微分算子定义的亚纯单叶函数子类的研究及性质

.K∞.K∗∞∗Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，181埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章一类亚纯单叶函数的双线性算子的应用Khalida Inayat Noora，Qazi Zahoor Ahmada，1，Janusz Sokób，伊朗a伊斯兰堡帕克路COMSATS信息技术学院数学系巴基斯坦bDepartmentofMathematics，RzeszówUn iversityofTechnology，Al. Powstan'cówWarszawy12，35-959Rzeszów，Poland接收日期：2015年2月19日;接受日期：2015年4月4日2015年5月16日在线发布本文利用微分算子定义了一个新的亚纯近于凸单叶函数子类，它定义在穿孔开单位圆盘上。研究了该类的一些包含结果、卷积性质及其它性质1991年数学学科分类： 30C45; 30C50版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍设f表示以下形式它们是解析的，并且在E={z：0 <|z|<1}=E{0}。的职能f（ z）1=z+ .a k z k，（1.1）f（ z）1=z+∞ak z g（z）k=01=z+∞bk z，z∈E，k=0k=0在E中解析，它们的阿达玛积或卷积fg是定义为∗通讯作者。（f）（z）1 .一 、a b z k，z ∈ E，电子邮件地址：khalidanoor@hotmail.com（K.I.Noor），zahoorqazi5@gmail.com（Q.Z. Ahmad），jsokol@prz.edu.pl（J.Sokó）。1 现住址。=z+K Kk=0同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier其中（）代表卷积符号。线性算子理论在几何函数论中占有重要地位。引入并研究了几种微分算子和积分算子，例见[1，3，16，21，22，25，27]。对于最近关于线性算子的工作，S1110-256X（15）00028-0 Copyright 2015，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。关键词亚纯函数;近于凸函数;卷积;微分算子;包含结果http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.04.001182K.I. Noor等人∈.Σ−==+==≤∈.K. .ΣΣ.Σ.Σ∈0我们可以参考[4，6，10，11]中的亚纯函数。在这项工作中，我们考虑由El-Ashwah[10]和El-Ashwah和Aouf[11，12]定义的算子。对于λreal，l>0且n∈N0=N<${0}，线性算子Dn（λ，l）：λ→λ定义为：定义2. 一个函数f（ z）{\displaystyle f（z）}n（λ，α），当且仅当-Re.z2。Dnf（z）<$r<$>α， z∈E，（n∈N0）.n1 .∞<$l+λ（k+1）<$nkk=0L显然D0f（z）f（z）和D1（1，1）f（z）2 f（z））zfr（z）.注意到λzD nf（z）rn+1 f（z）−（λ + l）D nf（z），z ∈ E <$.（一、三）对于λ1，Cho等人引入并研究了算子Dn（1，l） f（ z）[7、8]。Al-Oboudi和Al-Zkeri[2]考虑了 Dn（λ，1）f（ z）情形。Uralegaddi和So-manatha[27]以及Noor和Ahmad[23]分别研究了算子Dn（1，1）f（ z）和D1（1，1）f（ z）.[28][29]2. 初步结果我们需要以下结果。引理1[26]. 如果 p（ z）在E中解析， p（0）= 1，Re{p（ z）}>1/ 2，z∈E，则对任意解析函数F，在E中，函数P<$F取其在F（E）的凸包中的值。对于α，（0α 1），称函数f（ z）α是亚函数，态射星形和凸的α阶，如果它满足-Re. zfr（z）ε>α， z∈E，引理2[13]. Let函数{ck}∞k0是一个连续的整数序列。