCC10一BC110一BC1C. Liu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）113123一一一一一一一一一一一一一一一一.μP（0）=μP（（x→z）J）<$μP（（z→y）J）≤μP（（x→y）J），μN（0）=μN（（x→z）J）<$μN（（z→y）J）μN（（x→y）J），和.μP（0）=μP（（y→z）J）<$μP（（z→x）J）≤μP（（y→x）J），μN（0）=μN（（y→z）J）<$μN（（z→x）J）μN（（y→x）J），124C. Liu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）113一一一一一一一一BB一B一B一一一一一一一B一BB一一BB一一BB一一BB一一BBBBBBB一一BB一B一B一B一BA±A，μP（0）=μP（0），一BA∈I一B因此μP（（x→y）J）=μP（（y→x）J）=μP（0）和μN（（x→y）J）=μN（（y→x）J）=μ N（0），因此x <$Ay，这表明y∈U A [x]，它与y∈（U A [x]）c矛盾。因此z∈（UA[x]）c和UA[y]<$（UA[x]）c。故（U A [x]）c∈τI，证明完成。Q命题3.10设L是一个负非对合剩余格，A =（μ P，μ N），B=（μ P，μ N）∈BFI（L）.如果A±B，μ P（0）=μ P（0）且μ N（0）=μ N（0），然后是U AU B。证据 设（x，y）∈ UA，则μ P（（x → y）J）= μ P（（y → x）J）= μ P（0），μ N（（x → y）j）= μ P（0）y）J）= μ N（（y → x）J）= μ N（0）。由于A±B，μP（0）=μP（0）和μN（0）=μN（0），我们有μP（0）=μP（0）=μP（（x→y）J）≤μP（（x→y）J），μP（0）=μP（0）=μ P（（y→ x）J）≤ μ P（（y → x）J）且μ N（0）= μ N（0）= μ N（（x → y）J）μ N（（x → y）J），μ N（0）= μ N（0）= μ N（（y → x）J）μ N（（y→ x）J）。因此μP（（x→y）J）=μP（（y→ j）x) J）= μ P（0）和μ N（（x → y）J）= μ N（（y → x）J）= μ N（0）。 因此，（x，y）∈ U B且证明完成了Q定理3.11设L是负非对合剩余格，A =（μ P，μ N），B=（μ P，μ N）∈BFI（L）.如果A±B，μ P（0）=μ P（0）且μ N（0）=μ N（0），然后是τ B<$τ A。是的。定义I1={B}，ω1={UB}，ω1={UL×L|UB<$U}和I2={A}，ω2∗ ={U A}，ω2={UL×L|U AU}。设O∈τ B，则对所有x∈ O，存在U∈ω1使得U[x]<$O，因此UB[x]<$U[x]<$O。由于A±B，μ P（0）= μ P（0）和μ N（0）= μ N（0），根据命题3.10，我们有U A<$UB。故UA[x]<$UB[x]<$U[x]<$O，故O∈τA且τB<$τA。Q定理3.12设L是负非对合剩余格。 如果B =. A，则τI=τB。A∈I是的。 设I1={B}，ω1={UB}，ω1={U<$L×L|UB<$U}和ωb，ωb分别定义在命题3.5和定理3.6中。 设O ∈ τ B，则对11x ∈O.，存在U∈ω1，使得U[x]<$0 ，u∈UB[x]<$U[x]<$0.UB∈A∈Iω，且我们O∈τI，这表明τB <$τI。设O∈τI，对任意的x∈O，存在U∈ωsuch，使得U[x]≠0. O. 如果U∈ω，则存在μN（0）=μN（0），我们可以得到UB[x]<$UA[x]<$U[x]<$O，因此O∈τB，并且因此τI<$τB。因此，τI=τB。Q因为B=A和I在BF-交下是闭的，我们知道B∈I。 因此A∈ I使得UA[x]<$U[x]。 注意B=C. Liu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）113125我们可以很容易地得到以下语句：A∈I注2设L是一个负的非对合剩余格，B =. A、然后(i) 根据定理3.12，我们知道τI= τ B。 对于任何x ∈ L和U ∈ ω，我们可以得到UB[x]<$U [x]。因此，τI={O<$L |<$x ∈ O，UB[x]<$O}. 这一事实表明O<$L是（L，τI）的开子集当且仅当对所有x∈ O，UB[x]≠O当且仅当O=x∈OU B[x]。126C. Liu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）113∈∈A，则B∈ I，且一一A∈I(ii) 对于每个x∈L，by（i），我们知道UB[x]是x的最小开邻域。