有限温度下的N维薛定谔方程及其在夸克偶素质量研究中的应用

Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）86用Nikiforov-Uvarov方法求解有限温度下的N维薛定谔方程M. 阿布沙迪Menou fia大学理学院应用数学系，埃及ShibenAr ticlei n f o ab st ract文章历史记录：2015年12月23日收到2016年6月18日修订2016年6月22日接受2016年7月18日在线发布MSC：81Q0581V2581V05保留字：薛定谔方程N-径向薛定谔方程的解析解。将Cornell势推广到有限温度。能量本征值和波函数使用Nikiforov-Uvarov（NV）方法以N维形式计算。在零温下，得到的能量本征值和波函数与其他工作符合得很好。本文结果应用于粲偶素和bottomonium质量在有限的温度。研究了维数对夸克偶素质量的影响。并与其他使用QCD求和规则的工作进行了比较和晶格QCD。本方法成功地推广了N维表象中有限温度下的能量本征值和相应的波函数。此外，本方法可以成功地应用于有限温度下的夸克偶素系统版权所有2016，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。1. 介绍径向薛定谔方程（SE）在量子力学中的发展及其解在现代物理学的许多领域，特别是在高能物理学中发挥着重要作用。只有当系统的电势确定时，才能找到SE的解[1]。有几个潜在的，如康奈尔潜在的参考文献。[2，3]或混合之间的康奈尔潜力和谐振子的潜力，在参考文献。[4，5]或Morse势[6]的方法来求解SE。对底偶素和粲偶素等重介子系统的理论研究由于完全依赖于量子色动力学理论而受到人们的特别关注。[7]其中，重夸克偶素被认为是夸克-胶子等离子体的硬探针[8]，因为在有限温度下静态相互作用的修改最终意味着重夸克偶素束缚态分解为散射态的连续体（莫特效应）。研究结果表明，在重离子碰撞中，重夸克偶素的产生被抑制，这是一个可识别的信号[9]。∗通讯作者。电子邮件地址：abu_shady_1999@yahoo.com在有限温度下，有几个工作解决SE，如在参考文献中。[10-在参考文献[10]中，作者采用修正的内部势作为温度的函数，使用迈耶膨胀和唯象热力学模型研究夸克-胶子等离子体在文献[11]中，利用Funke-Hecke定理及其在电子和质子体系中的应用，求解了有限温度SE。在文献[12]中，作者根据热力学第一定律得到了SE的一般形式。在参考文献[13]中，作者通过采用由色单态和内能的线性组合给出的有效温度依赖性，数值求解了有限温度下的SE。近年来，一些学者致力于将SE扩展到高维空间，从而对所研究的系统提供更多的细节。此外，在低维空间中得到了能量本征值和波函数[1]。本文用Nikiforov-Uvarov方法研究了N维径向SE，得到了有限温度下的能量本征值和波函数。到目前为止，还没有尝试使用Nikiforov-Uvarov方法在包括有限温度时求解N此外，还研究了有限温度下维数对夸克偶素质量第二节简要介绍了NU方法第三节能量本征值和波http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2016.06.0061110-256X/Copyright 2016，Egyptian Mathematical Society. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。可在ScienceDirect上获得目录列表埃及数学学会期刊首页：www.elsevier.com/locate/joemsR=（−（）.−mTr（（））−mTr（）imatione =Bn dnRRdx2+x 2dx+x 4E−A +bx −x +x2 −X2μx=y+δ=δ（1+δ）δ-δ +δ2δ−δ2+δ 3你好！nD2R- -X2M. Abu-Shady/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）86-8987函数在N维空间中计算。在第4节中，讨论了结果第五节总结和结论B），分别。设波函数W（r）=R（r），得到以下径向SESion介绍。2. Nikiforov-Uvarov（NU）方法的理论描述d2dr2+2μm（E V（r））L（L+N−2）2μr2R（r）=0，（12）在这一节中，简单地给出了NU方法[14]来求解二阶微分方程，该方程具有以下形式：Wrr（s）+τ<$（s）W r（s）+σ<$（s）W（s）=0，（1）其中V（r）是康奈尔势，其形式如下：BV（r）=ar−r，（13）σ（s）σ2（s）其中a和b是任意常数。的势具有强相互作用的显著特征：其中σ（s）和σ（s）是最大二阶多项式τ（s）是具有适当的s=s（r）坐标变换的最大一次多项式。 为了找到方程的特解，(1)通过分离变量，如果处理变换，最终和渐近自由，分别在第一和第二项中表示。