TheNThe和f（ z）p（ z）=c0∞2+c k z，z∈E，k=1−Rezfr（z）rfr（ z）> α，z∈E，是解析的，且在E中Re{p（z）}>0。以下结果是由于哈伦贝克和Ruscheweyh。外稃3 [15]第10段。 设函数h（ z）在E分别我们将前一类函数记为α_∞（α）而后者则是由k（α）给出的。这些课程已经被研究过了，[24][25][26][27][29][此外，一个函数f（ z）∈f（z）被称为来自类f（c）（α），如果它满足−Re z2fr（z）> α，z∈E。（1.4）这类研究由Ganigi和Uralegaddi[14]，Cho和Owa[5]以及Wang和Guo[28]进行。定义1. 由（1.1）给出的函数f被称为属于亚纯近凸函数类G（α），如果存在函数g∈G（α），使得与h（0）= 1，γ/=0和Reγ >0，z∈E。设函数p（ z）=1+p1z+p2z2+···在E中是解析的，并满足以下区分从属关系zpr−Rezfr（z）g（ z）>0，z∈E。p（ z）+然后（z）γh（z）， z∈E，这类函数由Libera和Robertson[17]引入并研究。备注1. 文献[14]证明了如果函数f（z）∈c（α），则它是α级亚纯近于凸的。p（ z）<$q（ z）<$h（ z），z∈E，哪里设f和g是E中的两个解析函数.我们说f是q zγzh t t γ−1d t.如果存在一个Schwarz函数，则f∈g问题w（z），在E中解析，其中w（0）= 0，|w（z）|1<使得（）=zγ（）f（ z）=g（ w（ z））.如果g在E中是单价的，则f∈g是等价的f（ 0）=g（ 0）且f（ E）≠g（ E）。一个非负数的序列{cn}被称为一个con-n。函数q（ z）是凸的，并且是最佳支配函数。引理4[18]. 设q（ z）是E中的凸函数，凸空序列，当k→∞时c k→0，且=D f（ z）=z+当n为0时，我们得到了Ganigi和Uralegaddi[14]研究的亚纯函数类φc（α），ak z，z∈E（1.2）一类亚纯单叶函数183c0−c1≥c1−c2≥··· ≥ck−ck+1≥··· ≥0。现在我们用公式（1.2）中定义的运算子来定义下面的函数类。h（ z）=q（ z）+βzqr（z），其中β> 0。如果p（z）是解析的且满足p（z）+ βzpr（z）<$h（z），z ∈ E，184K.I. Noor等人+−（）r2nL=Lzpr（z）1+2α−1z（）r2n+1联系我们. .Σ≤∈（）=λzλλλL.Σ.ΣLl.Σp1（z）ll然后p（ z）<$q（ z）， z∈E，这个结果很清晰。3. 主要结果在本节中，我们将证明我们的主要结果。定理1. 设n∈N0，λ>0，0≤α 1，f（ z）属于定理2. 设n∈N0，λ> 0，0 ≤α<1.设q（z）是凸函数，q（0）= 1，h（z）是函数，h（ z）=q（ z）+zqr（z），z∈E.如果f（ z）∈n+1（λ，α）且满足双线性从属关系，-z2。Dn+1f（ z）<$r<$h（ z）， z∈E，然后2NRn+1（λ，α）。 则f（z）属于n（λ，α）。进一步-z D f（z）q（z），z∈E，12α 1z−z D f（z）<$q（z）< $1 + z，z∈E，哪里这个结果很清晰。证据 设置p（z）= −z2. Dn f（ z）r，（3.3）q zlz 1+（2 α − 1）z tl −1d t.（3.1）0则p（ z）是解析的且p（0）= 1。通过区分（3.3）和证据 设f（z）∈n+1（λ，α），则由定义1，我们有-Re.z2。Dn+1f（z）<$r<$>α， z∈E，（n∈N0）.p（ z）+λzpr2。Dn+1f（z）<$r<$h（z）=q（z）+zqr（z）.设置p（z）= −z2D n f（z）r.（第3.2节）则p（ z）在E中解析，且p（0）为1。用公式1.3对公式3.2进行微分，得到：p（z）+λz pr2. Dn+1f（z）r，可以写为对于β=λ/l，通过使用引理4，我们有p（ z）<$q（ z），或-z2。Dn f（ z）<$r<$q（ z）， z∈E，这个结果很清晰。