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∈·∈∈第九届国际会计师联合会控制教育进展国际自动控制联合会,俄罗斯下诺夫哥罗德,2012年混合系统建模与控制教学辅助工具(CAMCHS)JurajStevek Stefan Kozak斯洛伐克技术大学电气工程和信息技术学院,斯洛伐克布拉迪斯拉发(电子邮件:stefan.kozak@ stuba.sk)。斯洛伐克布拉迪斯拉发斯洛伐克理工大学信息学和信息技术学院(电子邮件:stevek@fiit.stuba.sk)翻译后摘要:本文致力于识别的非线性函数和非线性动力系统的问题,通过分段A型(PWA)线性模型在系统识别的教育。介绍了一种新的用于非线性系统建模与仿真的Matlab工具箱。工具箱的功能与GUI应用程序一起简化并加速了所谓PWA GFS模型的识别。该工具箱在系统逼近课程中用作指导工具。非线性系统的辨识是基于广义傅立叶级数PWA建模的新方法该方法提供了识别的非线性函数的任意数量的变量和识别的非线性动力系统的ARX模型结构的方式从输入输出数据。关键词:PWA系统,广义傅立叶级数,Matlab工具箱,切比雪夫多项式,PWA识别。1. 介绍当需要高模型精度时,传统上采用非线性对象模型。然而,这种模型的非线性性质在控制设计和分析中造成了很大的困难使用线性模型的主要缺点是当系统远离线性化点时精度降低。为了克服这一困难,Branicky(1995)提出了混合动力系统的概念.混合模型的特点是一个集合的本地模型,EL伴随着IF-THEN逻辑条件,强制切换的本地动态。当所有的局部模型都是线性的(或一个线性的),这样的系统被称为线性混合系统。虽然由于开关的存在仍然是非线性的,但与使用完全非线性模型相比,潜在的分段线性允许更容易的控制合成和可以使用几种能够捕获逻辑规则和线性动态之间关系的数学框架:分段A-线性(PWA)模型(Sontag,1981),混合逻辑 动态(MLD )系统(Bemporad 和Morari ,1999),线性互补系统Heemels等人。(2000)和最大-最 小 - 加 缩 放 模 型 ( De Schutter 和 Van den Boom ,2001)。在温和的假设下,所有这些框架都是等效的,并且可以将例如MLD系统转换为PWA模型,反之亦然(Heemels等人,2001年)的报告。在这项工作中,PWA模型被认为是使用多重线性化的概念这项工作得到了斯洛伐克共和国教育部科学资助机构的支持,资助号为1/1105/11。在本文中,我们提出了一种有效的工具,通过PWA使用基于广义F级数的新方法(Ste vek和Koz'ak,2011)对非线性系统进行建模。这方法属于一般非线性模型的黑盒识别方法(Sjoberg等人,1995年)。我们使用的方法,广义傅立叶级数与正交多项式。在(Leondes,1997)中,正交多项式被用作具有一个隐藏层的神经网络的特殊情况-基于正交激活函数的神经网络(OAF-NN)的激活函数。对于这种类型的神经网络,已定义了具有快速收敛特性的在线和离线训练算法在对OAF-NN进行简单的修改后,可以使用这种技术对常见的非线性系统进行GFS近似本文共分为六个部分。首先,我们将非线性函数的识别和线性化问题公式化其次,我们提出了非线性过程的OAF-神经网络建模(PWA-OAF-NN)和网络转换为状态空间PWA形式。在第3节中,PWA-OAF识别工具箱基于三个案例研究进行介绍。3.3节从输入输出数据中辨识出非线性动力系统,并设计了显式MPC控制律。2. 问题公式化考虑离散时间域中的动态系统x(t +1)= f(x(t),u(t)).(1)这里,x(t)Rn是时刻t的状态向量N+,x(t+ 1)表示后继状态,u(t)Rm为控制输入的向量,f()是状态更新函数。假设状态和输入都受到约束© 2012 IFAC 252 10.3182/20120619-3-RU-2024.000162012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会253∀ ≥∈ ∈∈我我Ijx(t)∈X <$Rn,(2a)u(t)∈U<$Rm,(2b)t0. 在最一般的设置中,状态更新函数f(x(t),u(t))可以是任意的,例如线性的、分段的切比雪夫多项式的递归生成公式T0(x)= 1,(10)T1(x)=x,(11)线性、非线性、不连续、不可变形等。Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(十)、(十二)目标是通过PWA动态系统来近似(1),该PWA动态系统由预定数量N的局部线性动态组成其中UnTn(x)=Un+1(x)−Un−1(x)。 (十三)是第二类x(k+ 1)=Aix(k)+Biu(k)+fi(3a)满足:xmin≤x(k)≤xmax(3b)umin≤u(k)≤umax(3c)umin≤u(k)−u(k−1)≤其中i=1。. . N,AiRnx×nx,BiRnx×nu,fiRnx是状态更新矩阵,具有第i次局部线性逼近。每个动力学i在由所谓的保护线(超平面)Kvas-nica(2009)界定的多面体分区中是活跃的由递归公式生成U0(x)= 1,(14)U1(x)= 2x,(15)Un+1(x)=2xUn(x)−Un−1(x),(16)2.2 广义傅立叶级数广义傅立叶级数的定义可以guardXx(k)+guardUu(k)≤guardC(四)一个隐藏层的神经网络在这项工作中,我们使用Matlab函数框架的正交激活函数-形式上,要解决的问题可以表述如下:命题给定系统(1)的非线性向量场f(z),找到预先指定复杂度的PWA近似(19),使近似误差最小化神经网络是工具箱的一部分。在稍微修改之后,可以使用这种方法对傅立叶级数进行建模。我们考虑具有na、nb和nk参数的ARX方式的GFS的一般结构:埃阿普尔 :=(f(z)−fPWA (z))2dz(5)1个py=w1π+的版本。. .其中积分在整个区域上进行计算,2 (w T(y(k| 1))+·· ·+w T(y(k| 1))+validity(2)和z= [x,u]。换句话说,我们的目标是获得多点πp2 1.n n−1静态或动态系统的分段线性模型,其精度限制非线性模型。近似过程中的关键思想是将多个2πp(wi12T1(y(k|na))+···+wi2Tn−1(y(k|(a))+变元非线性代数函数等价一系列单变量表达式。f(z1,z2,···,zn)<$f1(z1)+f2(z2)+···+fn(zn)(6)与泰勒级数类似,可以将任何非线性函数为一系列非线性函数。 这种方法得到了广义傅里叶多项式级数. 广义傅里叶级数是基于一组一维标准正交函数定义为πp(wi3T1(u(k|n k))+···+wi4Tn−1(u(k|n k)+.2πp(wi5T1(u(k|i7))+···+wi6Tn−1(u(k|(i7)。i1=(na−1)(n−1)+2i2=na(n−1)+1(十七)X2我δ ij(N)(x)δij(7)我2012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会254−−−|−|≡2{√i3=nb(n−1)+2i4=(nb+1)(n−1)+1x1i5=(nb+na−1)(n−1)+2;其中δij是Kroneckerdelta函数,[x1,x2]是感兴趣的域。标准正交函数的几个例子是标准化傅立叶(调和)函数、勒让德多项式、切比雪夫多项式和La-Guerre多项式(Leondes,1997)。本文只讨论切比雪夫多项式。2.1 Chebyshev多项式第一类切比雪夫多项式可以由三角恒等式定义Tn(x)= cos(narccos(x))(8),范数定义如下i6=(nb+na)(n1)+1;i7=nk+nb1p=na+nb其中y(k na)表示y(k na),类似地u(k nk)u(knk)。每一个多项式是近似的一组线(图。第一章T(x)≠aix+bi,i ={1,2,. . . ,ndiv}(18)然后输出方程变为差分方程。所有切比雪夫多项式的一个方便的特征是它们的对称性。所有偶数阶的多项式关于纵轴对称,所有奇数阶的多项式关于原点对称。这些属性允许在保持精度的同时将线性化点的数量减少到一半要获得生成的PWA的最低移位情况数,11(Tn(x))dx=−11 −x2π n=0π/2n1(九)模型中,我们在相同的点线性化多项式,图1。术语∫2012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会25510.50−0.5−1-1.50 0.2 0.4 0.6 0.81X1.5110.50−0.5−1-1.50 0.2 0.4 0.6 0.8 1X1图二、na=2、nb=2、nk=0或nk=1的OAF ARX模型x(k+ 1)=Aix(k)+Biu(k)+fi(22a)y(k)=Cix(k)+Di(k)+gi(22 b)0.500.50Ai=00 0 00 0 1c(i)c(i)c(i)221中国(22c)−0.5−0.5u y y1−10 0.2 0.4 0.6 0.81X−10 0.2 0.4 0.6 0.8 1XBi=00(一)u1中文(简体)CD图1.一、T2,T3,T4,T5切比雪夫的PWA近似Ci=[0 0 1](22 e)Di= 0(22 f)多项式2.3转换为状态空间PWA形式fi=000c(i)苹果(22g)当函数在多个不同的线性化点附近线性化时,非线性系统的逼近精度显著提高。