当量(13)[15]温度的变化规律如下：V （r）=a （T，r）r−b（T，r），（ 14）W（s）=W（s）X（s），（2）它简化为超几何类型的方程如下其中a T，ra1emD（T）r−mD（T）r）和b（T，r）=be−mD（T）r哪里σ（s）×rr（s）+τ（s）×r（s）+λ x（s）=0，（3）其中mD（T）是在T→0时消失的德拜质量（有关详细信息，请参见参考文献[15]）。 通过将等式（ 14）在Eq. （12）使用约-∞jDD直到二阶，这给出了一个σ（）π（）π（s）j=0S=s、（四）（s）当mDr1.我们得到τ（s）=τ<$（s）+2π（s）;τr（s） 0，（5）<2.b2L（L + N − 2）和dr2+2μE−A+r−Cr+Dr−2μr2R（r）= 0。（十五）λ=λ=−nτ r（s）− n（n − 1）σ rr（s），n = 0，1，2，. . .（六）121其中，A = b m D（T），C = a − 2bmD（T），D = 2a m D（T）。通过取r = 1，等式（15）采用以下形式χ（s）=χn（s），这是一个n次多项式，满足超几何方程，采用以下形式第2章2x DX2μ。CDL（L+N−2）χn（s）=ρdsn（σ（s）ρ（s）），（7）其中Bn是归一化常数，ρ（s）是满足以下等式R（x）= 0。（十六）该方案基于C和D在幂级数中的展开Xdτ（ s）介子特征半径r0附近的系列秩序 设y=x−δ，其中δ=1，因此，我们展开c，dsω（s）=σ（s）ω（s）;ω（s）=σ（s）ρ（s），（8）r0xx2在 y = 0 附 近的一系列幂。σr（s）−τ<$（s）2，的。σ r（s）− τ<$（s）<$2C C 1y−1=C.1yy，λ=K+πr（s），（10）π（s）是一阶多项式。 K值在π（s）=±2-σσ（s）+Kσ（s），（九）和=CΣ2δδ2δ2δ3δ3δ4X2μ.33xx2mm.（十七）方程的平方根(9)可以计算平方根下的表达式是否是表达式的平方。这是可能的，如果它歧视是零。(for详细信息，参见参考文献[14]）。同样地，D.68x3x2英寸3. 有限点时具有康奈尔势的薛定谔方程x2=Dδ2−δ3+δ4.（十八）温度通过将等式(17)（18）到Eq。(16). 当量(16) 采用以下形式两个粒子通过N维空间中的球对称（中心）势V（r）相互作用的SE由[2]给出，其中r是粒子间距离。d2dx22x D+x2dx+2μ（−D1+D2x−D3x2）R（x）=0，（19）Σ2Σ其中，D1= −μ（E−A−3C+6D），D2=μ（3C−8D+b），D3=μ（C−3 D+L（L+N−2））。 的1展开给出了良好的精度（十一）其中L、N和μ是夸克偶素粒子的角动量量子数、维数和约化质量（对于粲偶素μ=mc，对于底偶素μ= mc）。当δ趋向于x时 在表（1）和（2）中，确定δ，与实验数据相比，给出了良好的精度（详细信息，见参考文献1）。[2，3]）。通过比较Eqs。（19）和（1），我们发现τ（s）= 2 x，σ（s）=x2，且σε（s）=2μ（−D1+D2x−D3x2）。因此，Eq。 （16）满足ΣD（N−1）dL（L+N−2）2个以−2+2μ（E−V（r））W（r）=0，博士R博士RX4nL、、1++4L（L+1）]δ22002年Σ2−1+8μC+ 4L（L+ 1）−24μD]2从等式（ 6）; λ = λn. E q . 的能量特征值。（ 15）在有限的F30的情况。104TcRN2002年不δ2δ3-我知道δ488米Abu-Shady/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）86表1粲偶素的 质 谱 （单位：GeV）（mc = 1. 209GeV [1]，a = 0. 2 GeV2，δ=0的情况。231GeV，b = 1。244和T=0）。状态1S1P2S1D2P3S4S结果3.0963.2553.6863.5043.7794.0404.269Exp. [16个]3.096–3.686–3.7734.0404.263表2bottomonium的质谱（单位：GeV）（mb = 4. 823GeV [1]，a = 0. 2 GeV2，δ=0的情况。378 GeV，b= 1。569和T=0）。状态1S 1P 2S 1D 2P 3S 4S4. 结果讨论在这一节中，我们计算了具有夸克和反夸克重夸克偶素系统的光谱，例如在有限温度下的粲偶素和底偶素介子。夸克偶素的质量是在三维空间（N=3）中计算的。我们应用参考文献中的下列关系式[一、二]男=2，男+女=3，（28）其中m是粲偶素或底偶素介子的夸克偶素裸质量。通过使用等式(26)我们写Eq。(28)如下：结果9.4609.61910.0239.86410.11410.35510.5673C6DExp. [16个]9.460–10.023––10.35510.580M=2m+A+δ− δ22μ（3C+b−8D）2-，δ2δ 3在Eq. （ 一）. 通过遵循提到的NU方法，[（2n+1）±δ3（二十九）在第2节中，π= ±（K +2 C1）x2− 2 Bx +2 A。（二十）的 恒定 K是 选择 等 作为 的 功能 下当量(29)代表有限温度下的夸克偶素质量，三维空间。 我们可以通过取T=0，得到A=D=0和C=a，从而得到零温度下的夸克偶素质量。因此，Eq。（29）采用以下形式平方根有一个双零，即它的判别式=4B2−8A（K+ 2C1）= 0.