(iii) LetBB={UB[x]|x∈L}，By（i）和（ii），则BB是一致拓扑τ B的基。(iv)对任意x∈ L，{UB[x]}是x的可数邻域基定理3.13设L是负非对合剩余格。 则（L，τI）是离散空间当且仅当对所有x ∈ L，存在A ∈I使得UA [x]={x}.证据 设（L，τI）是离散空间。设对任意A=（μP，μN）∈I，有.AA存在x0∈L使得UB[x0]/={x0}，则存在y0∈UB[x0]使得x0y0。根据注2（ii），UB[x0]是x0的最小开邻域，因此{x0}/∈τB=τI，其中（L，τI）是一个矛盾. 因此，对于所有x ∈ L，存在A ∈I使得U A [x]={x}。相反，假设对所有x∈L，存在A∈I，使得UA[x]={x}。 T en{x}∈=τI. Hence（L，τI）是离散空间。Q定义3.14假设 L是 一 负 非对合的 剩馀 晶格，A（μ P，μ N）∈I且X<$L. 我们定义UA[X]：=U A [x]。x∈X定理3.15设L是负非对合剩余格，A（μP，μN）∈A A我和X。则X的闭包等价于由c（X）均匀地映射到pologic_s_p_a_e（L，τ_I）。UA∈ωεA[X]，表示为证据 设x ∈ c（X），则对任意A ∈ I，U A [x]是x的开邻域，UA[x]X/=。 因此，存在y∈X，使得y∈UA[x]，即，（x，y）∈UA，它遵循x∈UA[y]<$y∈XU A[y] = U A [X]。 因此xUA∈ωε U A[X].相反，设xUA∈ωε UA[X]，则对任何A∈I，x∈UA[X]，因此存在y∈X，则x∈UA[y]且UA[x]<$X/=<$。 则x∈c（X）. 的pro是完成Q4一致拓扑空间（L，τI）在这一节中，我们研究了一致拓扑空间（L，τI）的一些拓扑性质，如紧性、连通性、分离性和连通稳定性等。定义4.1[17，18]设（X，τ）是一个拓扑空间。称X的子集Y是紧的，如果Y的每个开覆盖都包含一个有限子集合，Y.拓扑空间（X，τ）称为紧空间当且仅当X本身是紧的。 一个拓扑空间（X，τ），称其在点x∈X处局部紧，如果x在X中有一个紧邻域，则称（X，τ）是局部紧的，如果它在每一点都是局部紧的存在x∈L使得UA[x]/={x}. 取B=C. Liu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）113127..i=1i=1i=1一一定理4.2设L是负非对合剩余格。 如果B =A，A∈I则对任意x∈L，UB[x]是一致于pologicalSpace（L，τI）的完备子集.证据 对于任意的x∈L，令{Oλ}λ∈ΛτI使得UB[x]=λ∈ΛO λ。以来x∈UB[x]，则存在λ∈Λsuch，使得x∈Oλ∈τI. 下面是注2(i) A[x]≠Oλ。 因此UB[x]是（L，τI）的紧子集.Q引理4.3 [17，18]一个拓扑空间（X，τ）是连通的当且仅当X的在X中既开又闭的子集是空集和X本身。引理4.4 [17，18]如果（X，Ω）是一致空间，则对应的一致拓扑空间（X，τ）是完全正则空间。定理4.5设L是负非对合剩余格。 则一致拓扑空间（L，τI）是一个第一可数的、零维的、不连通的、局部紧的、完全正则的空间。证据 设B=A，由定理3.12，可证明（L，τB）为A∈I第一可数，零维，不连通，局部紧，完全规则空间 事实上(1) 对任意x∈L，通过注2（iv），{UB[x]}是X. 故（L，τB）是第一可数空间。(2) 由定理3.9和注2（iii），我们知道BB={UB[x]|x∈L}是τB的闭闭根基.因此（L，τ B）是一个零维空间。(3) 由定理3.9和引理4.3，我们得到（L，τB）是一个不连通空间。(4) 对任意x∈L，注2（ii）和定理4.2，我们知道UB[x]是x的紧邻域。因此（L，τB）是局部紧空间。(5) 从引 理 4. 4 可 以 得出（L，τ B）是完全正则空间。Q定义4.6[17，18]一致空间（X，Ω）被称为完全有界的，如果对于对于每个U∈Ω，存在{xi}n<$X使得X=ni=1U[x i]。定理4.7设L是负非对合剩余格，A=（μ P，μ N）∈ BFI（L）. 则以下条件是等价的：(1) 一致拓扑空间（L，τA）是紧的，(2) 一致空间（L，ω）是完全有界的，(3) 存在P={xi}n<$L，对所有x∈L，存在xi∈P使得x 阿斯塔纳岛证据（ 1）=（2）：这在[10]第6章的定理32中是清楚的。(2)（3）：设UA∈ω，由于（L，ω）是完全有界的，由定义4.6，有存在P={xi}n<$L使得L=ni=1U A[x i]。 因此，对于所有x∈L，存在xi ∈ P使得x ∈ U A[x i]，因此x <$Ax i。(3)=<$（1）：对任意x∈L，假设存在xi∈P使得x<$Ax i。