状态空间PWA结构描述了非线性动力系统在多个线性化点的行为gi= 0;(22 h)x∈3 ×1>(22i)<3. PWA OAF识别工具箱x(k+ 1)=Aix(k)+Biu(k)+fiy(k)=Cix(k)+Diu(k)+gi[x]u(19a)PWA识别问题在研究界引起了极大的兴趣。 在Matlab环境中,开发了几个工具箱用于识别混合和非线性系统(Roll等人,2004; Ferrari-Trecate,2005;Julian等人,1999年)。PWA OAF的主要目标识别系统(PWA OAF IT)旨在提供有效的每个动态i在多面体划分(19 b)中是活动的,可以用不等式guardXix(k)+guardUiu(k)≤guardCi(20)微分方程(17)可以很容易地转换成状态空间形式。在Matlab中,差分方程可以用离散的传递函数表示. 可以使用变换函数tf2ss。但这种策略期望状态空间形式必须将差分方程(17)的所有输出保持在状态向量中。因此,我们可以正确地定义警戒线不等式(20)。这里我们给出了参数na=2,nb=2,nk=0或nk=1的系统的变换示例,图2。差分方程:y(k)=c(i)+c(i)y(k−1)+c(i)y(k−2)+21211212yyyyC如果∈Di, i = 1,. . . ,nL(19b)2012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会256--u1- − −用于分析、识别和模拟PWA OAF模型的有效工具。在下面的部分中,我们将介绍几个识别示例的工具箱功能。在PWA OAF IT中,模型由模型结构的以下字段表示model.na-过去输出项模型的数量。nb-过去输入项模型的数量。nk-从输入到输出模型的延迟。npoly-Cheby的数量。多项式模型。ndiv-分割 0,1 区间模型.Fi-网络模型的连接矩阵.w-网络参数model.type-多项式“Chebys”模型的类型model.sysStruct- PWA状态空间结构y1c(i)u(k−1)+c(一)u−2y2u(k−2)(二十一)model.ynorm-标准化输出数据model. uniform-标准化的输入数据在PWA形式中,准则被定义为x1 =u(k2),x2 =y(k2),x3 =y(k1)和u=u(k1 )PWA状态空间模型:model.u-输入数据model.y-输出数据model.ypar-规范化参数。输出model.upar-标准化参数。输入−2012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会257434322÷{−}555045403530252010 15 20X(a) 二维函数示例(b)PWA-OAF Identification Studio图3. 图中显示了标识工具箱的单变量示例和GUI到目前为止,PWA OAF ID仅支持MISO系统。为了获得已识别的模型,调用在该实验的模型标识返回GFS的以下公式。>>型号=agfsid(y,u,modelstruct,param)输入参数采用PWAID工具箱中众所周知的标准符号有关更多信息,请键入I(Vgd,Vgs)= 0。072Vgd− 0。065Vgd− 0。46Vgd-0. 43Vgd− 0。072Vgs+0. 065Vgs+0。46Vgs2+ 0. 43Vgs− 0。49·10−15(二十四)>>帮助中心为了使用gui应用程序图3b,调用>> pwaoaf studio3.1 二维函数2-D函数由公式定义y= a1e−((x−b1)/c1) +a2e−((x−b2)/c2)+第二十二章(二十三)a3e−((x-b3)/c3) +a4e−((x−b4)/c4)我们在区间[7,22]中生成了样本数据(图1)。3)。在我们的例子中,我们用两条线近似一点在参数估计之前,有必要将数据归一化到切比雪夫多项式正交的区间1,1中 我们使用了前四个切比雪夫多项式T0T3。均方误差该近似值为MSE = 5.1947。3.2 3-D函数在下一个例子中,我们考虑在Sevat(1988)中导出的GLAS-MONTn沟道晶体管的电流-电压特性Ids(Vgd,Vgs)从建模的角度来看,该系统是非常独特的。预处理数据没有表现出任何噪声,典型的电气测量。提供该示例以说明和比较所提出的建模技术的能力接下来,执行四个不同的近似,对应于域4的四个不同的细分表1总结了PWA模型Reg、均方误差MSE和计算时间T的线性区域的最终数量。3.3 非线性动态系统在下一个例子中,我们将尝试从输入输出数据中捕获车辆的非线性动态,以用于自动巡航控制的预测控制设计。