因此，我们认为，1M=2m+3aδ−[（2n+1）±2μ（3a+b）28μa2δ3.（三十）π= ±1.2 A（2 A-Bx）。（二十一）因此，在本发明中，当量(30)与文献[2]中作者得到的零温夸克偶素质量一致。 自由参数a、b和δ与实验数据拟 合 ，使用方程：（ 30）如参考文献中所述。τ=2x±2（2 A-Bx）。（二十二）[2，3]。所有参数如参考文献[2]中所述固定，以检查与参考文献[2]中的结果相比，本结果的准确性。本文的结果与已有的实验结果符合得很好对于束缚态解，我们选择上面中的正号方程，使导数τ=2 − 2 B。（二十三）通过使用等式（10）我们得到B2Bλ=2A−2C1−<$2A，（24）和等式(6)，我们得到数据的所有国家的粲和bottomonium介子和关闭的结果在参考。[2]如表（1）和（2）所示。在有限温度下，夸克偶素态的行为进行了讨论。零温度下的参数值用作有限温度下的初始参数。为了计算粲鎓和底鎓物质在有限tem下的光谱质量，在温度下，我们定义mD（T）的显式形式如下，如参考文献[10]：mD（T）=γ αs（T）T，（31）其中γ是固定参数，αs（T）是运行耦合常数λn=−n。2B2毫安-n（n− 1）。（二十五）在有限温度下，2παs（T）=.11 −2NN NN不- 是的（三十二）给出了N维空间中的温度3C6DE=A+ −在图（1）中，标绘了底鎓的光谱1S的质量。作为比率温度T的函数，其中临界温度T-C在不同的N值下，温度Tc=170 MeV[17]。在三nLδ δ22μ（3C+b−8D）2[（2n+ 1）± 1+8μC+4（（L+N−2）2−1）−24μD]2在一维空间中，曲线随温度的升高而减小。通过增加维数N，我们注意到，.曲线移动到更高的 值。这表明，结合力-能量随着维数和质量的增加而增加δ324δ4（二十六）注意到所有N值的一致性。与文献[18]相比，作者发现底鎓质量方程的波函数的径向。（15）采用以下形式降低在较高的温度值的框架内，¸||不QCD求和规则。 此外，底鎓质量第二章√.dn.2第二章√ Σ与格点QCD一致。 因此，bot的行为-RnL（r）=CnLr−2D1−1e2D1r−rdrr−2n+2D1e−22D1r.（ 二十七）tomonium与QCD求和规则定性一致，格点QCD见参考文件[13]作者发现，C nL是归一化常数，由R nL（r）2dr=1确定。 我们注意到，当量（24）不明确地依赖于维数。因此，|R nL（r）|2 dr = 1保持不变。有关详细信息，请参见Ref.bottomonium质量随温度的升高而降低的框架中的SE，其中使用不同的方法与本工作相比。在图2中，绘制了粲鎓的1S质谱图。作为TC 不同的N值。 我们注意到[3]的文件。TcTcM. Abu-Shady/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）86-8989曲线随着温度的升高而增加，直到T= 0。5Tc时，曲线随温度的升高而减小。此外，曲线向更高的值移动。这表明结合能随着维数的增加而增加，并且对于所有N值也注意到定性一致性。这是...IOR与QCD求和规则和格点QCD在定性上一致在Ref。”[18]《礼记》：“礼之以礼，礼之以礼。5. 总结和结论Fig. 1. 在m b = 4的 条件 下， bottomonium 的 质量 谱1S 与 温度 T的 关系 曲线 。823GeV，a= 0。2 GeV 2，b= 1。569，δ=0。378 GeV。图二. 绘制了粲偶素质量1S的质谱图，作为参数mc=1的比温度T的函数。209GeV，a=0。2 GeV 2b=1. 244δ=0。231GeV。在本工作中，N维薛定谔方程解析求解使用NV方法。康奈尔势被扩展到包括基于参考文献[15]的有限温度。得到了有限温度下N维形式的能量本征值和相应的波函数。在零温和低维情况下得到了能量本征值和相应的波函数，与其他工作一致。我们将目前的结果应用于有限温度下的夸克偶素质量，并发现与QCD求和规则，格点QCD和其他方法定性一致。我们通过研究有限温度下维数对夸克偶素质量的影响来增加未来的研究。我们发现在有限温度下夸克质量随维数N的增加而增加。NU方法成功应用于这项工作的新颖性找到了有限温度下N-径向SE的解。此外，维数在有限温度下起着重要作用。所得结果与QCD求和规则、格点QCD及其它方法一致。我们希望将这项工作推广到进一步研究有限温度下夸克偶素的其他特性。确认作者感谢推荐人提供的有用的意见，支持了这项工作。引用[1] R. Kumar，F. Chand，Commun. Theor. Phys. 59（2013）528。[2] S.M. Kuchin，N.V. 马 克 西 缅科大学J. Phys. Appl. 1（2013）295.[3] A. Al-Jamel，H. Widyan，Appl. Phys. Res. 第四卷（2013年）94页。[4] N.V. Masksimenko，S.M. 库钦，拉斯。Phys. J. 54（2014）57.[5] Z. Ghalenovi，A.A. Rajabi，S. 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