平方定理3. 设f（z）≠ 0，λ 0和0 <α1/2.假设对于任意的r，（0 α−1，z∈E.是最好的统治者。Q设n=0，在定理1中，我们得到如下结果。推论1. 对于0α<1和λ> 0。设f（z）≠，满足下列不等式Re.-z2。.1+2λfr（z）+λz fr（z）λ>α，然后Re. −z2fr（z）<$> α，也就是f（ z）∈f ∈c（α）。然后，我们有f（ z）∈<$n（λ，α）.证据 让p1（z）= −z2Dn f（ z）r，（3.4）则p1（z）是解析的并且p1（0）= 1。由式（1.3）可知，=−。 . Dn+1f（z）−。1+100。Dnf（z）{\displaystyle D n f（z）}，1+zλ使用（1.3），我们有z.Σ一类亚纯单叶函数185zpr1（z）p（ z）=1+LλDn+1f（ z）r（Dn f（ z））r−1Lλ在分化时，备注2. 由于α0（α）= αc（α）是亚纯函数的一个子类。.1- 是 的Σ Σ+.α阶近于凸函数，成员的单叶性在λn（λ，α）中的一个定理是定理1的一个推论。186K.I. Noor等人.ΣΣ∈. .Σ=||∈.Σ=−=∈21+eiθ∈≤fr（z）2在定理的假设下，利用Wang和Guo [[28]，引理2.2]的一个结果，我们得到Rep1（z）> α，z∈E.这就完成了证明。平方当n=0时，我们有以下结果。推论2. 设f（z）=0 <α1/2。假设对于任意的r，（0 α−1，z∈E.然后，我们有f（ z）∈αc（α）。定理5.若f（ z）∈φ0（α）=φc（α），则.Σzf（ z）−|z| ≤r和|≤ r|≤rm（1 2z）. z（1−z）2-1/= 0，θ∈[0，2π）且z∈E，Re.1个以上zfr（z）rfr（z）> α− 1， z∈E.哪里.1+ e iθ。1+（ 2α− 1）e−iθ然后，我们有f（z）∈ αc（α）。定理4.设f（z）= 1，1/2 α <=<1. 假设对于任意的r，（0r< 1），f（ z）满足条件：<明河-z2。Dnf（z）r=mi n. -z2。Dnf（z）、m=1+（2 α − 1）2+（2 α − 1）cos θ。（3.6）证据 如果f（z）∈φ0（α）=φc（α），则根据定义，我们有- Re. z2fr（z）ε> α，或者使用从属关系，−z 2 fr（z）<$1+（2 α − 1）z。|z| ≤ r和lReλDn+1f（ z）r（Dnf（ z））r−1|≤ r| ≤rα>2 − 1，z∈E。1+z现在根据从属的定义，存在一个在E中解析的函数w（ z），其中w（0）0和w（ z）1，zE，使得−z2fr（z）=1+（2α− 1）w（ z），z∈E.然后，我们有f（ z）∈<$n（λ，α）.证据 让p1（z）= −z2Dn f（ z）r，（3.5）则p1（z）是解析的，且p1（0） 1。以与前面定理的证明类似的方式进行，我们有zp r1（z）.L. Dn+1f（z）∈R.l11+w（ z）或者我们可以写−zfr（z）1+.（2α−1<$）eiθ−1/=0，z∈E且θ∈[0，2π）。（第3.7节）以来zfr（z） f（z）1 − 2 z，z（1−z）2则（3.7）可以写成p（ z）=1+λ（Dnf（ z））r−1+λ。z<$f（ z）<$m（1− 2z）<$−1/= 0，θ∈[0，2π）且z∈E，在定理的假设下，利用Wang和Guo [[28]，引理2.4]的一个结果，我们有Re{p1（z）}> α，z∈E.这就完成了证明。平方推论3. 设f（z）= 1，1/2 α <=<1.假设对于任意的r，（0 1，设f（z）和g（z）属于n（λ，α），h（ z）=（1−t） f1（z）+tf2（z），属于类<$n（λ，α）.以来∞f（ z）=1+和ak zk，k=1h（ z）然后1=z+（1−t）ak1k=0+tak2zk，g（ z）1=z+∞bkz，z ∈ E ∈ E。k=1- z 2。Dnh（z）r=1++.k=0lλ（1k）n−k（1−t）lΣ Σakzk+1，akzk+1则（f∈g）（ z）∈n（λ，β），其中4α−λ（ 2α+ 1）− 1k=0从中我们可以写出证据 由于g（z）∈ <$n（λ，α），我们有.