128C. Liu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）113Oλ，则对任意xi∈P={xi}i=1<$L，存在λi∈Λ使得一一BBCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC一C一CCCCC因此x∈UA[xi]，因此L=ni=1U A[x i]。 设存在<${Oλ}λ∈ Λ<$τAnλ∈Λ则xi∈Oλi。由于Oλi∈τA，UA[xi]<$Oλi，我们有L=n因此，L=i=1nUA[xi]i=1nO λi。i=1通过对均匀拓扑空间（L，τI）的分离，得到了如下结论：定理4.8设L是负非对合剩余格。则以下语句是等价的：(1) 一致拓扑空间（L，τI）是T1-空间，(2) 一致拓扑空间（L，τI）是一个T2-空间.证据（1）= τ（2）：设（L，τI）是T1-空间，x，y∈L，使得xI = y.则存在O1，O2∈τI使得x∈O1，y/∈O1和y∈O2，x/∈O2.因此存在A =（μ P，μ N），B =（μP，μ N）∈ BFI（L）使得UA [x]<$O1UB [y]<$O2.设C =AHB，其中C ∈I. 我们将显示UC[x]<$UC[y] =0。事实上，z∈UC[x]<$UC[y]，则z<$Cx和z<$Cy，通过定义3.1，我们有.μP（（z→x）J）=μP（（x→z）J）=μP（0）=μP（（z→y）J）=μP（（y→z）J），μ N（（z → x）J）= μ N（（x → z）J）= μ N（0）= μ N（（z → y）J）=μ N（（y → z）J）。由C∈BFI（L）和引理2.4得出μP（0）=μP（（x→z）J）<$μP（（z→ z）j）y）J）≤μ P（（x→y）J），μ N（0）= μ N（（x→z）J）<$μ N（（z→y）J）μN（（x→y）J）和μP（0）=μP（（y→z）J）<$μP（（z→x）J）≤μP（（y→x）J），μN（0）=μN（（y→z）J）<$μ N（（z → x）J）μ N（（y → x）J）。因此，μP（（x→y）J）=μP（（y→x）J）=μP（0），μ N（（x → y）J）= μ N（（y → x）J）= μ N（0）。由于C=AHB±A且μP（0）=μP（0），μN（0）=μN（0），通过命题3.10我们可以得到y∈UC[x]<$UA[x]<$O1，这是一个矛盾。因此，UC[x]<$UC[y]=<$。这表明（L，τI）是一个T2-空间。（2）=（1）：很明显。Q最后，设L是一个负的非对合剩余格。本文讨论了格算子ψ，ψ和伴随算子ψ，→在L中关于一致拓扑τI的连续性。定义4.9[17，18]设L是一个负非对合剩余格，τ是L上的拓扑。若（L，τ）中的格算子，和伴随算子，→关于τ连续，则称（L，τ）为拓扑负非对合剩余格.注3设L是负非对合剩余格，τ是L上的拓扑，X，Y轴。德费恩X* Y：={x*y ∈ L|x ∈ X和y ∈ Y}，* ∈ {，→}。⊆这样，L=Oλi，这意味着（L，τA）是紧的。QC. Liu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）113129一∈ ∈∨一则运算 * ∈ {，→}关于τ是连续的等价于：对任意x，y ∈ L和O ∈ τ，x*y ∈ O蕴含存在O1，O2∈ τ使得x ∈ O1，y ∈ O2和O1*O2 <$O.定理4.10设L是负非对合剩余格。 则（L，τI）是拓扑负非对合剩余格。证据 通过定义4.9，它表明，<$* ∈ {<$，→}相对于一致拓扑τI 是 连 续 的。设x*y∈O，则存在U∈ω使得U [a*b]<$O，存在A=（μ P，μ N）∈I使得UA<$U. 我们称UA[x]* UA[y]<$UA[x* y]。的确，设z* q∈UA[x]* UA[y]，则z∈UA[x]且q∈UA[y]，因此z<$Ax且q<$Ay，且所以（x* y）<$A（z* q）。因此，（x* y，z * q）∈UA<$U，因此z* q∈UA[x*y]，这意味着该主张成立。取O1=UA[x]和O2=UA[y]，则我们可以得到O1，O2∈τI， x∈O1， y∈O2和O1*O2=UA[x]*UA[y]<$UA[x*y]<$O. 证据已经完成。Q引用[1] 王克J.，[2] M区和Dilworth R.P.，剩余格，Trans.Amer. 数学Soc. 45（1939），335[3] H'ajekP.，“模糊逻辑的元数学”，KluwerAcademicPublishers，Dordrecht，1998。[4] 王克J.，和Zhou H. 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