我们使用带有自动变速器控制器的Simulink车辆模型模型的输入是油门和刹车扭矩信号。输出为车辆速度。根据输入信号的特点,我们可以将油门和刹车扭矩信号合并为一个输入信号(图5a)。输入信号的正部分与加速踏板压下成比例,输入信号的负部分与制动踏板压下成比例。输入-输出数据和识别的系统输出在(图5a,5 b)中捕获。我们使用以下识别参数:表1.葛拉斯蒙特 - PWA GFS模型结果情况Reg.MSET[s]141.012e-72.159261.659e-82.48385.4e-94.234122.457e-94.72y2数据OAF PWAGFS2012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会258I(mA)DSI(mA)DS∑TT0.01 0.010.005 0.0050 0-0.005-0.005-0.014321V(V)GS02V(V)GD-0.014321V(V)GS02V(V)GD(a) GLASMONT非线性模型Sevat(1988)(b) GFS近似0.01 0.010.005 0.0050 0-0.005-0.005-0.014321V(V)GS02V(V)GD-0.014321V(V)GS02V(V)GD(c) PWA-GFS模型的I-V特性(4区)图四、电流-电压特性近似结果na= 1nb= 1(d) PWA-GFS模型的I-V特性(6个区域)x(k +1 |t)= fdyn(x(k),u(k))umin≤u(k)≤umaxnk= 1npoly= 4个多项式:T0,T1,T2,T3ndiv= 1 双线逼近(二十五)S.T.:<$umin≤u(k)−u(k−1)≤<$umaxymin≤gdyn(x(k),u(k))≤ymaxx(N)∈T集(26b)这些参数导致具有一个状态变量和一个输入的状态空间模型所获得的PWA状态空间模型具有四种动力学特性(四种换挡工况),为该系统的自动巡航控制设计提供了可能。对于控制设计,我们使用MPT工具箱(Kvasnica等人,2004年)。设计了具有时变参考跟踪特性的显式MPC控制器。我们讨论了二次成本控制问题:控制设计参数标准:2subopt_lev:0N:3跟踪:1问:100R:1minu(0),.,u(N−1)=x(N)TPNx(N)+N−1u(k) Ru(k)+x(k)Qx(k)k=1(26a)质量:700由于PWA动态很少,因此可以选择更高的预测范围来改善控制性能。由此产生的控制律被定义在430个区域上。控制律定义为:I(mA)DSI(mA)DS0 40 40 40 42012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会259100806040200−20−40−60−80−100 0100200300400500600700采样时间[s]160140120100806040200速度-数据PWA OAFOAF010020030040050060070采样时间[s]100806040200−20−40−60−80−1000 20 40 60 80100120时间[s]1201008060402000 20 40 60 80100120时间[s](a) 踏板时间响应(b) 车速时间响应(c) 控制和参考输入(d)受控输出时间re-图五.车辆识别数据和巡航控制时间响应海绵区域数量较少设计的控制律用于非线性车辆模型的反馈控制。5便士4. 结论PWA OAF工具箱改进了非线性系统的识别和建模。它可作为系统识别教育的教具。GFS模型的简单性允许使用简单的识别技术,并引导学生更精确和复杂的识别问题。转换到PWA状态空间模型允许使用现有的控制设计工具。到目前为止,PWA OAF ID仅支持MISO系统。介绍了三个研究案例。仿真结果表明,该方法具有较好的模型精度和通用性。PWA OAF NN近似的精度取决于线性化点的数量、所用Chebyshev多项式的最高阶数和神经网络计算参数的绝对值线性化点越多,近似精度越高,但PWA模型的复杂性增加。需要在线性化点的数量和所需精度之间找到合适的比例致谢作者感谢斯洛伐克共和国科学资助机构在1/1105/11资助下的贡献引用Bemporad,A.和Morari,M.(1999年)。集成逻辑、动态和约束的系统控制。 Automat-ica,35(3),407-427. doi:10.1016/S0005-1098(98)00178-2.Branicky,M.S.(1995年)。混杂系统研究:建模、分析与控制。博士麻省理工学院硕士论文。德舒特湾和Van den Boom,T. 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