ΣΣΣ∞1..l + λ（1 + k）K 1Σ- Re.z2。Dn h（ z） 布雷尔河=（1 −t）Re1+ −kk=0l+λ（1+k）Lnakzk+1Re 1个以上−klk=1bk z+>α， z∈ E.（3.11）..l + λ（1 + k）k1对于1≤λ≤ 2。设c0=1，+tRe 1+ −klk=0ak2z+。（3.8）λ−1ln由于f1（z）和f2（z）属于n（λ，α），这意味着ck=kl+λ（1+k），k≥1。Re.1+。l+λ（1+k）akzk+1n{ck}∞k0是一个连续的v×n序列. 根据引理2，Lik=0我们有=>α， （i= 1，2）.（3.9）Re.1+。λ−1lnbkzk+1>1，z∈E.根据（3.8）和（3.9），我们有Re.-z2。Dnh（z）nrn>α。Kk=1l+λ（1+k）2（3.12）这就完成了证明。Q现在取式（3.11）和式（3.12）的卷积，并应用引理1，得到定理7. 设f（z）∈ <$n（λ，α），g（z）∈ <$n，使得1Re{zg（z）}> 2。则（f <$g）（z）∈ <$n（λ，α）.Re.1个以上或.k=1（1 −λ）bkzk+1<$.∞∞∞∞∞−ktnα≤β =−k一类亚纯单叶函数18921−λ（）> α， z∈E。Σ证据 让h（ z）=（f∈g）（ z）.Re{zg（ z）}=Re因此1+bkzk+1k=1>α−λ。（1−λ）利用卷积性质，我们有D h（ z）D f（ z）.2 α − λ − 1Σ 1二、n2.恩布尔Re zg（ z）−2（1−λ）>2.由于f（ z）∈<$n（λ，α）且1Re{zg（ z）}>2，Since f（z）∈.n（λ，α），一个PP引理1，我们得到Re.-z2。Dnf（z）r.zg（z）−2α−λ−1>α，−z其中，z∈E.（3.10）190K.I. Noor等人..ΣΣ−∗或者我们可以写Rez2D nf（z）rzg（z）> 4 α − λ（2 α +1）− 1。2（1 −λ）因此，结果由式（3.10）得出。Q确认作者对S博士深表感谢。M. CIIT校长Junaid Zaidi，感谢他的支持和提供出色的研究设施。这项研究是在HEC项目下进行的，资助号为NRPU号。20-1966/R D/11-2553。引用[1] J.W. Alexander ， Functions which map the interior of the unitcircle upon simple regions，Ann.Math.17（1915）12[2] F.M. Al-Oboudi ， H.A. Al-Zkeri ， Briot-Bouquet di Scholar-subordination对某些亚纯函数类的应用，Arab J. Math. Sci. 12（2005）1-14。[3] S.D. Bernardi ， Convex and starlike univalent functions ，Trans.Am. Math.Soc.135（1969）429[4] T. Bulboaca，M.K. Aouf，R.M. Ashwah，复阶亚纯单叶函数子类的卷积性质，Filomat 26（2012）153-163。[5] N.E. Cho，S. Owa，α阶亚纯星形性和近于凸性的充分条件，Int.J.Math.Math.Sci. 26（2001）317[6] N.E. Cho，K.I. Noor，与Choi-Saigo-Srivastava算子相关的某些亚纯函数类的包含性质，J.Math.Anal. 320（2006）779[7] N.E. 曹，O.S.Kwon，H.M.Srivastava，与乘子变换族相关的亚纯函数的某些子类的包含和辐角性质，J。数学Anal.300（2004）505[8] N.E. 曹，O.S.Kwon，H.M.Srivastava，包含关系的某些子类的亚纯函数相关联的一个家庭的乘子变换，国际。译规格好玩的16（2005）647[9] 李文，论亚纯函数，国立台湾大学数学研究所硕士论文，（1998）[10] R.M. 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